1、 1 第第1515讲讲 三角形三角形 一、考点知识梳理一、考点知识梳理 【考点【考点 1 1 三角形及相关概念】三角形及相关概念】 1三角形的分类 (1)按角分类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形 (2)按边分类不等边三角形: 等腰三角形、等边三角形、腰与底边不相等的三角形 2三边关系：三角形任意两边之和大于第三边任意两边之差小于第三边. 3内角和定理：三角形的内角和等于 180 4内外角关系：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和三角形的一个外角大于任何一个和它 不相邻的内角 5三角形中的四条重要线段 中线：连接一个顶点与它对边中点的线段高线 高线：从三角形一个顶点到它对边所在直线的
2、垂线段 角平分线：一个内角的平分线与这个角的对边相交，顶点与交点之间的线段 中位线：连接三角形两边中点的线段 【考点【考点 2 2 全等三角形及其性质】全等三角形及其性质】 1全等三角形的定义：能完全重合的两个三角形叫做全等三角形 2全等三角形的性质：(1)全等三角形的对应边相等，对应角相等； (2)全等三角形的对应线段(角平分线、中线、高线、中位线)相等，对应周长相等，对应面积相等 3判定两个三角形全等的一般方法有： （1）三边对应相等的两个三角形全等，简记为：边边边 SSS ； （2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简记为：角边角 ASA； （3）两角和其中一角的对边对应相等的两
3、个三角形全等，简记为：角角边 AAS； （4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简记为：边角边 SAS 【考点【考点 3 3 直角三角形及勾股定理】直角三角形及勾股定理】 1.性质：直角三角形中，如果一个锐角等于 30，那么它所对的边等于斜边的一半； （2）直角三角形斜边 的中线等于斜边的一半。 2. 勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方；即 222 cab（、为直角三角形的 直角边，c 为斜边） 。 3.勾股定理的逆定理 如果一个三角形有两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形； 2 即：在ABC 中，A、B、C 所对的边分别为a、b、c，若 222
4、 cab，则C=90（即ABC 是直 角三角形） 4.直角三角形的判定： （1）有一个角等于 90的三角形是直角三角形； （2）勾股定理的逆定理。 【考点【考点 4 4 等腰三角形及线段的垂直平分线】等腰三角形及线段的垂直平分线】 1.性质： （1）等边对等角； （2）等腰三角形的顶角的平分线、底边的中线、底边的中线重合（即三线合一） ； （3）等边三角形的各边相等，各角相等，每个角都等于 60. 2.判定： （1）有两个角相等的三角形是等腰三角形； （2）有一个角等于 60的三角形是等腰三角形。 3.线段的垂直平分线： 定理：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 判定：到线段两端点距离
5、相等的点在线段的垂直平分线上 二、考点分析 【考点【考点 1 1 三角形及相关概念】三角形及相关概念】 【解题技巧】1.判断几条线段能否构成三角形：运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形，并不 一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判断这三条线段能构成 一个三角形 2.三角形的面积： （1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S底高 （2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分 【例 1】 （2019 湖北黄石中考）如图，在ABC中，B50，CDAB于点D，BCD和BDC的角平分线 相交于点E，F为边AC的中点，CDCF，则ACD+CED（ ）
6、A125 B145 C175 D190 【举一反三举一反三 1-1】 （2019 江苏徐州中考）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ） A2，2，4 B5，6，12 C5，7，2 D6，8，10 【举一反三举一反三 1-2】（2019 北京中考） 如图， 已知ABC， 通过测量、 计算得ABC的面积约为 cm 2 （结 果保留一位小数） 3 【举一反三举一反三 1-3】 （2019 江苏徐州中考）如图，矩形ABCD中，AC、BD交于点O，M、N分别为BC、OC的中 点若MN4，则AC的长为 【举一反三举一反三 1-4】 （2019 江苏徐州中考） 【考点【考点 2 2 全等三角形及其性质】
7、全等三角形及其性质】 【解题技巧】1.全等三角形的证明及性质是近几年中考的常考考点，单独考查过，考查方式均为在解题过 程中利用三角形全等的证明及性质得到相关结论涉及到的背景有：(1)与三角形结合；(2)与四边形结合； (3)与圆结合每年都在图形的平移、旋转及位似等图形变换的猜想证明题中考查，设问方式为证明线段之 间的数量关系 2. 判定两个三角形全等的解题思路： SSS SAS 找另一边 找夹角 已知两边 - SAS AAS ASA AAS 找该角的另一边 找这条边上的对角 找这条边上的另一角 边就是角的一条边 找任一角边为角的对边 已知一边一角- AAS ASA 找任一边 找两角的夹边 已知
8、两角- 【例 2】 （2019 湖北孝感中考）如图，正方形ABCD中，点E、F分别在边CD，AD上，BE与CF交于点G若 BC4，DEAF1，则GF的长为（ ） 4 A B C D 【举一反三举一反三 2-1】 （2019兰州）如图，ABDE，BFEC，BE，求证：ACDF 【举一反三举一反三 2-2】 （2019 福建中考）已知ABC和点A，如图 （1）以点A为一个顶点作ABC，使ABCABC，且ABC的面积等于ABC面积的 4 倍； （要 求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）设D、E、F分别是ABC三边AB、BC、AC的中点，D、E、F分别是你所作的ABC三边AB、 BC、CA的
9、中点，求证：DEFDEF 【举一反三举一反三 2-3】 （2019 北京中考）已知AOB30，H为射线OA上一定点，OH+1，P为射线OB上 一点，M为线段OH上一动点，连接PM，满足OMP为钝角，以点P为中心，将线段PM顺时针旋转 150， 得到线段PN，连接ON （1）依题意补全图 1； （2）求证：OMPOPN； （3）点M关于点H的对称点为Q，连接QP写出一个OP的值，使得对于任意的点M总有ONQP，并证明 5 【举一反三举一反三 2-4】 （2019 湖北黄石中考）如图，在ABC中，BAC90，E为边BC上的点，且ABAE， D为线段BE的中点，过点E作EFAE，过点A作AFBC，且
10、AF、EF相交于点F （1）求证：CBAD； （2）求证：ACEF 【举一反三举一反三 2-5】 （2019广州）如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，DEFE，FCAB，求证：ADE CFE 【考点【考点 3 3 直角三角形及勾股定理】直角三角形及勾股定理】 【解题技巧】1.勾股定理公式a 2+b2c2 的变形有：a ，b及c 2.由于a 2+b2c2a2，所以 ca，同理cb，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边 3.勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形必须满足较小两边平方的 和等于最大边的平方才能做出判断， 运用勾股定理的逆定理解决问题的实质
11、就是判断一个角是不是直角 然 后进一步结合其他已知条件来解决问题 注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和 与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是 【例 3】 （2019 河北唐山中考模拟）如图，在RtABC 中，ABAC，A90，D 为 BC 上任意一点，DF 6 AB 于点 F，DEAC 于点 E，M 为 BC 的中点，连接 EM，FM，给出以下五个结论：AFCE；AEBF； EFM 是等腰直角三角形；S四边形 AEMF1 2S ABC；EFBMMC.当点 D 在 BC 上运动时(点 D 不与 B，C 重合)， 上
12、述结论中始终正确的有( ) A2 个 B3 个 C4 个 D5 个 【举一反三举一反三 3-1】（2019 江苏南京中考） 如图， 在ABC中，BC的垂直平分线MN交AB于点D，CD平分ACB 若 AD2，BD3，则AC的长 【举一反三举一反三 3-2】 （2019 甘肃中考）如图，在矩形ABCD中，AB10，AD6，E为BC上一点，把CDE沿DE 折叠，使点C落在AB边上的F处，则CE的长为 【举一反三举一反三 3-3】 （2019广州）如图，等边ABC中，AB6，点D在BC上，BD4，点E为边AC上一动点 （不与点C重合） ，CDE关于DE的轴对称图形为FDE （1）当点F在AC上时，求证
13、：DFAB； （2）设ACD的面积为S1，ABF的面积为S2，记SS1S2，S是否存在最大值？若存在，求出S的最大 值；若不存在，请说明理由； （3）当B，F，E三点共线时求AE的长 7 【考点【考点 4 4 等腰三角形及线段的垂直平分线】 【解题技巧】1.等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合在等腰；底边上的 高；底边上的中线；顶角平分线以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另 外两个元素为结论 2.等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有 性质即：两个锐角都是 45，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线
14、合一，等腰直角三角形斜边上 的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均为 45，高又垂直于 斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等） ； 3.若设等腰直角三角形内切圆的半径r1，则外接圆的半径R+1，所以r：R1：+1 4.等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质为 证明线段、角相等提供了便利条件同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质， 解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用 等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有 30角的直角三 角形、连
15、接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等 等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一般三角 形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个 60的角 判定 【例 4】 （2019兰州）在ABC中，ABAC，A40，则B 【举一反三举一反三 4-1】 （2019台湾）如图，ABC中，ACBCAB若1、2 分别为ABC、ACB的外角， 则下列角度关系何者正确（ ） A12 B12 CA+2180 DA+1180 8 【举一反三举一反三 4-2】 （2019 新疆中考）如图，在ABC中，ABAC4，将AB
16、C绕点A顺时针旋转 30，得 到ACD，延长AD交BC的延长线于点E，则DE的长为 【举一反三举一反三 4-3】 （2019 黑龙江哈尔滨中考） （2019哈尔滨）如图，在四边形ABCD中，ABAD，BCDC， A60，点E为AD边上一点，连接BD、CE，CE与BD交于点F，且CEAB，若AB8，CE6，则BC的 长为 【举一反三举一反三 4-4】 （2019 浙江杭州中考）如图，在ABC中，ACABBC （1）已知线段AB的垂直平分线与BC边交于点P，连接AP，求证：APC2B （2） 以点B为圆心， 线段AB的长为半径画弧， 与BC边交于点Q， 连接AQ 若AQC3B， 求B的度数 9 三
17、、 【达标测试】 （一）选择题（一）选择题 1.（2019 浙江杭州中考）在ABC中，若一个内角等于另外两个内角的差，则（ ） A必有一个内角等于 30 B必有一个内角等于 45 C必有一个内角等于 60 D必有一个内角等于 90 2.（2019青岛）如图，BD是ABC的角平分线，AEBD，垂足为F若ABC35，C50，则CDE 的度数为（ ） A35 B40 C45 D50 3.（2019广州）如图，矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF分别交BC，AD于点E，F，若BE3，AF 5，则AC的长为（ ） A4 B4 C10 D8 4.（2019 河北石家庄中考模拟）如图，在四边形 ABC
18、D 中，ADBC，AB 与 DC 不平行，C90，E 为 CD 中点，FAEDAE，点 F 在直线 BC 上，则AEF 的度数是（ ） A80 B90 C45 D100 5.（2019 山东青岛中考模拟）如图，在ABC 中，ABAC，D，E 是ABC 内的两点，AD 平分BAC，EBC E60，若 BE6 cm，DE2 cm，则 BC_cm. 10 A2cm B4 cm C6 cm D8 cm 6.（2019 河南开封中考模拟）如图，CE 是ABC 的外角ACD 的平分线，若B35，ACE60，则 A( ) A35 B95 C85 D75 7.（2019 河北沧州中考模拟）小红家的阳台上放置了
19、一个晒衣架，如图 1，图 2 是晒衣架的侧面示意图， 立杆AB、CD相交于点O，B、D两点在地面上，经测量得到ABCD136cm，OAOC51cm，OEOF34cm， 现将晒衣架完全稳固张开， 扣链EF成一条线段， 且EF32cm， 垂挂在衣架上的连衣裙总长度小于( )cm 时，连衣裙才不会拖在地面上？ A120 B102 C68 D136 8.（2019 重庆中考模拟）如图，在ABC 中，ACB90，ACBC，E 为 AC 边的中点，过点 A 作 ADAB 交 BE 的延长线于点 D.CG 平分ACB 交 BD 于点 G，F 为 AB 边上一点，连接 CF，且ACFCBG.下面答案 不正确的
20、是( ) AAFCG BCF2DE CCFDE DCFBG （二）（二）填空题填空题 1. （2019 江苏南京中考） 在ABC中，AB4， C60， AB， 则BC的长的取值范围是 11 2.（2019 江西中考）如图，在ABC中，点D是BC上的点，BADABC40，将ABD沿着AD翻折得 到AED，则CDE 3.（2019 黑龙江哈尔滨中考） （2019哈尔滨）在ABC中，A50，B30，点D在AB边上，连接 CD，若ACD为直角三角形，则BCD的度数为 度 4.（2019威海）如图，在四边形ABCD中，ABCD，连接AC，BD若ACB90，ACBC，ABBD，则 ADC 5.（2019成
21、都）如图，在ABC中，ABAC，点D，E都在边BC上，BADCAE，若BD9，则CE的长 为 6.（2019南通）如图，ABC中，ABBC，ABC90，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AECF， 若BAE25，则ACF 度 7.（2019 山东德州中考模拟）如图，在四边形 ABCD 中，ABBC，AB5，BC12，AD9，CD5 10，那 么四边形 ABCD 的面积是 12 8.（2019广州）如图，正方形ABCD的边长为a，点E在边AB上运动（不与点A，B重合） ，DAM45， 点F在射线AM上，且AFBE，CF与AD相交于点G，连接EC，EF，EG，则下列结论： ECF45；AEG的
22、周长为（1+）a；BE 2+DG2EG2；EAF 的面积的最大值a 2 其中正确的结论是 （填写所有正确结论的序号） （三）（三）解答题解答题 1.（2019 辽宁大连中考）如图，点E，F在BC上，BECF，ABDC，BC，求证：AFDE 2.（2019 山西中考）已知：如图，点B，D在线段AE上，ADBE，ACEF，CF求证：BCDF 3.（2019 江苏南京中考）如图，D是ABC的边AB的中点，DEBC，CEAB，AC与DE相交于点F求证： ADFCEF 4.（2019 湖北孝感中考）如图，已知CD90，BC与AD交于点E，ACBD，求证：AEBE 5.（2019 福建中考）如图，点E、F
23、分别是矩形ABCD的边AB、CD上的一点，且DFBE求证：AFCE 13 6.（2019 安徽中考）如图，点E在ABCD内部，AFBE，DFCE （1）求证：BCEADF； （2）设ABCD的面积为S，四边形AEDF的面积为T，求的值 7.（2019 甘肃中考）如图，在正方形ABCD中，点E是BC的中点，连接DE，过点A作AGED交DE于点F， 交CD于点G （1）证明：ADGDCE； （2）连接BF，证明：ABFB 8.（2019 青海中考）如图，在ABC中，BAC90，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AFBC 交BE的延长线于点F，连接CF （1）求证：AEFDEB； （2）证明四边形ADCF是菱形 9.（2019新疆）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是CD中点，连接OE过点C作CF BD交OE的延长线于点F，连接DF 求证： （1）ODEFCE； （2）四边形OCFD是矩形 14 10.（2019哈尔滨）已知：在矩形ABCD中，BD是对角线，AEBD于点E，CFBD于点F （1）如图 1，求证：AECF； （2）如图 2，当ADB30时，连接AF、CE，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图 2 中四个三 角形，使写出的每个三角形的面积都等于矩形ABCD面积的