1、 1 第第 2222 讲讲 图形的变换图形的变换 一、考点知识梳理一、考点知识梳理 【考点【考点 1 1 图形的平移】图形的平移】 1.定义：在平面内，一个图形由一个位置沿某个方向移动到另一个位置，这样的图形运动叫做平移平移 不改变图形的形状和大小 2.三大要素：一是平移的起点，二是平移的方向，三是平移的距离 3.性质：平移前后，对应线段平行且相等、对应角相等；各对应点所连接的线段平行(或在同一条直线上) 且相等；平移前后的图形全等 4作图步骤： (1)根据题意，确定平移的方向和平移的距离； (2)找出原图形的关键点； (3)按平移方向和平移距离、平移各个关键点，得到各关键点的对应点； (4)
2、按原图形依次连接对应点，得到平移后的图形 【考点【考点 2 2 图形的折叠和轴对称】图形的折叠和轴对称】 1. 轴对称图形的定义：如果一个图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形 就叫轴对称图形，这条直线叫做对称轴 2.轴对称的定义：如果两个图形对折后，这两个图形能够完全重合，那么我们就说这两个图形成轴对称， 这条直线叫做对称轴 3.轴对称的性质：对应线段相等 对应角相等 对应点所连的线段被对称轴垂直平分 4.轴对称图形与轴对称的区别 (1)轴对称图形是一个具有特殊形状的图形，只对一个图形而言；对称轴不 一定只有一条 （2）轴对称是指两个图形的位置关系，必须涉及两个图形
3、；只有一条对称轴 5.轴对称图形与轴对称的关系 (1)沿对称轴对折，两部分重合；(2)如果把轴对称图形沿对称轴分成“两个 图形”，那么这“两个图形”就关于这条直线成轴对称 (1)沿对称轴翻折，两个图形重合；(2)如果把两个成轴对称的图形拼在一起，看成一个整体，那么它就是 一个轴对称图形 6.翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换 7.折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应 边和对应角相等 【考点【考点 3 3 图形的旋转和中心对称】图形的旋转和中心对称】 1.中心对称图形的定义： 如果一个图形绕某一点旋转 180后能与它自身重合，我们就把这
4、个图形叫做中 心对称图形，这个点叫做它的对称中心 2.中心对称 2 （1）定义：如果一个图形绕某点旋转 180后与另一个图形重合，我们就把这两个图形叫做成中心对称 （2）性质：对应点连线被对称中心平分；对应线段相等；对应角相等 3.中心对称图形与中心对称的区别：中心对称图形是指具有某种特性的一个图形 中心对称是指两个图形的 关系 4.中心对称图形与中心对称的联系：把中心对称图形的两个部分看成“两个图形”，则这“两个图形”成 中心对称；把成中心对称的两个图形看成一个“整体”，则“整体”成为中心对称图形 5.图形的旋转 （1）定义：在平面内，一个图形绕一个定点沿某个方向(顺时针或逆时针)转过一个角
5、度，这样的图形运动 叫旋转这个定点叫做旋转中心，转过的这个角叫做旋转角 （2）三大要素：旋转中心、旋转方向和_旋转角度_ （3）性质：对应点到旋转中心的距离相等；每对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前后 的图形全等 6.作图步骤： (1)根据题意，确定旋转中心、旋转方向及旋转角； (2)找出原图形的关键点； (3)连接关键点与旋转中心，按旋转方向与旋转角将它们旋转，得到各关键点的对应点； (4)按原图形依次连接对应点，得到旋转后的图形 二、考点分析 【考点【考点 1 1 图形的平移】图形的平移】 【解题技巧】 （1）平移变换与坐标变化 向右平移a个单位，坐标P（x，y）P（x+a
6、，y） 向左平移a个单位，坐标P（x，y）P（xa，y） 向上平移b个单位，坐标P（x，y）P（x，y+b） 向下平移b个单位，坐标P（x，y）P（x，yb） （2）在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是 把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的 新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度 （即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加， 下移减 ） 【例 1】 （2019 辽宁大连中考）在平面直角坐标系中，将点P（3，1）向下平移 2 个单位长度，得到的点P 的坐标为（ ） A （3，
7、1） B （3，3） C （1，1） D （5，1） 【举一反三举一反三1-1】 （2019 江苏徐州中考）已知二次函数的图象经过点P（2，2） ，顶点为O（0，0）将该图 3 象向右平移，当它再次经过点P时，所得抛物线的函数表达式为 【举一反三举一反三1-2】（2019广西） 如图， 在平面直角坐标系中， 已知ABC的三个顶点坐标分别是A（2， 1） ， B（1，2） ，C（3，3） （1）将ABC向上平移 4 个单位长度得到A1B1C1，请画出A1B1C1； （2）请画出与ABC关于y轴对称的A2B2C2； （3）请写出A1、A2的坐标 【举一反三举一反三1-3】 （2019 安徽中考）如
8、图，在边长为 1 个单位长度的小正方形组成的 1212 的网格中，给 出了以格点（网格线的交点）为端点的线段AB （1）将线段AB向右平移 5 个单位，再向上平移 3 个单位得到线段CD，请画出线段CD （2）以线段CD为一边，作一个菱形CDEF，且点E，F也为格点 （作出一个菱形即可） 【考点【考点 2 2 图形的折叠和轴对称】图形的折叠和轴对称】 【解题技巧】 凡是在几何图形中出现“折叠”这个字眼时，第一反应即存在一组全等图形，其次找出与要求几何量相关 的条件量主要存在一下几种情况; 1与三角形结合： (1)若涉及直角，则优先考虑直角三角形的性质(勾股定理及斜边上的中线等于斜边的一半)，若
9、为含特殊角 的直角三角形，则应利用其边角关系计算； (2)若涉及两边(角)相等，则利用等腰三角形的相关性质计算，若存在 60角，则利用等边三角形性质进行 4 相关计算，一般会作出高线构造特殊角的直角三角形进行求解； (3)若含有中位线，则需利用中位线的位置及数量关系进行量的代换 2与四边形结合： (1)与平行四边形、矩形、菱形、正方形结合，往往会利用其特殊性质求解； (2)若为一般的四边形，则可通过构造特殊的三角形或四边形求解 首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件解题时，我们常常设要求的线段长为x， 然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角
10、三角形，运用勾股定 理列出方程求出答案我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数 【例 2】 （2019 北京中考）下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是（ ） A B C D 【举一反三举一反三2-1】 （2019 湖北黄石中考）如图，矩形ABCD中，AC与BD相交于点E，AD：AB：1，将 ABD沿BD折叠，点A的对应点为F，连接AF交BC于点G，且BG2，在AD边上有一点H，使得BH+EH的 值最小，此时（ ） A B C D 【举一反三举一反三2-2】 （2019 江苏徐州中考）下图均由正六边形与两条对角线所组成，其中不是轴对称图形的 是（ ） A B C D 【举一反三举一反三
11、2-3】 （2019兰州） 如图， 边长为的正方形ABCD的对角线AC与BD交于点O， 将正方形ABCD 沿直线DF折叠，点C落在对角线BD上的点E处，折痕DF交AC于点M，则OM（ ） 5 A B C1 D1 【举一反三举一反三2-4】 （2019 吉林中考）如图，在四边形ABCD中，AB10，BDAD若将BCD沿BD折叠，点 C与边AB的中点E恰好重合，则四边形BCDE的周长为 【考点【考点 3 3 图形的旋转和中心对称】图形的旋转和中心对称】 【解题技巧】1.常见的中心对称图形：平行四边形、矩形、菱形、正方形、正六边形、圆等 坐标系中的旋转问题： 2.关于原点对称的点的坐标的应用其基础知
12、识为：点P(x，y)关于原点对称点的坐标为(x，y)，在具 体问题中一般根据坐标特点构建方程组来求解，常用到的关系式：点P(a，b)，P1(m，n)关于原点对称，则 有 am0， bn0. 3坐标系内的旋转作图问题与一般的旋转作图类似，其不同点在于若是作关于原点的中心对称图形，可 以根据点的坐标规律，直接在坐标系内找到对应点的坐标，描点后连线 4.旋转图形的作法： 根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的 边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形;旋转作图有自己独特的特点，决定 图形位置的因素较多，旋转角度、旋转方向、旋
13、转中心，任意不同，位置就不同，但得到的图形全等 【例 3】 （2019 甘肃中考）下列四个图案中，是中心对称图形的是（ ） A B C D 【举一反三举一反三3-1】 （2019 河南中考）如图，在OAB中，顶点O（0，0） ，A（3，4） ，B（3，4） ，将OAB 与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转， 每次旋转 90， 则第 70 次旋转结束时， 点D的坐标为 （ ） 6 A （10，3） B （3，10） C （10，3） D （3，10） 【举一反三举一反三3-2】 （2019 湖北黄石中考）如图，在平面直角坐标系中，边长为 2 的正方形ABCD的边AB在 x轴上，AB边的中点
14、是坐标原点O，将正方形绕点C按逆时针方向旋转 90后，点B的对应点B的坐标是 （ ） A （1，2） B （1，4） C （3，2） D （1，0） 【举一反三举一反三3-3】 （2019武汉）问题背景：如图 1，将ABC绕点A逆时针旋转 60得到ADE，DE与BC 交于点P，可推出结论：PA+PCPE 问题解决：如图 2，在MNG中，MN6，M75，MG点O是MNG内一点，则点O到MNG三 个顶点的距离和的最小值是 【举一反三举一反三3-4】 （2019 海南中考）如图，将 RtABC的斜边AB绕点A顺时针旋转 （090） 得到AE，直角边AC绕点A逆时针旋转 （090）得到AF，连结EF若
15、AB3，AC2，且 + B，则EF 7 【举一反三举一反三3-5】 （2019 福建中考）在 RtABC中，ABC90，ACB30，将ABC绕点A顺时针 旋转一定的角度 得到DEC，点A、B的对应点分别是D、E （1）当点E恰好在AC上时，如图 1，求ADE的大小； （2）若 60时，点F是边AC中点，如图 2，求证：四边形BEDF是平行四边形 三、 【达标测试】 （一）选择题（一）选择题 1.（2019 福建中考）下列图形中，一定既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A等边三角形 B直角三角形 C平行四边形 D正方形 2.（2019 广东中考）下列四个银行标志中，既是中心对称图形，又是轴
16、对称图形的是（ ） A B C D 3.（2019 湖北黄石中考）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A B C D 4.（2019 吉林中考）把图中的交通标志图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则这个旋转角度至 少为（ ） 8 A30 B90 C120 D180 5.（2019 江苏南京中考）如图，ABC是由ABC经过平移得到的，ABC还可以看作是ABC经过怎 样的图形变化得到？下列结论：1 次旋转；1 次旋转和 1 次轴对称；2 次旋转；2 次轴对称其中 所有正确结论的序号是（ ） A B C D 6.（2019 辽宁大连中考）下列所述图形中，既是轴对称图形又是中心
17、对称图形的是（ ） A等腰三角形 B等边三角形 C菱形 D平行四边形 7. （2019 辽宁大连中考） 如图， 将矩形纸片ABCD折叠， 使点C与点A重合， 折痕为EF， 若AB4，BC8 则 DF的长为（ ） A2 B4 C3 D2 8.（2019 天津中考）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形下面 4 个汉字中，可以看作是轴对称图形 的是（ ） A B C D 9.（2019 云南中考）下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A B C D 9 10.（2019 重庆中考）如图，在ABC中，D是AC边上的中点，连结BD，把BDC沿BD翻折，得到BDC， DC与AB交于点E，连结
18、AC，若ADAC2，BD3，则点D到BC的距离为（ ） A B C D （二）（二）填空题填空题 1.（2019 甘肃中考）如图，每一图中有若干个大小不同的菱形，第 1 幅图中有 1 个菱形，第 2 幅图中有 3 个菱形，第 3 幅图中有 5 个菱形，如果第n幅图中有 2019 个菱形，则n 2.（2019 陕西中考）如图，在正方形ABCD中，AB8，AC与BD交于点O，N是AO的中点，点M在BC边上， 且BM6P为对角线BD上一点，则PMPN的最大值为 3.（2019 上海中考）如图，在正方形ABCD中，E是边AD的中点将ABE沿直线BE翻折，点A落在点F 处，联结DF，那么EDF的正切值是
19、 4.（2019 天津中考）如图，正方形纸片ABCD的边长为 12，E是边CD上一点，连接AE、折叠该纸片，使点 A落在AE上的G点， 并使折痕经过点B， 得到折痕BF， 点F在AD上， 若DE5， 则GE的长为 10 5.（2019 浙江杭州中考）如图，把某矩形纸片ABCD沿EF，GH折叠（点E，H在AD边上，点F，G在BC边 上） ， 使点B和点C落在AD边上同一点P处，A点的对称点为A点，D点的对称点为D点， 若FPG90， AEP的面积为 4，DPH的面积为 1，则矩形ABCD的面积等于 6.（2019青海）如图，在直角坐标系中，已知点A（3，2） ，将ABO绕点O逆时针方向旋转 18
20、0后得到 CDO，则点C的坐标是 7.（2019济南）如图，在矩形纸片ABCD中，将AB沿BM翻折，使点A落在BC上的点N处，BM为折痕，连 接MN；再将CD沿CE翻折，使点D恰好落在MN上的点F处，CE为折痕，连接EF并延长交BM于点P，若 AD8，AB5，则线段PE的长等于 8.（2019深圳）如图，在正方形ABCD中，BE1，将BC沿CE翻折，使B点对应点刚好落在对角线AC上， 将AD沿AF翻折，使D点对应点刚好落在对角线AC上，求EF 11 （三）（三）解答题解答题 1.（2019 辽宁大连中考）把函数C1：yax 22ax3a（a0）的图象绕点 P（m，0）旋转 180，得到新 函数
21、C2的图象，我们称C2是C1关于点P的相关函数C2的图象的对称轴与x轴交点坐标为（t，0） （1）填空：t的值为 （用含m的代数式表示） （2）若a1，当xt时，函数C1的最大值为y1，最小值为y2，且y1y21，求C2的解析式； （3）当m0 时，C2的图象与x轴相交于A，B两点（点A在点B的右侧） 与y轴相交于点D把线段AD 原点O逆时针旋转 90，得到它的对应线段AD，若线AD与C2的图象有公共点，结合函数图象，求 a的取值范围 2.（2019 山西中考）综合与实践 动手操作： 第一步：如图 1，正方形纸片ABCD沿对角线AC所在的直线折叠，展开铺平在沿过点C的直线折叠，使点 B，点D都
22、落在对角线AC上此时，点B与点D重合，记为点N，且点E，点N，点F三点在同一条直线上， 折痕分别为CE，CF如图 2 第二步：再沿AC所在的直线折叠，ACE与ACF重合，得到图 3 第三步：在图 3 的基础上继续折叠，使点C与点F重合，如图 4，展开铺平，连接EF，FG，GM，ME如图 5， 图中的虚线为折痕 问题解决： （1）在图 5 中，BEC的度数是 ，的值是 （2）在图 5 中，请判断四边形EMGF的形状，并说明理由； （3）在不增加字母的条件下，请你以图中 5 中的字母表示的点为顶点，动手画出一个菱形（正方形除外） ， 并写出这个菱形： 12 3.（2019济南）如图 1，点A（0，
23、8） 、点B（2，a）在直线y2x+b上，反比例函数y（x0）的 图象经过点B （1）求a和k的值； （2）将线段AB向右平移m个单位长度（m0） ，得到对应线段CD，连接AC、BD 如图 2，当m3 时，过D作DFx轴于点F，交反比例函数图象于点E，求的值； 在线段AB运动过程中，连接BC，若BCD是以BC为腰的等腰三形，求所有满足条件的m的值 4.（2019济南）小圆同学对图形旋转前后的线段之间、角之间的关系进行了拓展探究 （一）猜测探究 在ABC中，ABAC，M是平面内任意一点，将线段AM绕点A按顺时针方向旋转与BAC相等的角度，得到 线段AN，连接NB （1）如图 1，若M是线段BC上
24、的任意一点，请直接写出NAB与MAC的数量关系是 ， NB与MC的数量关系是 ； 13 （2）如图 2，点E是AB延长线上点，若M是CBE内部射线BD上任意一点，连接MC， （1）中结论是否仍 然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由 （二）拓展应用 如图 3，在A1B1C1中，A1B18，A1B1C160，B1A1C175，P是B1C1上的任意点，连接A1P，将A1P 绕点A1按顺时针方向旋转 75，得到线段A1Q，连接B1Q求线段B1Q长度的最小值 5.（2019沈阳）思维启迪： （1）如图 1，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小亮想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，聪 明
25、的小亮想出一个办法：先在地上取一个可以直接到达B点的点C，连接BC，取BC的中点P（点P可以直 接到达A点） ，利用工具过点C作CDAB交AP的延长线于点D，此时测得CD200 米，那么A，B间的距离 是 米 思维探索： （2）在ABC和ADE中，ACBC，AEDE，且AEAC，ACBAED90，将ADE绕点A顺时针方 向旋转， 把点E在AC边上时ADE的位置作为起始位置 （此时点B和点D位于AC的两侧） ， 设旋转角为 ， 连接BD，点P是线段BD的中点，连接PC，PE 如图 2，当ADE在起始位置时，猜想：PC与PE的数量关系和位置关系分别是 ； 如图 3，当 90时，点D落在AB边上，请
26、判断PC与PE的数量关系和位置关系，并证明你的结论； 当 150时，若BC3，DEl，请直接写出PC 2的值 6.（2019宁夏）将直角三角板ABC按如图 1 放置，直角顶点C与坐标原点重合，直角边AC、BC分别与x 轴和y轴重合，其中ABC30将此三角板沿y轴向下平移，当点B平移到原点O时运动停止设平移 的距离为m，平移过程中三角板落在第一象限部分的面积为s，s关于m的函数图象（如图 2 所示）与m轴 相交于点P（，0） ，与s轴相交于点Q （1）试确定三角板ABC的面积； （2）求平移前AB边所在直线的解析式； （3）求s关于m的函数关系式，并写出Q点的坐标 14 7. （2019成都）
27、如图， 在边长为1的菱形ABCD中， ABC60， 将ABD沿射线BD的方向平移得到ABD， 分别连接AC，AD，BC，求AC+BC的最小值 8.（2019济南）如图 1，抛物线C：yax 2+bx 经过点A（4，0） 、B（1，3）两点，G是其顶点，将抛 物线C绕点O旋转 180，得到新的抛物线C （1）求抛物线C的函数解析式及顶点G的坐标； （2）如图 2，直线l：ykx经过点A，D是抛物线C上的一点，设D点的横坐标为m（m2） ，连接 DO并延长，交抛物线C于点E，交直线l于点M，若DE2EM，求m的值； （3） 如图 3， 在 （2） 的条件下， 连接AG、AB， 在直线DE下方的抛物线C上是否存在点P， 使得DEPGAB？ 若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由