1、 1 第第 1212 讲讲 反比例函数及其应用反比例函数及其应用 一、考点知识梳理 【考点【考点 1 1 反比例函数的图像及性质】反比例函数的图像及性质】 1.反比例函数的概念：1 1一般地，如果变量 y 与变量 x 之间的函数关系可以表示成 yk x(k 是常数，且 k 0)的形式，则称 y 是 x 的反比例函数，其中 x 是自变量，y 是函数，自变量 x 的取值范围是不等于 0 的一 切实数。 2.函数图像的性质： 对于反比例函数 yk x(k0)， k0 时， 反比例函数图像经过第一、 三象限(x， y 同号)， 在每个象限内，y 随 x 的增大而减小，关于直线 yx 对称；k0 时，反
2、比例函数图像经过第二、四象限 (x，y 异号)，在每个象限内，y 随 x 的增大而增大关于直线 yx 对称。 【考点【考点 2 2 反比例函数的实际应用】反比例函数的实际应用】 1.反比例函数表达式的确定的步骤： (1)设所求的反比例函数为 yk x(k0)； (2)根据已知条件列出含 k 的方程； (3)由代入法求待定系数 k 的值； (4)把 k 代入函数表达式 yk x中 2.求表达式的两种途径： (1)根据问题中两个变量间的数量关系直接写出； (2)在已知两个变量 x，y 具有反比例关系 yk x(x0)的前提下，根据一对 x，y 的值，列出一个关于 k 的方 程，求得 k 的值，确定
3、出函数的表达式 【考点【考点 3 3 反比例函数的图像与几何图形的关系】反比例函数的图像与几何图形的关系】 反比例函数与几何图形的面积问题，是最常见的数形结合问题，首先要根据题意画出草图，结合图形分析 其中的几何图形的特点，再求出面积等相关数据 【考点【考点 4 4 反比例函数的图像与其它函数的关系】反比例函数的图像与其它函数的关系】 反比例函数与一次函数、反比例函数与二次函数是近几年中考的常考题型，需要把每个函数的性质了解清 楚，点的坐标适合每个函数的表达式，然后再结合图像特点，总结规律。 二、考点分析 【考点【考点 1 1 反比例函数的图像及性质】反比例函数的图像及性质】 2 【解题技巧】
4、1.对于反比例函数 yk x(k 是常数，且 k0)k 的几何意义： 设 P(x，y)是反比例函数 yk x图像上任一点，过点 P 作 PMx 轴于 M，PNy 轴于 N，则 S 矩形 PNOMPMPN |y|x|xy|k|. 2.利用图象解决问题，从图上获取有用的信息，是解题的关键所在已知点在图象上，那么点一定满足这 个函数解析式，反过来如果这点满足函数的解析式，那么这个点也一定在函数图象上还能利用图象直接 比较函数值或是自变量的大小将数形结合在一起，是分析解决问题的一种好方法 【例 1】 （2019 安徽中考）已知点A（1，3）关于x轴的对称点A在反比例函数y的图象上，则实数 k的值为（
5、） A3 B C3 D 【举一反三举一反三 1-1】 （2019 海南中考）如果反比例函数y（a是常数）的图象在第一、三象限，那么a 的取值范围是（ ） Aa0 Ba0 Ca2 Da2 【举一反三举一反三 1-2】 （2019 江苏徐州中考）若A（x1，y1） 、B（x2，y2）都在函数y的图象上，且x10 x2，则（ ） Ay1y2 By1y2 Cy1y2 Dy1y2 【举一反三举一反三 1-3】 （2019河北石家庄中考模拟）定义新运算：ab=例如：45= ，4（ 5）= 则函数 y=2x（x0）的图象大致是（ ） 3 A B C D 【举一反三举一反三 1-4】 （2019 吉林中考）已
6、知y是x的反比例函数，并且当x2 时，y6 （1）求y关于x的函数解析式； （2）当x4 时，求y的值 【考点【考点 2 2 反比例函数的实际应用】反比例函数的实际应用】 【解题技巧】利用反比例函数解决实际问题，首先是建立函数模型一般地，建立函数模型有两种思路： 一是通过问题提供的信息， 知道变量之间的函数关系， 在这种情况下， 可先设出函数的表达式 yk x(k0)， 再由已知条件确定表达式中 k 的取值即可；二是问题本身的条件中不确定变量间是什么关系，此时要通过 分析找出变量的关系并确定函数表达式 【例 2】 （2019 湖北孝感中考）公元前 3 世纪，古希腊科学家阿基米德发现了杠杆平衡，
7、后来人们把它归纳 为“杠杆原理” ，即：阻力阻力臂动力动力臂小伟欲用撬棍撬动一块石头，已知阻力和阻力臂分别 是 1200N和 0.5m，则动力F（单位：N）关于动力臂l（单位：m）的函数解析式正确的是（ ） AF BF CF DF 【举一反三举一反三 2-1】 （2019 浙江温州中考）验光师测得一组关于近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米） 的对应数据如下表，根据表中数据，可得y关于x的函数表达式为（ ） 近视眼镜的度 数y（度） 200 250 400 500 1000 镜片焦距x （米） 0.50 0.40 0.25 0.20 0.10 Ay By Cy Dy 【举一反三举一反三 2-
8、2】 （2019 河北中考）长为 300m的春游队伍，以v（m/s）的速度向东行进，如图 1 和图 2， 当队伍排尾行进到位置O时，在排尾处的甲有一物品要送到排头，送到后立即返回排尾，甲的往返速度均 为 2v（m/s） ，当甲返回排尾后，他及队伍均停止行进设排尾从位置O开始行进的时间为t（s） ，排头与O 的距离为S头（m） 4 （1）当v2 时，解答： 求S头与t的函数关系式（不写t的取值范围） ； 当甲赶到排头位置时，求S头的值；在甲从排头返回到排尾过程中，设甲与位置O的距离为S甲（m） ，求S 甲与t的函数关系式（不写t的取值范围） （2）设甲这次往返队伍的总时间为T（s） ，求T与v的
9、函数关系式（不写v的取值范围） ，并写出队伍在此 过程中行进的路程 【举一反三举一反三 2-3】 （2019 浙江杭州中考）方方驾驶小汽车匀速地从A地行驶到B地，行驶里程为 480 千米， 设小汽车的行驶时间为t（单位：小时） ，行驶速度为v（单位：千米/小时） ，且全程速度限定为不超过 120 千米/小时 （1）求v关于t的函数表达式； （2）方方上午 8 点驾驶小汽车从A地出发 方方需在当天 12 点 48 分至 14 点（含 12 点 48 分和 14 点）间到达B地，求小汽车行驶速度v的范围 方方能否在当天 11 点 30 分前到达B地？说明理由 【考点【考点 3 3 反比例函数的图像
10、与几何图形的关系】反比例函数的图像与几何图形的关系】 【解题技巧】1.常见的有（1）双曲线与三角形的关系（2）双曲线与四边形的关系（3）双曲线与圆的关系 （4）两条双曲线之间的关系 2.在平面直角坐标系中与几何图形相联系时，通常要构造一个三角形，以坐标轴上的边为底，相对顶点的 横坐标(或纵坐标)的绝对值为高；如果没有坐标轴上的边，则用坐标轴将其分割后求解 【例 3】 （2019 重庆中考）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，D分别在x轴、y轴上，对角 线BDx轴，反比例函数y（k0，x0）的图象经过矩形对角线的交点E若点A（2，0） ，D（0，4） ， 则k的值为（ ） A16 B
11、20 C32 D40 【举一反三举一反三 3-1】 （2019河北沧州中考模拟）如图，AOB为等边三角形，点B的坐标为（2，0） ，过点C 5 （2，0）作直线l交AO于点D，交AB于E，点E在反比例函数0）的图象上，若ADE和DCO （即图中两阴影部分）的面积相等，则k值为（ ） A B C D 【举一反三举一反三 3-2】 （2019深圳）如图，在 RtABC中，ABC90，C（0，3） ，CD3AD，点A在反比例 函数y图象上，且y轴平分ACB，求k 【举一反三举一反三 3-3】 （2019 河北孝感中考）如图，双曲线y（x0）经过矩形OABC的顶点B，双曲线y （x0）交AB，BC于点
12、E、F，且与矩形的对角线OB交于点D，连接EF若OD：OB2：3，则BEF 的面积为 【举一反三举一反三 3-4】 （2019辽宁大连中考模拟）如图，点P在双曲线y（x0）上，以P为圆心的P与 两坐标轴都相切，点E为y轴负半轴上的一点，过点P作PFPE交x轴于点F，若OFOE6，则k的值 是 6 【举一反三举一反三 3-5】 （2019兰州）如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y（k0）的图象经过等 边三角形BOC的顶点B，OC2，点A在反比例函数图象上，连接AC，OA （1）求反比例函数y（k0）的表达式； （2）若四边形ACBO的面积是 3，求点A的坐标 【考点【考点 4 4 反比例
13、函数的图像与其它函数的关系】反比例函数的图像与其它函数的关系】 【解题技巧】反比例函数与一次函数图像的综合应用的四个方面： 探求同一坐标系下两函数的图像常用排除法； 探求两函数表达式常利用两函数的图像的交点坐标； 探求两图像中点的坐标常利用解方程(组)来解决，这也是求两函数图像交点坐标的常用方法； 两个函数值比较大小的方法是以交点为界限，观察交点左、右两边区域的两个函数图像上、下位置关系， 从而写出函数值的大小 反比例函数与一次函数的交点问题 （1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有 交点，方程组无解，则两者无交点 （2）判断正比例函数yk
14、1x和反比例函数y在同一直角坐标系中的交点个数可总结为： 当k1与k2同号时，正比例函数yk1x和反比例函数y在同一直角坐标系中有 2 个交点； 当k1与k2异号时，正比例函数yk1x和反比例函数y在同一直角坐标系中有 0 个交点 另外常见的还有反比例函数与二次函数、两个反比例函数之间的关系。 7 【例 4】（2019日照） 在同一平面直角坐标系中， 函数ykx+1 （k0） 和y （k0） 的图象大致是 （ ） A B C D 【举一反三举一反三 4-1】 （2019深圳） 已知yax 2+bx+c （a0） 的图象如图， 则yax+b和y的图象为 （ ） A B C D 【举一反三举一反三
15、 4-2】 （2017 河北中考）如图，若抛物线yx 2+3 与 x轴围成封闭区域（边界除外）内整点（点 的横、纵坐标都是整数）的个数为k，则反比例函数y（x0）的图象是（ ） 8 A B C D 【举一反三举一反三 4-3】 （2019 山东淄博中考模拟）已知点A，B分别在反比例函数y （x0） ，y（x0） 的图象上且OAOB，则 tanB为（ ） A B C D 【举一反三举一反三 4-4】 （2018 河北中考）如图是轮滑场地的截面示意图，平台AB距x轴（水平）18 米，与y轴 交于点B，与滑道y（x1）交于点A，且AB1 米运动员（看成点）在BA方向获得速度v米/秒后， 从A处向右下
16、飞向滑道，点M是下落路线的某位置忽略空气阻力，实验表明：M，A的竖直距离h（米） 与飞出时间t（秒）的平方成正比，且t1 时h5，M，A的水平距离是vt米 （1）求k，并用t表示h； （2）设v5用t表示点M的横坐标x和纵坐标y，并求y与x的关系式（不写x的取值范围） ，及y13 时运动员与正下方滑道的竖直距离； （3）若运动员甲、乙同时从A处飞出，速度分别是 5 米/秒、v乙米/秒当甲距x轴 1.8 米，且乙位于甲右 侧超过 4.5 米的位置时，直接写出t的值及v乙的范围 9 【举一反三举一反三 4-5】 （2019 广东中考）如图，一次函数ykx+b的图象与反比例函数y的图象相交于A、 B
17、两点，其中点A的坐标为（1，4） ，点B的坐标为（4，n） （1）根据图象，直接写出满足kx+b的x的取值范围； （2）求这两个函数的表达式； （3）点P在线段AB上，且SAOP：SBOP1：2，求点P的坐标 三、 【达标测试】 （一）选择题（一）选择题 1.（2019 云南中考）若点（3，5）在反比例函数y（k0）的图象上，则k（ ） A9 B25 C15 D30 2.（2019 天津中考）若点A（3，y1） ，B（2，y2） ，C（1，y3）都在反比例函数y的图象上，则 y1，y2，y3的大小关系是（ ） Ay2y1y3 By3y1y2 Cy1y2y3 Dy3y2y1 3.（2019长春）
18、如图，在平面直角坐标系中，RtABC的顶点A、C的坐标分别是（0，3） 、 （3、0） ACB 90，AC2BC，则函数y（k0，x0）的图象经过点B，则k的值为（ ） 10 A B9 C D 4.（2019广西）若点（1，y1） ， （2，y2） ， （3，y3）在反比例函数y（k0）的图象上，则y1，y2，y3 的大小关系是（ ） Ay1y2y3 By3y2y1 Cy1y3y2 Dy2y3y1 5.（2019哈尔滨）点（1，4）在反比例函数y的图象上，则下列各点在此函数图象上的是（ ） A （4，1） B （，1） C （4，1） D （，2） 6.（2019武汉）已知反比例函数y的图象分
19、别位于第二、第四象限，A（x1，y1） 、B（x2，y2）两点在该 图象上，下列命题：过点A作ACx轴，C为垂足，连接OA若ACO的面积为 3，则k6；若x1 0 x2，则y1y2；若x1+x20，则y1+y20，其中真命题个数是（ ） A0 B1 C2 D3 7.（2019广州）若点A（1，y1） ，B（2，y2） ，C（3，y3）在反比例函数y的图象上，则y1，y2，y3的 大小关系是（ ） Ay3y2y1 By2y1y3 Cy1y3y2 Dy1y2y3 8.（2019 河北中考）如图，函数y的图象所在坐标系的原点是（ ） A点M B点N C点P D点Q （二）（二）填空题填空题 1.（2
20、019 陕西中考）如图，D是矩形AOBC的对称中心，A（0，4） ，B（6，0） ，若一个反比例函数的图象经 11 过点D，交AC于点M，则点M的坐标为 2.（2019南通）如图，过点C（3，4）的直线y2x+b交x轴于点A，ABC90，ABCB，曲线y（x 0）过点B，将点A沿y轴正方向平移a个单位长度恰好落在该曲线上，则a的值为 3.（2019日照）如图，已知动点A在函数的图象上，ABx轴于点B，ACy轴于点C，延长 CA交以A为圆心AB长为半径的圆弧于点E，延长BA交以A为圆心AC长为半径的圆弧于点F，直线EF分别 交x轴、y轴于点M、N，当NF4EM时，图中阴影部分的面积等于 4.（2
21、019沈阳）如图，正比例函数y1k1x的图象与反比例函数y2（x0）的图象相交于点A（， 2） ，点B是反比例函数图象上一点，它的横坐标是 3，连接OB，AB，则AOB的面积是 12 5.（2019新疆）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知正比例函数y2x与反比例函数y的图象交 于A（a，4） ，B两点，过原点O的另一条直线l与双曲线y交于P，Q两点（P点在第二象限） ，若以 点A，B，P，Q为顶点的四边形面积为 24，则点P的坐标是 6. （2019兰州） 如图， 矩形OABC的顶点B在反比例函数y （k0） 的图象上，S矩形OABC6， 则k _ 7.如图，在平面直角坐标系中，点A，B在反
22、比例函数y（k0）的图象上运动，且始终保持线段AB 4的长度不变M为线段AB的中点， 连接OM 则线段OM长度的最小值是 （用含k的代数式表示） 8.（2019 山东济南中考模拟）已知：如图，一次函数yax+b（a0）的图象与反比例函数y（k0） 的图象交于点A，与x交于点B，ACx轴于点C，连结OA （1）若a，b2，且OA平分BAC时，k ； （2）当a1，b2，k8 时，点P（t，0）是x轴上的一个动点，如果APOBAO，则t的取值范围 是 13 （三）（三）解答题解答题 1.（2019成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数yx+5 和y2x的图象相交于点A，反比 例函数y的图象
23、经过点A （1）求反比例函数的表达式； （2） 设一次函数yx+5 的图象与反比例函数y的图象的另一个交点为B， 连接OB， 求ABO的面积 2.（2019广州）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点P（1，2） ，ABx 轴于点E，正比例函数ymx的图象与反比例函数y的图象相交于A，P两点 （1）求m，n的值与点A的坐标； （2）求证：CPDAEO； （3）求 sinCDB的值 3.（2019威海） （1）阅读理解 如图，点A，B在反比例函数y的图象上，连接AB，取线段AB的中点C分别过点A，C，B作x轴的垂 线，垂足为E，F，G，CF交反比例函数y的图象于点D
24、点E，F，G的横坐标分别为n1，n，n+1（n 14 1） 小红通过观察反比例函数y的图象，并运用几何知识得出结论： AE+BG2CF，CFDF 由此得出一个关于，之间数量关系的命题： 若n1，则 _ （2）证明命题 小东认为：可以通过“若ab0，则ab”的思路证明上述命题 小晴认为：可以通过“若a0，b0，且ab1，则ab”的思路证明上述命题 请你选择一种方法证明（1）中的命题 4.（2019呼和浩特）如图，在平面直角坐标系中，矩形OCAB（OCOB）的对角线长为 5，周长为 14若反 比例函数y的图象经过矩形顶点A （1）求反比例函数解析式；若点（a，y1）和（a+1，y2）在反比例函数的
25、图象上，试比较y1与y2的大小； （2）若一次函数ykx+b的图象过点A并与x轴交于点（1，0） ，求出一次函数解析式，并直接写出kx+b 0 成立时，对应x的取值范围 5.（2019 辽宁大连中考）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（3，2）在反比例函数y（x0）的 图象上，点B在OA的廷长线上，BCx轴，垂足为C，BC与反比例函数的图象相交于点D，连接AC，AD （1）求该反比例函数的解析式； （2）若SACD，设点C的坐标为（a，0） ，求线段BD的长 15 6.（2019 江苏徐州中考）如图，平面直角坐标系中，O为原点，点A、B分别在y轴、x轴的正半轴上 AOB的两条外角平分线交于点
26、P，P在反比例函数y的图象上PA的延长线交x轴于点C，PB的延长线 交y轴于点D，连接CD （1）求P的度数及点P的坐标； （2）求OCD的面积； （3）AOB的面积是否存在最大值？若存在，求出最大面积；若不存在，请说明理由 7.（2019 河南中考）模具厂计划生产面积为 4，周长为m的矩形模具对于m的取值范围，小亮已经能用 “代数”的方法解决，现在他又尝试从“图形”的角度进行探究，过程如下： （1）建立函数模型 设矩形相邻两边的长分别为x，y，由矩形的面积为 4，得xy4，即y；由周长为m，得 2（x+y）m， 即yx+满足要求的（x，y）应是两个函数图象在第 象限内交点的坐标 （2）画出函
27、数图象 函数y（x0）的图象如图所示，而函数yx+的图象可由直线yx平移得到请在同一直角 坐标系中直接画出直线yx （3）平移直线yx，观察函数图象 当直线平移到与函数y（x0）的图象有唯一交点（2，2）时，周长m的值为 ； 在直线平移过程中，交点个数还有哪些情况？请写出交点个数及对应的周长m的取值范围 （4）得出结论 16 若能生产出面积为 4 的矩形模具，则周长m的取值范围为 8.（2016 河北中考）如图，抛物线L：y（xt） （xt+4） （常数t0）与x轴从左到右的交点为B， A，过线段OA的中点M作MPx轴，交双曲线y（k0，x0）于点P，且OAMP12， （1）求k值； （2）当t1 时，求AB的长，并求直线MP与L对称轴之间的距离； （3）把L在直线MP左侧部分的图象（含与直线MP的交点）记为G，用t表示图象G最高点的坐标； （4）设L与双曲线有个交点的横坐标为x0，且满足 4x06，通过L位置随t变化的过程，直接写出t的 取值范围