1、 1 第第 0707 讲讲 分式方程及其应用分式方程及其应用 一、考点知识梳理 【考点【考点 1 1 分式方程的概念及解分式方程】分式方程的概念及解分式方程】 1 1分母中含有未知数的方程叫做分式方程 2 2解法步骤： (1)去分母：将方程两边都乘以最简公分母，把它化为整式方程； (2)解这个整式方程； 3 3检验方法： (1)利用方程的解的概念进行检验； (2)将解得的整式方程的根代入最简公分母，看计算结果是否为 0，不为 0 就是原方程的根；若为 0，则为 增根，必须舍去； (3)增根：当分母的值为 0 时，分式方程无解，这样的根叫做分式方程的增根 【考点【考点 2 2 分式方程的应用】分
2、式方程的应用】 列分式方程解应用题的六个步骤： (1)审：弄清题目中涉及的已知量和未知量以及量与量之间的等量关系； (2)设：设未知数，根据等量关系用含未知数的代数式表示其他未知量； (3)列：根据等量关系，列出方程； (4)解：求出所列方程的解； (5)验：双检验检验是否是分式方程的解；检验解是否符合题意； (6)答：写出答案 二、考点分析 【考点【考点 1 1 分式方程的概念及解分式方程】分式方程的概念及解分式方程】 【解题技巧】找最简公分母的方法： (1)取各分式的分母中各项系数的最小公倍数； (2)各分式的分母中所有字母或因式都要取到； (3)利用字母(或因式)的幂取指数最大的； (4
3、)所得的系数的最小公倍数与各个字母(或因式)的最高次幂的积即为最简公分母 【例 1】 （2019哈尔滨）方程的解为（ ） Ax Bx Cx Dx 【举一反三举一反三 1-1】 （2019 湖北黄石中考）分式方程：1 的解为 2 【举一反三举一反三 1-2】 （2019 河北中考）已知方程 1 x11 的解是 k，求关于 x 的方程 x 2kx0 的解 【举一反三举一反三 1-3】 （2019 云南中考）为进一步营造扫黑除恶专项斗争的浓厚宣传氛围，推进平安校园建设， 甲、乙两所学校各租用一辆大巴车组织部分师生，分别从距目的地 240 千米和 270 千米的两地同时出发， 前往“研学教育”基地开展
4、扫黑除恶教育活动已知乙校师生所乘大巴车的平均速度是甲校师生所乘大巴 车的平均度的 1.5 倍，甲校师生比乙校师生晚 1 小时到达目的地，分别求甲、乙两所学校师生所乘大巴车 的平均速度 【举一反三举一反三 1-4】 （2019广西）某校喜迎中华人民共和国成立 70 周年，将举行以“歌唱祖国”为主题的歌 咏比赛，需要在文具店购买国旗图案贴纸和小红旗发给学生做演出道具已知毎袋贴纸有 50 张，毎袋小红 旗有 20 面，贴纸和小红旗需整袋购买，每袋贴纸价格比每袋小红旗价格少 5 元，用 150 元购买贴纸所得袋 数与用 200 元购买小红旗所得袋数相同 （1）求每袋国旗图案贴纸和每袋小红旗的价格各是多
5、少元？ （2）如果给每位演出学生分发国旗图案贴纸 2 张，小红旗 1 面设购买国旗图案贴纸a袋（a为正整数） ， 则购买小红旗多少袋能恰好配套？请用含a的代数式表示 （3）在文具店累计购物超过 800 元后，超出 800 元的部分可享受 8 折优惠学校按（2）中的配套方案购 买，共支付w元，求w关于a的函数关系式现全校有 1200 名学生参加演出，需要购买国旗图案贴纸和小 红旗各多少袋？所需总费用多少元？ 【考点【考点 2 2 分式方程的应用】分式方程的应用】 【解题技巧】 （一）常见关系： 分式方程的应用题主要涉及工作量问题、行程问题等，每个问题中涉及三个量的关系 3 如：工作时间 工作量
6、工作效率，时间 路程 速度 （二）列分式方程解应用题时，要验根作答，不但要检验是否为方程的增根，还要检验是否符合题意，即 “双重验根” 【例 2】 （2019济南）为提高学生的阅读兴趣，某学校建立了共享书架，并购买了一批书籍其中购买A种 图书花费了 3000 元，购买B种图书花费了 1600 元，A种图书的单价是B种图书的 1.5 倍，购买A种图书的 数量比B种图书多 20 本 （1）求A和B两种图书的单价； （2）书店在“世界读书日”进行打折促销活动，所有图书都按 8 折销售学校当天购买了A种图书 20 本和B 种图书 25 本，共花费多少元？ 【举一反三举一反三 2-1】 （2019 河北
7、石家庄中考模拟）方程 xx 2 3 - xx 2 1 =0 的解为 x= 【举一反三举一反三 2-2】 （2019 辽宁大连中考模拟）使得关于x的分式方程+2 的解为正数，且关于 x的不等式组有解的所有整数a的和为（ ） A2 B3 C5 D6 【举一反三举一反三 2-3】 （2019威海）列方程解应用题： 小明和小刚约定周末到某体育公园打羽毛球他们两家到体育公园的距离分别是 1200 米，3000 米，小刚骑 自行车的速度是小明步行速度的 3 倍，若二人同时到达，则小明需提前 4 分钟出发，求小明和小刚两人的 速度 三、【达标测试】 （一）选择题（一）选择题 1.（2019 河北衡水中考模拟
8、）关于x的方程有增根，则m的值（ ） 4 A2 B2 C1 D1 2.（2019 辽宁锦州中考模拟）如果关于x的不等式组的解集为x1，且关于x的分式方程 +3 有非负整数解，则符合条件的m的所有值的和是（ ） A5 B6 C8 D9 3.（2019 黑龙江哈尔滨中考模拟）小王步行的速度比跑步慢 50%，跑步的速度骑车慢 50%如果他骑车从A 城去B城，再步行返回A城共需 2 小时，问小王跑步从A城到B城需要（ ）分钟 A45 B48 C56 D60 4.（2019 山东淄博中考模拟）一位少年短跑选手，顺风跑 90 米用了 10 秒钟在同样的风速下，逆风跑 70 米，也用了 10 秒钟问：在无风
9、的时候，他跑 100 米要用（ ）秒 A12.5 B10 C D 5.（2019 河南郑州中考模拟）一个人步行从A地出发，匀速向B地走去同时另一个人骑摩托车从B地出 发，匀速向A地驶去二人在途中相遇，骑车者立即把步行者送到B地，再向A地驶去，这样他在途中所 用的时间是他从B地直接驶往A地原计划所用时间的 2.5 倍，那么骑摩托车者的速度与步行者速度的比是 （ ） A2：1 B3：1 C4：1 D5：1 6.（2019 河北唐山中考模拟）一轮船顺流航行 100 千米与逆流航行 64 千米所用的时间的和等于逆流航行 80 千米，再顺流航行返回所用的时间的和，则该船在静水中的速度与水流速度之比为（
10、） A9：1 B5：4 C4：1 D5：1 7.(2008,山西省太原市)帮助灾区人民重建家园，某校学生积极捐款已知第一次捐款总额为 9000 元，第 二次捐款总额为 12000 元， 两次人均捐款额相等， 但第二次捐款人数比第一次多 50 人 该校第二次捐款 （ ） 人 A240 B220 C200 D180 8. （2018，四川成都模拟）今年以来受各种因素的影响，猪肉的市场价格仍在不断上升据调查，今年 5 月份一级猪肉的价格是 1 月份猪肉价格的 1.25 倍小英同学的妈妈同样用 20 元钱在 5 月份购得一级猪肉 比在 1 月份购得的一级猪肉少 0.4 斤，那么今年 1 月份的一级猪肉
11、每斤是（ ）元？ A10 B15 C20 D25 （二）（二）填空题填空题 5 1. （2019 湖北孝感中考）方程的解为 2.（2019 辽宁沈阳中考模拟）已知：，则（yx）的值是 3.（2019 山东东营中考模拟）已知x3 是方程1 的一个根，则a ； 已知x1 是方程的一个增根，则k 4.（2019 山东烟台中考模拟）当 时，分式的值为 1 5.（2019 河北张家口中考模拟）若关于x的方程2的解为正数，则m的取值范围 是 6.（2019 河北沧州中考模拟）已知关于x的分式方程2+无解，则k的值为 7.（2019 福建福州中考模拟）某厂接到加工 720 件衣服的订单，预计每天做 48 件
12、，正好按时完成，后来 客户要求提前 5 天交货，为保证按时完成任务，则每天应多做 件 8.（2019 河北邯郸中考模拟）小明在解方程后得到，他不解方程： 发现，请你以解方程为例（要写过程） ，并猜出方程 的解是 （其中a、b、c、d为常数，且a+db+c） （三）（三）解答题解答题 1.（2019 上海中考）解方程：1 2.（2019 山东威海中考模拟）阅读下列材料： ， 6 解答下列问题： （1）在和式中，第 6 项为 ，第n项是 （2）上述求和的想法是通过逆用 法则，将和式中的各分数转化为两个数之差，使得除首末两项外 的中间各项可以 ，从而达到求和的目的 （3）受此启发，请你解下面的方程：
13、 3.（2019日照） “一带一路”战略给沿线国家和地区带来很大的经济效益，某企业的产品对沿线地区实行 优惠，决定在原定价基础上每件降价 40 元，这样按原定价需花费 5000 元购买的产品，现在只花费了 4000 元，求每件产品的实际定价是多少元？ 4.（2019 宁夏中考）解方程：+1 5.（2019河北张家口模拟）在 2018 年“双十一”期间，某快递公司计划租用甲、乙两种车辆快递货物， 从货物量来计算：若租用两种车辆合运，10 天可以完成任务；若单独租用乙种车辆，完成任务的天数是单 独租用甲种车辆完成任务天数的 2 倍 （1）求甲、乙两种车辆单独完成任务分别需要多少天？ （2）已知租用
14、甲、乙两种车辆合运需租金 65000 元，甲种车辆每天的租金比乙种车辆每天的租金多 1500 7 元，试问：租甲和乙两种车辆、单独租甲种车辆、单独租乙种车辆这三种租车方案中，哪一种租金最少？ 请说明理由 6. （2019青岛）甲、乙两人加工同一种零件，甲每天加工的数量是乙每天加工数量的 1.5 倍，两人各加 工 600 个这种零件，甲比乙少用 5 天 （1）求甲、乙两人每天各加工多少个这种零件？ （2）已知甲、乙两人加工这种零件每天的加工费分别是 150 元和 120 元，现有 3000 个这种零件的加工任 务，甲单独加工一段时间后另有安排，剩余任务由乙单独完成如果总加工费不超过 7800 元
15、，那么甲至少 加工了多少天？ 7.（2019南通）列方程解应用题： 中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂” 为传承优秀传统文化，某校购进西游记和三国演义 若干套，其中每套西游记的价格比每套三国演义的价格多 40 元，用 3200 元购买三国演义的 套数是用 2400 元购买西游记套数的 2 倍，求每套三国演义的价格 8. （2019台湾） 市面上贩售的防晒产品标有防晒指数SPF， 而其对抗紫外线的防护率算法为： 防护率 100%，其中SPF1 请回答下列问题： （1）厂商宣称开发出防护率 90%的产品，请问该产品的SPF应标示为多少？ （2）某防晒产品文宣内容如图所示 8 请根据SPF与防护率的转换公式，判断此文宣内容是否合理，并详细解释或完整写出你的理由