1、 1 第第 2 讲讲 代数式及整式的运算代数式及整式的运算 一、考点知识梳理一、考点知识梳理 【考点【考点 1 代数式定义及列代数式】代数式定义及列代数式】 1.代数式：用运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方)把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式 2代数式的值：用数值代替代数式里的字母，按照代数式里的运算关系，计算后所得的结果叫做代数式的 值 【考点【考点 2 幂的运算】幂的运算】 1.同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加 amanam+n（m，n 是正整数） 2.幂的乘方法则：底数不变，指数相乘 （am）namn（m，n 是正整数） 3.积的乘方法则：把每一个因式分别乘
2、方，再把所得的幂相乘 （ab）nanbn（n 是正整数） 4.同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减 am anam n（a0，m，n 是正整数，mn） 【考点【考点 3 合并同类项】合并同类项】 所含字母相同并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项所有的常数项都是同类项. 把多项式中同类项合成一项，叫做合并同类项 合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变 【考点【考点 4 整式的乘法】整式的乘法】 单项式乘以多项式 m(ab)ambm 多项式乘以多项式(ab)(mn)amanbmbn 二、考点分析二、考点分析 【考点【考点 1 代数式定义及列代数式】代数
3、式定义及列代数式】 【解题技巧】(1)在建立数学模型解决问题时，常需先把问题中的一些数量关系用代数式表示出来，也就是 列出代数式； (2)列代数式的关键是正确分析数量关系，掌握文字语言(和、差、积、商、乘以、除以等)在数学语言中的含 义； (3)注意书写规则：a b 通常写作 a b 或 ab；1 a 通常写作1 a；数字通常写在字母前面，如 a 3 通常写作 3a； 2 带分数一般写成假分数，如 11 5a 通常写作 6 5a. 【例 1】 （2019.海南中考）当 m1 时，代数式 2m+3 的值是（ ） A1 B0 C1 D2 【举一反三举一反三 1-1】 （2019.云南中考）按一定规
4、律排列的单项式：x3，x5，x7，x9，x11，第 n 个单项 式是（ ） A （1）n 1x2n1 B （1）nx2n 1 C （1）n 1x2n+1 D （1）nx2n+1 【举一反三举一反三 1-2】 （2019台湾）图 1 的直角柱由 2 个正三角形底面和 3 个矩形侧面组成，其中正三角形面积 为a， 矩形面积为b 若将4个图1的直角柱紧密堆叠成图2的直角柱， 则图2中直角柱的表面积为何？ （ ） A4a+2b B4a+4b C8a+6b D8a+12b 【举一反三举一反三 1-3】 （2019台湾）小宜跟同学在某餐厅吃饭，如图为此餐厅的菜单若他们所点的餐点总共为 10 份意大利面，x
5、 杯饮料，y 份沙拉，则他们点了几份 A 餐？（ ） A10 x B10y C10 x+y D10 xy 【考点【考点 2 幂的运算】幂的运算】 【解题技巧】1.在应用同底数幂的乘法法则时，应注意：底数必须相同，如 23与 25， （a2b2）3 与（a2b2） 4， （xy）2与（xy）3等；a 可以是单项式，也可以是多项式；按照运算性质，只有相乘时才是底数 不变，指数相加 2.概括整合：同底数幂的乘法，是学习整式乘除运算的基础，是学好整式运算的关键在运用时要抓住“同 底数”这一关键点，同时注意，有的底数可能并不相同，这时可以适当变形为同底数幂 3.注意：因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍
6、适用；运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计 算出最后的结果 3 【例 2】（2019广东中考）下列计算正确的是（ ） Ab6+b3b2 Bb3b3b9 Ca2+a22a2 D （a3）3a6 【举一反三举一反三 2-1】（2019甘肃中考）计算（2a）2a4的结果是（ ） A4a6 B4a6 C2a6 D4a8 【举一反三举一反三 2-2】（2019海南中考）下列运算正确的是（ ） Aaa2a3 Ba6 a2a3 C2a2a22 D （3a2）26a4 【举一反三举一反三 2-3】（2019江苏南京中考）计算（a2b）3的结果是（ ） Aa2b3 Ba5b3 Ca6b Da6b3 【举一反
7、三举一反三 2-4】（2019山东济南中考模拟）在平面直角坐标系中，任意两点 A（a，b） ，B（c，d） ， 定义一种运算： A*B （3c）， 若 A （9， 1） ， 且 A*B （12， 2） ， 则点 B 的坐标是_ 【考点【考点 3 合并同类项】合并同类项】 【解题技巧】合并同类项时要注意以下三点： （1） 要掌握同类项的概念， 会辨别同类项， 并准确地掌握判断同类项的两条标准： 带有相同系数的代数项； 字母和字母指数； （2）明确合并同类项的含义是把多项式中的同类项合并成一项，经过合并同类项，式的项数会减少，达到 化简多项式的目的； （3）“合并”是指同类项的系数的相加，并把得到
8、的结果作为新的系数，要保持同类项的字母和字母的指数 不变 （4）只要不再有同类项，就是结果(可能是单项式，也可能是多项式) 【例 3】 （2019吉林长春中考）先化简，再求值： （2a+1）24a（a1） ，其中 a 【举一反三举一反三 3-1】 （2019山东威海中考）下列运算正确的是（ ） A （a2）3a5 B3a2+a3a3 Ca5 a2a3（a0） Da（a+1）a2+1 【举一反三举一反三 3-2】 （2019辽宁沈阳中考）下列运算正确的是（ ） A2m3+3m25m5 Bm3 m2m Cm（m2）3m6 D （mn） （nm）n2m2 【举一反三举一反三 3-3】 （2019河北
9、石家庄中考模拟）先化简，再求值： （5a2+2a+1）4（38a+2a2）+（3a2a） ，其中 4 【举一反三举一反三 3-4】 （2019山东青岛中考模拟）化简求值：已知整式 2x2+axy+6 与整式 2bx23x+5y1 的差 不含 x 和 x2项，试求 4（a2+2b3a2b）+3a22（4b3+2a2b）的值 【考点【考点 4 整式的乘法】整式的乘法】 【解题技巧】多项式的乘法要注意多项式中每一项不要漏乘，还要注意运算符号，遵循去括号的法则。 【例 4】 （2019河北邯郸中考模拟）阅读：已知二次三项式 x24x+m 有一个因式是 x+3，求另一个因式及 m 的值 解“设另一个因式
10、为 x+n，得 x24x+m（x+3） （x+n）则 x24x+mx2+（n+3）x+3n 解得另一个因式为 x7，m 的值为21 问题：仿照上述方法解答下列问题： （1）已知二次三项式 2x2+3xk 有一个因式是 2x5，求另一个因式及 k 的值 （2）已知 2x213x+p 有一个因式 x3，则 P 【举一反三举一反三 4-1】（2019辽宁大连中考模拟）计算 2x（3x2+1），正确的结果是（ ） A5x3+2x B6x3+1 C6x3+2x D6x2+2x 【举一反三举一反三 4-2】(2016 河北中考)若 mn=m+3，则 2mn+3m-5nm+10=_. 【举一反三举一反三 4
11、-3】 （2019台湾中考）计算（2x3） （3x+4）的结果，与下列哪一个式子相同？（ ） A7x+4 B7x12 C6x212 D6x2x12 【举一反三举一反三 4-4】（2019辽宁葫芦岛中考模拟） 已知 y = 3 1 x 1,那么 3 1 x2 2xy + 3y2 2 的值是 . 三、 【达标测试达标测试】 一.选择题 1.(2019 河北石家庄中考模拟)如图，淇淇和嘉嘉做数学游戏：假设嘉嘉抽到牌的点数为 x，淇淇猜中的结果 应为 y，则 y( ) A2 B3 C6 Dx3 2(2019 山东青岛中考模拟)若 x1，则|x4|( ) 5 A3 B3 C5 D5 3.(2017 重庆
12、中考)若 x1 3，y4，则代数式 3xy3 的值为( ) A6 B0 C2 D6 4.（2019湖南长沙中考模拟）已知 x-2y=3，则代数式 6-2x+4y 的值为（ ） A0 B-1 C-3 D3 5.（2019江苏徐州中考）下列计算正确的是（ ） Aa2+a2a4 B （a+b）2a2+b2 C （a3）3a9 Da3a2a6 6.（2019深圳）下列运算正确的是（ ） Aa2+a2a4 Ba3a4a12 C （a3）4a12 D （ab）2ab2 7.（2019江苏徐州中考）（2019青岛）计算（2m）2（mm2+3m3）的结果（ ） A8m5 B8m5 C8m6 D4m4+12m5
13、 8.（2019新疆中考）下列计算正确的是（ ） Aa2a3a6 B （2ab）24a2b2 Cx2+3x24x4 D6a6 2a23a3 9.（2019成都）下列计算正确的是（ ） A5ab3a2b B （3a2b）26a4b2 C （a1）2a21 D2a2b b2a2 10.（2019南通中考）下列计算，正确的是（ ） Aa2a3a6 B2a2aa Ca6 a2a3 D （a2）3a6 二、填空题二、填空题 1.（2018，盐城市中考模拟）如图，正方形卡片 A 类、B 类和长方形卡片 C 类各若干张，如果要拼一个长 为(a2b)、宽为(ab)的大长方形，则需要 C 类卡片 张 2. （2
14、018，山东省济南中考模拟）将一个正三角形纸片剪成四个全等的小正三角形，再将其中的一个按同 样的方法剪成四个更小的正三角形，如此继续下去，结果如下表： 所剪次数 1 2 3 4 n a b b b a aC BA 第 1 题图 6 正三角形个数 4 7 10 13 an 则 an （用含 n 的代数式表示） 3.（2019，河北石家庄中考模拟）下图是一个简单的数值运算程序，当输入 x 的值为 3 时，则输出的数值 为 4.（2019，山东省德州中考模拟）有一组按规律排列的单项式： 2 a ， 4 a3 ， 6 a5 ， 8 a7 ，第 25 个单项式 是 . 5. （2018，辽宁葫芦岛中考模
15、拟）在图 3 所示的运算流程中，若输出的数 y=3，则输入的数 x= 三三.解答题解答题 1. （2019.河北沧州中考模拟） 一般情况下不成立， 但有些数可以使得它成立， 例如： ab0 我 们称使得成立的一对数 a，b 为“相伴数对”，记为（a，b） （1）若（1，b）是“相伴数对”，求 b 的值； （2）若（m，n）是“相伴数对”，其中 m0，求； （3）若（m，n）是“相伴数对”，求代数式 m4m2（3n1）的值 2.（2018，徐州巿中考模拟）已知 2 31,23.xxx求的值 3.（2018，内江市中考模拟）阅读下列内容后，解答下列各题： 几个不等于 0 的数相乘，积的符号由负因数
16、的个数决定 7 例如：考查代数式(1)(2)xx的值与 0 的大小 当1x时，10 x ，20 x，(1)(2)0 xx 当12x时，10 x ，20 x，(1)(2)0 xx 当2x时，10 x ，20 x，(1)(2)0 xx 综上：当12x时，(1)(2)0 xx 当1x或2x时，(1)(2)0 xx （1） 填写下表： （用“”或“”填入空格处） （2）由上表可知，当x满足 时，(2)(1)(3)(4)0 xxxx； （3）运用你发现的规律，直接写出当x满足 时，(7)(8)(9)0 xxx 3.（2019，河北省沧州中考模拟）下图是某居民小区的一块面积为 4ab 平方米的长方形空地，准备在空地的 四个顶点处修建一个半径为 a 米的扇形花台，在花台内种花，其余部分种草.如果建造花台及种花费用每平 方米需要资金 100 元，种草每平方米需要资金 50 元，那么美化这块空地共需资金多少元？ 4.（2019，海南中考）有 2019 个数排成一行，对于任意相邻的三个数，都有中间的数等于前后两数的和如 果第一个数是 0，第二个数是 1，那么前 6 个数的和是 ，这 2019 个数的和是 2x 21x 13x 34x 4x 2x 1x 3x 4x (2)(1)(3)(4)xxxx 8 5.（2019，吉林中考）先化简，再求值： （a1）2+a（a+2） ，其中 a