1、 1 第第 5 讲讲 二次根式二次根式 一、考点知识梳理 【考点 1 二次根式的概念和性质】 1平方根、算术平方根 若 x2a， 则 x 叫 a 的平方根 当 a0 时， a是 a 的算术平方根 正数 b 的平方根记作 b. a是一个非负数， 只有非负数才有平方根 2立方根及性质 若 x3a，则 x 叫 a 的立方根求一个数的立方根的运算叫开立方；任一实数 a 的立方根记作3a；3a3a， (3a)3a，3a3a 3二次根式的概念 (1)形如 a(a0)的式子叫二次根式，而 a为二次根式的条件是 a0； (2)满足下列两个条件的二次根式叫最简二次根式： 被开方数的因数是整数，因式是整式； 被开
2、方数中不含有开得尽方的因数或因式 4二次根式的性质 (1) ab a b(a0，b0)； a b a b(a0，b0)； (2)( a)2a(a0)； (3) a2|a| a （a0） a （a0）. 【考点 2 二次根式的运算】 二次根式的运算 (1)二次根式的加减： 二次根式相加减， 先把各个二次根式化成最简二次根式， 再把同类二次根式分别合并； (2)二次根式的乘法： a b ab(a0，b0)； (3)二次根式的除法： b a = b a (a0，b0)； (4)二次根式的估值：二次根式的估算，一般采用“夹逼法”确定其值所在范围具体地说，先对二次根式平 方，找出与平方后所得的数相邻的两
3、个能开得尽方的整数，对其进行开方，即可确定这个二次根式在哪两 个整数之间； (5)在二次根式的运算中，实数的运算性质和法则同样适用二次根式的混合运算顺序是：先算乘除，后算 加减，有括号时，先算括号内的(或先去括号) 二、考点分析 2 【考点 1 二次根式的概念和性质】 【解题技巧】 1.判断二次根式有意义的条件： （1）二次根式的概念形如（a0）的式子叫做二次根式 （2）二次根式中被开方数的取值范围二次根式中的被开方数是非负数 2.二次根式的基本性质：0； a0（双重非负性） a （a0） （任何一个非负数都可以写成 一个数的平方的形式） a（a0） （算术平方根的意义） 【例 1】 （201
4、9 甘肃中考）使得式子有意义的 x 的取值范围是（ ） Ax4 Bx4 Cx4 Dx4 【举一反三举一反三 1-1】 （2019广西）若二次根式有意义，则 x 的取值范围是 【举一反三举一反三 1-2】 （2019广州）代数式有意义时，x 应满足的条件是 【举一反三举一反三 1-3】 （2019 台湾中考）若2，3，则 a+b 之值为何？（ ） A13 B17 C24 D40 【举一反三举一反三 1-4】 （2016 河北中考）关于的叙述，错误的是（ ） A是有理数 B面积为 12 的正方形边长是 C2 D在数轴上可以找到表示的点 【举一反三举一反三 1-5】 （2019 山东济南中考模拟）如
5、图，表示 7的点在数轴上表示时，在哪两个字母之间( ) AC 与 D BA 与 B CA 与 C DB 与 C 【考点 2 二次根式的运算】 【解题技巧】 1. 二次根式的化简：利用二次根式的基本性质进行化简；利用积的算术平方根的性质和商的算术平方 根的性质进行化简 2.化简二次根式的步骤：把被开方数分解因式；利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方 的因数（或因式）都开出来；化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根 指数 2 3.二次根式运算的结果可以是数或整式，也可以是最简二次根式，如果二次根式的运算结果不是最简二次根 式，必须化为最简二次根式 2 a 2
6、a 3 【例 2】 （2019 江苏南京中考）计算的结果是 【举一反三举一反三 2-1】计算的结果是 【举一反三举一反三 2-2】 （2019 山西中考）下列二次根式是最简二次根式的是（ ） A B C D 【举一反三举一反三 2-3】 （2019 天津中考）估计的值在（ ） A2 和 3 之间 B3 和 4 之间 C4 和 5 之间 D5 和 6 之间 【举一反三举一反三 2-4】 （2019青岛）计算：（）0 【举一反三举一反三 2-5】 （2019广州中考模拟）如图，每个小正方形的边长为 1，把阴影部分剪下来，用剪下来的 阴影部分拼成一个正方形，那么新正方形的边长是（ ） A 3 B 2
7、 C 5 D 6 三、【达标测试】 （一）选择题（一）选择题 1.（2019 云南中考）要使有意义，则 x 的取值范围为（ ） Ax0 Bx1 Cx0 Dx1 2.（2019 重庆中考）估计（2+6）的值应在（ ） A4 和 5 之间 B5 和 6 之间 C6 和 7 之间 D7 和 8 之间 3.（2019兰州）计算：（ ） A B2 C3 D4 4.（2019 山东青岛中考模拟）若实数 x 满足|x3|+7，化简 2|x+4|的结果是 （ ） A4x+2 B4x2 C2 D2 5.（2019 河北衡水中考模拟）化简a的结果是（ ） 4 A2a B2a C0 D2a 6.（2019 河北沧州
8、中考模拟）若（a+）2与|b1|互为相反数，则的值为（ ） A B+1 C1 D1 7.（2019 山东青岛中考模拟）已知 a 为实数，则代数式的最小值为（ ） A0 B3 C D9 8.（2019 辽宁盘锦中考模拟）方程，当 y2 时，m 的取值范围是（ ） A350 B CO Dm2 （二）填空题（二）填空题 1.（2019 天津中考）计算（+1） （1）的结果等于 2.（2019 上海中考）如果一个正方形的面积是 3，那么它的边长是 3.（2019长春）计算：3 4.（2019 山东枣庄中考模拟）函数 y= 21 1 x x 中,自变量 x 的取值范围是 . 5. （2019 湖南长沙中
9、考模拟）已知a、b为两个连续整数，且a7b，则ba = . 6.（2019 上海中考模拟）方程31x2的根是 7.（2019 上海中考模拟）化简： 32 1 8.（2019 河北沧州中考模拟）在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如，一样的式子， 其实我们还可以将其进一步化简： 以上这种化简的步骤叫做分母有理化还可以用以下方法化简： （1）请用不同的方法化简； 5 （2）化简： （三）（三）解答题解答题 1.（2019 河北石家庄中考模拟）如图，实数a、b在数轴上的位置，化简 222 ()abab 2.（2019 河北唐山中考模拟）先化简,再求值： 2 2 2 3 44 3 2 2 aa a a
10、a aa ，其中22 a 3. （2019 辽宁沈阳中考模拟）计算： cos45 ( 2 1 ) (223)032 12 1 4.（2019 山东淄博中考模拟） （1）已知 a+3 与 2a15 是一个正数的平方根，求 a 的值； （2）已知 x，y 为实数，且 y+4，求的值 5.（2019 湖南长沙中考模拟）阅读材料： 小明在学习二次根式的化简后，遇到了这样一个需要化简的式子：该如何化简呢？思考后，他 发现 3+21+2+（）2（1+）2于是1+善于思考的小明继续 深入探索；当 a+b（m+n）2时（其中 a，b，m，n 均为正整数） ，则 a+bm2+2mn+2n2此 时，am2+2n2
11、，b2mn，于是，m+n请你仿照小明的方法探索并解决下列何题： （1） 设a， b， m， n均为正整数且m+n， 用含m， n的式子分别表示a， b时， 结果a ， b ； （2）利用（1）中的结论，选择一组正整数填空： + ； （3）化简： 6.（2019 河北衡水中考模拟）已知 a、b、c 为ABC 的三边长，化简：+ 7.（2019 河北石家庄中考模拟）已知|2018m|+m，求 m20182的值 8.（2019 河北石家庄中考模拟）在学习了二次根式的相关运算后，我们发现一些含有根号的式子可以表示 成另一个式子的平方，如： 3+22+2+1（）2+2+1（+1）2； 5+22+2+3（）2+2+（）2（+）2 （1）请仿照上面式子的变化过程，把下列各式化成另一个式子的平方的形式： 6 4+2；6+4 （2）若 a+4（m+n）2，且 a，m，n 都是正整数，试求 a 的值