1、 1 第第1818讲讲 圆的基本性质圆的基本性质 一、考点知识梳理一、考点知识梳理 【考点【考点 1 1 圆的有关概念及性质】圆的有关概念及性质】 1.定义：在一个平面内，一条线段绕着它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆 圆是到定点的距离等于定长的所有点组成的图形 2.弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦 3.直径：直径是经过圆心的弦，是圆内最长的弦 4.弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，弧有优弧、半圆、劣弧之分，能够完全重合的弧叫做等弧 5.等圆：能够重合的两个圆叫做等圆 6.同心圆：圆心相同的圆叫做同心圆 7.圆的对称性 圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条经过圆心的直线 圆是中
2、心对称图形，对称中心为圆心 【考点【考点 2 2 三角形的外接圆】三角形的外接圆】 1.不在同一直线上的三个点确定一个圆。 2.三角形的外接圆经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做 三角形的外心，它到三角形的三个顶点的距离相等； 【考点【考点 3 3 垂径定理】垂径定理】 1.垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧 2.推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 【考点【考点 4 4 圆心角、圆周角、弧、弦之间的关系】圆心角、圆周角、弧、弦之间的关系】 1.圆心角、弧、弦之间的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧
3、或两条弦中有一组量相等，那 么它们所对应的其余各组量也分别相等 2.圆周角定义：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角 3.圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等 推论 2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90的圆周角所对的弦是直径 推论 3：圆内接四边形的对角互补 【考点【考点 5 5 正多边形和圆及圆的计算】正多边形和圆及圆的计算】 1.正多边形的外接圆：把一个圆分成n（n是大于 2 的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个 圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆 2.如果正多边形的边数为 n，外接圆半径为 R
4、，那么边长 an2Rsin180 n 2 周长 C2nRsin180 n 边心距 rnRcos180 n 3.正多边形的有关概念 中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心 正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径 中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角 边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距 4.圆的弧长及扇形面积公式：如果圆的半径是 R，弧所对的圆心角度数是 n，那么 弧长公式弧长 lnR 180 扇形面积公式 S扇nR 2 360 1 2lR 二、考点分析 【考点【考点 1 1 圆的有关概念及性质】圆的有关概念及性质】 【解题技巧】1判断点与圆的
5、位置关系时，比较点到圆心的距离与圆的半径即可当点到圆心的距离大于 圆的半径时，点在圆外；当点到圆心的距离等于圆的半径时，点在圆上；当点到圆心的距离小于圆的半径 时，点在圆内反之亦然 2.在解决与弦有关的问题时，作垂直于弦的直径可以构造直角三角形，从而将求解转化成解直角三角形的 问题 【例 1】 （2019 辽宁沈阳中考） （2019沈阳）如图，AB是O的直径，点C和点D是O上位于直径AB两 侧的点，连接AC，AD，BD，CD，若O的半径是 13，BD24，则 sinACD的值是（ ） A B C D 【举一反三举一反三 1-1】 （2019 山东济南中考模拟）RtABC中，C90，以BC为直径
6、的O交AB于E，OD BC交O于D，DE交BC于F，点P为CB延长线上的一点，PE延长交AC于G，PEPF，下列结论： PE为O的切线；G为AC的中点；OGBE；AP 其中正确的有（ ） 3 A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【举一反三举一反三 1-2】 （2019 辽宁盘锦中考模拟）如图，边长为 4 的正方形ABCD内接于点O，点E是上的一 动点（不与A、B重合） ，点F是上的一点，连接OE、OF，分别与AB、BC交于点G，H，且EOF90， 有以下结论： ； OGH是等腰三角形； 四边形OGBH的面积随着点E位置的变化而变化； GBH周长的最小值为 4+ 其中正确的是 （把你认为正确
7、结论的序号都填上） 【举一反三举一反三 1-3】 （2019 河北衡水中考模拟）已知半径为 5 的O1过点O（0，0） ，A（8，0） ，与y轴的正半 轴交于点B，OE为直径，点M为弧OBE上一动点（不与点O、E重合） ，连结MA，作NAMA于点A交ME的 延长线于点N，则线段AN最长为 【考点【考点 2 2 三角形的外接圆】三角形的外接圆】 【解题技巧】“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点 锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在 4 三角形的外部 找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外
8、接圆只有一个，而 一个圆的内接三角形却有无数个 【例 2】（2019 河北张家口中考模拟） 如图， ABC的顶点都在O上， BAO50， 则C的度数为 （ ） A30 B40 C45 D50 【举一反三举一反三 2-1】 （2019 山东烟台中考模拟） 如图， 若ABC内接于半径为 2 的O， 且A60， 连接OB、 OC，则边BC的长为（ ） A B C2 D2 【举一反三举一反三 2-2】 （2019 辽宁大连中考模拟）如图，O为锐角三角形ABC的外心，四边形OCDE为正方形，其 中E点在ABC的外部，判断下列叙述不正确的是（ ） AO是AEB的外心，O不是AED的外心 BO是BEC的外心
9、，O不是BCD的外心 CO是AEC的外心，O不是BCD的外心 DO是ADB的外心，O不是ADC的外心 【举一反三举一反三 2-3】 （2019 安徽中考）如图，ABC内接于O，CAB30，CBA45，CDAB于点D， 若O的半径为 2，则CD的长为 5 【考点【考点 3 3 垂径定理】垂径定理】 【解题技巧】 垂径定理的应用很广泛，常见的有： （1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 （2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题 这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握 【
10、例 3】 （2019 河南开封中考模拟）如图，AB是O的直径，AB10，P是半径OA上的一动点，PCAB交 O于点C，在半径OB上取点Q，使得OQCP，DQAB交O于点D，点C，D位于AB两侧，连接CD交AB 于点F， 点P从点A出发沿AO向终点O运动， 在整个运动过程中， CFP与DFQ的面积和的变化情况是 （ ） A一直减小 B一直不变 C先变大后变小 D先变小后变大 【举一反三举一反三 3-1】 （2019 宁夏中考）如图，AB是O的弦，OCAB，垂足为点C，将劣弧沿弦AB折叠交 于OC的中点D，若AB2，则O的半径为 【举一反三举一反三 3-2】 （2019 广西南宁中考） 九章算术
11、作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著， 与古希腊的几何原本并称现代数学的两大源泉在九章算术中记载有一问题“今有圆材埋在壁中， 不知大小以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如图 所示，已知：锯口深为 1 寸，锯道AB1 尺（1 尺10 寸） ，则该圆材的直径为 寸 6 【举一反三举一反三 3-3】 （2019 安徽中考）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具如图 1，明朝科学家徐光启 在 农政全书 中用图画描绘了筒车的工作原理 如图 2， 筒车盛水桶的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆 已 知圆心在水面上方，且圆被水面截得的弦AB长为 6 米，OAB4
12、1.3，若点C为运行轨道的最高点（C， O的连线垂直于AB） ，求点C到弦AB所在直线的距离 （参考数据：sin41.30.66，cos41.30.75， tan41.30.88） 【考点【考点 4 4 圆心角、圆周角、弧、弦之间的关系】圆心角、圆周角、弧、弦之间的关系】 【解题技巧】1.在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两个圆周角、两条弧有一组量相等，那么它们所对应 的其余各组量也相等 一般辅助线有：连半径、作垂直、构造直径所对的圆周角等 2.正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系 三者关系可理解为：在同圆或等圆中，圆心角相等，所对的弧相等，所对的弦相等，三项“知一推 二” ，一项相等，其余二
13、项皆相等这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原 图形完全重合 3.注意：圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形利用等腰三角形的顶点和底角的关 系进行转化圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”圆心角转化定理成立的条件是“同一 条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条 弧所对的圆周角和圆心角 【例 4】 （2019 甘肃中考） 如图，AB是O的直径， 点C、D是圆上两点， 且AOC126， 则CDB （ ） 7 A54 B64 C27 D37 【举一反三举一反三 4-1】 （2019 福建中考） 如图，PA、PB
14、是O切线，A、B为切点， 点C在O上， 且ACB55， 则APB等于（ ） A55 B70 C110 D125 【举一反三举一反三 4-2】 （2019 吉林中考）如图，在O中，所对的圆周角ACB50，若P为上一点， AOP55，则POB的度数为（ ） A30 B45 C55 D60 【举一反三举一反三 4-3】 （2019 陕西中考）如图，AB是O的直径，EF，EB是O的弦，且EFEB，EF与AB交于 点C，连接OF，若AOF40，则F的度数是（ ） A20 B35 C40 D55 【举一反三举一反三 4-4】 （2019台湾）如图所示A、B、C、D四点在O上的位置，其中180，且， 若阿超
15、在上取一点P，在上取一点Q，使得APQ130，则下列叙述何者正确？（ ） 8 AQ点在上，且 BQ点在上，且 CQ点在上，且 DQ点在上，且 【举一反三举一反三 4-5】 （2019 江苏南京中考）如图，O的弦AB、CD的延长线相交于点P，且ABCD求证： PAPC 【考点【考点 5 5 正多边形和圆及圆的计算】正多边形和圆及圆的计算】 【解题技巧】1.圆内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。 2.牢记圆的有关计算公式，并灵活处理好公式之间的转换，当出现求不规则图形的面积时，注意利用割补 法与等面积变换转化为规则图形，再利用规则图形的公式求解 【例 5】 （2019 宁
16、夏中考） ）如图，正六边形ABCDEF的边长为 2，分别以点A，D为圆心，以AB，DC为半径 作扇形ABF，扇形DCE则图中阴影部分的面积是（ ） A6 B6 C12 D12 【举一反三举一反三 5-1】 （2019成都）如图，正五边形ABCDE内接于O，P为上的一点（点P不与点D重合） ， 则CPD的度数为（ ） 9 A30 B36 C60 D72 【举一反三举一反三5-2】（2019哈尔滨） 一个扇形的弧长是11cm， 半径是18cm， 则此扇形的圆心角是 度 【举一反三举一反三 5-3】 （2019 湖北孝感中考） 刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家， 他在 九章算术 中提出了 “割 圆术”
17、 ，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积如图，若用圆的内接正十二边形的面积S1 来近似估计O的面积S，设O的半径为 1，则SS1 【举一反三举一反三 5-4】 （2019武汉）如图，AB是O的直径，M、N是（异于A、B）上两点，C是上一动点， ACB的角平分线交O于点D，BAC的平分线交CD于点E当点C从点M运动到点N时，则C、E两点的 运动路径长的比是（ ） A B C D 【举一反三举一反三 5-5】 （2019广西）如图，ABC是O的内接三角形，AB为O直径，AB6，AD平分BAC， 交BC于点E，交O于点D，连接BD （1）求证：BADCBD； （2）若AEB125，求的长
18、（结果保留） 三、 【达标测试】 10 （一）选择题（一）选择题 1.（2019兰州）如图，四边形ABCD内接于O，若A40，则C（ ） A110 B120 C135 D140 2.（2019青岛）如图，线段AB经过O的圆心，AC，BD分别与O相切于点C，D若ACBD4，A 45，则的长度为（ ） A B2 C2 D4 3.（2019青海）如图，在扇形AOB中，AC为弦，AOB140，CAO60，OA6，则的长为（ ） A B C2 D2 4.（2019济南）如图，在菱形ABCD中，点E是BC的中点，以C为圆心、CE为半径作弧，交CD于点F， 连接AE、AF若AB6，B60，则阴影部分的面积为
19、（ ） A93 B92 C189 D186 5.（2019 浙江温州中考）若扇形的圆心角为 90，半径为 6，则该扇形的弧长为（ ） A B2 C3 D6 6.（2019 山西中考）如图，在 RtABC中，ABC90，AB2，BC2，以AB的中点O为圆心，OA 11 的长为半径作半圆交AC于点D，则图中阴影部分的面积为（ ） A B+ C2 D4 7.（2019 河北唐山中考模拟）如图，四边形ABCD为菱形，ABBD，点B、C、D、G四个点在同一个圆O 上，连接BG并延长交AD于点F，连接DG并延长交AB于点E，BD与CG交于点H，连接FH，下列结论： AEDF；FHAB；DGHBGE；当CG
20、为O的直径时，DFAF 其中正确结论的个数是（ ） A1 B2 C3 D4 8.（2019 河北秦皇岛中考模拟）如图，在半径为 5 的O内有两条互相垂直的弦AB和CD，AB8，CD8， 垂足为E则 tanOEA的值是（ ） A1 B C D （二）（二）填空题填空题 1.（2019 重庆中考）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，ABC60，AB2，分别以点A、 点C为圆心，以AO的长为半径画弧分别与菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为 （结果 保留） 2，分别以点A、点C为圆心，以AO的长为半径画弧分别与菱形的边相交，则图中阴影部分的面积 为 （结果保留） 12 2. （2019
21、青海） 如图在正方形ABCD中， 点E是以AB为直径的半圆与对角线AC的交点， 若圆的半径等于 1， 则图中阴影部分的面积为 3.（2019 湖北黄石中考） ）如图，RtABC中，A90，CD平分ACB交AB于点D，O是BC上一点，经 过C、D两点的O分别交AC、BC于点E、F，AD，ADC60，则劣弧的长为 4. （2019 河南中考） 如图， 在扇形AOB中， AOB120， 半径OC交弦AB于点D， 且OCOA 若OA2， 则阴影部分的面积为 5.（2019 河南郑州中考模拟）如图，以G（0，1）为圆心，半径为 2 的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交 于C，D两点，点E为O上一动点，CF
22、AE于F，则弦AB的长度为 ；当点E在O的运动过程中， 线段FG的长度的最小值为 6.（2019 四川成都中考模拟）如图，已知A、B、C是O上的三个点，且AB15cm，AC3cm，BOC 13 60 度如果D是线段BC上的点，且点D到直线AC的距离为 2cm，那么BD cm 7.（2019 湖北孝感中考模拟）如图，直线yx+m（m0）与x轴、y轴分别交于点A，B，C是AB的中 点，点D在直线y2 上，以CD为直径的圆与直线AB的另一交点为E，交y轴于点F，G，已知CE+DE 6，FG2，则CD的长是 8.（2019 安徽合肥中考模拟）已知O的直径为 10cm，AB，CD是O的两条弦，ABCD，
23、AB6cm，CD 8cm，则弦AB和CD之间的距离是 cm （三）（三）解答题解答题 1.（2019 北京中考）在平面内，给定不在同一条直线上的点A，B，C，如图所示，点O到点A，B，C的距 离均等于a（a为常数） ，到点O的距离等于a的所有点组成图形G，ABC的平分线交图形G于点D，连接 AD，CD （1）求证：ADCD； （2）过点D作DEBA，垂足为E，作DFBC，垂足为F，延长DF交图形G于点M，连接CM若ADCM， 求直线DE与图形G的公共点个数 2.（2019 河南中考）如图，在ABC中，BABC，ABC90，以AB为直径的半圆O交AC于点D，点E 是上不与点B，D重合的任意一点，
24、连接AE交BD于点F，连接BE并延长交AC于点G （1）求证：ADFBDG； 14 （2）填空： 若AB4，且点E是的中点，则DF的长为 ； 取的中点H，当EAB的度数为 时，四边形OBEH为菱形 3.（2019 湖北孝感中考）如图，点I是ABC的内心，BI的延长线与ABC的外接圆O交于点D，与AC 交于点E，延长CD、BA相交于点F，ADF的平分线交AF于点G （1）求证：DGCA； （2）求证：ADID； （3）若DE4，BE5，求BI的长 4.（2019 北京中考）在ABC中，D，E分别是ABC两边的中点，如果上的所有点都在ABC的内部或 边上，则称为ABC的中内弧例如，图 1 中是AB
25、C的一条中内弧 （1）如图 2，在 RtABC中，ABAC，D，E分别是AB，AC的中点，画出ABC的最长的中内弧， 并直接写出此时的长； （2）在平面直角坐标系中，已知点A（0，2） ，B（0，0） ，C（4t，0） （t0） ，在ABC中，D，E分别是 AB，AC的中点 15 若t，求ABC的中内弧所在圆的圆心P的纵坐标的取值范围； 若在ABC中存在一条中内弧，使得所在圆的圆心P在ABC的内部或边上，直接写出t的取值范 围 5.（2019 陕西中考）问题提出： （1）如图 1，已知ABC，试确定一点D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形，请画出这个 平行四边形； 问题探究： （
26、2）如图 2，在矩形ABCD中，AB4，BC10，若要在该矩形中作出一个面积最大的BPC，且使BPC 90，求满足条件的点P到点A的距离； 问题解决： （3）如图 3，有一座塔A，按规定，要以塔A为对称中心，建一个面积尽可能大的形状为平行四边形的景 区BCDE根据实际情况，要求顶点B是定点，点B到塔A的距离为 50 米，CBE120，那么，是否可以 建一个满足要求的面积最大的平行四边形景区BCDE？若可以， 求出满足要求的平行四边形BCDE的最大面积； 若不可以，请说明理由 （塔A的占地面积忽略不计） 6.（2019 宁夏中考）如图在ABC中，ABBC，以AB为直径作O交AC于点D，连接OD
27、（1）求证：ODBC； （2）过点D作O的切线，交BC于点E，若A30，求的值 7.（2019 吉林长春中考） （2019长春）如图，四边形ABCD是正方形，以边AB为直径作O，点E在BC边 上，连结AE交O于点F，连结BF并延长交CD于点G （1）求证：ABEBCG； （2）若AEB55，OA3，求劣弧的长 （结果保留） 16 8.（2019哈尔滨）已知：MN为O的直径，OE为O的半径，AB、CH是O的两条弦，ABOE于点D，CH MN于点K，连接HN、HE，HE与MN交于点P （1）如图 1，若AB与CH交于点F，求证：HFB2EHN； （2）如图 2，连接ME、OA，OA与ME交于点Q，
28、若OAME，EON4CHN，求证：MPAB； （3）如图 3，在（2）的条件下，连接OC、BC、AH，OC与EH交于点G，AH与MN交于点R，连接RG，若HK： ME2：3，BC，求RG的长 9.（2019威海） （1）方法选择 如图，四边形ABCD是O的内接四边形，连接AC，BD，ABBCAC求证：BDAD+CD 小颖认为可用截长法证明：在DB上截取DMAD，连接AM 小军认为可用补短法证明：延长CD至点N，使得DNAD 请你选择一种方法证明 （2）类比探究 【探究 1】 如图， 四边形ABCD是O的内接四边形， 连接AC，BD，BC是O的直径，ABAC 试用等式表示线段AD， BD，CD之
29、间的数量关系，并证明你的结论 【探究 2】 如图，四边形ABCD是O的内接四边形，连接AC，BD若BC是O的直径，ABC30，则线段AD， BD，CD之间的等量关系式是 _ （3）拓展猜想 如图，四边形ABCD是O的内接四边形，连接AC，BD若BC是O的直径，BC：AC：ABa：b：c，则 17 线段AD，BD，CD之间的等量关系式是 _ 10.（2019浙江温州）如图，在ABC中，BAC90，点E在BC边上，且CACE，过A，C，E三点的 O交AB于另一点F，作直径AD，连结DE并延长交AB于点G，连结CD，CF （1）求证：四边形DCFG是平行四边形 （2）当BE4，CDAB时，求O的直径长