1、 1 第第 3 讲讲 乘法公式和因式分解乘法公式和因式分解 一、考点知识梳理 【考点 1 平方差公式】 两数和与这两数差的积，等于它们的平方差 (ab)(ab)a2b2 【考点 2 完全平方公式】 两数的平方和，加上（或者减去）它们的积的两倍等于它们和（或差）的平方 (a b)2a2 2abb2 【考点 3 因式分解】 1把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式 2分解因式与整式乘法的关系：多项式 因式分解 整式乘法 整式的积 3. 分解因式的基本方法 （1） 提公因式法：mambmcm(abc) （2） 运用公式法： 平方差公式：a2b2(ab)(ab) 完全平方
2、公式：a2 2abb2(a b)2 二、考点分析 【考点 1 平方差公式】 【解题技巧】能够运用平方差公式进行多项式乘法运算的必须是两个二项式，两项都能写成平方的形式， 且符号相反反之能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式且符号相反 【例 1】(2019 河北沧州中考模拟)若（ab2）2+|a+b+3|0，则 a2b2的值是（ ） A1 B1 C6 D6 【举一反三 1-1】(2019 山东青岛模拟)若 k 为任意整数，且 99399 能被 k 整除，则 k 不可能是（ ） A50 B100 C98 D97 【举一反三 1-2】(2019 辽宁大连模拟)先化简，再求值： (ab)(ab
3、)b(a2b)b2，其中 a1，b2. 【举一反三 1-3】(2019 河北石家庄中考模拟)计算并观察、探究下列式子 （x1） （x+1） x21 （x1） （x2+x+1） x31 2 （x1） （x3+x2+x+1）x41 （x1） （x4+x3+x2+x+1）x51 （x1） （x5+x4+x3+x2+x+1）x61 由以上规律 （1）填空： （x1） （xn+xn 1+x+1） （2）求：22019+22018+22017+22+2+1 的值 【考点 2 完全平方公式】 【解题技巧】能运用完全平方公式进行多项式乘法运算的，必须是两个数（或差）的平方和的形式，反之 能运用完全平方公式分解
4、因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式， 另一项是这两个数（或式）的积的 2 倍 【例 2】(2019 辽宁锦州中考模拟)如果二次三项次 x216x+m2是一个完全平方式，那么 m 的值是（ ） A 8 B4 C2 D 2 【举一反三 2-1】(2019 山东聊城中考模拟)已知 a，b 是ABC 的两边，且 a2b22ab，则ABC 的形状是 ( ) A等腰三角形 B等边三角形 C锐角三角形 D不确定 【举一反三 2-2】(2019 沧州九中模拟)当 st1 2时，代数式 s 22stt2的值为 【举一反三 2-3】 （2019吉林长春中考）先化简，再求值： （
5、2a+1）24a（a1） ，其中 a 【举一反三 2-4】 （2018，江苏南京模拟）先化简，再求值： 2 (21)2(21)3aa，其中2a 【考点 3 因式分解】 【解题技巧】因式分解的一般步骤： (1)如果多项式各项有公因式，应先提取公因式； (2)如果各项没有公因式，可以尝试使用公式法来分解因式，看是否符合平方差公式还是完全平方公式，有 时需考虑用十字交乘法； (3)检查因式分解是否彻底，必须分解到每一个因式不能再分解为止 【例 3】 （2019台湾中考）若多项式 5x2+17x12 可因式分解成（x+a） （bx+c） ，其中 a、b、c 均为整数，则 a+c 之值为何？（ ） A1
6、 B7 C11 D13 【举一反三 3-1】 （2019 浙江温州中考）分解因式：m2+4m+4 3 【举一反三 3-2】 （2019 江苏南京中考）分解因式（ab）2+4ab 的结果是 【举一反三 3-3】 （2019 江西中考）因式分解：x21 【举一反三 3-4】 （2019 江苏徐州中考）若 ab+2，则代数式 a22ab+b2的值为 三、【达标测试】 一、选择题 1.（2019，湖南湘潭中考模拟）下列式子，正确的是（ ） A. 323 2 B. ( 21)( 21)1 C. 1 22 D. 222 2()xxyyxy 2.（2019，安徽蚌埠中考模拟） 下列多项式中，能用公式法分解因
7、式的是（ ） A.x2xy B. x2xy C. x2y2 D. x2y2 3.（2019河北石家庄中考模拟）若要使 4x2+mx+成为一个两数差的完全平方式，则 m 的值应为（ ） A B C D 4.（2019山东青岛中考模拟）如果自然数 a 是一个完全平方数，那么与 a 之差最小且比 a 大的一个完全平 方数是（ ） Aa+1 Ba2+1 Ca2+2a+1 Da+2+1 5.（2019辽宁本溪中考模拟）有一个长方形内部剪掉了一个小长方形，它们的尺寸如图所示，则余下的部 分（阴影部分）的面积（ ） A4a2 B4a2ab C4a2+ab D4a2ab2b2 二、填空题 1.（2019呼和浩
8、特中考）因式分解：x2y4y3 2.（2019辽宁沈阳中考）因式分解：x24y2+4xy 3.（2019甘肃兰州中考）因式分解：a3+2a2+a 4.（2019山东威海中考）分解因式：2x22x+ 4 5.（2019，江苏省连云港中考模拟）当 1 2 st 时，代数式 22 2sstt的值为 6. (2019,山西省太原中考模拟)分解因式(4)4x x的结果是 7.（2019，山东潍坊中考模拟）分解因式： 32 627xxx 8. （2019，河北沧州中考模拟）有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示，如图，它表示了（2m+n） （m+n）2m2+3mn+n2 （1） 图是将一个长 2m、 宽
9、2n 的长方形， 沿图中虚线平均分为四块小长方形， 然后再拼成一个正方形 （图 ） ，则图中的阴影部分的正方形的边长等于 （用含 m、n 的代数式表示） （2）请用两种不同的方法列代数式表示图中阴影部分的面积 方法 方法 （3）请你观察图形，写出三个代数式（m+n）2、 （mn）2、mn 关系的等式： ； （4）根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：若已知 x+y7，xy10，则（xy）2 ； （5）小明用 8 个一样大的长方形（长 acm，宽 bcm）拼图，拼出了如图甲、乙的两种图案，图案甲是一个 正方形，图案乙是一个大的长方形，图案甲的中间留下了边长是 2cm 的正方形小洞则（a+2b）
10、28ab 的值为 三、解答题 1.(2019 湖南怀化中考模拟)先化简，再求值：(2a1)22(a1)(a1)a(a2)，其中 a 21. 2.(2019 浙江宁波中考模拟)化简：(ab)2(ab)(ab)2ab. 3.(2019 浙江金华中考模拟)先化简，再求值：(x5)(x1)(x2)2，其中 x2. 4.（2019 江苏省淮安中考模拟）先化简，再求值： 2 1 y1,)()( 2 ，其中xxyxyxyx 5. 已知 a+b3，ab10求： （1）a2+b2的值； （2） （ab）2的值 5 6.下面是某同学对多项式（x24x+2） （x24x+6）+4 进行因式分解的过程 解：设 x24
11、xy， 原式（y+2） （y+6）+4 （第一步） y2+8y+16 （第二步） （y+4）2（第三步） （x24x+4）2（第四步） （1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的 A提取公因式 B平方差公式 C两数和的完全平方公式 D两数差的完全平方公式 （2）该同学因式分解的结果是否彻底？ （填“彻底”或“不彻底”）若不彻底，请直接写出因式分解 的最后结果 （3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x22x） （x22x+2）+1 进行因式分解 7.正方形的周长比正方形的周长长 96cm，它们的面积相差 960cm2，求这两个正方形的边长 8.如图，在长方形 ACDF 中，ACDF，点 B 在 CD 上，点 E 在 DF 上，BCDEa，ACBDb，AB BEc，且 ABBE （1）用两种不同的方法表示长方形 ACDF 的面积 S 方法一：S 方法二：S （2）求 a，b，c 之间的等量关系（需要化简） （3）请直接运用（2）中的结论，求当 c10，a6，S 的值