1、第第 21 章一元二次方程解答题精选章一元二次方程解答题精选 1 （2020 春通州区期末）要在一个 8cm12cm 的照片外侧的四周镶上宽度相同的银边并且要使银边的 面积和照片的面积相等那么银边的宽应该是多少？ 2 （2020 春西城区期末）小天学完平方根和开平方运算后，发现可以运用这些知识解形如 x2a（a 为常 数）的这类方程 （1）小天先尝试解了下面两个方程： x21，解得 x1 或 x1； x21，此方程无实数解 方程有两个解的依据是：正数有两个平方根，它们互为相反数； 方程无实数解的依据是： ； （2）小天进一步探究了解方程和： 3x221； 解：x27 x= 7或 x= 7 （x
2、+2）29 解：x+23 或 x+23 x1 或 x5 请你参考小天的方法，解下列两个方程： 2x2720； （x1）25 3 （2020 春密云区期末）为深化疫情防控国际合作、共同应对全球公共卫生危机，我国有序开展医疗物资 出口工作.2020 年 3 月，国内某企业口罩出口订单额为 1000 万元，2020 年 5 月该企业口罩出口订单额为 1440 万元求该企业 2020 年 3 月到 5 月口罩出口订单额的月平均增长率 4 （2020 春丰台区期末）如图，小华要为一个长 3 分米，宽 2 分米的长方形防疫科普电子小报四周添加一 个边框，要求边框的四条边宽度相等，且边框面积与电子小报内容所
3、占面积相等，小华添加的边框的宽 度应是多少分米？ 5 （2020 春昌平区期末）如图所示，利用一面墙的部分长度作为矩形较长的一边，另三边用 24 米长的篱 笆围成一个面积为 54 平方米的矩形场地，求矩形场地较短边的长 6 （2020 春海淀区校级期末）已知关于 x 的一元二次方程 x23x+k10 （1）当 k1 时，求此方程的根； （2）若此方程有两个实数根，求 k 的取值范围 7 （2020 春海淀区校级期末）解一元二次方程 （1） （x1）24； （2）x23x10 8 （2020 春顺义区期末）关于 x 的一元二次方程 x2+x+m0 有两个不相等的实数根 （1）求 m 的取值范围；
4、 （2）若 m 为符合条件的最大整数，求此时方程的解 9 （2020 春延庆区期末）关于 x 的一元二次方程 x24x+k0 有两个实数根 （1）求 k 的取值范围； （2）请选择一个合适的数作为 k 的值，并求此时方程的根 10 （2020 春延庆区期末）解方程： （1）x22x30 （2）3x2+2x10 11 （2020 春东城区期末）已知关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c0 的两个根分别为 x1，x2，利用一元二次 方程的求根公式 x1+x2= ，x1x2= 可得利用上述结论来解答下列问题： （1）已知 2x2x10 的两个根为 m，n，则 m+n ，mn ； （2）若 m，n
5、 为 x2px+q0 的两个根，且 m+n5，mn4，则 p ，q ； （3） 已知关于 x 的一元二次方程 x2 （k1） xk+20 有两个实数根 x1， x2， 若 （x1+x2+2） （x1+x22） +2x1x22，求 k 的值 12 （2020 春海淀区校级期末）已知关于 x 的一元二次方程 x2+mx+m10 （1）求证：无论 m 为何值，方程总有两个实数根； （2）若方程只有一个根为负数，求 m 的取值范围 13 （2020 春东城区期末）解下列方程： （1）x26x+81； （2）2x24x30 14 （2020 春门头沟区期末）阅读理解： 由所学一次函数知识可知，在平面直角
6、坐标系内，一次函数 ykx+b（k0）的图象与 x 轴交点横坐标， 是一元一次方程 kx+b0（k0）的解；在 x 轴下方的图象所对应的 x 的所有值是 kx+b0（k0）的解 集，在 x 轴上方的图象所对应的 x 的所有值是 kx+b0（k0）的解集 例，如图 1，一次函数 kx+b0（k0）的图象与 x 轴交于点 A（1，0） ，则可以得到关于 x 的一元一次 方程 kx+b0（k0）的解是 x1；kx+b0（k0）的解集为 x1 结合以上信息，利用函数图象解决下列问题： （1）通过图 1 可以得到 kx+b0（k0）的解集为 ； （2）通过图 2 可以得到 关于 x 的一元二次方程 ax
7、2+bx+c0（a0）的解为 ； 关于 x 的不等式 ax2+bx+c0（a0）的解集为 15 （2020 春房山区期末）关于 x 的一元二次方程 x22x+2m10 有实数根 （1）求 m 的取值范围； （2）请选择一个符合条件的 m 的值，并求此时方程的根 16 （2020 春通州区期末）选择恰当的方法解下列一元二次方程 （1）x28； （2）x22x50； （3）2x25x+20； （4） （x+1）2（x21）0 17 （2019 秋海淀区期末）已知关于 x 的一元二次方程 x2mx+m10 （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根为负数，求 m 的取值范围 18 （20
8、19 秋昌平区期末）已知关于 x 的一元二次方程 2x23xm0 （1）当 m0 时，求方程的根； （2）如果方程有两个不相等的实数根，求 m 的取值范围 19 （2019 秋西城区期末）某校要组织“风华杯”篮球赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场） （1）如果有 4 支球队参加比赛，那么共进行 场比赛； （2）如果全校一共进行 36 场比赛，那么有多少支球队参加比赛？ 20 （2020 春东城区期末）商场某种商品平均每天可销售 30 件，每件盈利 50 元，为了尽快减少库存，商 场决定采取适当的降价措施经调査发现，每件商品每降价 1 元，商场平均每天可多售出 2 件 （1）若某天该商品每
9、件降价 3 元，当天可获利多少元？ （2）设每件商品降价 x 元，则商场日销售量增加 件，每件商品，盈利 元（用含 x 的代数 式表示） ； （3）在上述销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到 2000 元？ 21 （2020 春西城区期末）解方程：x24x80 22 （2020 春大兴区期末）有一面积为 150 平方米的矩形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长 18 米） ，另三边用 竹篱笆围成，如果竹篱笆的长为 35 米求鸡场的长和宽 23 （2019 春海淀区校级期末）已知关于 x 的方程 2x22（m+1）x+ 1 2 +m0 （1）证明方程总有两个实数根； （2）设关于 x 的
10、方程 2x22（m+1）x+ 1 2 +m0 的两根是 x1，x2（x1x2） ，关于 x 的方程 2x22（m+1） x+ 1 2 +m1 的两根是 x3，x4（x3x4） ，请直接写出 x1，x2，x3，x4的大小关系； （3）当 1x3 时，代数式 2x22（m+1）x+ 1 2 +m 的值恒为正，求 m 的取值范围 24 （2019 春西城区期末）已知关于 x 的一元二次方程 x2+mx+m10 （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根为负数，求 m 的取值范围 25 （2019 春西城区期末）解下列方程 （1） （x3）225 （2）x23x10 26 （2019 春东
11、城区期末）已知关于 x 的一元二次方程 mx2（m+3）x+30 总有两个不相等的实数根， （1）求 m 的取值范围； （2）若此方程的两根均为正整数，求正整数 m 的值 27 （2019 春海淀区期末）方程 x2+2x+k40 有实数根 （1）求 k 的取值范围； （2）若 k 是该方程的一个根，求 2k2+6k5 的值 28 （2019 春房山区期末）十八世纪，古巴比伦泥板书上出现了历史上第一批一元二次方程，其中一个问 题为： “一块矩形田地面积为 55，长边比短边多 6，问长边多长？” 请你用学过的一元二次方程知识解 决这个问题 29 （2019 春房山区期末）已知：关于 x 的一元二次
12、方程 x24x+m+10 有两个不相等的实数根 （1）求 m 的取值范围； （2）写出一个满足条件的 m 的值，并求出此时方程的两个根 30 （2019 春朝阳区期末）北京市某中学开展了包含古建、民俗、中医药、造纸印刷、丝绸文化、非遗精 品六大系列的实践项目课程，并用展板进行成果展览为了装饰，学校用长为 64dm 的彩带紧紧围在一 块面积为 240dm2的矩形展板四周（彩带恰好围满，且不重叠） （1）求这块展板较短边的长； （2）以同样的方式，用长为 64dm 的彩带能紧紧围在一块面积为 260dm2的矩形展板四周吗？如能，说 明围法：如不能，说明理由 31 （2019 春丰台区期末） “美化
13、城市，改善人民居住环境”是城市建设的一项重要内容北京市将重点围 绕城市副中心、大兴国际机场、冬奥会、世园会、永定河、温榆河、南中轴等重要节点区域绿化，到 2022 年，全市将真正形成一片集“万亩城市森林、百万乔灌树木、百种乡土植物、二十四节气林窗、四季景 观大道”于一体的城市森林2018 年当年计划新增造林 23 万亩，2019 年计划新增造林面积大体相当于 27.8 个奥森公园的面积，预计 2020 年计划新增造林面积达到 38.87 万亩，求 2018 年至 2020 年计划新增 造林面积的年平均增长率 32 （2019 春北京期末）已知关于 x 的一元二次方程 x2+mx10 （1）求证
14、：无论实数 m 取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根是1，求 m 的值和方程的另一个根 第第 21 章一元二次方程解答题精选章一元二次方程解答题精选 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一解答题（共一解答题（共 32 小题）小题） 1 【解答】解：设银边的宽为 xcm， 依题意，得： （12+2x） （8+2x）128128， 整理，得：x2+10 x240， 解得：x12，x212（不合题意，舍去） 答：银边的宽应该是 2cm 2 【解答】解： （1）负数没有平方根； x21，此方程无实数解； 故答案为负数没有平方根； （2）2x2720， x236， 解得 x6；
15、1 5， = 1 5， 即1= 1 + 5，1= 1 5 3 【解答】解：设该企业 2020 年 3 月到 5 月口罩出口订单额的月平均增长率为 x， 依题意，得：1000（1+x）21440， 解得：x10.220%，x22.2（不合题意，舍去） 答：该企业 2020 年 3 月到 5 月口罩出口订单额的月平均增长率为 20% 4 【解答】解：设小华添加的边框的宽度应是 x 分米， 依题意，得： （3+2x） （2+2x）3232， 整理，得：2x2+5x30， 解得：x1= 1 2，x23（不合题意，舍去） 答：小华添加的边框的宽度应是1 2分米 5 【解答】解：设矩形场地较短边的长为 x
16、 米，则邻边长为（242x）米，依题意得 x（242x）54， 整理得 x212x+270， 解得 x13，x29（舍去） 答：矩形场地较短边的长为 3 米 6 【解答】解： （1）当 k1 时，x23x0， x（x3）0， x0 或 x30， 所以 x10，x23； （2）根据题意得（3）24（k1）0， 解得 k 13 4 7 【解答】解： （1） （x1）24， x12， 解得 x11，x23； （2）x23x10， a1，b= 3，c1， 341（1）70， x= 37 2 ， 解得 x1= 37 2 ，x2= 3+7 2 8 【解答】解： （1）根据题意得14m0， 解得 m 1 4
17、； （2）m 1 4， m 的最大整数为 0， 此时方程变形为 x2+x0，解得 x10，x21 9 【解答】解：方程有两个实数根， b24ac0， a1，b4，ck， 164k0， 解得：k4； （2）当 k0 时， 方程为 x24x0， x10，x24 10 【解答】解： （1）x22x30， 分解因式得： （x+1） （x3）0， 可得 x+10 或 x30， 解得：x11，x23； （2）3x2+2x10， 分解因式得： （x+1） （3x1）0， 可得 x+10 或 3x10， 解得：x11，x2= 1 3 11 【解答】解： （1）一元二次方程 2x2x10 的两个根为 m，n，
18、m+n= 1 2，mn= 1 2 故答案为：1 2； 1 2 （2）m，n 为 x2px+q0 的两个根，且 m+n5，mn4， p5，q4 故答案为：5；4 （3）关于 x 的一元二次方程 x2（k1）xk+20 有两个实数根 x1，x2， x1+x2k1，x1x22k （x1+x2+2） （x1+x22）+2x1x22，即（x1+x2）24+2x1x22， （k1）24+2（2k）2， 整理，得：k24k+30， k= 4(4)2413 2 ， k13，k21 当 k3 时，原方程为 x22x10， （2）241（1）8， k3 符合题意； 当 k1 时，原方程为 x2+10， 02411
19、40， k1 不符合题意，舍去 k 的值为 3 12 【解答】解： （1）m24（m1） m24m+4 （m2）20， 无论 m 为何值，方程总有两个实数根； （2）解：由求根公式可求得 x1 或 xm+1， 若方程只有一个根为负数，则m+10，解得 m1 故 m 的取值范围为 m1 13 【解答】解： （1）x26x+81， x26x+8+10， x26x+90， （x3）20， x30， x1x23； （2）2x24x30， 2x24x3， x22x= 3 2， x22x+1= 3 2 +1， （x1）2= 5 2， 开方得：x1= 5 2， x1= 2+10 2 ，x2= 210 2 1
20、4 【解答】解： （1）通过图 1 可以得到 kx+b0（k0）的解集为 x1； （2）通过图 2 可以得到 关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c0（a0）的解为 x11，x22； 关于 x 的不等式 ax2+bx+c0（a0）的解集为 x11，x22 故答案为：x1；x11，x22；x11，x22 15 【解答】解： （1）根据题意，得b24ac0， 即（2）24（2m1）0， 解得 m1 （2）当 m1 时，方程为 x22x+10， 解得 x1x21 注：m 值不唯一 16 【解答】解： （1）x28， x= 22，即 x122，x222 （2）x22x5， x22x+15+1，即（
21、x1）26， 则 x16， x16，即 x11+6，x216； （3）2x25x+20， （2x1） （x2）0， 则 2x10 或 x20， 解得 x1= 1 2，x22； （4）（x+1）2（x+1） （x1）0， （x+1） （2x+3）0， 则 x+10 或2x+30， 解得 x11 或 x2= 3 2 17 【解答】解： （1）由题意可知：（m）24（m1）（m2）2 （m2）20， 方程总有两个实数根 （2）由题意可知：xm1 或 x1 方程有一个根为负数， m10 m1 18 【解答】解： （1）把 m0 代入方程中，得：2x23x0， x（2x3）0， 1= 0，2= 3 2
22、故原方程的根为1= 0，2= 3 2； （2）方程有两个不相等的实数根， 0， （3）242（m）0， 9 8， m 的取值范围为 9 8 19 【解答】解： （1）1 2 436（场） 故答案为：6 （2）设有 x 支球队参加比赛， 依题意，得：1 2x（x1）36， 解得：x19，x28（不合题意，舍去） 答：如果全校一共进行 36 场比赛，那么有 9 支球队参加比赛 20 【解答】解： （1）当天盈利： （503）（30+23）1692（元） 答：若某天该商品每件降价 3 元，当天可获利 1692 元 （2）每件商品每降价 1 元，商场平均每天可多售出 2 件， 设每件商品降价 x 元，
23、则商场日销售量增加 2x 件，每件商品，盈利（50 x）元 故答案为：2x；50 x （3）根据题意，得： （50 x）（30+2x）2000， 整理，得：x235x+2500， 解得：x110，x225， 商城要尽快减少库存， x25 答：每件商品降价 25 元时，商场日盈利可达到 2000 元 21 【解答】解：a1，b4，c8， 1641（8）48， x= 448 2 ， x12+23，x1223 22 【解答】解：设垂直于墙的一边长 x 米，则另一边长为（352x） ，列方程，得 x（352x）150， 解得 x110，x27.5， 当 x10 时，352x1518，符合题意； 当 x
24、7.5 时，352x2018，不符合题意，舍去 答：鸡场的长为 15 米，宽为 10 米 23 【解答】解： （1）证明：= 4( + 1)2 4 2(1 2 + ) = 42+ 6 + 3 = 4( + 3 4) 2 + 3 40， 方程总有两个实数根； （2）y2x22（m+1）x+ 1 2 +m，a20 y0 时，表示二次函数与 x 轴的交点； y1 时，表示二次函数与 y1 的交点， 故 x3x1x2x4； （3）令 y2x22（m+1）x+ 1 2 +m， 则函数的对称轴为 x= +1 2 ， 当 1 +1 2 3 时，1m5，y 有最小值为 1 2m 2， 1 2m 20，不符合题
25、意； 当+1 2 1 时，m1，y 有最小值1 2 m， 1 2 m0，则 m 1 2， m 1 2； 当+1 2 3，m5，y 有最小值81 2 9m， 81 2 9m0，则 m 9 2（舍去） ； 综上所述，m 1 2时代数式 2x 22（m+1）x+1 2 +m 的值恒为正 24 【解答】解： （1）由于m24（m1） （m2）20， 方程总有两个实数根； （2）由于（x+1） （x+m1）0， x1 或 xm+1， 此方程有一个根是负数， m+10， m 的取值范围是 m1 25 【解答】解： （1）解： （x3）225， 开方得：x35， 解得：x18，x22； （2）x23x10，
26、 b24ac（3）241（1）13， x= 313 2 ， x1= 3+13 2 ，x2= 313 2 26 【解答】解（1）根据题意得 m0 且（m+3）24m3（m3）20， 解得 m0 且 m3； （2）x= +3(3) 2 所以 x11，x2= 3 ， 因为此方程的两根均为正整数 所以正整数 m 的值 1 27 【解答】解： （1）224（k4）0， 解得 k5； （2）把 xk 代入方程得 k2+2k+k40，即 k2+3k4， 所以 2k2+6k52（k2+3k）52453 28 【解答】解：设矩的长为 x，则宽为 x6， 根据题意得：x（x6）55， 解得：x11 或 x5（舍去
27、） 答：长为 11 29 【解答】解： （1）一元二次方程有两个不相等实根， 164（m+1）0， 124m0， m3； （2）当 m1 时， x（x4）0， x10，x24 30 【解答】解： （1）设这块展板较短边的长为 xdm，则较长边的长为（32x）dm， 依题意，得：x（32x）240， 解得：x112，x220 x32x， x16， x12 答：这块展板较短边的长为 12dm （2）不能，理由如下： 设这块展板较短边的长为 ydm，则较长边的长为（32y）dm， 依题意，得：y（32y）260， 整理，得：y232y+2600 （32）24260160， 该方程无解，即不能用长为
28、64dm 的彩带紧紧围在一块面积为 260dm2的矩形展板四周 31 【解答】解：设 2018 年至 2020 年计划新增造林面积的年平均增长率为 x， 根据题意得 23（1+x）238.87， 解得 x10.330%，x22.3（不合题意，舍去） 答：2018 年至 2020 年计划新增造林面积的年平均增长率为 30% 32 【解答】 （1）证明：m241（1） m2+4， 无论实数 m 取何值，总有 m2+40，即0， 无论实数 m 取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）解：设方程的另一个根为 t， 则1+tm，1t1， 所以 t1， 所以1+1m，解得 m0， 所以 m 的值为 0，方程的另一个根为 1