1、2020-2021 学年广西河池市九年级（上）期中数学试卷学年广西河池市九年级（上）期中数学试卷 一一.选择题： （本大题共选择题： （本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 36 分）每小题都给出代号为分）每小题都给出代号为 A、B、C、D 四个结论，其四个结论，其 中只有一个是正确的中只有一个是正确的.请将正确答案的代号填入题后的括号内，每小题选对得请将正确答案的代号填入题后的括号内，每小题选对得 3 分，选错、不选或多选均得分，选错、不选或多选均得 零分零分. 1下列四个图形中，不是中心对称图形的是（ ） A B C D 2方程 2x24x+30 的根的情况是（ ）
2、A只有一个实数根 B有两个相等的实数根 C有两个不相等的实数根 D没有实数根 3用配方法解一元二次方程 x24x50，此方程可变形为（ ） A （x2）29 B （x+2）29 C （x+2）21 D （x2）21 4x1 是关于 x 的一元二次方程 2x2mx30 的解，则 m 等于（ ） A1 B3 C5 D1 5如图，将ABC 绕点 A 逆时针旋转 100，得到ADE若点 D 在线段 BC 的延长线上，则B 的大小 为（ ） A30 B40 C50 D60 6对于二次函数 y（x1）2+2 的图象，下列说法正确的是（ ） A开口向下 B顶点坐标是（1，2） C对称轴是 x1 D与 x 轴
3、有两个交点 7某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出相同数目的小分支，主干、支干和小分支的总数 是 57，设每个支干长出 x 个小分支，根据题意列出方程为（ ） A1+x+x（1+x）57 B1+x+x257 Cx+x（1+x）57 D1+2x257 8小颖在抛物线 y2x2+4x+5 上找到三点（1，y1） ， （2，y2） ， （3，y3） ，则你认为 y1，y2，y3的大小关 系应为（ ） Ay1y3y2 By2y1y3 Cy3y2y1 Dy1y2y3 9超市经销一种水果，每千克盈利 10 元，每天销售 500 千克，经市场调查，若每千克涨价 1 元，日销售 量减少 20 千克
4、，现超市要保证每天盈利 6000 元，每千克应涨价（ ） A15 元或 20 元 B10 元或 15 元 C10 元 D5 元或 10 元 10如图，以（1，4）为顶点的二次函数 yax2+bx+c 的图象与 x 轴负半轴交于 A 点，则一元二次方程 ax2+bx+c0 的正数解的范围是（ ） A2x3 B3x4 C4x5 D5x6 11系统找不到该试题 12当2x1 时，二次函数 y（xm）2+m2+1 有最大值 4，则实数 m 的值为（ ） A B或 C2 或 D2 或或 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分，请将正确答案填写在
5、题中的横线上分，请将正确答案填写在题中的横线上.） 13一元二次方程 2x2x 的解是 14若点 A（n，5）与点 B（1，m）关于原点对称，则 n+m 的值为 15将抛物线 yx24x4 向左平移 3 个单位，再向上平移 5 个单位，得到抛物线的表达式为 16已知关于 x 的一元二次方程（k1）x2+2x+10 有实数根，则 k 的取值范围是 17已知抛物线 yax2+bx+c 上部分点的横坐标 x 纵坐标 y 的对应值如下表： x 1 0 1 2 3 y 3 0 1 0 3 抛物线 yax2+bx+c 的开口向下； 抛物线 yax2+bx+c 的对称轴为直线 x1； 方程 ax2+bx+c
6、0 的根为 x10，x22； 当 y0 时，x 的取值范围是 x0 或 x2 以上结论中，其中正确的有 18如图，正方形 ABCD 的边长为 3，点 A 与原点重合，点 B 在 y 轴的正半轴上，点 D 在 x 轴的负半轴上， 将正方形 ABCD 绕点 A 逆时针旋转 30至正方形 ABCD的位置， BC与 CD 相交于点 M， 则点 M 的坐标为 三、解答题： （本大题共三、解答题： （本大题共 8 小题，共小题，共 66 分）分） 19 （10 分）解方程： （1）2x214x； （2） （x1）23（1x）0 20 （6 分）如图，ABC 的顶点坐标分别为：A（0，1） ，B（5，4）
7、，C（2，4） （1）作ABC 关于点 O 的中心对称图形A1B1C1，并写出点 C1的坐标； （2）作ABC 关于 x 轴的轴对称图形A2B2C2，并写出点 C2的坐标 21 （6 分）如图是一张长 10dm，宽 6dm 矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个相同边长的正方形，然后将 四周突出部分折起，可制成一个无盖方盒若要制作一个底面积是 32dm2的一个无盖长方体纸盒，求剪 去的正方形边长 22 （6 分）先阅读下列解题过程，然后解答问题 解一元二次不等式：x25x0 解：设 x25x0，解得：x10，x25 所以，抛物线 yx25x 与 x 轴的交点坐标为（0，0）和（5，0） 画出二次函数
8、 yx25x 的大致图象（如图一所示） 由图象知： 当 x0 或 x5 时，函数图象位于 x 轴上方，此时 y0，即 x25x0， 所以，一元二次不等式 x25x0 的解集为：x0，或 x5 通过对上述的学习，用类似的方法解一元二次不等式：x2+2x30 解：设 x2+2x30，解之，得： ， 所以，抛物线 yx2+2x3 与 x 轴的交点坐标为 请在图二中画出二次函数 yx2+2x3 的大致图象 由图象知： 当 时，函数图象位于 x 轴下方，此时 y0，即 x2+2x30，所以，一元二次不等式 x2+2x3 0 的解集为： 23 （8 分）现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高度发展，
9、据调查，某快递公司今年三月份完 成投递的快递总件数为 10 万件，五月份完成投递的快递总件数 12.1 万件，现假定该公司每月投递的快 递总件数的增长率相同 （1）求该快递公司投递总件数的月平均增长率； （2）如果平均每人每月最多可投递 0.6 万件，那么该公司现有的 21 名业务员能否完成今年 6 月份的投 递任务？为什么？ 24 （8 分）某公司营销 A，B 两种产品，根据市场调研，确定两条信息： 信息 1：销售 A 种产品所获利润 y（万元）与所售产品 x（吨）之间存在二次函数关系，如图所示： 信息 2：销售 B 种产品所获利润 y（万元）与销售产品 x（吨）之间存在正比例函数关系 y0
10、.3x 根据以上信息，解答下列问题； （1）求二次函数的表达式； （2）该公司准备购进 A、B 两种产品共 10 吨，请设计一个营销方案，使销售 A、B 两种产品获得的利润 之和最大，最大利润是多少万元？ 25 （10 分）正方形 ABCD 和正方形 AEFG 的边长分别为 2 和 2，点 B 在边 AG 上，点 D 在线段 EA 的 延长线上，连接 BE （1）如图 1，求证：DGBE； （2）如图 2，将正方形 ABCD 绕点 A 按逆时针方向旋转，当点 B 恰好落在线段 DG 上时，求线段 BE 的 长 26 （12 分） 如图， 已知二次函数 yax2+2x+c 的图象经过点 C （0
11、， 3） ， 与 x 轴分别交于点 A， 点 B （3， 0） 点 P 是直线 BC 上方的抛物线上一动点 （1）求二次函数 yax2+2x+c 的表达式； （2）连接 PO，PC，并把POC 沿 y 轴翻折，得到四边形 POPC若四边形 POPC 为菱形，请求出 此时点 P 的坐标； （3）当点 P 运动到什么位置时，四边形 ACPB 的面积最大？求出此时 P 点的坐标和四边形 ACPB 的最 大面积 2020-2021 学年广西河池市九年级（上）期中数学试卷学年广西河池市九年级（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一一.选择题： （本大题共选择题： （本大题共 12 小
12、题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 36 分）每小题都给出代号为分）每小题都给出代号为 A、B、C、D 四个结论，其四个结论，其 中只有一个是正确的中只有一个是正确的.请将正确答案的代号填入题后的括号内，每小题选对得请将正确答案的代号填入题后的括号内，每小题选对得 3 分，选错、不选或多选均得分，选错、不选或多选均得 零分零分. 1下列四个图形中，不是中心对称图形的是（ ） A B C D 【分析】根据中心对称图形的概念求解 【解答】解：A、是中心对称图形故错误； B、是中心对称图形故错误； C、不是中心对称图形故正确； D、是中心对称图形故错误 故选：C 2方程 2x24x+30 的根
13、的情况是（ ） A只有一个实数根 B有两个相等的实数根 C有两个不相等的实数根 D没有实数根 【分析】首先求出方程的判别式，然后根据一元二次根与判别式的关系，可以判断方程的根的情况 【解答】解：方程 2x24x+30 中， （4）242380， 方程没有实数根 故选：D 3用配方法解一元二次方程 x24x50，此方程可变形为（ ） A （x2）29 B （x+2）29 C （x+2）21 D （x2）21 【分析】移项，配方，再变形，即可得出选项 【解答】解：x24x50， x24x5， x24x+45+4， （x2）29， 故选：A 4x1 是关于 x 的一元二次方程 2x2mx30 的解，
14、则 m 等于（ ） A1 B3 C5 D1 【分析】方程的解就是能使方程的左右两边相等的未知数的值，因而把 x1 代入方程就得到一个关于 m 的方程，就可以求出 m 的值 【解答】解：根据题意得将 x1 代入方程式得 2+m30， 解得 m1 故选：D 5如图，将ABC 绕点 A 逆时针旋转 100，得到ADE若点 D 在线段 BC 的延长线上，则B 的大小 为（ ） A30 B40 C50 D60 【分析】 根据旋转的性质可得出 ABAD、 BAD100， 再根据等腰三角形的性质可求出B 的度数， 此题得解 【解答】解：根据旋转的性质，可得：ABAD，BAD100， BADB（180100）
15、40 故选：B 6对于二次函数 y（x1）2+2 的图象，下列说法正确的是（ ） A开口向下 B顶点坐标是（1，2） C对称轴是 x1 D与 x 轴有两个交点 【分析】根据二次函数的性质对各开口方向、顶点坐标、对称轴以及与 x 轴交点的坐标进行判断即可 【解答】解：A、y（x1）2+2， a10， 图象的开口向上，此选项错误； B、y（x1）2+2 顶点坐标是（1，2） ，此选项正确； C、对称轴是直线 x1，此选项错误； D、 （x1）2+20， （x1）22，此方程无解，与 x 轴没有交点，故本选项错误 7某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出相同数目的小分支，主干、支干和小分支
16、的总数 是 57，设每个支干长出 x 个小分支，根据题意列出方程为（ ） A1+x+x（1+x）57 B1+x+x257 Cx+x（1+x）57 D1+2x257 【分析】根据题意，可以列出相应的方程，从而可以解答本题 【解答】解：由题意可得， 1+x+xx1+x+x257 故选：B 8小颖在抛物线 y2x2+4x+5 上找到三点（1，y1） ， （2，y2） ， （3，y3） ，则你认为 y1，y2，y3的大小关 系应为（ ） Ay1y3y2 By2y1y3 Cy3y2y1 Dy1y2y3 【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征可求出 y1、y2、y3的值，比较后即可得出结论 【解答】解：点
17、（1，y1） 、 （2，y2） 、 （3，y3）在抛物线 y2x2+4x+5 上， y13，y221，y311， y1y3y2 故选：A 9超市经销一种水果，每千克盈利 10 元，每天销售 500 千克，经市场调查，若每千克涨价 1 元，日销售 量减少 20 千克，现超市要保证每天盈利 6000 元，每千克应涨价（ ） A15 元或 20 元 B10 元或 15 元 C10 元 D5 元或 10 元 【分析】设每千克水果应涨价 x 元，得出日销售量将减少 20 x 千克，再由盈利额每千克盈利日销售 量，依题意得方程求解即可 【解答】解：设每千克水果应涨价 x 元， 依题意得方程： （50020
18、 x） （10+x）6000， 整理，得 x215x+500， 解这个方程，得 x15，x210 答：每千克水果应涨价 5 元或 10 元 故选：D 10如图，以（1，4）为顶点的二次函数 yax2+bx+c 的图象与 x 轴负半轴交于 A 点，则一元二次方程 ax2+bx+c0 的正数解的范围是（ ） A2x3 B3x4 C4x5 D5x6 【分析】先根据图象得出对称轴左侧图象与 x 轴交点横坐标的取值范围，再利用对称轴 x1，可以算出 右侧交点横坐标的取值范围 【解答】解：二次函数 yax2+bx+c 的顶点为（1，4） ， 对称轴为 x1， 而对称轴左侧图象与 x 轴交点横坐标的取值范围
19、是3x2， 右侧交点横坐标的取值范围是 4x5 故选：C 11系统找不到该试题 12当2x1 时，二次函数 y（xm）2+m2+1 有最大值 4，则实数 m 的值为（ ） A B或 C2 或 D2 或或 【分析】根据对称轴的位置，分三种情况讨论求解即可 【解答】解：二次函数的对称轴为直线 xm， m2 时，x2 时二次函数有最大值， 此时（2m）2+m2+14， 解得 m，与 m2 矛盾，故 m 值不存在； 当2m1 时，xm 时，二次函数有最大值， 此时，m2+14， 解得 m，m（舍去） ； 当 m1 时，x1 时二次函数有最大值， 此时，（1m）2+m2+14， 解得 m2， 综上所述，
20、m 的值为 2 或 故选：C 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分，请将正确答案填写在题中的横线上分，请将正确答案填写在题中的横线上.） 13一元二次方程 2x2x 的解是 x10， 【分析】由于方程左右两边都含有因式 x，所以看把右边的项移到左边后，利用因式分解法解方程 【解答】解：2x2x， 2x2x0， x（2x1）0， x10，x2 14若点 A（n，5）与点 B（1，m）关于原点对称，则 n+m 的值为 4 【分析】利用关于原点对称的点的坐标特点可得 m、n 的值，进而可得答案 【解答】解：点 A（n，5）与点 B（1，m
21、）关于原点对称， n1，m5， n+m154， 故答案为：4 15将抛物线 yx24x4 向左平移 3 个单位， 再向上平移 5 个单位， 得到抛物线的表达式为 y（x+1） 23 【分析】先把解析式化成顶点式，然后直接利用抛物线平移规律：上加下减，左加右减进而得出平 移后的解析式 【解答】解：yx24x4（x2）28， 将抛物线 y（x2）28 向左平移 3 个单位，再向上平移 5 个单位， 平移后的抛物线的解析式为：y（x2+3）28+5 即 y（x+1）23， 故答案为：y（x+1）23 16已知关于 x 的一元二次方程（k1）x2+2x+10 有实数根，则 k 的取值范围是 k2 且
22、k1 【分析】先利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到 k10 且224（k1）0，然后求出 两不等式的公共部分即可 【解答】解：根据题意得 k10 且224（k1）0， 解得 k2 且 k1 故答案为 k2 且 k1 17已知抛物线 yax2+bx+c 上部分点的横坐标 x 纵坐标 y 的对应值如下表： x 1 0 1 2 3 y 3 0 1 0 3 抛物线 yax2+bx+c 的开口向下； 抛物线 yax2+bx+c 的对称轴为直线 x1； 方程 ax2+bx+c0 的根为 x10，x22； 当 y0 时，x 的取值范围是 x0 或 x2 以上结论中，其中正确的有 【分析】根据表中数据和
23、抛物线的对称性，可得到抛物线的开口向上，当 x3 时，y0，即抛物线与 x 轴的交点为（0，0）和（2，0） ；因此可得抛物线的对称轴是直线 x1，再根据抛物线的性质即可进行 判断 【解答】解：根据表中数据得到抛物线的开口向上，故结论不符合题意， 根据图表，当 x0，y0，根据抛物线的对称性，当 x2 时，y0，即抛物线与 x 轴的交点为（0， 0）和（2，0） ，所以抛物线的对称轴是直线 x1，故结论符合题意 根据图表，当 x0，y0，根据抛物线的对称性，当 x2 时，y0，即方程 ax2+bx+c0 的根为 x1 0，x22故结论符合题意 由抛物线开口方向向上，且顶点坐标是（1，1） ，则
24、当 y0 时，x 的取值范围是 x0 或 x2故 结论符合题意 故答案是： 18如图，正方形 ABCD 的边长为 3，点 A 与原点重合，点 B 在 y 轴的正半轴上，点 D 在 x 轴的负半轴上， 将正方形 ABCD 绕点 A 逆时针旋转 30至正方形 ABCD的位置， BC与 CD 相交于点 M， 则点 M 的坐标为 （3，） 【分析】连接 AM，由旋转性质知 ADAB3、BAB30、BAD60，证 RtADMRt ABM 得DAMBAD30，由 DMADtanDAM 可得答案 【解答】解：如图，连接 AM， 将边长为 3 的正方形 ABCD 绕点 A 逆时针旋转 30得到正方形 ABCD
25、， ADAB3，BAB30， BAD60， 在 RtADM 和 RtABM 中， ， RtADMRtABM（HL） ， DAMBAMBAD30， DMADtanDAM3， 点 M 的坐标为（3，） ， 故答案为： （3，） 三、解答题： （本大题共三、解答题： （本大题共 8 小题，共小题，共 66 分）分） 19 （10 分）解方程： （1）2x214x； （2） （x1）23（1x）0 【分析】 （1）利用配方法求解即可； （2）利用因式分解法求解即可 【解答】解： （1）2x214x， x22x， x22x+1+1，即（x1）2， x1， x11+，x21； （2） （x1）23（1x）
26、0， （x1） （x1+3）0， x10 或 x+20， x11，x22 20 （6 分）如图，ABC 的顶点坐标分别为：A（0，1） ，B（5，4） ，C（2，4） （1）作ABC 关于点 O 的中心对称图形A1B1C1，并写出点 C1的坐标； （2）作ABC 关于 x 轴的轴对称图形A2B2C2，并写出点 C2的坐标 【分析】 （1）分别作出 A，B，C 的对应点 A1，B1，C1即可 （2）分别作出 A，B，C 的对应点 A2，B2，C2即可 【解答】解： （1）如图，A1B1C1即为所求，点 C1的坐标（2，4） （2）如图，A2B2C2即为所求，点 C2的坐标（2，4） 21 （6
27、分）如图是一张长 10dm，宽 6dm 矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个相同边长的正方形，然后将 四周突出部分折起，可制成一个无盖方盒若要制作一个底面积是 32dm2的一个无盖长方体纸盒，求剪 去的正方形边长 【分析】 设剪去的正方形边长为 xdm， 则做成的长方形纸盒的底面长为 （102x） dm， 宽为 （62x） dm， 根据做成的长方形纸盒的底面面积为 32dm2，即可得出关于 x 的一元二次方程，解之取其较小值即可得 出结论 【解答】 解： 设剪去的正方形边长为 xdm， 则做成的长方形纸盒的底面长为 （102x） dm， 宽为 （62x） dm， 依题意，得： （102x） （62
28、x）32， 整理，得：x28x+70， 解得：x11，x27 62x0， x3， x1 答：剪去的正方形边长为 1dm 22 （6 分）先阅读下列解题过程，然后解答问题 解一元二次不等式：x25x0 解：设 x25x0，解得：x10，x25 所以，抛物线 yx25x 与 x 轴的交点坐标为（0，0）和（5，0） 画出二次函数 yx25x 的大致图象（如图一所示） 由图象知： 当 x0 或 x5 时，函数图象位于 x 轴上方，此时 y0，即 x25x0， 所以，一元二次不等式 x25x0 的解集为：x0，或 x5 通过对上述的学习，用类似的方法解一元二次不等式：x2+2x30 解：设 x2+2x
29、30，解之，得： x13，x21 ， 所以，抛物线 yx2+2x3 与 x 轴的交点坐标为 （3，0）和（1，0） 请在图二中画出二次函数 yx2+2x3 的大致图象 由图象知： 当 3x1 时，函数图象位于 x 轴下方，此时 y0，即 x2+2x30，所以，一元二次不等式 x2+2x 30 的解集为： 3x1 【分析】设 x2+2x30，解方程得出抛物线 yx2+2x3 与 x 轴的交点坐标，画出二次函数 yx2+2x 3 的大致图象，由图象可知：当3x1 时函数图象位于 x 轴下方，此时 y0，即 yx2+2x30，即 可得出结果 【解答】解：设 x2+2x30，解之，得：x13，x21，
30、 所以，抛物线 yx2+2x3 与 x 轴的交点坐标为（3，0）和（1，0） 画出二次函数 yx2+2x3 的大致图象（如图所示） ， 由图象知： 当3x1 时，函数图象位于 x 轴下方，此时 y0，即 x2+2x30，所以，一元二次不等式 x2+2x3 0 的解集为：3x1 故答案为 x13，x21； （3，0）和（1，0） ；3x1，3x1 23 （8 分）现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高度发展，据调查，某快递公司今年三月份完 成投递的快递总件数为 10 万件，五月份完成投递的快递总件数 12.1 万件，现假定该公司每月投递的快 递总件数的增长率相同 （1）求该快递公司投递总件
31、数的月平均增长率； （2）如果平均每人每月最多可投递 0.6 万件，那么该公司现有的 21 名业务员能否完成今年 6 月份的投 递任务？为什么？ 【分析】 （1）设该快递公司投递总件数的月平均增长率为 x，根据该快递公司今年三月份及五月份完成 投递的快件总件数，即可得出关于 x 的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论； （2）利用今年 6 月份的投递任务今年 5 月份完成投递的快递总件数（1+增长率） ，可求出今年 6 月 份的投递任务，利用该公司一个月可投递的快递总件数平均每人每月最多可投递的件数21，可求出 该公司一个月可投递的快递总件数，将其与今年 6 月份的投递任务比较后即可得出结
32、论 【解答】解： （1）设该快递公司投递总件数的月平均增长率为 x， 依题意，得：10（1+x）212.1， 解得：x10.110%，x22.1（不合题意，舍去） 答：该快递公司投递总件数的月平均增长率为 10% （2）12.1（1+10%）13.31（万件） ， 0.62112.6（万件） 13.3112.6， 该公司现有的 21 名业务员不能完成今年 6 月份的投递任务 24 （8 分）某公司营销 A，B 两种产品，根据市场调研，确定两条信息： 信息 1：销售 A 种产品所获利润 y（万元）与所售产品 x（吨）之间存在二次函数关系，如图所示： 信息 2：销售 B 种产品所获利润 y（万元）
33、与销售产品 x（吨）之间存在正比例函数关系 y0.3x 根据以上信息，解答下列问题； （1）求二次函数的表达式； （2）该公司准备购进 A、B 两种产品共 10 吨，请设计一个营销方案，使销售 A、B 两种产品获得的利润 之和最大，最大利润是多少万元？ 【分析】 （1）由抛物线过原点可设 y 与 x 间的函数关系式为 yax2+bx，再利用待定系数法求解可得； （2）设购进 A 产品 m 吨，购进 B 产品（10m）吨，销售 A、B 两种产品获得的利润之和为 W 元，根 据：A 产品利润+B 产品利润总利润可得 W0.1m2+1.5m+0.3（10m） ，配方后根据二次函数的性质 即可知最值情
34、况 【解答】解： （1）根据题意，设销售 A 种产品所获利润 y 与销售产品 x 之间的函数关系式为 yax2+bx， 将（1，1.4） 、 （3，3.6）代入解析式， 得：， 解得：， 销售 A 种产品所获利润 y 与销售产品 x 之间的函数关系式为 y0.1x2+1.5x； （2）设购进 A 产品 m 吨，购进 B 产品（10m）吨，销售 A、B 两种产品获得的利润之和为 W 元， 则 W0.1m2+1.5m+0.3（10m） ， 0.1m2+1.2m+3， 0.1（m6）2+6.6， 0.10， 当 m6 时，W 取得最大值，最大值为 6.6 万元， 答：购进 A 产品 6 吨，购进 B
35、 产品 4 吨，销售 A、B 两种产品获得的利润之和最大，最大利润是 6.6 万 元 25 （10 分）正方形 ABCD 和正方形 AEFG 的边长分别为 2 和 2，点 B 在边 AG 上，点 D 在线段 EA 的 延长线上，连接 BE （1）如图 1，求证：DGBE； （2）如图 2，将正方形 ABCD 绕点 A 按逆时针方向旋转，当点 B 恰好落在线段 DG 上时，求线段 BE 的 长 【分析】 （1）由题意可证ADGABE， 可得AGDAEB，由ADG+AGD90， 可得ADG+ AEB90，即 DGBE； （2）过点 A 作 AMBD，垂足为 M，根据勾股定理可求 MG 的长度，即可
36、求 DG 的长度，由题意可证 DAGBAE，可得 BEDG 【解答】解： （1）如图，延长 EB 交 GD 于 H 四边形 ABCD 和四边形 AEFG 是正方形 ADAB，AGAE，DAGBAE90 ADGABE（SAS） AGDAEB ADG+AGD90 ADG+AEB90 DGBE （2）如图，过点 A 作 AMBD，垂足为 M 正方形 ABCD 和正方形 AEFG 的边长分别为 2 和 2， AMDM，DABGAE90 MG，DAGBAE DGDM+MG+， 由旋转可得：ADAB，AGAE，且DAGBAE DAGBAE（SAS） BEDG+ 26 （12 分） 如图， 已知二次函数 y
37、ax2+2x+c 的图象经过点 C （0， 3） ， 与 x 轴分别交于点 A， 点 B （3， 0） 点 P 是直线 BC 上方的抛物线上一动点 （1）求二次函数 yax2+2x+c 的表达式； （2）连接 PO，PC，并把POC 沿 y 轴翻折，得到四边形 POPC若四边形 POPC 为菱形，请求出 此时点 P 的坐标； （3）当点 P 运动到什么位置时，四边形 ACPB 的面积最大？求出此时 P 点的坐标和四边形 ACPB 的最 大面积 【分析】 （1）根据待定系数法，可得函数解析式； （2）根据菱形的对角线互相垂直且平分，可得 P 点的纵坐标，根据自变量与函数值的对应关系，可得 P 点
38、坐标； （3）根据平行于 y 轴的直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得 PQ 的长，根据面积 的和差，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案 【解答】解： （1）将点 B 和点 C 的坐标代入函数解析式，得 ， 解得， 二次函数的解析式为 yx2+2x+3； （2）若四边形 POPC 为菱形，则点 P 在线段 CO 的垂直平分线上， 如图 1，连接 PP，则 PECO，垂足为 E， C（0，3） ， E（0，） ， 点 P 的纵坐标， 当 y时，即x2+2x+3， 解得 x1，x2（不合题意，舍） ， 点 P 的坐标为（，） ； （3）如图 2， P 在抛物线上，设 P（m，m2+2m+3） ， 设直线 BC 的解析式为 ykx+b， 将点 B 和点 C 的坐标代入函数解析式，得 ， 解得 直线 BC 的解析为 yx+3， 设点 Q 的坐标为（m，m+3） ， PQm2+2m+3（m+3）m2+3m 当 y0 时，x2+2x+30， 解得 x11，x23， OA1， AB3（1）4， S四边形ABPCSABC+SPCQ+SPBQ ABOC+PQOF+PQFB 43+（m2+3m）3 （m）2+， 当 m时，四边形 ABPC 的面积最大 当 m时，m2+2m+3，即 P 点的坐标为（，） 当点 P 的坐标为（，）时，四边形 ACPB 的最大面积值为