1、2020-2021 学年四川省成都市成华区九年级（上）期中数学试卷学年四川省成都市成华区九年级（上）期中数学试卷 一一.选择题（本大题共选择题（本大题共 10 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 30 分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要 求，答案涂在答题卡上） 。求，答案涂在答题卡上） 。 1下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A等边三角形 B直角三角形 C平行四边形 D菱形 2如图所示的几何体，它的左视图是（ ） A B C D 3下列一元二次方程中，有两个相等实数根的是（ ） Ax2+12x Bx2+1
2、0 Cx22x3 Dx24x0 4在下列四幅图形中，能表示两棵小树在同一时刻阳光下影子的图形的可能是（ ） A B C D 5已知（a0，b0） ，下列变形错误的是（ ） A B2a3b C D3a2b 6将一元二次方程 x28x50 化成（x+a）2b（a，b 为常数）的形式，则 a，b 的值分别是（ ） A4，21 B4，11 C4，21 D8，69 7如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆 BE 测量建筑物的高度，已知标杆 BE 高为 1.5m，测得 AB3m， BC7m，则建筑物 CD 的高是（ ） A3.5m B4m C4.5m D5m 8在如图所示的象棋盘（各个小正方形的边长均相等）中
3、，根据“马走日”的规则， “马”应落在下列哪 个位置处，能使“马” 、 “车” 、 “炮”所在位置的格点构成的三角形与“帅” 、 “相” 、 “兵”所在位置的格 点构成的三角形相似（ ） A处 B处 C处 D处 9扬帆中学有一块长 30m，宽 20m 的矩形空地，计划在这块空地上划出四分之一的区域种花，小禹同学设 计方案如图所示，求花带的宽度设花带的宽度为 xm，则可列方程为（ ） A （30 x） （20 x）2030 B （302x） （20 x）2030 C30 x+220 x2030 D （302x） （20 x）2030 10如图，在ABCD 中，点 E 在对角线 BD 上，EMAD
4、，交 AB 于点 M，ENAB，交 AD 于点 N，则下 列式子一定正确的是（ ） A B C D 二二.填空题（本大题填空题（本大题 4 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 16 分）分） 11 （4 分）若，则 12 （4 分）在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共 20 个，这些球除颜色外都相同小明通过多次试验发 现，摸出红球的频率稳定在 0.25 左右，则袋子中红球的个数可能是 个 13 （4 分）要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为 5cm，6cm 和 9cm，另一 个三角形的最短边长为 2cm，则它的最长边为 cm 14 （4 分）如图，在菱形 A
5、BCD 中，AB5，AC6过点 D 作 BA 的垂线，交 BA 的延长线于点 E，则线 段 DE 的长为 三三.解答题（本大题共解答题（本大题共 6 个小题，满分个小题，满分 54 分）分） 15 （12 分）解下列方程： （1）x23x20； （2） （x5）290； （3） （2x+3） （x6）22 16 （8 分）关于 x 的方程 x22x+2m20 有实数根，且 m 为正整数，求 m 的值及此时方程的根 17 （8 分）先化简，再求值： （1），其中 x 是方程 x2x2 的根 18 （8 分）某体育老师统计了七年级 A，B 两个班女生的身高，并绘制了以下不完整的统计图表，根据图 表
6、中提供的信息，解答下列问题： （1）两个班共有女生 人，表中 m ，扇形统计图中 E 部分所对应的扇形圆心角是 度； （2）身高在 170 x175（cm）的 5 人中，A 班有 3 人，B 班有 2 人，现从中随机抽取两人补充到学校 国旗队，求这两人来自同一班级的概率 身高（cm） 人数 A：145x150 2 B：150 x155 6 C：155x160 m D：160 x165 13 E：165x170 n F：170 x175 5 19 （8 分）如图，已知正方形 ABCD 的边长为 6，点 E 在 CD 边上，以线段 CE 为边长在正方形 ABCD 的 外部作正方形 CEFG，以线段
7、 AD 和 DE 为邻边作矩形 ADEH，若 S正方形CEFGS矩形ADEH （1）求线段 CE 的长； （2）若点 M 为 BC 边的中点，连结 MD，求证：MDMG 20 （10 分）如图 1，在ABC 中，A90，AB3，AC4，点 M 是边 AB 上的动点（不与 A，B 重合） ， MQBC 于点 Q，MNBC，交 AC 于点 N，连接 NQ （1）求证：QBMAMN； （2）若点 M 为 AB 的中点（如图 2） ，求 QB 的长； （3）若四边形 BMNQ 为平行四边形（如图 3） ，求 QB 的长 四四.填空题（每小题填空题（每小题 4 分，共分，共 20 分）分） 21 （4
8、分）设 x1，x2是一元二次方程 x23x20 的两个实数根，则 x12+x22的值为 22 （4 分）已知 x1 是一元二次方程（84m）x2+4xm20 的一个根，则 m 的值为 23 （4 分）如图，正方形 ABCD 内的图形来自中国古代的太极图，现随机向正方形内掷一枚小针，则针尖 落在黑色区域内的概率为 24 （4 分）如图，四边形 ABCD 中，AC 平分BAD，CDAD，点 E 为 AB 的中点，DE 交 AC 于点 F若 AB，AC，BC1，则 AF 的长为 25 （4 分）如图，在边长为 4 的正方形 ABCD 中，E，F 分别为边 AB，AD 的中点，BF 与 EC，ED 分
9、别交 于点 G，H，则 GH 的长为 五五.解答题（本大题有解答题（本大题有 3 个小题，共个小题，共 30 分）分） 26 （8 分）某医疗设备工厂生产的呼吸机一月份产量为 80 台，一月底因突然爆发新冠肺炎疫情，市场对呼 吸机需求量大增，为满足市场需求，工厂决定从二月份起持续扩大产能，一、二、三月总产量为 560 台 （1）求呼吸机产量的月平均增长率； （2）按照这个月平均增长率，求五月份产量为多少台？ 27 （10 分）在ABC 中，CACB，ACB点 P 是平面内不与点 A，B，C 重合的任意一点连接 PA， 将线段 PA 绕点 P 逆时针旋转 得到线段 PD，连接 AD，直线 BD
10、交直线 CP 于点 M （1）如图 1，当 60时，的值是 ，CMB 时度数是 ； （2）当 90时， 如图 2，求的值及CMB 的度数； 若点 P 恰好落在 CA，CB 的中点 E，F 形成的直线上，且点 C，P，D 在同一直线上，请直接写出的 值 28 （12 分）如图，在平面直角坐标系中，矩形 ABCD 的边 AB 在 x 轴上，AB、BC 的长分别是一元二次方 程 x27x+120 的两个根（BCAB） ，OA2OB，边 CD 交 y 轴于点 E，动点 P 以每秒 1 个单位长度的 速度， 从点 E 出发沿折线段 EDDA 向点 A 运动， 运动的时间为 t （0t6） 秒， 设BOP
11、 与矩形 AOED 重叠部分的面积为 S （1）求点 D 的坐标； （2）求 S 关于 t 的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （3）在点 P 的运动过程中，是否存在点 P，使BEP 为等腰三角形？若存在，直接写出点 P 的坐标； 若不存在，请说明理由 2020-2021 学年四川省成都市成华区九年级（上）期中数学试卷学年四川省成都市成华区九年级（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一一.选择题（本大题共选择题（本大题共 10 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 30 分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目
12、要 求，答案涂在答题卡上） 。求，答案涂在答题卡上） 。 1下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A等边三角形 B直角三角形 C平行四边形 D菱形 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念解答 【解答】解：等边三角形不是中心对称图形是轴对称图形； 直角三角形不一定是中心对称图形也不一定是轴对称图形； 平行四边形是中心对称图形不是轴对称图形； 菱形是中心对称图形又是轴对称图形， 故选：D 2如图所示的几何体，它的左视图是（ ） A B C D 【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案 【解答】解：从左边看是两个同心圆，内圆要画成实线 故选：C 3下列一元二次方程中，有两
13、个相等实数根的是（ ） Ax2+12x Bx2+10 Cx22x3 Dx24x0 【分析】根据方程的系数结合根的判别式，分别求出四个选项中方程的根的判别式，利用“当0 时， 方程有两个相等的实数根”即可找出结论 【解答】解：A、（2）24110， 该方程有两个相等的实数根，选项 A 符合题意； B、041140， 该方程无实数根，选项 B 不符合题意； C、（2）244（3）520， 该方程有两个不相等的实数根，选项 C 不符合题意； D、（4）2410160， 该方程有两个不相等的实数根，选项 D 不符合题意 故选：A 4在下列四幅图形中，能表示两棵小树在同一时刻阳光下影子的图形的可能是（
14、） A B C D 【分析】根据平行投影得特点，利用两小树的影子的方向相反可对 A、B 进行判断；利用在同一时刻阳 光下，树高与影子成正比可对 C、D 进行判断 【解答】解：A、两棵小树的影子的方向相反，不可能为同一时刻阳光下影子，所以 A 选项错误； B、两棵小树的影子的方向相反，不可能为同一时刻阳光下影子，所以 B 选项错误； C、图中树高与影子成反比，而在同一时刻阳光下，树高与影子成正比，所以 C 选项错误； D、在同一时刻阳光下，树高与影子成正比，所以 D 选项正确 故选：D 5已知（a0，b0） ，下列变形错误的是（ ） A B2a3b C D3a2b 【分析】根据两内项之积等于两外
15、项之积对各选项分析判断即可得解 【解答】解：由得，3a2b， A、由等式性质可得：3a2b，正确； B、由等式性质可得 2a3b，错误； C、由等式性质可得：3a2b，正确； D、由等式性质可得：3a2b，正确； 故选：B 6将一元二次方程 x28x50 化成（x+a）2b（a，b 为常数）的形式，则 a，b 的值分别是（ ） A4，21 B4，11 C4，21 D8，69 【分析】 将常数项移到方程的右边， 两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案 【解答】解：x28x50， x28x5， 则 x28x+165+16，即（x4）221， a4，b21， 故选：A 7如图所示
16、，某校数学兴趣小组利用标杆 BE 测量建筑物的高度，已知标杆 BE 高为 1.5m，测得 AB3m， BC7m，则建筑物 CD 的高是（ ） A3.5m B4m C4.5m D5m 【分析】根据题意和图形，利用三角形相似的性质，可以计算出 CD 的长，从而可以解答本题 【解答】解：EBAC，DCAC， EBDC， ABEACD， ， BE1.5m，AB3m，BC7m， ACAB+BC10m， ， 解得，DC5， 即建筑物 CD 的高是 5m， 故选：D 8在如图所示的象棋盘（各个小正方形的边长均相等）中，根据“马走日”的规则， “马”应落在下列哪 个位置处，能使“马” 、 “车” 、 “炮”所
17、在位置的格点构成的三角形与“帅” 、 “相” 、 “兵”所在位置的格 点构成的三角形相似（ ） A处 B处 C处 D处 【分析】确定“帅” 、 “相” 、 “兵”所在位置的格点构成的三角形的三边的长，然后利用相似三角形的对 应边的比相等确定第三个顶点的位置即可 【解答】解：帅” 、 “相” 、 “兵”所在位置的格点构成的三角形的三边的长分别为 2、2、4； “车” 、 “炮”之间的距离为 1， “炮”之间的距离为， “车”之间的距离为 2， ， 马应该落在的位置， 故选：B 9扬帆中学有一块长 30m，宽 20m 的矩形空地，计划在这块空地上划出四分之一的区域种花，小禹同学设 计方案如图所示，
18、求花带的宽度设花带的宽度为 xm，则可列方程为（ ） A （30 x） （20 x）2030 B （302x） （20 x）2030 C30 x+220 x2030 D （302x） （20 x）2030 【分析】根据空白区域的面积矩形空地的面积可得 【解答】解：设花带的宽度为 xm，则可列方程为（302x） （20 x）2030， 故选：D 10如图，在ABCD 中，点 E 在对角线 BD 上，EMAD，交 AB 于点 M，ENAB，交 AD 于点 N，则下 列式子一定正确的是（ ） A B C D 【分析】根据平行四边形的性质以及相似三角形的性质 【解答】解： 在ABCD 中，EMAD 易
19、证四边形 AMEN 为平行四边形 易证BEMBADEND ，A 项错误 ，B 项错误 ，C 项错误 ，D 项正确 故选：D 二二.填空题（本大题填空题（本大题 4 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 16 分）分） 11 （4 分）若，则 【分析】根据比例的基本性质变形，代入求值即可 【解答】解：由可设 y3k，x7k，k 是非零整数， 则 故答案为： 12 （4 分）在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共 20 个，这些球除颜色外都相同小明通过多次试验发 现，摸出红球的频率稳定在 0.25 左右，则袋子中红球的个数可能是 5 个 【分析】设袋子中红球有 x 个，根据摸出红球的频率稳
20、定在 0.25 左右列出关于 x 的方程，求出 x 的值， 从而得出答案 【解答】解：设袋子中红球有 x 个， 根据题意，得：0.25， 解得 x5， 即袋子中红球的个数可能是 5 个， 故答案为：5 13 （4 分）要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为 5cm，6cm 和 9cm，另一 个三角形的最短边长为 2cm，则它的最长边为 cm 【分析】根据相似三角形的性质列出比例式，把已知数据代入计算得到答案 【解答】解：设另一个三角形的最长边为 xcm， 两个三角形相似， ， 解得，x， 则另一个三角形的最长边为cm， 故答案为： 14 （4 分）如图，在菱形 ABCD
21、中，AB5，AC6过点 D 作 BA 的垂线，交 BA 的延长线于点 E，则线 段 DE 的长为 【分析】根据菱形的性质和勾股定理，可以得到 BD 的长，然后菱形的面积等于对角线乘积的一半，也 等于底乘高，从而可以得到 DE 的长 【解答】解：四边形 ABCD 是菱形，AB5，AC6 ABBCCDDA5，ABCD，OAOC3， OB4， BD2OB8， ， 5DE， 解得，DE， 故答案为： 三三.解答题（本大题共解答题（本大题共 6 个小题，满分个小题，满分 54 分）分） 15 （12 分）解下列方程： （1）x23x20； （2） （x5）290； （3） （2x+3） （x6）22 【
22、分析】 （1）找出 a，b，c 的值，计算出根的判别式大于 0，代入求根公式即可求出解； （2）方程变形后，利用平方根定义开方即可求出解； （3）方程变形后，利用因式分解法即可求出解 【解答】解： （1）x23x20， 这里 a1，b3，c2， 9+817， x， x1，x2； （2） （x5）290， 方程变形得： （x5）29， 开方得：x53， 解得：x18，x22； （3） （2x+3） （x6）22， 方程变形得：2x29x+40， 分解因式得： （2x1） （x4）0， 解得：x1，x24 16 （8 分）关于 x 的方程 x22x+2m20 有实数根，且 m 为正整数，求 m 的
23、值及此时方程的根 【分析】直接利用根的判别式得出 m 的取值范围，求得 m1，进而解方程得出答案 【解答】解：关于 x 的方程 x22x+2m20 有实数根， b24ac44（2m2）0， 解得：m， m 为正整数， m1， 原方程可化为 x22x0， 解得：x10，x2，2 17 （8 分）先化简，再求值： （1），其中 x 是方程 x2x2 的根 【分析】先化简分式，然后将 x 的值代入求值 【解答】解：原式（）， ， x 是方程 x2x2 的根 x2 或 x1， 当 x1 时，分式分母为 0，所以不符合题意，舍去， 当 x2 时，原式2 18 （8 分）某体育老师统计了七年级 A，B 两
24、个班女生的身高，并绘制了以下不完整的统计图表，根据图 表中提供的信息，解答下列问题： （1） 两个班共有女生 50 人， 表中 m 14 ， 扇形统计图中 E 部分所对应的扇形圆心角是 72 度； （2）身高在 170 x175（cm）的 5 人中，A 班有 3 人，B 班有 2 人，现从中随机抽取两人补充到学校 国旗队，求这两人来自同一班级的概率 身高（cm） 人数 A：145x150 2 B：150 x155 6 C：155x160 m D：160 x165 13 E：165x170 n F：170 x175 5 【分析】 （1）根据 D 部分学生人数除以它所占的百分比求得总人数，用总人数
25、乘以 C、E 所占的百分比 求得 C、E 部分人数，用 360乘以 E 部分所占百分比可求 E 部分所对应的扇形圆心角度数； （2）利用树状图法，将所有等可能的结果列举出来，利用概率公式求解即可 【解答】解： （1）两个班共有女生：1326%50（人） ， C 部分对应的人数为：5028%14（，人） ，即 m14， E 部分所对应的人数为：50261314510（人） ； 扇形统计图中 E 部分所对应的扇形圆心角度数为 36072， 故答案为：50，14，72； （2）画树状图： 共有 20 种等可能的结果数，其中这两人来自同一班级的情况占 8 种， 这两人来自同一班级的概率是 19 （8
26、分）如图，已知正方形 ABCD 的边长为 6，点 E 在 CD 边上，以线段 CE 为边长在正方形 ABCD 的 外部作正方形 CEFG，以线段 AD 和 DE 为邻边作矩形 ADEH，若 S正方形CEFGS矩形ADEH （1）求线段 CE 的长； （2）若点 M 为 BC 边的中点，连结 MD，求证：MDMG 【分析】 （1）设 CEx，利用正方形的性质和矩形的性质得到 FGEFx，FH6+x，再证明 S矩形BGFE S正方形ABCD，则（x+6）36，然后解方程得到 CE 的长； （2）利用勾股定理计算出 DM3，再计算 MGMC+CG3，从而得到结论 【解答】 （1）解：设 CEx，则
27、FGEFx，FH6+x， S正方形CEFGS矩形ADEH， S正方形CEFG+S矩形BCEHS矩形BCEH+S矩形ADEH， 即 S矩形BGFES正方形ABCD， x（x+6）36，解得 x133，x233（舍去） ， 即 CE 的长为 33； （2）证明：点 M 为 BC 边的中点， MC3， 在 RtMCD 中，DM3， MGMC+CG3+333， MDMG 20 （10 分）如图 1，在ABC 中，A90，AB3，AC4，点 M 是边 AB 上的动点（不与 A，B 重合） ， MQBC 于点 Q，MNBC，交 AC 于点 N，连接 NQ （1）求证：QBMAMN； （2）若点 M 为 A
28、B 的中点（如图 2） ，求 QB 的长； （3）若四边形 BMNQ 为平行四边形（如图 3） ，求 QB 的长 【分析】 （1）先由 MNBC 得出BAMN，进而得出结论； （2）先求 AMBM，再判断出QBMABC，得出比例式，即可得出结论； （3）先判断出AMNABC，得出，设 AM3a，则 MN5a，进而得出 BQMN5a，再 由QBMAMN，得出比例式，建立方程求解，即可得出结论 【解答】解： （1）MQBC， BQM90A， MNBC， BAMN， QBMAMN； （2）在 RtABC 中，AB3，AC4， 根据勾股定理得，BC5， 点 M 为 AB 的中点，且 AB3， AMBM
29、， BB，BQMBAC90， QBMABC， ， ， QB； （3）四边形 BMNQ 为平行四边形， BQMN， MNBC， AMNABC， ， ， 设 AM3a，则 MN5a， 四边形 BMNQ 为平行四边形， BQMN，BQMN5a， 由（1）知，QBMAMN， ， ， a， BQ5a 四四.填空题（每小题填空题（每小题 4 分，共分，共 20 分）分） 21 （4 分）设 x1，x2是一元二次方程 x23x20 的两个实数根，则 x12+x22的值为 13 【分析】根据根与系数的关系得到 x1+x23，x1x22，再利用完全平方公式得到+（x1+x2）2 2x1x2，然后利用整体代入的方
30、法计算 【解答】解：根据题意得 x1+x23，x1x22， 所以+（x1+x2）22x1x2 322（2）13 故答案为：13 22 （4 分）已知 x1 是一元二次方程（84m）x2+4xm20 的一个根，则 m 的值为 6 【分析】首先把 x1 代入一元二次方程（84m）x2+4xm20 中得到关于 m 的方程，然后解关于 m 的方程即可求出结果 【解答】解：x1 是一元二次方程（84m）x2+4xm20 的一个根， 84m+4m20， m2+4m120， （m+6） （m2）0， 解得 m6 或 m2， 当 m2 时，84m0 不合题意， m6 故答案为：6 23 （4 分）如图，正方形
31、 ABCD 内的图形来自中国古代的太极图，现随机向正方形内掷一枚小针，则针尖 落在黑色区域内的概率为 【分析】用圆的面积的一半除以正方形的面积得到针尖落在黑色区域内的概率 【解答】解：设正方形的边长为 2a，则正方形的内切圆的半径为 a， 所以针尖落在黑色区域内的概率 故答案为 24 （4 分）如图，四边形 ABCD 中，AC 平分BAD，CDAD，点 E 为 AB 的中点，DE 交 AC 于点 F若 AB，AC，BC1，则 AF 的长为 【分析】 根据勾股定理的逆定理和已知条件可得ADCACB90， 根据角平分线的定义证明DAC CAB，根据 AA 可证ADCACB，根据相似三角形的性质可得
32、 AD，根据直角三角形的性质得到 ACECAB，可得ACECAD，根据 AA 可证FCEFAD，再根据相似三角形的性质即可求 解 【解答】解：在ACB 中，AB，AC，BC1， （）2（）2+12， ACB 是直角三角形，即ACB90， CDAD， ADC90， ADCACB， AC 平分BAD， DACCAB， ADCACB（AA） ， ，即， 解得 AD， 点 E 为 AB 的中点， AECEAB， ACECAB， ACECAD， AFDCFE， FCEFAD（AA） ， ， AFAC 故答案为： 25 （4 分）如图，在边长为 4 的正方形 ABCD 中，E，F 分别为边 AB，AD 的
33、中点，BF 与 EC，ED 分别交 于点 G，H，则 GH 的长为 【分析】先求出 BE2，再判断出BAFMDF，得出 DMAB4，FMBF2，进而得出 BM4，再判断出BEHMDH，得出比例式求出 BH，再判断出BGEMGC，得出比例式求 出 BG，即可得出结论 【解答】解：如图，延长 BF，CD 相交于点 M， 四边形 ABCD 是正方形， A90，ABADCD4，ABCD， ABFM， 点 F 是 AD 的中点， AFDFAD2， 在 RtABF 中，根据勾股定理得，BF2， 在BAF 和MDF 中， ， BAFMDF（AAS） ， DMAB4，FMBF2， BM2BF4，CMCD+DM
34、8， ABCD， BEHMDH， ， 点 E 是 AB 的中点， BEAB2， ， ， BHBM， ABCD， BGEMGC， ， ， BGBM， GHBHBG， 故答案为： 五五.解答题（本大题有解答题（本大题有 3 个小题，共个小题，共 30 分）分） 26 （8 分）某医疗设备工厂生产的呼吸机一月份产量为 80 台，一月底因突然爆发新冠肺炎疫情，市场对呼 吸机需求量大增，为满足市场需求，工厂决定从二月份起持续扩大产能，一、二、三月总产量为 560 台 （1）求呼吸机产量的月平均增长率； （2）按照这个月平均增长率，求五月份产量为多少台？ 【分析】 （1）根据题意设呼吸机产量的月平均增长率
35、为 x，根据题意列出方程即可求解； （2）结合（1）按照这个增长率，根据 1 月份产量，即可得的 5 月份产量 【解答】解： （1）设呼吸机产量的月平均增长率为 x，根据题意，得 80+80（1+x）+80（1+x）2560， 解得 x14（舍去） ，x21100%， 答：呼吸机产量的月平均增长率为 100% （2）80（1+1）41120（台） 答：五月份产量为为 1120 台 27 （10 分）在ABC 中，CACB，ACB点 P 是平面内不与点 A，B，C 重合的任意一点连接 PA， 将线段 PA 绕点 P 逆时针旋转 得到线段 PD，连接 AD，直线 BD 交直线 CP 于点 M （1
36、）如图 1，当 60时，的值是 1 ，CMB 时度数是 60 ； （2）当 90时， 如图 2，求的值及CMB 的度数； 若点 P 恰好落在 CA，CB 的中点 E，F 形成的直线上，且点 C，P，D 在同一直线上，请直接写出的 值 【分析】 （1）由旋转的性质可得 ADAP，PAD60，由“SAS”可证ACPABD，可得 BD CP，ABDACP，即可求解； （2）设 BD 交 AC 于点 O，通过证明DABPAC，可得PCADBA，即可求 解； 分两种情形：当点 D 在线段 PC 上时，延长 AD 交 BC 的延长线于 H证明 ADDC 即可解决问题； 当点 P 在线段 CD 上时，同法可
37、证：DADC 解决问题 【解答】解： （1）将线段 PA 绕点 P 逆时针旋转 60得到线段 PD， ADAP，PAD60， ACB 是等边三角形， ACAB，CABPAD60， BADCAP， ACPABD（SAS） ， BDCP，ABDACP， 1， CMB+MCB+CBM180， CMB180（MCA+ACB+MBC）180（ABD+ACB+CBM）60， 故答案为：1，60； （2）如图 2 中，设 BD 交 AC 于点 O， PADCAB45， PACDAB， ， DABPAC， PCADBA， MOCAOB， CMBOAB45， 如图 3 中，当点 D 在线段 PC 上时，延长 A
38、D 交 BC 的延长线于 H CEEA，CFFB， EFAB， EFCABC45， PAO45， PAOOFH， POAFOH， HAPO， APC90，EAEC， PEEAEC， EPAEAPBAH， HBAH， BHBA， ADPBDC45， ADB90， BDAH， DBADBC22.5， ADBACB90， A，D，C，B 四点共圆， DACDBC22.5，DCAABD22.5， DACDCA22.5， DADC，设 ADa，则 DCADa，PDa， 2； 如图 3 中，当点 P 在线段 CD 上时，同法可证：DADC，设 ADa，则 CDADa，PDa， PCaa， 2+ 综上所述：
39、的值为 2或 2+； 28 （12 分）如图，在平面直角坐标系中，矩形 ABCD 的边 AB 在 x 轴上，AB、BC 的长分别是一元二次方 程 x27x+120 的两个根（BCAB） ，OA2OB，边 CD 交 y 轴于点 E，动点 P 以每秒 1 个单位长度的 速度， 从点 E 出发沿折线段 EDDA 向点 A 运动， 运动的时间为 t （0t6） 秒， 设BOP 与矩形 AOED 重叠部分的面积为 S （1）求点 D 的坐标； （2）求 S 关于 t 的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （3）在点 P 的运动过程中，是否存在点 P，使BEP 为等腰三角形？若存在，直接写出点 P 的坐
40、标； 若不存在，请说明理由 【分析】 （1）解方程求出 x 的值，由 BCAB，OA2OB 可得答案； （2）设 BP 交 y 轴于点 F，当 0t2 时，PEt，由OBFEPF 知，即，据此 得 OF， 根据面积公式可得此时解析式； 当 2t6 时， AP6t， 由OBFABP 知， 即，据此得 OF，根据三角形面积公式可得答案； （3）设 P（2，m） ，由 B（1，0） ，E（0，4）知 BP29+m2，BE21+1617，PE24+（m4）2 m28m+20，再分三种情况列出方程求解可得 【解答】解： （1）x27x+120， x13，x24， BCAB， BC4，AB3， OA2OB
41、， OA2，OB1， 四边形 ABCD 是矩形， 点 D 的坐标为（2，4） ； （2）设 BP 交 y 轴于点 F， 如图 1，当 0t2 时，PEt， CDAB， OBFEPF， ，即， OF， SOFPEt； 如图 2，当 2t6 时，AP6t， OEAD， OBFABP， ，即， OF， SOFOA2t+2； 综上所述，S； （3）由题意知，当点 P 在 DE 上时，显然不能构成等腰三角形； 当点 P 在 DA 上运动时，设 P（2，m） ， B（1，0） ，E（0，4） ， BP29+m2，BE21+1617，PE24+（m4）2m28m+20， 当 BPBE 时，9+m217，解得 m2， 则 P（2，2） ； 当 BPPE 时，9+m2m28m+20，解得 m， 则 P（2，） ； 当 BEPE 时，17m28m+20，解得 m4， 则 P（2，4） ； 综上，P（2，2）或（2，）或（2，4）