1、 1 第第 0404 讲讲 分式分式 1分式的基本概念 (1)形如A B(A、B 是整式，且 B 中含有字母，B0)的式子叫做分式 (2)当 B0 时，分式A B有意义；当 B0 时，分式 A B无意义；当 A0 时，分式 A B的值为零. 2分式的性质 (1)分式的分子与分母都乘(或除以)一个不为零的整式，分式的值不变，即A B AM BM， A B AM BM；(M 是不等于 零的整式) (2)分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变即A B A B A B A B. 3最简分式：如果一个分式的分子与分母没有公因式，那么这个分式叫做最简分式 4分式的运算 (1)通分：把几
2、个异分母分式化为与原分式的值相等的同分母分式，这种变形叫做分式的通分，通分的根据 是分式的基本性质通分的关键是确定几个分式的最简公分母 (2)确定最简公分母： 确定方法：取各分式的分母中系数的最小公倍数；各分式的分母中所有字母或因式都要取到；相同 字母(或因式)的幂取指数最大的；所得的系数的最小公倍数与各分母(或因式)的最高次幂的积即为最简 公分母 (3)约分：把分式中分子与分母的_公因式_约去，这种变形叫做约分，约分的根据是分式的基本性质 (4)分式的运算法则： 加减法： 同分母加减法：a c b c_ ab c _； 异分母加减法：b a d c bcab ac . 乘除法： a b c
3、d ac bd； a b c d_ ad bc_ 乘方：(a b) na n b n. 2 考点 1： 分式的化简 【例题 1】下列变形错误的是（ ） A. 463 23 2 2 4 yyx yx B.1 )( )( 3 3 xy yx C. 9 )(4 )(27 )(12 323 bax ba bax D. y x axy ayx 3)1 (9 ) 1(3 22 22 【答案】D 【解析】 ：A 选项分子和分母同时除以最大公因式 32 2x y；B 选项的分子和分母互为相反数；C 选项分子和分 母同时除以最大公因式3 ab，D 选项正确的变形是 22 22 3(1) 9(1)3 x y ax
4、 xyay 所以答案是 D 选项 考点 2： 分式的化简 【例题 2】 （2018 包头）化简； 2 2 44 2 xx xx （ 4 2x 1）= 【答案】 2x x 【解析】 ：原式= 2 (2) (2) x x x （ 4 2x 2 2 x x ） = 2 (2) (2) x x x 2 2 x x = 2 (2) (2) x x x 2 (2) x x = 2x x ， 故答案为： 2x x 考点 3：分式的加减乘除运算 【例题 3】先化简，再求值：93a 2a4(a2 5 a2)，其中 a 满足 a 2a60. 【解答】解：原式3（3a） 2（a2） a 29 a2 3（3a） 2（
5、a2） a2 （a3）（a3） 3 3 2（a3）. a 2a60，且 a2，3，a3(舍去)或 a2. 当 a2 时，原式3 2. 归纳：1.分式化简时，应注意：当自主确定代数式中字母的取值时，一定要注意所选取的值不能使原分式 中的分母为 0；另外对于所给值是代数式时，可考虑整体代入思想计算以达到简便计算的目的 2分式化简求值的一般步骤： 第一步：若有括号的，先计算括号内的运算，括号内如果是异分母加减运算时，需将异分母分式通分化为 同分母分式运算，然后将分子合并同类项，把括号去掉，简称：去括号； 第二步：若有除法运算的，将分式中除号()后面的式子分子、分母颠倒，并把这个式子前的“”变为 “”
6、 ，保证几个分式之间除了“、”就只有“或” ，简称：除法变乘法； 第三步：计算分式乘法运算，利用因式分解、约分来计算乘法运算，简称：先算乘法； 第四步：最后按照式子顺序，从左到右计算分式加减运算，直到化为最简形式，简称：再算加减； 第五步：将所给数值代入求值，代入数值时要注意使原分式有意义，简称：代入求值 一、选择题： 1. （2018金华）若分式的值为 0，则 x 的值为（ ） A3 B3 C3 或3 D0 【答案】A 【解答】由分式的值为零的条件得 x3=0，且 x+30， 解得 x=3 故选：A 2. （2018台州）计算，结果正确的是（ ） A1 Bx C D 【答案】A 【解答】原式
7、= =1，故选：A 4 3. （2019江苏扬州3 分）分式 x-3 1 可变形为( D ) A. x3 1 B.- x3 1 C. 3 1 x D. 3 1 - x 【答案】：故选 B. 【解析】 ：分式的分母整体提取负号，则每一个都要变号 4.（2019河北省2 分）如图，若 x 为正整数，则表示的值的点落在（ ） A段 B段 C段 D段 【答案】B 【解析】1 又x 为正整数， x1 故表示的值的点落在 5. （2019四川省达州市3 分）a 是不为 1 的有理数，我们把称为 a 的差倒数，如 2 的差倒数为 1，1 的差倒数，已知 a15，a2是 a1的差倒数，a3是 a2的差倒数，a
8、4是 a3的差倒数，依 此类推，a2019的值是（ ） A5 B C D 【答案】D 【解答】解：a15， a2， a3， 5 a45， 数列以 5，三个数依次不断循环， 20193673， a2019a3， 故选：D 二、填空题： 6. （2019江苏泰州3 分）若分式 1 21x 有意义，则 x 的取值范围是 【答案】 x 1 2 【解答】解：根据题意得，2x10， 解得 x 1 2 故答案为：x 1 2 7. （2018襄阳）计算的结果是 【答案】 【解答】原式= =，故答案为： 8. （2018四川自贡4 分）化简+结果是 【分析】根据分式的运算法则即可求出答案 【解答】解：原式=+
9、= 故答案为： 9. 先阅读下面一段文字，然后解答问题： 6 一个批发兼零售的文具店规定：凡一次购买铅笔 301 支以上（包括 301 支）可以按批发价付款；购买 300 支以下（包括 300 支）只能按零售价付款现有学生小王购买铅笔，如果给初三年级学生每人买 1 支，则 只能按零售价付款，需用（m 21）元，（m 为正整数，且 m21100）如果多买 60 支，则可按批发价付款， 同样需用（m 21）元 设初三年级共有 x 名学生，则x 的取值范围是 ； 铅笔的零售价每支应为 元； 批发价每支应为 元（用含 x、m 的代数式表示） 【分析】关系式为：学生数300，学生数+60301 列式求值
10、即可； 零售价=总价学生实有人数； 批发价=总价（学生实有人数+60） 【解答】解：由题意得： x300，x+60301， 241x300； 铅笔的零售价每支应为元； 批发价每支应为元 三、解答题： 10. （2018玉林）先化简再求值：（a），其中 a=1+，b=1 【分析】据分式的运算法则即可求出答案， 【解答】：当 a=1+，b=1时， 原式= = = 11.（2017 张家界）先化简（1），再从不等式 2x16 的正整数解中选一个适当的数 代入求值 【分析】先把括号里的式子进行通分，再把后面的式子根据完全平方公式、平方差公式进行因式分解，然 后约分，再求出不等式的解集，最后代入一个合适
11、的数据代入即可 7 【解答】解： （1）=， 2x16， 2x7， x， 把 x=3 代入上式得： 原式=4 12. (2018遵义)化简分式( a 23a a 26a9 2 3a) a2 a 29，并在 2，3，4，5 这四个数中取一个合适的数作为 a 的值代入求值 【解析】 ：原式a（a3） （a3） 2 2 a3 a2 （a3）（a3） ( a a3 2 a3) （a3）（a3） a2 a2 a3 （a3）（a3） a2 a3. a3，2，3， a4 或 a5. 当 a4 时，原式7.(或当 a5 时，原式8.) 13. (2018石家庄模拟)化简 a a 24a 23a a2 1 2a
12、，并求值，其中 a 与 2，3 构成ABC 的三边，且 a 为整 数 【解析】 ：原式 a （a2）（a2） a2 a（a3） 1 a2 1 （a2）（a3） a3 （a2）（a3） 1 a3. a 与 2，3 构成ABC 的三边， 1a5. 又a 为整数， a2，3，4. 又a2 且 a3，a4. 8 当 a4 时，原式1. 14. 问题探索： （1）已知一个正分数（mn0），如果分子、分母同时增加 1，分数的值是增大还是减小？请证明你的 结论 （2）若正分数（mn0）中分子和分母同时增加 2，3k（整数 k0），情况如何？ （3）请你用上面的结论解释下面的问题： 建筑学规定： 民用住宅窗户
13、面积必须小于地板面积， 但按采光标准， 窗户面积与地板面积的比应不小于 10%， 并且这个比值越大，住宅的采光条件越好，问同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件是变 好还是变坏？请说明理由 【分析】（1）使用作差法，对两个分式求差，有=，由差的符号来判断两个分式的大小 （2）由（1）的结论，将 1 换为 k，易得答案， （3）由（2）的结论，可得一个真分数，分子分母增大相同的数，则这个分数整体增大；结合实际情况判 断，可得结论 【解答】解：（1）（mn0） 证明：=， 又mn0， 0， （2）根据（1）的方法，将 1 换为 k，有（mn0，k0） （3）设原来的地板面积和窗户面积分别为 x、y，增加面积为 a， 由（2）的结论，可得一个真分数，分子分母增大相同的数，则这个分数整体增大； 则可得：， 所以住宅的采光条件变好了