1、 1 第第 8 8 讲讲 分式方程及其应用分式方程及其应用 1分式方程定义 分母中含有未知数的方程叫做分式方程 2分式方程解法 分式方程转化为整式方程，解方程，求出解，代入最简公分母进行检验，得出分式方程的解 3分式方程的增根 使最简公分母为 0 的根 注意：分式方程的增根和无解并非同一个概念，分式方程无解，可能是解为增根，也可能是去分母后的整 式方程无解；分式方程的增根是去分母后整式方程的根，也是使分式方程的分母为 0 的根 4分式方程的实际应用 (1)分式方程的实际应用常见类型及关系： 工程问题： 工作效率 工作量 工作时间；工作时间 工作量 工作效率； 销售问题：售价标价折扣； 行程问题
2、：时间路程 速度. (2)解分式方程的实际应用问题的一般步骤： 审：审清题意； 设：设出适当的未知数(直接设未知数或者间接设未知数)； 找：找出各量之间的等量关系； 列：根据等量关系，列出分式方程； 解：解这个分式方程； 验：检验所求的解是否是原分式方程的解，是否满足题意； 答：写出答案 审清题意是前提，找等量关系是关键，列出方程是重点 2 考点 1：分式方程的解法 【例题 1】解方程： 2 3x11 3 6x2. 【解答】解：方法一：去分母，得 42(3x1)3. 解得 x1 2. 检验：当 x1 2时，2(3x1)0， x1 2是原分式方程的解 方法二：设 3x1y 则原方程可化为2 y1
3、 3 2y， 去分母，得 42y 3. 解得 y1 2. 3x11 2.解得 x 1 2. 检验：当 x1 2时，6x20， x1 2是原分式方程的解 方法三：移项，得 2 3x1 3 6x21. 通分，得 1 6x21. 由分式的性质，得 6x21. 解得 x1 2. 检验：当 x1 2时，6x20， x1 2是原分式方程的解 归纳：把分式方程转化为整式方程，再按照解整式方程的步骤解题，不同的是解分式方程需要验根 考点 2：分式方程的应用 【例题 2(2018吉林)如图是学习分式方程应用时，老师板书的问题和两名同学所列的方程 解分式方程：甲、乙两个工程队，甲队修路 400 米与乙队修路 60
4、0 米所用时间相等，乙队每天比甲队多修 20 米，求甲队每天修路的长度 3 冰冰：400 x 600 x20 庆庆：600 y 400 y 20 根据以上信息，解答下列问题 (1)冰冰同学所列方程中的 x 表示甲队每天修路的长度； 庆庆同学所列方程中的 y 表示甲队修路 400 米所用时间； (2)两个方程中任选一个，并写出它的等量关系； (3)解(2)中你所选择的方程，并回答老师提出的问题 【解析】 ：(2)冰冰用的等量关系是：甲队修路 400 米所用时间乙队修路 600 米所用时间； 庆庆用的等量关系是：乙队每天修路的长度甲队每天修路的长度20 米(选择一个即可) (3)选冰冰的方程：40
5、0 x 600 x20，解得 x40. 经检验，x40 是原方程的根 答：甲队每天修路的长度为 40 米 选庆庆的方程：600 y 400 y 20，解得 y10. 经检验，y10 是原方程的根 400 y 40. 答：甲队每天修路的长度为 40 米 归纳：列方程解实际问题时，必须验根，既要检查所求解是否为分式方程的增根，又要检查看是否满足应 用题的实际意义 考点 3：分式方程与其它问题的综合应用 【例题 3】 （2019山东潍坊10 分）扶贫工作小组对果农进行精准扶贫，帮助果农将一种有机生态水果拓宽 了市场与去年相比，今年这种水果的产量增加了 1000 千克，每千克的平均批发价比去年降低了
6、1 元，批 发销售总额比去年增加了 20% （1）已知去年这种水果批发销售总额为 10 万元，求这种水果今年每千克的平均批发价是多少元？ （2）某水果店从果农处直接批发，专营这种水果调查发现，若每千克的平均销售价为 41 元，则每天可 售出 300 千克；若每千克的平均销售价每降低 3 元，每天可多卖出 180 千克，设水果店一天的利润为 w 元， 当每千克的平均销售价为多少元时，该水果店一天的利润最大，最大利润是多少？（利润计算时，其它费 用忽略不计 ） 4 【分析】 （1）由去年这种水果批发销售总额为 10 万元，可得今年的批发销售总额为 10（120%）12 万 元，设这种水果今年每千克
7、的平均批发价是 x 元，则去年的批发价为（x+1）元，可列出方程： 120000 100000 -=1000 1xx ，求得 x 即可 （2）根据总利润（售价成本）数量列出方程，根据二次函数的单调性即可求最大值 【解答】解： （1）由题意，设这种水果今年每千克的平均批发价是 x 元，则去年的批发价为（x+1）元，今 年的批发销售总额为 10（120%）12 万元 120000 100000 -=1000 1xx 整理得 x 219x1200 解得 x24 或 x5（不合题意，舍去） 故这种水果今年每千克的平均批发价是 24 元 （2）设每千克的平均售价为 m 元，依题意 由（1）知平均批发价为
8、 24 元，则有 w（m24） （ 41 3 m 180+300）60m 2+4200m66240 整理得 w60（m35） 2+7260 a600 抛物线开口向下 当 m35 元时，w 取最大值 即每千克的平均销售价为 35 元时，该水果店一天的利润最大，最大利润是 7260 元 归纳：最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型， 根据每天的利润一件的利润销售件数，建立函数关系式，此题为数学建模题，借助二次函数解决实际 问题 一、选择题： 1. （2019，山东淄博，4 分）解分式方程 11 = 22 x xx 2 时，去分母变形正确的是（ ） A1
9、+x12（x2） B1x12（x2） C1+x1+2（2x） D1x12（x2） 【答案】D 5 【解答】解：去分母得：1x12（x2） ， 故选：D 2. （2019山东省聊城市3 分）如果分式的值为 0，那么x的值为（ ） A1 B1 C1 或 1 D1 或 0 【答案】B 【解答】解：根据题意，得 |x|10 且x+10， 解得，x1 故选：B 3. （2018 海南） （3.00 分）分式方程=0 的解是（ ） A1 B1 C1 D无解 【答案】B 【解答】两边都乘以 x+1，得：x21=0， 解得：x=1 或 x=1， 当 x=1 时，x+10，是方程的解； 当 x=1 时，x+1=
10、0，是方程的增根，舍去； 所以原分式方程的解为 x=1， 故选：B 4. （2019湖南株洲3 分）关于 x 的分式方程0 的解为（ ） A3 B2 C2 D3 【答案】B 【解答】解：去分母得：2x65x0， 解得：x2， 经检验 x2 是分式方程的解， 故选：B 5. 若数使关于x的不等式组 11 23 52 xx xxa 有且只有四个整数解， 且使关于y的方程 2 2 11 yaa yy 的解为 非负数，则符合条件的所有整数的和为( ) 6 A -3 B -2 C1 D2 【答案】C 解析：解不等式 115 232 52 4 xxx a x xxa 得，由于不等式有四个整数解，根据题意
11、A 点为 4 2a ，则1 4 2 0 a ，解得22a。解分式方程 2 1 2 1 y a y ay 得 ay 2 ，又需排除分式方程无解的情况，故2a且1a.结合不等式组的结果有 a 的取值范围为 122aa且，又 a 为整数,所以 a 的取值为2 , 0 , 1,和为 1.故选 C 二、填空题： 6. （2019湖南岳阳4 分）分式方程 12 = +1xx 的解为x 1 【答案】1 【解答】解：方程两边同乘x（x+1） ， 得x+12x， 解得x1 将x1 代入x（x+1）20 所以x1 是原方程的解 7. （2018 黑龙江齐齐哈尔）若关于 x 的方程 2 13 4416 mm xxx
12、 无解，则 m 的值为 【答案】1 或 5 或 1 3 【解答】解：去分母得：x+4+m（x4）=m+3， 可得： （m+1）x=5m1， 当 m+1=0 时，一元一次方程无解， 此时 m=1， 当 m+10 时， 则 x= 51 +1 m m =4， 解得：m=5 或 1 3 ， 综上所述：m=1 或 5 或 1 3 ， 故答案为：1 或 5 或 1 3 7 8. （2019，四川巴中，4 分）若关于x的分式方程 2 +2 -22 xm m xx 有增根，则m的值为 1 【答案】1 【解答】解：方程两边都乘x2，得x2m2m（x2） 原方程有增根， 最简公分母x20， 解得x2， 当x2 时
13、，m1 故m的值是 1， 故答案为 1 三、解答题： 9. 解分式方程：x1 x51 2x x5. 【解析】 ：方程两边同乘(x5)，得 x1x52x， 整理得，2x6， 解得 x3. 检验：当 x3 时，x50，则 x3 是原分式方程的解 10. (2018宜宾)我市经济技术开发区某智能手机有限公司接到生产 300 万部智能手机的订单，为了尽快 交货，增开了一条生产线，实际每月生产能力比原计划提高了 50%，结果比原计划提前 5 个月完成交货，求 每月实际生产智能手机多少万部 【解析】 ：设原计划每月生产智能手机 x 万部，则实际每月生产智能手机(150%)x 万部，根据题意，得 300 x
14、 300 （150%）x5，解得 x20. 经检验，x20 是原方程的解，且符合题意 (150%)x30. 答：每月实际生产智能手机 30 万部 11. (2018河北模拟)甲、乙两地相距 72 千米，嘉嘉骑自行车往返两地一共用了 7 小时，已知他去时的平 均速度比返回时的平均速度快1 3，求嘉嘉去时的平均速度是多少？ 下框是淇淇同学的解法 解：设嘉嘉去时的平均速度是 x 千米/时，则回时的平均速度是(11 3)x 千米/时，由题意，得 8 72 x 72 （11 3）x 7， 你认为淇淇同学的解法正确吗？若正确，请写出该方程所依据的等量关系，并完成剩下的步骤；若不正确， 请说明原因，并正确地
15、求出嘉嘉去时的平均速度 【解析】 ：淇淇同学的解法不正确；因为“去时的平均速度比返回时的平均速度快”并不等于“返回时的平 均速度比去时的平均速度慢1 3” 设嘉嘉返回时的平均速度是 x 千米/时，则去时的平均速度是(11 3)x 千米/时， 由题意得 72 （11 3）x 72 x 7， 解得 x18.经检验，x18 是方程的解，且符合题意 (11 3)x24.所以嘉嘉去时的平均速度是 24 千米/时 12. （2018邵阳）某公司计划购买 A，B 两种型号的机器人搬运材料已知 A 型机器人比 B 型机器人每小 时多搬运 30kg 材料，且 A 型机器人搬运 1000kg 材料所用的时间与 B
16、 型机器人搬运 800kg 材料所用的时间 相同 （1）求 A，B 两种型号的机器人每小时分别搬运多少材料； （2）该公司计划采购 A，B 两种型号的机器人共 20 台，要求每小时搬运材料不得少于 2800kg，则至少购进 A 型机器人多少台？ 【分析】（1）设 B 型机器人每小时搬运 x 千克材料，则 A 型机器人每小时搬运（x+30）千克材料，根据 A 型机器人搬运 1000kg 材料所用的时间与 B 型机器人搬运 800kg 材料所用的时间相同建立方程求出其解就可 以得出结论 （2）设购进 A 型机器人 a 台，根据每小时搬运材料不得少于 2800kg 列出不等式并解答 解析： （1）设
17、 B 型机器人每小时搬运 x 千克材料，则 A 型机器人每小时搬运（x+30）千克材料， 根据题意，得=， 解得 x=120 经检验，x=120 是所列方程的解 当 x=120 时，x+30=150 答：A 型机器人每小时搬运 150 千克材料，B 型机器人每小时搬运 120 千克材料； （2）设购进 A 型机器人 a 台，则购进 B 型机器人（20a）台， 9 根据题意，得 150a+120（20a）2800， 解得 a a 是整数， a14 答：至少购进 A 型机器人 14 台 13. （2019山东威海7 分）列方程解应用题： 小明和小刚约定周末到某体育公园打羽毛球他们两家到体育公园的距
18、离分别是 1200 米，3000 米，小刚骑 自行车的速度是小明步行速度的 3 倍，若二人同时到达，则小明需提前 4 分钟出发，求小明和小刚两人的 速度 【分析】直接利用小刚骑自行车的速度是小明步行速度的 3 倍，若二人同时到达，则小明需提前 4 分钟出 发，进而得出等式求出答案 【解答】解：设小明的速度是x米/分钟，则小刚骑自行车的速度是 3x米/分钟，根据题意可得： 12003000 -4= 3xx ， 解得：x50， 经检验得：x50 是原方程的根，故 3x150， 答：小明的速度是 50 米/分钟，则小刚骑自行车的速度是 150 米/分钟 14. （2018宁波）某商场购进甲、乙两种商
19、品，甲种商品共用了 2000 元，乙种商品共用了 2400 元已知 乙种商品每件进价比甲种商品每件进价多 8 元，且购进的甲、乙两种商品件数相同 （1）求甲、乙两种商品的每件进价； （2）该商场将购进的甲、乙两种商品进行销售，甲种商品的销售单价为 60 元，乙种商品的销售单价为 88 元，销售过程中发现甲种商品销量不好，商场决定：甲种商品销售一定数量后，将剩余的甲种商品按原销 售单价的七折销售；乙种商品销售单价保持不变要使两种商品全部售完后共获利不少于 2460 元，问甲种 商品按原销售单价至少销售多少件？ 解：（1）设甲种商品的每件进价为 x 元，则乙种商品的每件进价为（x+8）元 根据题意
20、，得， =， 解得 x=40 经检验，x=40 是原方程的解 答：甲种商品的每件进价为 40 元，乙种商品的每件进价为 48 元； 10 （2）甲乙两种商品的销售量为 2000 40 =50 设甲种商品按原销售单价销售 a 件，则 （6040）a+（600.740）（50a）+（8848）502460， 解得 a20 答：甲种商品按原销售单价至少销售 20 件 15. （2018湖北省孝感10 分）“绿水青山就是金山银山”，随着生活水平的提高，人们对饮水品质的 需求越来越高，孝感市槐荫公司根据市场需求代理 A，B 两种型号的净水器，每台 A 型净水器比每台 B 型净 水器进价多 200 元，用
21、 5 万元购进 A 型净水器与用 4.5 万元购进 B 型净水器的数量相等 （1）求每台 A 型、B 型净水器的进价各是多少元？ （2）槐荫公司计划购进 A，B 两种型号的净水器共 50 台进行试销，其中 A 型净水器为 x 台，购买资金不超 过 9.8 万元试销时 A 型净水器每台售价 2500 元，B 型净水器每台售价 2180 元，槐荫公司决定从销售 A 型 净水器的利润中按每台捐献 a（70a80）元作为公司帮扶贫困村饮水改造资金，设槐荫公司售完 50 台净 水器并捐献扶贫资金后获得的利润为 W，求 W 的最大值 【分析】 （1）设 A 型净水器每台的进价为 m 元，则 B 型净水器每
22、台的进价为（m200）元，根据数量=总价 单价结合用 5 万元购进 A 型净水器与用 4.5 万元购进 B 型净水器的数量相等，即可得出关于 m 的分式方 程，解之经检验后即可得出结论； （2）根据购买资金=A 型净水器的进价购进数量+B 型净水器的进价购进数量结合购买资金不超过 9.8 万元，即可得出关于 x 的一元一次不等式，解之即可得出 x 的取值范围，由总利润=每台 A 型净水器的利润 购进数量+每台 B 型净水器的利润购进数量a购进 A 型净水器的数量，即可得出 W 关于 x 的函数关 系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题 【解答】解： （1）设 A 型净水器每台的进价为 m
23、元，则 B 型净水器每台的进价为（m200）元， 根据题意得： 5000045000 200mm ， 解得：m=2000， 经检验，m=2000 是分式方程的解， m200=1800 答：A 型净水器每台的进价为 2000 元，B 型净水器每台的进价为 1800 元 （2）根据题意得：2000 x+180（50 x）98000， 解得：x40 W=（25002000）x+（21801800） （50 x）ax=（120a）x+19000， 当 70a80 时，120a0， W 随 x 增大而增大， 当 x=40 时，W 取最大值，最大值为（120a）40+19000=2380040a， 11 W 的最大值是（2380040a）元