1、 1 第第 7 7 讲讲 一元二次方程及其应用一元二次方程及其应用 1定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2，这样的整式方程叫做一元二次方程通常可写成如下的一 般形式：ax 2bxc0，其中 a、b、c 分别叫做二次项系数、一次项系数、常数项 2解法 (1)直接开平方法：方程符合 x 2m(m0)或(xm)2n(n0)的形式； (2)配方法：二次项系数化为 1；移项；配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方；原方程写 成 a(xh) 2k 的形式；当 k0 时，直接开平方求解； (3)公式法：化为一般形式；确定 a，b，c 的值；求出 b 24ac 的值；当 b24ac0 时，将
2、a，b， c 的值代入得 xb b 24ac 2a ； (4)因式分解法：将方程右边化为 0；将方程左边进行因式分解；令每个因式为零，得两个一元一次 方程；解这两个一元一次方程，得原方程的两个根 3一元二次方程的根的判别式 对于一元二次方程 ax 2bxc0(a0)，其根的判别式为 b24ac(或记为“”) (1)b 24ac0方程有两个不相等的实数根； (2)b 24ac0方程有两个相等的实数根； (3)b 24ac0方程没有实数根； (4)b 24ac0方程有实数根 4一元二次方程的根与系数的关系 若一元二次方程 ax 2bxc0(a0)的两根分别为 x 1，x2，则有 x1x2b a，x
3、 1x2c a 5一元二次方程的实际应用常见类型及关系 (1)增长率问题：设 a 为原来量，m 为平均增长率，n 为增长次数，b 为增长后的量，则 a(1m) nb；当 m 为平均下降率时，n 为下降次数，b 为下降后的量，则有 a(1m) nb. (2)几何图形问题： 面积问题：S长方形ab(a，b 分别表示长和宽)； S正方形a 2(a 表示边长)； 2 S圆r 2(r 表示圆的半径)； 体积问题：V长方体abh(a、b、h 分别表示长、宽、高)； V正方体a 3(a 表示边长)； V圆锥1 3r 2h(r 表示底面圆的半径，h 表示高)； 考点 1：一元二次方程的解法 【例题 1】嘉淇同
4、学用配方法推导一元二次方程 ax 2bxc0(a0)的求根公式时，对于 b24ac0 的情 况，她是这样做的：由于 a0，方程 ax 2bxc0 变形为： x 2b ax c a，第一步 x 2b ax( b 2a) 2c a( b 2a) 2，第二步 (x b 2a) 2b 24ac 4a 2，第三步 x b 2a b 24ac 4a (b 24ac0)，第四步 xb b 24ac 2a .第五步 (1)嘉淇的解法从第四步开始出现错误；事实上，当 b 24ac0 时，方程 ax2bxc0(a0)的求根公式 是 xb b 24ac 2a ； (2)用配方法解方程：x 22x240. 解：x 2
5、2x24， x 22x1241， (x1) 225， x15， x15， x14，x26. 归纳：一元二次方程有四种解法：因式分解法、直接开平方法、配方法和公式法 (1)若一元二次方程缺少常数项，且方程的右边为 0，可考虑用因式分解法求解； (2)若一元二次方程可分解因式或缺少一次项，可考虑用因式分解法或直接开平方法求解； (3)若一元二次方程的二次项系数为 1，且一次项的系数是偶数时或常数项非常大时，可考虑用配方法求解； 3 (4)若用以上三种方法都不容易求解时，可考虑用公式法求解 考点 2：一元二次方程的实际应用 【例题 2】(2019湖北宜昌10 分)HW 公司 2018 年使用自主研发
6、生产的“QL”系列甲、乙、丙三类芯片共 2800 万块，生产了 2800 万部手机，其中乙类芯片的产量是甲类芯片的 2 倍，丙类芯片的产量比甲、乙两类 芯片产量的和还多 400 万块这些“QL”芯片解决了该公司 2018 年生产的全部手机所需芯片的 10% (1)求 2018 年甲类芯片的产量； (2)HW 公司计划 2020 年生产的手机全部使用自主研发的“QL”系列芯片 从 2019 年起逐年扩大“QL”芯片 的产量，2019 年、2020 年这两年，甲类芯片每年的产量都比前一年增长一个相同的百分数m%，乙类芯片的 产量平均每年增长的百分数比m%小 1，丙类芯片的产量每年按相同的数量递增.
7、2018 年到 2020 年，丙类芯 片三年的总产量达到 1.44 亿块这样，2020 年的 HW 公司的手机产量比 2018 年全年的手机产量多 10%，求 丙类芯片 2020 年的产量及m的值 【考点】一元二次方程应用题 【分析】(1)设 2018 年甲类芯片的产量为x万块，由题意列出方程，解方程即可； (2)2018 年万块丙类芯片的产量为 3x+4001600 万块，设丙类芯片的产量每年增加的熟练为y万块，则 1600+1600+y+1600+2y14400，解得：y3200，得出丙类芯片 2020 年的产量为 1600+232008000 万块， 2018 年 HW 公司手机产量为
8、280010%28000 万部，由题意得出 400(1+m%) 2+2400(1+m%1)2+8000 28000(1+10%)，设m%t，化简得：3t 2+2t560，解得：t4，或 t14 3 （舍去） ，即可得出答案 【解答】解：(1)设 2018 年甲类芯片的产量为x万块， 由题意得：x+2x+（x+2x）+4002800，解得：x400， 答：2018 年甲类芯片的产量为 400 万块； (2)2018 年万块丙类芯片的产量为 3x+4001600 万块， 设丙类芯片的产量每年增加的数量为y万块， 则 1600+1600+y+1600+2y14400，解得：y3200， 丙类芯片 2
9、020 年的产量为 1600+232008000 万块， 2018 年 HW 公司手机产量为 280010%28000 万部， 400(1+m%) 2+2400(1+m%1)2+800028000(1+10%)， 设m%t，化简得：3t 2+2t560， 解得：t4，或t14 3 （舍去） ， 4 t4，m%4，m400； 答：丙类芯片 2020 年的产量为 8000 万块，m400 归纳：利用一元二次方程解决实际应用问题的关键是根据题干寻找等量关系，从而建立方程；解方程时要 注意检验方程的根是否符合实际意义 考点 3： 一元二次方程与其它问题的综合应用 【例题 3】（2018重庆）在美丽乡村
10、建设中，某县政府投入专项资金，用于乡村沼气池和垃圾集中处理点 建设该县政府计划：2018 年前 5 个月，新建沼气池和垃圾集中处理点共计 50 个，且沼气池的个数不低于 垃圾集中处理点个数的 4 倍 （1）按计划，2018 年前 5 个月至少要修建多少个沼气池？ （2）到 2018 年 5 月底，该县按原计划刚好完成了任务，共花费资金 78 万元，且修建的沼气池个数恰好是 原计划的最小值据核算，前 5 个月，修建每个沼气池与垃圾集中处理点的平均费用之比为 1：2为加大 美丽乡村建设的力度，政府计划加大投入，今年后 7 个月，在前 5 个月花费资金的基础上增加投入 10a%， 全部用于沼气池和垃
11、圾集中处理点建设经测算：从今年 6 月起，修建每个沼气池与垃圾集中处理点的平 均费用在 2018 年前 5 个月的基础上分别增加 a%，5a%，新建沼气池与垃圾集中处理点的个数将会在 2018 年 前 5 个月的基础上分别增加 5a%，8a%，求 a 的值 【分析】（1）设 2018 年前 5 个月要修建 x 个沼气池，则 2018 年前 5 个月要修建（50 x）个垃圾集中处 理点，根据沼气池的个数不低于垃圾集中处理点个数的 4 倍，即可得出关于 x 的一元一次不等式，解之取 其最小值即可得出结论； （2）根据单价=总价数量可求出修建每个沼气池的平均费用，进而可求出修建每个垃圾集中点的平均费
12、 用， 设 y=a%结合总价=单价数量即可得出关于 y 的一元二次方程， 解之即可得出 y 值， 进而可得出 a 的值 【解答】（1）设 2018 年前 5 个月要修建 x 个沼气池，则 2018 年前 5 个月要修建（50 x）个垃圾集中处 理点， 根据题意得：x4（50 x）， 解得：x40 答：按计划，2018 年前 5 个月至少要修建 40 个沼气池 （2）修建每个沼气池的平均费用为 7840+（5040）2=1.3（万元）， 修建每个垃圾处理点的平均费用为 1.32=2.6（万元） 根据题意得：1.3（1+a%）40（1+5a%）+2.6（1+5a%）10（1+8a%）=78（1+1
13、0a%）， 设 y=a%，整理得：50y 25y=0， 5 解得：y1=0（不合题意，舍去），y2=0.1， a 的值为 10 一、选择题： 1. （2018临沂）一元二次方程 y 2y =0 配方后可化为（ ） A（y+） 2=1 B（y） 2=1 C（y+ ） 2= D（y） 2= 【答案】B 【解答】y 2y =0 y 2y= y 2y+ =1 （y） 2=1 故选：B 2. （2019湖南怀化4 分）一元二次方程x 2+2x+10 的解是（ ） Ax11，x21 Bx1x21 Cx1x21 Dx11，x22 【答案】C 【解答】解：x 2+2x+10， （x+1） 20， 则x+10，
14、 解得x1x21， 故选：C 3. （2019河北省2 分）小刚在解关于x的方程ax 2+bx+c0（a0）时，只抄对了 a1，b4，解出其 中一个根是x1他核对时发现所抄的c比原方程的c值小 2则原方程的根的情况是（ ） A不存在实数根 B有两个不相等的实数根 C有一个根是x1 D有两个相等的实数根 【答案】A 【解答】解：小刚在解关于x的方程ax 2+bx+c0（a0）时，只抄对了 a1，b4，解出其中一个根是 6 x1， （1） 24+c0， 解得：c3， 故原方程中c5， 则b 24ac1641540， 则原方程的根的情况是不存在实数根 4. 2019山东省聊城市3 分）若关于x的一元
15、二次方程（k2）x 22kx+k6 有实数根，则 k的取值范围 为（ ） Ak0 B k0 且k2 Ck Dk且k2 【答案】D 【解答】解： （k2）x 22kx+k60， 关于x的一元二次方程（k2）x 22kx+k6 有实数根， ， 解得：k且k2 故选：D 5. （2018嘉兴）欧几里得的原本记载，形如 x 2+ax=b2的方程的图解法是：画 RtABC，使ACB=90， BC=，AC=b，再在斜边 AB 上截取 BD=则该方程的一个正根是（ ） AAC 的长 BAD 的长 CBC 的长 DCD 的长 【答案】B 【解答】欧几里得的原本记载，形如 x 2+ax=b2的方程的图解法是：画
16、 RtABC，使ACB=90，BC= ， AC=b，再在斜边 AB 上截取 BD=， 设 AD=x，根据勾股定理得：（x+） 2=b2+（ ） 2， 整理得：x 2+ax=b2， 7 则该方程的一个正根是 AD 的长， 故选：B 二、填空题： 6. （2018 年四川省南充市）若 2n（n0）是关于 x 的方程 x 22mx+2n=0 的根，则 mn 的值为 【答案】 【解答】解：2n（n0）是关于 x 的方程 x 22mx+2n=0 的根， 4n 24mn+2n=0， 4n4m+2=0， mn= 故答案是： 7. （2018黄冈）一个三角形的两边长分别为 3 和 6，第三边长是方程 x 21
17、0 x+21=0 的根，则三角形的周 长为 【答案】16 【解答】解：解方程 x 210 x+21=0 得 x 1=3、x2=7， 3第三边的边长9， 第三边的边长为 7 这个三角形的周长是 3+6+7=16 故答案为：16 8.（2018 年四川省内江市）已知关于 x 的方程 ax 2+bx+1=0 的两根为 x 1=1，x2=2，则方程 a（x+1） 2+b（x+1） +1=0 的两根之和为 1 【答案】1 【解答】解：设 x+1=t，方程 a（x+1） 2+b（x+1）+1=0 的两根分别是 x 3，x4， at 2+bt+1=0， 由题意可知：t1=1，t2=2， t1+t2=3， x
18、3+x4+2=3 故答案为：1 9. （2018黔南州）三角形的两边长分别为 3 和 6，第三边的长是方程 x 26x+8=0 的解，则此三角形周长 是 8 【答案】13 【解答】x 26x+8=0， （x2）（x4）=0， x2=0，x4=0， x1=2，x2=4， 当 x=2 时，2+36，不符合三角形的三边关系定理，所以 x=2 舍去， 当 x=4 时，符合三角形的三边关系定理，三角形的周长是 3+6+4=13， 故答案为：13 三、解答题： 10. 解方程：x 212(x1) 【解答】 解：方法一(因式分解法)： (x1)(x1)2(x1)， (x1)(x3)0. x10 或 x30.
19、 x11，x23. 方法二(配方法)： 整理，得 x 22x3. 配方，得(x1) 24. 两边开平方，得 x12. 解得 x11，x23. 方法三(公式法)： 整理成一般形式为 x 22x30. a1，b2，c3， (2) 241(3)160. x（2） 16 21 12. x11，x23. 11. 已知，一个矩形周长为 56 厘米 (1)当矩形面积为 180 平方厘米时，长、宽分别为多少？ (2)能围成面积为 200 平方厘米的矩形吗？请说明理由 9 【分析】 (1)设矩形的一边长为未知数，用周长公式表示出另一边长，根据矩形的面积公式列出相应方程 求解即可；(2)同样列出方程，若方程有解则
20、可，否则就不可以 【解答】 解：(1)设矩形的长为 x 厘米，则另一边长为(28x)厘米，依题意，得 x(28x)180.解得 x110(舍去)，x218. 则 28x281810. 答：长为 18 厘米，宽为 10 厘米 (2)不能围成面积为 200 平方厘米的矩形 理由：设矩形的长为 x 厘米，则宽为(28x)厘米，依题意，得 x(28x)200，即 x 228x2000， 则 b 24ac28242007848000，原方程无解 故不能围成一个面积为 200 平方厘米的矩形 12. （2019广西贺州8 分）2016 年，某贫困户的家庭年人均纯收入为 2500 元，通过政府产业扶持，发
21、展了养殖业后，到 2018 年，家庭年人均纯收入达到了 3600 元 （1）求该贫困户 2016 年到 2018 年家庭年人均纯收入的年平均增长率； （2）若年平均增长率保持不变，2019 年该贫困户的家庭年人均纯收入是否能达到 4200 元？ 【分析】 （1）设该贫困户 2016 年到 2018 年家庭年人均纯收入的年平均增长率为x，根据该该贫困户 2016 年及 2018 年家庭年人均纯收入，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其中正值即可得出结论； （2）根据 2019 年该贫困户的家庭年人均纯收入2018 年该贫困户的家庭年人均纯收入 （1+增长率） ，可求出 2019 年该贫困户的家
22、庭年人均纯收入，再与 4200 比较后即可得出结论 【解答】解： （1）设该贫困户 2016 年到 2018 年家庭年人均纯收入的年平均增长率为x， 依题意，得：2500（1+x） 23600， 解得：x10.220%，x22.2（舍去） 答：该贫困户 2016 年到 2018 年家庭年人均纯收入的年平均增长率为 20% （2）3600（1+20%）4320（元） ， 43204200 答：2019 年该贫困户的家庭年人均纯收入能达到 4200 元 13. 已知关于 x 的方程 x 2(2m1)xm(m1)0. (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)已知方程的一个根为 x0，求代数式
23、(2m1) 2(3m)(3m)7m5 的值(要求先化简，再求值) 10 【解析】 ：(1)证明：(2m1) 24m(m1)10. 方程总有两个不相等的实数根 (2)x0 是此方程的一个根， 把 x0 代入方程中得到 m(m1)0. 原式4m 24m19m27m5 3m 23m5 3m(m1)5 5. 14. （2019四川省广安市10 分）已知关于x的一元二次方程04)4( 2 kxkx. （1）求证：无论k为任何实数，此方程总有两个实数根； （2）若方程的两个实数根为 1 x、 2 x，满足 4 311 21 xx ，求k的值； （3）若RtABC的斜边为 5， 另外两条边的长恰好是方程的两
24、个根 1 x、 2 x，求RtABC的内切圆半径. 【解析】 （1）证明：0)4(16816)4( 222 kkkkk， 无论k为任何实数时，此方程总有两个实数根. （2）由题意得：4 21 kxx，kxx4 21 ， 4 311 21 xx ， 4 3 21 21 xx xx ，即 4 3 4 4 k k ， 解得：2k； （3）解方程得：4 1 x，kx 2 ， 根据题意得： 222 54 k，即3k， 设直角三角形ABC的内切圆半径为，如图， 由切线长定理可得：5)4()3(rr， 直角三角形ABC的内切圆半径=1 2 543 ； 11 4 3 5 r r r 15. (2018张家口一
25、模)已知 n 边形的对角线共有n（n3） 2 条(n 是不小于 3 的整数)； (1)五边形的对角线共有 5 条； (2)若 n 边形的对角线共有 35 条，求边数 n； (3)若 n 边形的边数增加 1，对角线总数增加 9，求边数 n. 【解析】 ： （1）5 (2)n（n3） 2 35， 整理，得 n 23n700. 解得 n10 或 n7(舍去) 所以边数 n10. (3)根据题意，得（n1）（n13） 2 n（n3） 2 9. 解得 n10. 所以边数 n10. 16. （2018 东营）关于 x 的方程 2x 25xsinA+2=0 有两个相等的实数根，其中A 是锐角三角形 ABC
26、的一个 内角 （1）求 sinA 的值； （2）若关于 y 的方程 y 210y+k24k+29=0 的两个根恰好是ABC 的两边长，求ABC 的周长 【分析】 （1）利用判别式的意义得到=25sin 2A16=0，解得 sinA=4 5 ； （2）利用判别式的意义得到 1004（k 24k+29）0，则（k2）20，所以 k=2，把 k=2 代入方程后 解方程得到 y1=y2=5，则ABC 是等腰三角形，且腰长为 5 分两种情况：当A 是顶角时：如图，过点 B 作 BDAC 于点 D，利用三角形函数求出 AD=3，BD=4，再利用 勾股定理求出 BC 即得到ABC 的周长； 当A 是底角时：
27、如图，过点 B 作 BDAC 于点 D，在 RtABD 中，AB=5，利用三角函数求出 AD 得到 AC 的 12 长，从而得到ABC 的周长 【解答】 （1）根据题意得=25sin 2A16=0， sin 2A=16 25 ， sinA= 4 5 或 4 5 ， A 为锐角， sinA= 4 5 ； （2）由题意知，方程 y 210y+k24k+29=0 有两个实数根， 则0， 1004（k 24k+29）0， （k2） 20， （k2） 20， 又（k2） 20， k=2， 把 k=2 代入方程，得 y 210y+25=0， 解得 y1=y2=5， ABC 是等腰三角形，且腰长为 5 分两种情况： 当A 是顶角时：如图，过点 B 作 BDAC 于点 D，在 RtABD 中，AB=AC=5 sinA= 4 5 ， AD=3，BD=4DC=2， BC= 2 5 ABC 的周长为 10+2 5； 当A 是底角时：如图，过点 B 作 BDAC 于点 D，在 RtABD 中，AB=5， sinA= 4 5 ， A D=DC=3， AC=6 ABC 的周长为 16， 13 综合以上讨论可知：ABC 的周长为 10+2 5或 16