1、 1 第第 2222 讲讲 与圆有关的位置关系与圆有关的位置关系 1点和圆的位置关系(设 d 为点 P 到圆心的距离，r 为圆的半径)： (1)点 P 在圆上dr； (2)点 P 在圆内dr 2直线和圆的位置关系 (1)设 r 是O 的半径，d 是圆心 O 到直线 l 的距离 直线和圆的 位置关系 图形 公共 点个 数 圆心到直线的距离 d 与 半径 r 的关系 公共 点名 称 直线 名称 相交 2 dr 交点 割线 相切 1 dr 切点 切线 相离 0 dr 无 无 (2)切线的性质： 切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径 推论 1：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。 推论 2：
2、经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 (3)切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 (4)切线长：经过圆外一点作圆的一条切线；这一点与切点之间的线段长度叫做点到圆的切线长 切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线 2 的夹角 3三角形的外接圆和内切圆 名称 图形 内、外心 性质 三角形的外接圆 三边垂直平分线的交 点称为三角形的外心 三角形的外心到三角 形三个顶点的距离相 等 三角形的内切圆 三条角平分线的交点 称为三角形的内心 三角形的内心到三角 形三条边的距离相等 考点 1：圆的切线的判定与性质 【例题 1】如图，
3、AB 是O 的直径，且长为 10，点 P 是 AB 下方的半圆上不与点 A，B 重合的一个动点，点 C 为 AP 的中点，延长 CO 交O 于点 D，连接 AD，过点 D 作O 的切线交 PB 的延长线于点 E，连 CE. (1)若ADC30，求BD 的长； (2)求证：DACECP； (3)在点 P 运动过程中，若 tanDCE1 2，求 AD 的长 【点拨】 (1)利用同弧所对圆周角与圆心角之间的关系，可求得DOB60，利用弧长公式求BD 的长； (2)先证得四边形 DCPE 是矩形，从而证明DACECP；(3)可以利用 tanDCE 在 RtDAC 中获得三边的 数量关系，在 RtAOC
4、 中建立方程求解 【解答】 解：(1)ADC30，OAOD，OAD30. 3 DOB60. lBD 605 180 5 3 . (2)证明：连接 OP. AOOP，点 C 是 AP 的中点，DCP90. DE 是O 的切线，CDE90. AB 是O 的直径，APB90.四边形 DCPE 是矩形DCEP. 又ACCP，ACDCPE90，DACECP(SAS) (3)由(2)知，四边形 DCPE 是矩形，DACECP， ADCCEPDCE. tanDCE1 2，tanADC 1 2. 设 ACx，则 DC2x，AD 5x. 在 RtAOC 中，OC2x5，AO 2AC2OC2， 5 2x2(2x5
5、)2，解得 x 10(舍去)，x24. AD4 5. 归纳：1.切线的判定：在判定直线与圆相切时，若直线与圆的公共点已知，证明方法是“连半径，证垂直” ； 若直线与圆的公共点未知，证明方法是“作垂线，证半径” 这两种情况可概括为一句话： “有交点，连半 径，无交点，作垂线” 2求线段长度时通常在构造的直角三角形中(注意直径所对的圆周角也可得直角三角形)利用三角函数或勾 股定理求解，有时也需根据圆中相等的角得到相似三角形，根据相似三角形对应边成比例建立等式进行求 解 考点 2：圆的切线综合应用 【例题 2】 （甘肃兰州，27，10 分）如图，三角形 ABC 是O 的内接三角形，AB 是O 的直径
6、，ODAB 于点 O，分别交 AC、CF 于点 E、D，且 DE=DC （1）求证：CF 是O 的切线； 4 （2）若O 的半径为 5，BC=10，求 DE 的长 【提示】 （1）第一步：连接 OC，易知A=OCA，由 ODAB 证得AAEO=90； 第二步：根据“等边对等角”有DEC=DCE，代换得OCE+DCE=90，从而证得结论； （2） 第一步： 作 DHEC， 根据 “等角的余角相等” 可得EDH=A， EDC 中根据三线合一得 EH =HC= 1 2 EC， 于是 AB=10，由勾股定理可得 AC=3 10；第三步：由AEOABC 得 AOAE ACAB ，代入数据求得 AE，进
7、一步求出 EC、EH；第四步：由等角的正弦相等得 sinA= sinEDH，从而 BCEH ACDE ，进而求得 DE 的 长 【解答】解： （1）证明：连接 OC，则A=OCA， ODAB，AOE=90，AAEO=90， DE =DC，DEC=DCE，AEO=DEC， AEO= DCE，OCE+DCE=90，CF 是O 的切 线 （2） 作 DHEC， 则EDH=A， DE =DC， EH =HC= 1 2 EC， O 的半径为 5， BC= 10AB=10， AC=3 10， AEOABC， AOAE ACAB ， AE= 5105 10 33 10 ，EC=AC-AE= 5 10 3 1
8、0 3 = 4 10 3 ， EH= 1 2 EC= 2 10 3 ， EDH=A，sinA= sinEDH，即 BCEH ACDE ， 5 DE= 归纳：当C 与 AB 相切时，只有一个交点，同时要注意 AB 是线段，当圆的半径 R 在一定范围内时，斜边 AB 与C 相交且只有一个公共点 考点 3：圆与其它知识的综合应用 【例题 3】 【例 1】 如图，点 C 是以 AB 为直径的圆 O 上一点，直线 AC 与过 B 点的切线相交于 D，点 E 是 BD 的中点，直线 CE 交直线 AB 于点 F. (1)求证：CF 是O 的切线； (2)若 ED3，cosF4 5，求O 的半径 【分析】
9、(1)要判断 CF 是切线，根据切线的判定“有切点，连半径”，连接 CB、OC，根据圆周角定理得 ACB90，即BCD90，则根据直角三角形斜边上的中线性质得 CEBE，所以BCECBE，根据 角之间的等量代换证得OCE90，进而证得 CF 是切线；(2)由题意得 CEBEDE3，在 RtBFE 中， 利用 cosFBF EF和 tanF 可计算出 BF，再利用勾股定理可得 EF，由 CFCEEF 得 CF，最后在 RtOCF 中，利用正切函数可计算出 OC. 【解析】(1)证明：如图，连接 CB、OC， BD 为O 的切线，DBAB， ABD90，AB 是直径， ACB90， BCD90，
10、E 为 BD 的中点， CEBE，BCECBE，而OCBOBC， OBCCBEOCBBCE90， 6 OCCF，CF 是O 的切线； (2)解：CEBEDE3， 在 RtBFE 中，cosF4 5，tanF BE BF 3 4， BF4，EF BE 2BF25， CFCEEF8，在 RtOCF 中，tanFOC CF 3 4， OC6.即O 的半径为 6 一、选择题： 1. 矩形 ABCD 中，AB8，BC3 5，点 P 在边 AB 上，且 BP3AP，如果圆 P 是以点 P 为圆心，PD 为半径的 圆，那么下列判断正确的是( ) A点 B，C 均在圆 P 外 B点 B 在圆 P 外、点 C
11、在圆 P 内 C点 B 在圆 P 内、点 C 在圆 P 外 D点 B，C 均在圆 P 内 【答案】C 【解析】 ：画出矩形后求解出 DP 的长度即圆的半径，然后求出 BP，CP 的长度与 DP 的长度作比较就可以发 现答案在 RtADP 中，DP AD 2AP27，在 RtBCP 中，BP6，PC BC2BP29. PCDP，BPDP，点 B 在圆 P 内，点 C 在圆 P 外 答案：C 2. 在ABC 中，C90，AC3 cm，BC4 cm，若A，B 的半径分别为 1 cm,4 cm，则A，B 的 位置关系是( ) A外切 B内切 C相交 D外离 【答案】A 【解析】 ：如图所示，由勾股定理
12、可得 AB AC 2BC2 3 2425(cm)， 7 A，B 的半径分别为 1 cm,4 cm， 圆心距 dRr，A，B 的位置关系是外切 答案：A 3. （20182018重庆市重庆市 B B 卷）卷） （4.00 分）如图，ABC 中，A=30，点 O 是边 AB 上一点，以点 O 为圆心，以 OB 为半径作圆，O 恰好与 AC 相切于点 D，连接 BD若 BD 平分ABC，AD=2，则线段 CD 的长是（ ） A2 B C D 【答案】B 【解答】解：连接 OD OD 是O 的半径，AC 是O 的切线，点 D 是切点， ODAC 在 RtAOD 中，A=30，AD=2， OD=OB=2
13、，AO=4， ODB=OBD，又BD 平分ABC， OBD=CBD ODB=CBD ODCB， 即 CD= 故选：B 8 4. （2019黑龙江哈尔滨3 分）如图，PA.PB 分别与O 相切于 A.B 两点，点 C 为O 上一点，连接 AC.BC， 若P50，则ACB 的度数为（ ） A60 B75 C70 D65 【答案】D 【解答】解：连接 OA.OB， PA.PB 分别与O 相切于 A.B 两点， OAPA，OBPB， OAPOBP90， AOB180P18050130， ACBAOB13065 故选：D 5. (2019 湖北仙桃)（3 分）如图，AB 为O 的直径，BC 为O 的切线
14、，弦 ADOC，直线 CD 交 BA 的延长线 于点 E，连接 BD下列结论：CD 是O 的切线；CODB；EDAEBD；EDBCBOBE其中正 确结论的个数有（ ） 9 A4 个 B3 个 C2 个 D1 个 【答案】A 【解答】解：连结 DO AB 为O 的直径，BC 为O 的切线， CBO90， ADOC， DAOCOB，ADOCOD 又OAOD， DAOADO， CODCOB 在COD 和COB 中， CODCOB（SAS） ， CDOCBO90 又点 D 在O 上， CD 是O 的切线；故正确， CODCOB， CDCB， ODOB， CO 垂直平分 DB， 即 CODB，故正确；
15、AB 为O 的直径，DC 为O 的切线， 10 EDOADB90， EDA+ADOBDO+ADO90， ADEBDO， ODOB， ODBOBD， EDADBE， EE， EDAEBD，故正确； EDOEBC90， EE， EODECB， ， ODOB， EDBCBOBE，故正确； 故选：A 二、填空题： 6. （2019江苏苏州3 分）如图，AB为O的切线，切点为A，连接AOBO、，BO与O交于点C，延 长BO与O交于点D，连接AD，若36ABO o，则 ADC的度数为 . C D O A B 【答案】27o 11 【解答】切线性质得到90BAO o 903654AOB ooo ODOAQ
16、OADODA AOBOADODA Q 27ADCADO o 7. （2018山东泰安3 分）如图，M 的半径为 2，圆心 M 的坐标为（3，4） ，点 P 是M 上的任意一点， PAPB，且 PA、PB 与 x 轴分别交于 A、B 两点，若点 A、点 B 关于原点 O 对称，则 AB 的最小值为 . 【答案】6 【解答】解：PAPB， APB=90， AO=BO， AB=2PO， 若要使 AB 取得最小值，则 PO 需取得最小值， 连接 OM，交M 于点 P，当点 P 位于 P位置时，OP取得最小值， 过点 M 作 MQx 轴于点 Q， 则 OQ=3、MQ=4， OM=5， 又MP=2， OP
17、=3， AB=2OP=6， 8. （2018山东威海3 分）如图，在扇形 CAB 中，CDAB，垂足为 D，E 是ACD 的内切圆，连接 AE， BE，则AEB 的度数为 12 【答案】135 【解答】解：如图，连接 EC E 是ADC 的内心， AEC=90+ADC=135， 在AEC 和AEB 中， ， EACEAB， AEB=AEC=135， 故答案为 135 9. （2018 年江苏省泰州市3 分）如图，ABC 中，ACB=90，sinA=，AC=12，将ABC 绕点 C 顺时 针旋转 90得到ABC，P 为线段 AB上的动点，以点 P 为圆心，PA长为半径作P，当P 与ABC 的边相
18、切时，P 的半径为 【答案】或 【解答】解：如图 1 中，当P 与直线 AC 相切于点 Q 时，连接 PQ 13 设 PQ=PA=r， PQCA， =， =， r= 如图 2 中，当P 与 AB 相切于点 T 时，易证 A、B、T 共线， ABTABC， =， =， AT=， r=AT= 综上所述，P 的半径为或 三、解答题： 10. 在 RtABC 中，C90，AC3，BC4，若以 C 为圆心，R 为半径的圆与斜边 AB 只有一个公共点， 求 R 的值 14 解：当O 与 AB 相切时，AB 3 2425，S ABC1 2ABCD 1 2ACBC，CD ACBC AB 34 5 12 5 ；
19、 如图，当C 与斜边 AB 相交时，点 A 在圆内部，点 B 在圆上或圆外时，此时 ACRBC，即 3R4.故答 案为：3R4 或 R12 5 11. 如图，AB 是O 的直径，BAC60，P 是 OB 上一点，过点 P 作 AB 的垂线与 AC 的延长线交于点 Q， 过点 C 的切线 CD 交 PQ 于点 D，连接 OC. (1)求证：CDQ 是等腰三角形； (2)如果CDQCOB，求 BPPO 的值 【解析】 ：(1)证明：AB 是O 的直径， ACB90. PQAB，APQ90. 又BAC60，OAOC， OAC 是等边三角形，ABCQ30. ACO60.DCQ180906030. 15
20、 DCQQ. CDQ 是等腰三角形 (2)设O 的半径为 x，则 AB2x，ACx，BC 3x. CDQCOB，CQBC 3x. AQACCQ(1 3)x.AP1 2AQ 1 3 2 x. BPABAP3 3 2 x，POAPAO 31 2 x. BPPO 3. 12. (2018扬州)如图，在ABC 中，ABAC，AOBC 于点 O，OEAB 于点 E，以点 O 为圆心，OE 为半径 作半圆，交 AO 于点 F. (1)求证：AC 是O 的切线； (2)若点 F 是 OA 的中点，OE3，求图中阴影部分的面积； (3)在(2)的条件下，点 P 是 BC 边上的动点，当 PEPF 取最小值时，
21、直接写出 BP 的长 【解析】 ：(1)证明：作 OHAC 于点 H. ABAC，AOBC， AO 平分BAC. 又OEAB，OHAC， OHOE，即 OH 为O 的半径 AC 是O 的切线 (2)点 F 是 OA 的中点， OA2OF2OE6. 又OE3， OAE30，AOE60. 16 AE3 3. S阴影SAOES扇形 EOF 1 233 3 603 2 360 9 33 2 . (3)作 F 点关于 BC 的对称点 F，连接 EF交 BC 于点 P，此时 PEPF 最小 OFOFOE，FOEF. AOEFOEF60， F30.FEAF. EFEA3 3，即 PEPF 最小值为 3 3.
22、 在 RtOPF中，OPtan30OF 3， 在 RtABO 中，OBtan30OA2 3， BP2 3 3 3. 13. (2018聊城)如图，在 RtABC 中，C90，BE 平分ABC 交 AC 于点 E，作 EDEB 交 AB 于点 D， O 是BED 的外接圆 (1)求证：AC 是O 的切线； (2)已知O 的半径为 2.5，BE4，求 BC，AD 的长 【点拨】 (1)证 AC 是O 的切线，可转化为证 OEAC；(2)求 BC，AD 的长可通过证明BDEBEC 和 AOEABC. 【解答】 解：(1)证明：连接 OE. OBOE，OBEOEB. BE 平分ABC，OBECBE.
23、OEBCBE.OEBC. 又C90，AEO90，即 OEAC. 又OE 是O 的半径，AC 为O 的切线 17 (2)EDBE，BEDC90. 又DBEEBC，BDEBEC. BD BE BE BC，即 5 4 4 BC.BC 16 5 . AEOC90，AA，AOEABC. AO AB OE BC，即 AD2.5 AD5 2.5 16 5 .AD45 7 . 14. （2019四川省凉山州8 分）如图，点 D 是以 AB 为直径的O 上一点，过点 B 作O 的切线，交 AD 的 延长线于点 C，E 是 BC 的中点，连接 DE 并延长与 AB 的延长线交于点 F （1）求证：DF 是O 的切
24、线； （2）若 OBBF，EF4，求 AD 的长 【分析】 （1）连接 OD，由 AB 为O 的直径得BDC90，根据 BEEC 知13、由 ODOB 知2 4，根据 BC 是O 的切线得3+490，即1+290，得证； （2）根据直角三角形的性质得到F30，BEEF2，求得 DEBE2，得到 DF6，根据三角形的内 角和得到 ODOA，求得AADOBOD30，根据等腰三角形的性质即可得到结论 【解答】解： （1）如图，连接 OD，BD， AB 为O 的直径， ADBBDC90， 在 RtBDC 中，BEEC， DEECBE， 13， BC 是O 的切线， 3+490， 1+490， 又24，
25、 18 1+290， DF 为O 的切线； （2）OBBF， OF2OD， F30， FBE90， BEEF2， DEBE2， DF6， F30，ODF90， FOD60， ODOA， AADOBOD30， AF， ADDF6 15. （2019 湖北省鄂州市） （10 分）如图，PA 是O 的切线，切点为 A，AC 是O 的直径，连接 OP 交O 于 E过 A 点作 ABPO 于点 D，交O 于 B，连接 BC，PB （1）求证：PB 是O 的切线； （2）求证：E 为PAB 的内心； （3）若 cosPAB 10 10 ，BC1，求 PO 的长 19 【分析】 （1）连结 OB，根据圆周角
26、定理得到ABC90，证明AOPBOP，得到OBPOAP，根据切 线的判定定理证明； （2）连结 AE，根据切线的性质定理得到PAE+OAE90，证明 EA 平分PAD，根据三角形的内心的概 念证明即可； （3）根据余弦的定义求出 OA，证明PAOABC，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可 【解答】 （1）证明：连结 OB， AC 为O 的直径， ABC90， ABPO， POBC AOPC，POBOBC， OBOC， OBCC， AOPPOB， 在AOP 和BOP 中， ， AOPBOP（SAS） ， OBPOAP， PA 为O 的切线， OAP90， OBP90， PB 是O 的切线； （2）证明：连结 AE， 20 PA 为O 的切线， PAE+OAE90， ADED， EAD+AED90， OEOA， OAEAED， PAEDAE，即 EA 平分PAD， PA、PD 为O 的切线， PD 平分APB E 为PAB 的内心； （3）解：PAB+BAC90，C+BAC90， PABC， cosCcosPAB 10 10 ， 在 RtABC 中，cosC BC AC 1 AC 10 10 ， AC10，AO 10 2 ， PAOABC， POAO ACBC ， PO AO AC BC 10 2 105