1、 1 第 17 讲 特殊三角形 【考点梳理】 1等腰三角形 (1)性质： 等腰三角形的两底角相等，两腰相等； 等腰三角形的_高线_、中线、顶角平分线“三线合一” ； 等腰三角形是轴对称图形，高线(或底边中线、顶角平分线)所在直线是它的对称轴 (2)判定： 有两角相等的三角形是等腰三角形； 有_两边相等的三角形是等腰三角形 2等边三角形 (1)性质：三边相等，三个内角都等于 60； 等边三角形是轴对称图形，有_3_条对称轴 (2)判定：三边相等、三内角相等或有一个角是 60的等腰三角形是等边三角形 3直角三角形 (1)性质：两锐角之和等于_90_；斜边上的中线等于斜边的一半；30的角所对应的直角
2、边等于斜 边的_一半_；勾股定理：若直角三角形的两条直角边分别为 a，b，斜边为 c，则有 a 2b2c2. (2)判定：有一个角是直角的三角形是直角三角形；有两个角互余的三角形是直角三角形；勾股定理 逆定理：如果三角形三边长 a，b，c 满足关系 a 2b2c2，那么这个三角形是直角三角形；一条边上的中 线等于这条边的一半的三角形是直角三角形 4等腰直角三角形 (1)性质：两直角边相等_；两锐角相等且都等于_45_. (2)判定：有两边相等的直角三角形；有一个角为 45的直角三角形；顶角为 90的等腰三角形；有两个 角是 45的三角形. 【高频考点】 考点 1： 等腰三角形的性质及相关计算
3、【例题 1】在ABC 中，ACBC，ACB120，点 D 是线段 AB 上一动点(D 不与 A，B 重合) (1)如图 1，当点 D 为 AB 的中点，过点 B 作 BFAC 交 CD 的延长线于点 F，求证：ACBF； (2)连接 CD.作CDE30，DE 交 AC 于点 E.若 DEBC 时，如图 2. 2 CDB120； 求证：ADE 为等腰三角形； 在点 D 的运动过程中，ECD 的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请求出AED 的度数；若不可以，请 说明理由 【解答】 解：(1)证明：CACB，CD 是ABC 的中线，ADBD. BFAC，AFBD. ADCBDF，ACDBFD.ACB
4、F. (2)证明：ACBC，AB. DEBC，EDAB. AEDA，ADE 为等腰三角形 ECD 可以是等腰三角形理由如下： .当CDEECD 时，ECDE，ECDCDE30. AEDECDCDE， AED60. .当ECDCED 时，CDDE，ECDCEDCDE180， CED180CDE 2 75.AED180CED105. .当CEDCDE 时，ECCD，ACD180CEDCDE1803030120， ACB120， 此时，点 D 与点 B 重合，不合题意 综上，ECD 可以是等腰三角形，此时AED 的度数为 60或 105. 归纳：在以等腰三角形为背景求线段长的问题中，最常用的工具为“
5、等腰三角形三线合一” ，由此可以找到 相应的角度、线段长度以及垂直关系，进而可通过三角形全等、相似、勾股定理等求解，若已知图形中有 两个中点时，常用中位线的性质得到线段平行和数量关系 考点 2： 等边三角形的性质及相关计算 【例题 2】(2018河北模拟)如图 1，在等边ABC 和等边ADP 中，AB2，点 P 在ABC 的高 CE 上(点 P 与点 C 不重合)，点 D 在点 P 的左侧，连接 BD，ED. 3 (1)求证：BDCP； (2)当点 P 与点 E 重合时，延长 CE 交 BD 于点 F，请你在图 2 中作出图形，并求出 BF 的长； (3)直接写出线段 DE 长度的最小值 【解
6、析】 ：(1)证明：ABC 是等边三角形， ABAC，BAC60. ADP 是等边三角形， ADAP，DAP60. DABBAPBAPCAP. DABCAP. DABPAC(SAS) BDCP. (2)如图 2，ADP 是等边三角形， 当点 P 与点 E 重合时，有 AEDE，AED60. CEAB， AEBEDE，BCE1 2ACB30. EBD30.DBC90. 在 RtBCF 中，BC2，tanBCEBF BC， BF2tan302 3 3 . (3)DE 长度的最小值是1 2，理由：如图 3，由(1)知：DABPAC，取 AC 的中点 F，连接 PF，则 PFDE， PF 长度的最小值
7、就是 DE 长度的最小值，过点 F 作 FGCE 于点 G，垂足 G 就是 PF 最小时点 P 的位置，此 时 PF1 2，故 DE 长度的最小值是 1 2. 4 归纳：对于等边三角形的问题主要考查三边关系与三角的特殊之处，判定时注意两个角为 60的三角形为 等边三角形，抓住特殊求三角形高等线段长度即可得到。 考点 3： 直角三角形的性质及相关计算 【例题 3】(2018保定模拟)勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给 了小聪一灵感，他惊喜地发现，当两个全等的直角三角形如图 1 或图 2 摆放时，都可以用“面积法”来证 明，下面是小聪利用图 1 证明勾股定理的过程
8、： 将两个全等的直角三角形按图 1 所示摆放，其中DAB90，求证：a 2b2c2. 证明：连接 DB，过点 D 作 BC 边上的高 DF，则 DFECba. S四边形 ADCBSACDSABC1 2b 21 2ab， 又S四边形 ADCBSADBSDCB1 2c 21 2a(ba)， 1 2b 21 2ab 1 2c 21 2a(ba) a 2b2c2. 请参照上述证法，利用图 2 完成下面的证明 将两个全等的直角三角形按图 2 所示摆放，其中DAB90.求证：a 2b2c2. 证明：连接 BD，过点 B 作 DE 边上的高 BF，则 BFba. S五边形 ACBEDSACBSABESADE
9、1 2ab 1 2b 21 2ab， 又S五边形 ACBEDSACBSABDSBDE1 2ab 1 2c 21 2a(ba)， 1 2ab 1 2b 21 2ab 1 2ab 1 2c 21 2a(ba) a 2b2c2. 归纳：解决与直角三角形有关的计算：(1)若直角三角形中含有 30角时，可考虑利用 30角所对的直角 边是斜边的一半；(2)若直角三角形出现中线时，可考虑利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半进行 求解；(3)计算有关线段长问题，如果所求线段是在直角三角形或可通过作辅助线作出含可求出两边的直角 5 三角形中，一般应用勾股定理求解，即直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方之和
10、 【自我检测】 一、选择题： 1. （2017 湖北荆州）如图，在ABC 中，AB=AC，A=30，AB 的垂直平分线 l 交 AC 于点 D，则CBD 的 度数为（ ） A30 B45 C50 D75 【答案】B 【解答】解：AB=AC，A=30， ABC=ACB=75， AB 的垂直平分线交 AC 于 D， AD=BD， A=ABD=30， BDC=60， CBD=1807560=45 故选 B 2. 如图，在ABC 中，AB=AC，A=30，AB 的垂直平分线 l 交 AC 于点 D，则CBD 的度数为（ ） A30 B45 C50 D75 【答案】B 6 【解答】解：AB=AC，A=3
11、0， ABC=ACB=75， AB 的垂直平分线交 AC 于 D， AD=BD， A=ABD=30， BDC=60， CBD=1807560=45 故选 B 3. （2017 毕节）如图，在正方形 ABCD 中，点 E，F 分别在 BC，CD 上，且EAF=45，将ABE 绕点 A 顺 时针旋转 90，使点 E 落在点 E处，则下列判断不正确的是（ ） AAEE是等腰直角三角形 BAF 垂直平分 EE CEECAFD DAEF 是等腰三角形 【答案】D 【解答】解：将ABE 绕点 A 顺时针旋转 90，使点 E 落在点 E处， AE=AE，EAE=90， AEE是等腰直角三角形，故 A 正确；
12、 将ABE 绕点 A 顺时针旋转 90，使点 E 落在点 E处， EAD=BAE， 四边形 ABCD 是正方形， DAB=90， EAF=45， BAE+DAF=45， EAD+FAD=45， EAF=EAF， AE=AE， 7 AF 垂直平分 EE，故 B 正确； AFEE，ADF=90， FEE+AFD=AFD+DAF， FEE=DAF， EECAFD，故 C 正确； ADEF，但EAD 不一定等于DAE， AEF 不一定是等腰三角形，故 D 错误； 故选 D 4. （2019浙江衢州3 分） “三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的。 借助如图所示的“三 等分角仪”能三等分任一
13、角。这个三等分角仪由两根有槽的棒 OA，OB 组成，两根棒在 O 点相连并可绕 O 转 动，C 点固定，OC=CD=DE，点 D，E 可在槽中滑动，若BDE=75，则CDE 的度数是（ ） A. 60 B. 65 C. 75 D. 80 【答案】 D 【解析】【解答】解：OC=CD=DE， O=ODC，DCE=DEC， 设O=ODC=x， DCE=DEC=2x， CDE=180-DCE-DEC=180-4x， BDE=75， ODC+CDE+BDE=180， 即 x+180-4x+75=180， 解得：x=25， CDE=180-4x=80. 故答案为：D. 8 5. （2019湖南邵阳3 分
14、）如图，在 RtABC 中，BAC90，B36，AD 是斜边 BC 上的中线，将 ACD 沿 AD 对折，使点 C 落在点 F 处，线段 DF 与 AB 相交于点 E，则BED 等于（ ） A120 B108 C72 D36 【答案】B 【解答】解：在 RtABC 中，BAC90，B36， C90B54 AD 是斜边 BC 上的中线， ADBDCD， BADB36，DACC54， ADC180DACC72 将ACD 沿 AD 对折，使点 C 落在点 F 处， ADFADC72， BEDBAD+ADF36+72108 故选：B 二、填空题： 6. 如图，在等边三角形 ABC 中，点 D 是边 B
15、C 的中点，则BAD= 30 【答案】30 【解答】解：ABC 是等边三角形， BAC=60，AB=AC 又点 D 是边 BC 的中点， BAD=BAC=30 9 故答案是：30 7. （2019贵州毕节5 分）如图，以ABC 的顶点 B 为圆心，BA 长为半径画弧，交 BC 边于点 D，连接 AD若 B40，C36，则DAC 的大小为 34 【答案】34 【解答】解：B40，C36， BAC180BC104 ABBD BADADB（180B）270， DACBACBAD34 故答案为：34 8. 如图，ABBC，ADDC，BAD=130，在 BC、CD 上分别找一点 E、F，当AEF 周长最
16、小时，AEF+ AFE 的度数是 【答案】80 【解答】解：作 A 关于 BC 和 CD 的对称点 A，A，连接 AA，交 BC 于 E，交 CD 于 F， 则 AA即为AEF 的周长最小值作 DA 延长线 AH， DAB=130， A+A=50， A=FAA，EAD=A， FAA+AAE=50， EAF=13050=80， 故答案为：80 10 9. （2019黑龙江哈尔滨3 分）如图，在四边形 ABCD 中，ABAD，BCDC，A60，点 E 为 AD 边上一 点，连接 BD.CE，CE 与 BD 交于点 F，且 CEAB，若 AB8，CE6，则 BC 的长为 【答案】27 【解答】解：如
17、图，连接 AC 交 BD 于点 O ABAD，BCDC，A60， AC 垂直平分 BD，ABD 是等边三角形 BAODAO30，ABADBD8， BOOD4 CEAB 11 BAOACE30，CEDBAD60 DAOACE30 AECE6 DEADAE2 CEDADB60 EDF 是等边三角形 DEEFDF2 CFCEEF4，OFODDF2 OC2 3 BC2 7 三、解答题： 10. （2019湖北武汉8 分）如图是由边长为 1 的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点四 边形ABCD的顶点在格点上，点E是边DC与网格线的交点请选择适当的格点，用无刻度的直尺在网格中 完成下列画图，保
18、留连线的痕迹，不要求说明理由 （1）如图 1，过点A画线段AF，使AFDC，且AFDC （2）如图 1，在边AB上画一点G，使AGDBGC （3）如图 2，过点E画线段EM，使EMAB，且EMAB 【分析】 （1）作平行四边形AFCD即可得到结论； （2）根据等腰三角形的性质和对顶角的性质即可得到结论； （3）作平行四边形AEMB即可得到结论 【解答】解： （1）如图所示，线段AF即为所求； （2）如图所示，点G即为所求； （3）如图所示，线段EM即为所求 12 11. (2018嘉兴)如图，在ABC 中，ABAC，D 为 AC 的中点，DEAB，DFBC，垂足分别为 E，F，且 DE DF.
19、求证：ABC 是等边三角形 证明：DEAB，DFBC， AEDCFD90. D 为 AC 的中点，ADDC. 在 RtADE 和 RtCDF 中， ADDC， DEDF， RtADERtCDF(HL) AC.BABC. ABAC，ABBCAC. ABC 是等边三角形 12. （2018湖北省孝感7 分）如图，ABC 中，AB=AC，小聪同学利用直尺和圆规完成了如下操作： 作BAC 的平分线 AM 交 BC 于点 D； 作边 AB 的垂直平分线 EF，EF 与 AM 相交于点 P； 连接 PB，PC 请你观察图形解答下列问题： （1）线段 PA，PB，PC 之间的数量关系是 PA=PB=PC ；
20、 （2）若ABC=70，求BPC 的度数 13 【分析】 （1）根据线段的垂直平分线的性质可得：PA=PB=PC； （2）根据等腰三角形的性质得：ABC=ACB=70，由三角形的内角和得：BAC=180270=40， 由角平分线定义得：BAD=CAD=20，最后利用三角形外角的性质可得结论 【解答】解： （1）如图，PA=PB=PC，理由是： AB=AC，AM 平分BAC， AD 是 BC 的垂直平分线， PB=PC， EP 是 AB 的垂直平分线， PA=PB， PA=PB=PC； 故答案为：PA=PB=PC； （2）AB=AC， ABC=ACB=70， BAC=180270=40， AM
21、平分BAC， BAD=CAD=20， PA=PB=PC， ABP=BAP=ACP=20， BPC=ABP+BAC+ACP=20+40+20=80 13. 如图，ABC 和AOD 是等腰直角三角形，AB=AC，AO=AD，BAC=OAD=90，点 O 是ABC 内的一点， BOC=130 （1）求证：OB=DC； （2）求DCO 的大小； （3）设AOB=，那么当 为多少度时，COD 是等腰三角形 14 【解答】 （1）证明： BAC=OAD=90 BACCAO=OADCAO DAC=OAB 在AOB 与ADC 中 AOBADC， OB=DC； （2）BOC=130， BOA+AOC=36013
22、0=230， AOBADC AOB=ADC， ADC+AOC=230， 又AOD 是等腰直角三角形， DAO=90， 四边形 AOCD 中，DCO=36090230=40； （3）当 CD=CO 时， CDO=COD=70 AOD 是等腰直角三角形， ODA=45， CDA=CDO+ODA=70+45=115 又AOB=ADC= 15 =115； 当 OD=CO 时， DCO=CDO=40 CDA=CDO+ODA=40+45=85 =85； 当 CD=OD 时， DCO=DOC=40 CDO=180DCODOC =1804040 =100 CDA=CDO+ODA=100+45=145 =145； 综上所述：当 的度数为 115或 85或 145时，AOD 是等腰三角形