1、 1 第第 2424 讲讲 尺规作图尺规作图 1尺规作图的作图工具 圆规和没有刻度的直尺 2基本尺规作图 类型一：作一条线段等于已知线段 步骤：作射线 OP； 以 O 为圆心，a 为半径作弧，交 OP 于 A，OA 即为所求线段 图示： 类型三：作线段的垂直平分线 步骤：分别以点 A，B 为圆心，以大于1 2AB 长为半径，在 AB 两侧作弧，两弧交于 M，N 点； 连接 MN，直线 MN 即为所求垂直平分线 图示： 类型四：作一个角等于已知角： 步骤：以 O 为圆心，以任意长为半径作弧，交 的两边于点 P，Q； 作射线 OA； 以 O为圆心，OP 长为半径作弧，交 OA 于点 M； 以点 M
2、 为圆心，PQ 长为半径作弧，交前弧于点 N； 过点 N 作射线 OB，AOB 即为所求角 图示： 类型五：过一点作已知直线的垂线 2 步骤：点在直线上：以点 O 为圆心，任意长为半径作弧，交直线于 A，B 两点； 分别以点 A，B 为圆心，以大于1 2AB 长为半径在直线两侧作弧，交点分别为 M，N； 连接 MN，MN 即为所求垂线 点在直线外：在直线另一侧取点 M； 以 PM 为半径画弧，交直线于 A，B 两点； 分别以 A，B 为圆心，以大于1 2AB 长为半径画弧，交 M 同侧于点 N； 连接 PN，则直线 PN 即为所求的垂线 图示： 3常见几种基本尺规作图作三角形 已知三边作三角形
3、； 已知两边及其夹角作三角形； 已知两角及其夹边作三角形； 已知底边及底边上的高作等腰三角形； 已知一直角边和斜边作直角三角形 4作图的一般步骤 (1)已知；(2)求作；(3)分析；(4)作法；(5)证明； (6)讨论 步骤(5)(6)常不作要求，步骤(3)一般不要求，但作图中一定要保留作图痕迹. 考点 1：简单尺规作图 【例题 1】尺规作图，已知顶角和底边上的高，求作等腰三角形 已知：如图，线段 a. 求作：ABC，使 ABAC，BAC，ADBC 于 D，且 ADa. 3 【解析】 ：作图如图，(1)作EAF；(2)作 AG 平分EAF，并在 AG 上截取 ADa；(3)过 D 作 MNAG
4、， MN 与 AE，AF 分别交于 B，C.则ABC 即为所求作的等腰三角形 归纳：1 1熟悉五个基本的作图步骤及作图痕迹 2 2平时多体会和理解一些复杂作图的依据及作图过程 3 3会在常见的作图语言与对应的几何语言之间进行转化 4 4提倡在平时画图时，采用尺规作图，强化自己的作图意识和规范性 考点 2： 复杂尺规作图 【例题 2】如图，在ABC 中，已知ABC90. (1)请在 BC 上找一点 P，作P 与 AC，AB 都相切，与 AC 的切点为 Q；(尺规作图，保留作图痕迹) (2)连接 BQ，若 AB3，(1)中所作圆的半径为3 2，求 sinCBQ. 【分析】 (1)要求作P 与 AB
5、、AC 相切，根据切线的性质，即点 P 到 AB、AC 的距离相等，且点 P 在边 BC 上，想到角平分线上的点到角两边的距离相等，即作BAC 的平分线交 BC 于 P 点，以点 P 为圆心，PB 为半 径作圆即可；(2)由切线长定理得 ABAQ，又 PBPQ，则判定 AP 为 BQ 的垂直平分线，利用等角的余角相 等得到CBQBAP，然后在RtABP 中利用正弦函数求出sinBAP，从而可得到sinCBQ 的值 解：(1)如图所示，P 即为所求： 4 (2)AB、AQ 为P 的切线，ABAQ，PBPQ，AP 为 BQ 的垂直平分线，BAPABQ90， CBQABQ90，CBQBAP， 在Rt
6、ABP 中，AP AB 2PB2 3 2（3 2） 23 5 2 ，sinBAP BP AP 3 2 3 5 2 5 5 ，sinCBQ 5 5 考点 3： 关于尺规作图的应用 【例题 3】 （2019 广西池河 8 分）如图，AB为O的直径，点C在O上 （1）尺规作图：作BAC的平分线，与O交于点D；连接OD，交BC于点E（不写作法，只保留作图痕迹， 且用黑色墨水笔将作图痕迹加黑） ； （2）探究OE与AC的位置及数量关系，并证明你的结论 【分析】 （1）利用基本作图作AD平分BAC，然后连接OD得到点E； （2）由AD平分BAC得到BAD 1 2 BAC，由圆周角定理得到BAD 1 2 B
7、OD，则BODBAC，再证 明OE为ABC的中位线，从而得到OEAC，OE 1 2 AC 【解答】解： （1）如图所示； 5 （2）OEAC，OE 1 2 AC 理由如下： AD平分BAC， BAD 1 2 BAC， BAD 1 2 BOD， BODBAC， OEAC， OAOB， OE为ABC的中位线， OEAC，OE 1 2 AC 一、选择题： 1. （20182018 年湖北省宜昌市年湖北省宜昌市 3 分）尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线，下列作图中正确的 是（ ） 【答案】B 【解答】已知：直线 AB 和 AB 外一点 C 求作：AB 的垂线，使它经过点 C 作法： （1）
8、任意取一点 K，使 K 和 C 在 AB 的两旁 （2）以 C 为圆心，CK 的长为半径作弧，交 AB 于点 D 和 E （3）分别以 D 和 E 为圆心，大于DE 的长为半径作弧，两弧交于点 F， 6 （4）作直线 CF 直线 CF 就是所求的垂线 故选：B 2. （2018襄阳）如图，在ABC 中，分别以点 A 和点 C 为圆心，大于AC 长为半径画弧，两弧相交于点 M， N，作直线 MN 分别交 BC，AC 于点 D，E若 AE=3cm，ABD 的周长为 13cm，则ABC 的周长为（ ） A16cm B19cm C22cm D25cm 【答案】B 【解答】解：DE 垂直平分线段 AC，
9、 DA=DC，AE=EC=6cm， AB+AD+BD=13cm， AB+BD+DC=13cm， ABC 的周长=AB+BD+BC+AC=13+6=19cm， 故选：B 3. （2019河北3 分）根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形外心的是（ ） ABCD 【答案】C 7 【解答】解：三角形外心为三边的垂直平分线的交点，由基本作图得到C选项作了两边的垂直平分线，从 而可用直尺成功找到三角形外心故选：C 4. （2019贵阳3 分）如图，在ABC中，ABAC，以点C为圆心，CB长为半径画弧，交AB于点B和点D， 再分别以点B，D为圆心，大于BD长为半径画弧，两弧相交于点M，作射线CM交AB
10、于点E若AE2，BE 1，则EC的长度是（ ） A2 B3 C D 【答案】D 【解答】解：由作法得CEAB，则AEC90， ACABBE+AE2+13， 在 RtACE中，CE 故选：D 5. （2018河南）如图，已知AOBC 的顶点 O（0，0），A（1，2），点 B 在 x 轴正半轴上按以下步骤作 图： 以点 O 为圆心， 适当长度为半径作弧， 分别交边 OA， OB 于点 D， E； 分别以点 D， E 为圆心， 大于DE 的长为半径作弧，两弧在AOB 内交于点 F；作射线 OF，交边 AC 于点 G，则点 G 的坐标为（ ） A（1，2） B（，2） C（3，2） D（2，2） 【
11、答案】A 【解答】解：AOBC 的顶点 O（0，0），A（1，2）， AH=1，HO=2， 8 RtAOH 中，AO=， 由题可得，OF 平分AOB， AOG=EOG， 又AGOE， AGO=EOG， AGO=AOG， AG=AO=， HG=1， G（1，2）， 故选：A 二、填空题： 6. （2018南京）如图，在ABC 中，用直尺和圆规作 AB、AC 的垂直平分线，分别交 AB、AC 于点 D、E， 连接 DE若 BC=10cm，则 DE= cm 【答案】5 【解答】解：用直尺和圆规作 AB、AC 的垂直平分线， D 为 AB 的中点，E 为 AC 的中点， DE 是ABC 的中位线， D
12、E=BC=5cm 故答案为：5 7. （2019河南3 分）如图，在四边形ABCD中，ADBC，D90，AD4，BC3分别以点A，C为圆 9 心，大于 1 2 AC长为半径作弧，两弧交于点E，作射线BE交AD于点F，交AC于点O若点O是AC的中点， 则CD的长为 . 【答案】22 【解答】解：如图，连接FC，则AFFC ADBC， FAOBCO 在FOA与BOC中， ， FOABOC（ASA）， AFBC3， FCAF3，FDADAF431 在FDC中，D90， CD 2+DF2FC2， CD 2+1232， CD22 10 8. （2018淮安）如图，在 RtABC 中，C=90，AC=3，
13、BC=5，分别以点 A、B 为圆心，大于AB 的长为 半径画弧，两弧交点分别为点 P、Q，过 P、Q 两点作直线交 BC 于点 D，则 CD 的长是 【答案】 【解答】解：连接 AD PQ 垂直平分线段 AB， DA=DB，设 DA=DB=x， 在 RtACD 中，C=90，AD 2=AC2+CD2， x 2=32+（5x）2， 解得 x=， 11 CD=BCDB=5=， 故答案为 三、解答题：、解答题： 9. 2.如图，在RtABC 中，ACB90. (1)利用直尺和圆规按下列要求作图，并在图中标明相应的字母(保留作图痕迹，不写作法) 作 AC 的垂直平分线，交 AB 于点 O，交 AC 于
14、点 D; 以 O 为圆心，OA 为半径作圆，交 OD 的延长线于点 E. (2)在(1)所作的图形中，解答下列问题. 点 B 与O 的位置关系是_；(直接写出答案) 若 DE2，AC8，求O 的半径 解：(1)如图所示： (2)连接 OC，如图， OD 垂直平分 AC，OAOC，AACO， AB90，OCBACO90，BOCB，OCOB，OBOA，点 B 在O 上； ODAC，且点 D 是 AC 的中点，AD1 2AC4， 设O 的半径为 r， 则 OAOEr， ODOEDEr2， 在RtAOD 中， OA 2AD2OD2， 即 r242(r2)2， 解得 r5.O 的半径为 5 10. （2
15、018安徽分） 如图，O 为锐角ABC 的外接圆，半径为 5. （1）用尺规作图作出BAC 的平分线，并标出它与劣弧 BC 的交点 E(保留作图痕迹，不写作法)； （2）若（1）中的点 E 到弦 BC 的距离为 3，求弦 CE 的长. 12 【答案】 （1）画图见解析； （2）CE= 【解析】 【分析】 （1）以点 A 为圆心，以任意长为半径画弧，分别与 AB、AC 有交点，再分别以这两个交点 为圆心，以大于这两点距离的一半为半径画弧，两弧交于一点，过点 A 与这点作射线，与圆交于点 E ，据 此作图即可； （2）连接 OE 交 BC 于点 F，连接 OC、CE，由 AE 平分BAC，可推导得
16、出 OEBC，然后在 RtOFC 中，由勾 股定理可求得 FC 的长，在 RtEFC 中，由勾股定理即可求得 CE 的长. 【详解】 （1）如图所示，射线 AE 就是所求作的角平分线； （2）连接 OE 交 BC 于点 F，连接 OC、CE， AE 平分BAC， ， OEBC，EF=3，OF=5-3=2， 在 RtOFC 中，由勾股定理可得 FC=， 在 RtEFC 中，由勾股定理可得 CE=. 11. （2019江苏泰州8 分）如图，ABC中，C90，AC4，BC8 （1）用直尺和圆规作AB的垂直平分线； （保留作图痕迹，不要求写作法） （2）若（1）中所作的垂直平分线交BC于点D，求BD的
17、长 13 【分析】 （1）分别以A，B为圆心，大于 1 2 AB为半径画弧，两弧交于点M，N，作直线MN即可 （2）设ADBDx，在 RtACD中，利用勾股定理构建方程即可解决问题 【解答】解： （1）如图直线MN即为所求 （2）MN垂直平分线段AB， DADB，设DADBx， 在 RtACD中，AD 2AC2+CD2， x 242+（8x）2， 解得x5， BD5 12. （2018广东6 分）如图，BD 是菱形 ABCD 的对角线，CBD=75， （1）请用尺规作图法，作 AB 的垂直平分线 EF，垂足为 E，交 AD 于 F； （不要求写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）条件下，连接
18、BF，求DBF 的度数 【分析】 （1）分别以 A、B 为圆心，大于AB 长为半径画弧，过两弧的交点作直线即可； （2）根据DBF=ABDABF 计算即可； 【解答】解： （1）如图所示，直线 EF 即为所求； 14 （2）四边形 ABCD 是菱形， ABD=DBC=ABC=75，DCAB，A=C ABC=150，ABC+C=180， C=A=30， EF 垂直平分线线段 AB， AF=FB， A=FBA=30， DBF=ABDFBE=45 13. （2019湖北孝感8 分）如图，RtABC中，ACB90，一同学利用直尺和圆规完成如下操作： 以点C为圆心，以CB为半径画弧，交AB于点G；分别以
19、点G、B为圆心，以大于GB的长为半径画弧， 两弧交点K，作射线CK； 以点B为圆心，以适当的长为半径画弧，交BC于点M，交AB的延长线于点N；分别以点M、N为圆心， 以大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作直线BP交AC的延长线于点D，交射线CK于点E 请你观察图形，根据操作结果解答下列问题； （1）线段CD与CE的大小关系是 CDCE ； （2）过点D作DFAB交AB的延长线于点F，若AC12，BC5，求 tanDBF的值 【分析】 （1）由作图知CEAB，BD平分CBF，据此得123，结合CEB+32+CDE90 知CEBCDE，从而得出答案； （2）证BCDBFD得CDDF，从而设CD
20、DFx，求出AB13，知 sinDAF DF AD BC AB ，即 12+ x x 5 13 ，解之求得x15 2 ，结合BCBF5 可得答案 【解答】解： （1）CDCE， 15 由作图知CEAB，BD平分CBF， 123， CEB+32+CDE90， CEBCDE， CDCE， 故答案为：CDCE； （2）BD平分CBF，BCCD，BFDF， BCBF，CBDFBD， 在BCD和BFD中， ， BCDBFD（AAS） ， CDDF， 设CDDFx， 在 RtACB中，AB13， sinDAF DF AD BC AB ，即 12+ x x 5 13 ， 解得x15 2 ， BCBF5， tanDBF DF BF 15 2 1 5 3 2