1、 1 第 15 讲 三角形及其基本性质 【考点梳理】 1三角形的分类 (1)按边分类 不等边三角形 等腰三角形 底边与腰不相等的等腰三角形 等边三角形 (2)按角分类 直角三角形 斜三角形 锐角三角形 钝角三角形 2三角形的基本性质 (1)内角和定理：三角形内角和为 180； (2)内外角关系： 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和； 三角形的一个外角_大于_任何一个与它不相邻的内角 (3)三边关系：三角形的任意两边之和_大于_第三边； 任意两边之差_小于第三边； 3三角形中的重要线段 (1)角平分线：如图，线段 AD 平分BAC，则 AD 是ABC 的一条角平分线 内心：三角形三条角
2、平分 线的交点它到各边的距离相等 (2)中线：如图，E 是线段 BC 的中点，则线段 AE 是ABC 的一条中线， 重心：三角形三条中线的交点 (3)高：如图，AFBC，则线段 AF 是ABC 的高线 垂心：三条高线的交点 (4)中位线：连接三角形两边中点的一段，叫做三角形的中位线 中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半. (5)垂直平分线：如图，点 D 是 BC 的中点，DEBC，则 DE 是ABC 的一条垂直平分线 外心：三条垂直平分线的交点，它到各顶点的距离相等；锐角三角形的外心在形内，钝角三角形的外心 2 在形外，直角三角形的外心在斜边中点 4命题 (1)命题：判断
3、一件事情的语句叫做命题命题分为题设和结论两部分题设是已知事项，结论是由已知事 项推出的事项 (2)真命题和假命题：如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫做真命题；如果题设成立时，不能 保证结论一定成立，这样的命题叫做假命题 (3)互逆命题：在两个命题中，如果第一个命题的题设是另一个命题的结论，而第一个命题的结论是另一个 命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题. 【高频考点】 考点 1： 三角形三边关系 【例题 1】（2019 浙江丽水 3 分） 若长度分别为 a， 3， 5 的三条线段能组成一个三角形， 则 a 的值可以是 （ ） A1 B2 C3 D8 【答案】C 【分析】根据三角形三
4、边关系定理得出 53a5+3，求出即可 【解答】解：由三角形三边关系定理得：53a5+3， 即 2a8， 即符合的只有 3， 故选：C 归纳：三角形的三边关系是判断三条线段能否组成三角形的判定标准，三角形的三边关系：三角形任意两 边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边 考点 2： 三角形重要线段的计算与应用 【例题 2】如图，CD，CE，CF 分别是ABC 的高、角平分线、中线 (1)有四种说法：BA2BF；ACE1 2ACB；AEBE；CDAB，则错误的说法是； (2)若A72，ABC28，求DCE； 3 (3)BG 是ABC 的高，A72，求DHB； (4)若 M 是 BC 的中点，若A
5、90，AB16，BC20，求 FM 的长 【分析】 (1)由三角形高线，角平分线，中线的定义进行判断即可；(2)先由A，ABC 可求ACB，由 CE 是角平分线，可求得ACE，从而可利用ACE 和ACD 作差可解决问题；(3)由四边形内角和是 360， 可求得DHG，由互补可求得DHB；(4)由勾股定理求 AC，由中位线定理求 AC. 【解答】解：(2)A72，ABC28， ACB80. CE 是ABC 的角平分线， ACEBCE40. A72，CD 是ABC 的高， ACD18. DCEACEACD22. (3)BG 是ABC 的高，CD 是ABC 的高， ADCAGH90. AADCDHG
6、AGH360， DHG108. DHB180DHG72. (4)A90，AB16，BC20， AC12. FM 是ABC 的中位线， FM1 2AC6. 归纳：中线和中位线是易混淆的两个概念，中线是连接顶点与对边中点之间的线段，中位线是连接两边中 点之间的线段，中线把三角形面积等分，中位线把三角形面积分为 13. 考点 3： 三角形内角和与外角性质的综合应用 【例题 3】 如图：已知 ABCD，ABE 与CDE 两个角的角平分线相交于 F 4 （1）如图 1，若E=80，求BFD 的度数 （2）如图 2：若写出M 和E 之间的数量关系并证明你的结论 （3）若设Em,直接用含有 n、m的代数式写
7、出M(不写过程) 【分析】 （1）首先作 EGAB，FHAB，利用平行线的性质可得ABE+CDE=280，再利用角平分线的定义 得到ABF+CDF=140，从而得到BFD 的度数； （2）先由已知得到ABE=6ABM，CDE=6CDM，由（1）得ABE+CDE=360-E，M=ABM+CDM， 等量代换，即可得； （3）由（2）的方法可得到 2nM+E=360，将E=m代入可得M=. 【解析】 （1）作 EGAB，FHAB， ABCD，EGABFHCD， ABF=BFH，CDF=DFH，ABE+BEG=180，GED+CDE=180， ABE+BEG+GED+CDE=360， BED=BEG+
8、DEG=80，ABE+CDE=280， ABF 和CDF 的角平分线相交于 E，ABF+CDF=140， BFD=BFH+DFH=140； （2）ABM=ABF，CDM=CDF， ABF=3ABM，CDF=3CDM， ABE 与CDE 两个角的角平分线相交于点 F， ABE=6ABM，CDE=6CDM，6ABM+6CDM+E=360， M=ABM+CDM，6M+E=360； （3）由（2）的结论可得， 2nABN+2nCDM+E=360，M=ABM+CDM， 5 解得：M=， 故答案为：. 【自我检测】 一、选择题： 1. （2018吉林长春3 分）如图，在ABC 中，CD 平分ACB 交 A
9、B 于点 D，过点 D 作 DEBC 交 AC 于点 E若A=54，B=48，则CDE 的大小为（ ） A44 B40 C39 D38 【答案】C 【解答】解：A=54，B=48， ACB=1805448=78， CD 平分ACB 交 AB 于点 D， DCB=78=39， DEBC， CDE=DCB=39，故选：C 2. （2018长沙）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ） A4cm，5cm，9cm B8cm，8cm，15cm C5cm，5cm，10cm D6cm，7cm，14cm 【答案】B 【解答】A、5+4=9，9=9， 该三边不能组成三角形，故此选项错误； 6 B、8+8=16
10、，1615， 该三边能组成三角形，故此选项正确； C、5+5=10，10=10， 该三边不能组成三角形，故此选项错误； D、6+7=13，1314， 该三边不能组成三角形，故此选项错误； 故选：B 3. （2019黑龙江省齐齐哈尔市3 分）如图，直线 ab，将一块含 30角（BAC30）的直角三角尺 按图中方式放置，其中 A 和 C 两点分别落在直线 a 和 b 上若120，则2 的度数为（ ） A20 B30 C40 D50 【答案】C 【解答】解：直线 ab， 1+BCA+2+BAC180， BAC30，BCA90，120， 240 故选：C 4. （2018长春） 如图， 在ABC 中，
11、 CD 平分ACB 交 AB 于点 D， 过点 D 作 DEBC 交 AC 于点 E 若A=54， B=48，则CDE 的大小为（ ） A44 B40 C39 D38 【答案】C 【解答】A=54，B=48， ACB=1805448=78， 7 CD 平分ACB 交 AB 于点 D， DCB=78=39， DEBC， CDE=DCB=39， 故选：C 5. （2019江苏泰州3 分）如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点 A.B.C.D.E.F、G 在小正方形的 顶点上，则ABC 的重心是（ ） A点 D B点 E C点 F D点 G 【答案】A 【解答】解：根据题意可知，直线 CD 经过
12、ABC 的 AB 边上的中线，直线 AD 经过ABC 的 BC 边上的中线， 点 D 是ABC 重心 故选：A 二、填空题： 6. （2018 湖南郴州） （3.00 分）一个正多边形的每个外角为 60，那么这个正多边形的内角和是 【答案】720 【解答】这个正多边形的边数为=6， 所以这个正多边形的内角和=（62）180=720 故答案为 720 7. 若三角形的周长是 60cm，且三条边的比为 3：4：5，则三边长分别为 15，20，25 【答案】15，20，25 【解答】解：三角形的三边长的比为 3：4：5， 设三角形的三边长分别为 3x，4x，5x 其周长为 60cm， 8 3x+4x
13、+5x=60，解得 x=5， 三角形的三边长分别是 15，20，25， 故答案为：15，20，25 8. （2018白银）已知 a，b，c 是ABC 的三边长，a，b 满足|a7|+（b1） 2=0，c 为奇数，则 c= 【答案】7 【解答】解：a，b 满足|a7|+（b1） 2=0， a7=0，b1=0， 解得 a=7，b=1， 71=6，7+1=8， 6c8， 又c 为奇数， c=7， 故答案是：7 9. （2018辽宁省抚顺市）将两张三角形纸片如图摆放，量得1+2+3+4=220，则5= 40 【答案】40 【解答】解：如图所示：1+2+6=180，3+4+7=180， 1+2+3+4=
14、220， 1+2+6+3+4+7=360， 6+7=140， 5=180（6+7）=40 故答案为：40 三、解答题： 9 10. 如图，在ABC 中，点 D 为边 AC 的中点，且 DBBC，BC4，CD5. (1)求 DB 的长； (2)在ABC 中，求边 BC 上的高 【解析】 ：(1)DBBC， DBC90. 在 RtDBC 中，BC4，CD5， DB CD 2BC2 52423. (2)过 A 作 AEBC 交线段 CB 延长线于点 E， 则 AEDB. 点 D 为 AC 的中点， DB 为ACE 的中位线 AE2DB6. 边 BC 上的高为 6. 11. 如图，在ABC 中，ABC
15、=40，ACB=80，AD 是 BC 边上的高，AE 平分BAC （1）求BAE 的度数； （2）求DAE 的度数 【分析】 （1）由ABC、ACB 的度数结合三角形内角和定理，可求出BAC 的度数，再根据角平分线的性 质可求出BAE 的度数； （2）利用三角形的外角性质可求出AEB 的度数，结合ADE=90即可求出DAE 的度数 【解答】解： （1）ABC=40，ACB=80， BAC=180ABCACB=60 10 AE 平分BAC， BAE= 2 1 BAC=30 （2）CAE=BAE=30，ACB=80， AEB=CAE+ACB=110， AD 是 BC 边上的高， ADE=90， D
16、AE=AEBADE=20 12. 如图，D 是ABC 边 BA 延长上一点 (1)若 BC3，AC6，则 AB 的长在什么范围？ 若 AC6，则ABC 的周长可能是( ) A8 B10 C12 D14 (2)若CAB36，BACB，则ACB72； 若CABBACB357，求CAD 的度数； 若 CE 是ABC 的角平分线，CAD4 3CEA，BCA80，求CEA 的度数 【点拨】(1)可利用三角形三边大小关系来解；(2)可利用三角形内角和为 180，通过方程(组)来求解； 设每份为 x，利用三角形内角和，求出CAB，再利用互补求CAD；需要利用外角与内角之间的数量关 系，再结合已知条件求解 【
17、解答】解：(1)由三角形任意两边和大于第三边，任意两边之差小于第三边，可得，ACBCABBC AC，所以 3AB9. (2)CABBACB357， 设CAB3x，B5x，ACB7x. CABBACB180， 3x5x7x180，解得 x12.CAB36. CAD180CAB144. CADCEAECA，CAD4 3CEA， 11 CEA3ECA. CE 是ABC 的角平分线，CEA3 2BCA120. 13. （2019河北省9 分）如图，ABC 和ADE 中，ABAD6，BCDE，BD30，边 AD 与边 BC 交于点 P（不与点 B，C 重合） ，点 B，E 在 AD 异侧，I 为APC
18、的内心 （1）求证：BADCAE； （2）设 APx，请用含 x 的式子表示 PD，并求 PD 的最大值； （3）当 ABAC 时，AIC 的取值范围为 mAICn，分别直接写出 m，n 的值 【解答】解： （1）在ABC 和ADE 中， （如图 1） ABCADE（SAS） BACDAE 即BAD+DACDAC+CAE BADCAE （2）AD6，APx， PD6x 当 ADBC 时，APAB3 最小，即 PD633 为 PD 的最大值 （3）如图 2，设BAP，则APC+30， ABAC BAC90，PCA60，PAC90， I 为APC 的内心 AI、CI 分别平分PAC，PCA， IA
19、CPAC，ICAPCA 12 AIC180（IAC+ICA）180（PAC+PCA） 180（90+60）+105 090， 105+105150，即 105AIC150， m105，n150 14. 如图 1，在ABC 中，CD，CE 分别是ABC 的高和角平分线，BAC，B() 图 1 图 2 图 3 (1)若BAC70，B40，求DCE 的度数； (2)若BAC，B()，则DCE 2 (用含，的代数式表示)； (3)若将ABC 换成钝角三角形， 如图 2， 其他条件不变， 试用， 的代数式表示DCE 的度数并说明理由； (4)如图 3， 若 CE 是ABC 外角ACF 的平分线， 交 BA 的延长线于点 E.且30， 则DCE75 (直 接写出结果) 【解析】 ：(1)BAC70，B40， ACB180(BACB)70. 又CE 是ACB 的平分线， ACE1 2ACB35. CD 是高线，ADC90. ACD90BAC20. DCEACEACD15. 13 (3)DCE1 2()理由： ACB180(BACB)180()，CE 是ACB 的平分线， ACE1 2ACB90 1 2() CD 是高线，ADC90. ACDBAC9090. DCEACEACD 901 2()90 1 2()