1、 1 第第 2323 讲讲 与圆有关的计算与圆有关的计算 1弧长与扇形面积的相关计算 (1)半径为 r 的圆的周长：C2r ；半径为 r，n的圆心角所对的弧长：lnr 180 ； (2)半径为 r 的圆的面积：Sr 2；半径为 r，圆心角为 n，弧长为 l 的扇形面积：S 扇形nr 2 360 1 2lr. 2圆锥的侧面积和全面积 (1)圆锥与其侧面展开图的关系：圆锥侧面展开图是扇形； 圆锥底面周长其侧面展开所得扇形的弧长；圆锥母线长其侧面展开所得扇形的半径； (2)圆锥侧面积底面周长母线长 2 rl； 圆锥全面积侧面积底面积rlr 2(r 表示底面圆半径，l 表示圆锥的母线长) 3求阴影部分
2、面积的几种常见方法 (1)公式法：直接用公式求解； (2)割补法：将所求面积分割后，利用规则图形的面积相互加减求解； (3)拼凑法：将所求面积分割后，利用旋转将部分阴影移位后，组成规则图形求解； (4)等积变形构造方程法：将阴影中某些图形等积变形后移位，重组成规则图形求解； (5)去重法：将阴影部分图形看成是一些基本图形覆盖而成的重叠部分，用整体和差求解 考点 1：弧长计算 【例题 1】 （2019湖北武汉3 分）如图，AB 是O 的直径，M、N 是AB（异于 A.B）上两点，C 是MN上一 动点，ACB 的角平分线交O 于点 D，BAC 的平分线交 CD 于点 E当点 C 从点 M 运动到点
3、 N 时，则 C.E 两点的运动路径长的比是（ ） 2 A2 B 2 C 3 2 D 5 2 【分析】如图，连接 EB设 OAr易知点 E 在以 D 为圆心 DA 为半径的圆上，运动轨迹是GF，点 C 的运 动轨迹是MN，由题意MON2GDF，设GDF，则MON2，利用弧长公式计算即可解决问题 【解答】解：如图，连接 EB设 OAr AB 是直径， ACB90， E 是ACB 的内心， AEB135， ACDBCD， ADDB， ADDB2r， ADB90， 易知点 E 在以 D 为圆心 DA 为半径的圆上，运动轨迹是GF，点 C 的运动轨迹是MN， MON2GDF，设GDF，则MON2 3
4、MN GF 的长 的长 2 180 ar 2 180 ar 2 故选：A 归纳：1 1求弧长，要先确定两个要素，一是弧所在圆的半径，二是弧所在扇形的圆心角，再代入弧长公式 计算即可 2 2同一正多边形的渐开线每部分弧所对的圆心角不变，半径后一段比相邻的前一段增加一个正多边形的边 长边长为 a 的正 n 边形的渐开线第 m 段弧长为2ma n . 考点 2：阴影部分面积的计算 【例题 2】如图，在ABC 中，CACB，ACB90，AB2，点 D 为 AB 的中点，以点 D 为圆心作圆心角 为 90的扇形 DEF，点 C 恰在弧 EF 上，则图中阴影部分的面积为_. 解析：如图，连接 CD，作 D
5、MBC，DNAC.DF 交 BC 于点 G，CACB，ACB90， 点 D 为 AB 的中点，DC1 2AB1，四边形 DMCN 是正方形，DM 2 2 ，则扇形 FDE 的面积是：901 2 360 4 ， CACB，ACB90，点 D 为 AB 的中点，CD 平分BCA，又DMBC，DNAC，DMDN，GDH MDN90，GDMHDN，在DMG 和DNH 中， DMGDNH GDMHDN DMDN ，DMGDNH(AAS)， S四边形 DGCHS四边形 DMCN1 2，则阴影部分的面积是： 4 1 2 4 归纳：在圆中求阴影部分面积大致有以下方法： (1)弓形或弓形的一部分可转化成扇形减去
6、三角形的面积； (2)新月形可以用扇形减去一个弓形的面积； (3)可以利用等积变换求阴影部分的面积； (4)可以利用轴对称、中心对称求阴影部分的面积； (5)旋转形成阴影部分的面积，往往可以转化成求一个扇形的面积 考点 3： 关于圆锥的计算 【例题 3】 （2019 浙江丽水 3 分）如图物体由两个圆锥组成其主视图中，A90，ABC105，若 上面圆锥的侧面积为 1，则下面圆锥的侧面积为（ ） A2 B3 C D2 【分析】先证明ABD 为等腰直角三角形得到ABD45，BD2AB，再证明CBD 为等边三角形得到 BCBD2AB，利用圆锥的侧面积的计算方法得到上面圆锥的侧面积与下面圆锥的侧面积的
7、比等于 AB： CB，从而得到下面圆锥的侧面积 【解答】解：A90，ABAD， ABD 为等腰直角三角形， ABD45，BD2AB， ABC105， CBD60， 5 而 CBCD， CBD 为等边三角形， BCBD2AB， 上面圆锥与下面圆锥的底面相同， 上面圆锥的侧面积与下面圆锥的侧面积的比等于 AB：CB， 下面圆锥的侧面积212 故选：D 一、选择题： 1. （2019，山东枣庄，3 分）如图，在边长为 4 的正方形 ABCD 中，以点 B 为圆心，AB 为半径画弧，交对 角线 BD 于点 E，则图中阴影部分的面积是（结果保留 ） （ ） A8 B162 C82 D8 【答案】C 【解
8、答】解：S阴SABDS扇形 BAE44 2 454 360 82， 故选：C 2. （2018山东淄博4 分）如图，O 的直径 AB=6，若BAC=50，则劣弧 AC 的长为（ ） A2 B 8 3 C 3 4 D 4 3 【答案】D 6 【解答】解：如图，连接 CO， BAC=50，AO=CO=3， ACO=50， AOC=80， 劣弧 AC 的长为 803 180 = 4 3 ， 故选：D 3. （2018山东滨州3 分） 已知半径为 5 的O 是ABC 的外接圆， 若ABC=25， 则劣弧的长为 （ ） A 25 36 B125 36 C 25 18 D 5 36 【答案】C 【解答】解
9、：如图：连接 AO，CO， ABC=25， AOC=50， 劣弧的长= 505 180 = 25 18 ， 故选：C 4. （2019，四川巴中，4 分）如图，圆锥的底面半径 r6，高 h8，则圆锥的侧面积是（ ） A15 B30 C45 D60 7 【答案】D 【解答】解：圆锥的母线 l10， 圆锥的侧面积10660， 5. （2018湖北十堰3 分）如图，扇形 OAB 中，AOB=100，OA=12，C 是 OB 的中点，CDOB 交于 点 D，以 OC 为半径的交 OA 于点 E，则图中阴影部分的面积是（ ） A12+18 B12+36 C6 D6 【答案】C 【解答】解：如图，连接 O
10、D，AD， 点 C 为 OA 的中点， OC=OA=OD， CDOA， CDO=30，DOC=60， ADO 为等边三角形，OD=OA=12，OC=CA=6， CD=，6， S扇形 AOD=24， S阴影=S扇形 AOBS扇形 COE（S扇形 AODSCOD） =（2466） =18+6 故选：C 二、填空题： 6. （2018新疆生产建设兵团5 分）如图，ABC 是O 的内接正三角形，O 的半径为 2，则图中阴影 8 部的面积是 【答案】 【解答】解：ABC 是等边三角形， C=60， 根据圆周角定理可得AOB=2C=120， 阴影部分的面积是=， 故答案为： 7. （2019湖北黄石 3
11、分）如图，RtABC 中，A90，CD 平分ACB 交 AB 于点 D，O 是 BC 上一点，经 过 C.D 两点的O 分别交 AC.BC 于点 E.F，AD3，ADC60，则劣弧CD的长为 4 3 【答案】 4 3 【解答】解：连接 DF，OD， CF 是O 的直径， CDF90， ADC60，A90， ACD30， CD 平分ACB 交 AB 于点 D， DCF30， OCOD， OCDODC30， 9 COD120， 在 RtCAD 中，CD2AD23， 在 RtFCD 中，CF cos30 CD 2 3 3 2 4， O 的半径2， 劣弧CD的长120 2 180 4 3 ， 故答案为
12、 4 3 8. （2018山东青岛3 分）如图，RtABC，B=90，C=30，O 为 AC 上一点，OA=2，以 O 为圆心， 以OA为半径的圆与CB相切于点E， 与AB相交于点F， 连接OE、 OF， 则图中阴影部分的面积是 【答案】 【解答】解：B=90，C=30， A=60， OA=OF， AOF 是等边三角形， COF=120， OA=2， 扇形 OGF 的面积为：= OA 为半径的圆与 CB 相切于点 E， OEC=90， 10 OC=2OE=4， AC=OC+OA=6， AB=AC=3， 由勾股定理可知：BC=3 ABC 的面积为：33= OAF 的面积为：2=， 阴影部分面积为
13、：= 故答案为： 9. （2019山东泰安4 分）如图，AOB90，B30，以点 O 为圆心，OA 为半径作弧交 AB 于点 A、 点 C，交 OB 于点 D，若 OA3，则阴影都分的面积为 3 4 【答案】 3 4 【解答】解：连接 OC，作 CHOB 于 H， AOB90，B30， OAB60，AB2OA6， 由勾股定理得，OB 22 ABOA33， OAOC，OAB60， AOC 为等边三角形， AOC60， COB30， 11 COCB，CH 1 2 OC 3 2 ， 阴影都分的面积 2 603 360 1 2 33 3 2 + 1 2 33 3 2 2 303 360 3 4 ， 故
14、答案为： 3 4 三、解答题： 10. （2018湖州）如图，已知 AB 是O 的直径，C，D 是O 上的点，OCBD，交 AD 于点 E，连结 BC （1）求证：AE=ED； （2）若 AB=10，CBD=36，求的长 【分析】（1）根据平行线的性质得出AEO=90，再利用垂径定理证明即可； （2）根据弧长公式解答即可 【解答】证明：（1）AB 是O 的直径， ADB=90， OCBD， AEO=ADB=90， 即 OCAD， AE=ED； （2）OCAD， ， ABC=CBD=36， AOC=2ABC=236=72， 12 11. （2019山东省德州市 12 分）如图，BPD120，点
15、A.C 分别在射线 PB.PD 上，PAC30，AC 23 （1）用尺规在图中作一段劣弧，使得它在 A.C 两点分别与射线 PB 和 PD 相切要求：写出作法，并保留作 图痕迹； （2）根据（1）的作法，结合已有条件，请写出已知和求证，并证明； （3）求所得的劣弧与线段 PA.PC 围成的封闭图形的面积 【考点】扇形的面积 【分析】 （1）过 A.C 分别作 PB.PD 的垂线，它们相交于 O，然后以 OA 为半径作O 即可 （2）写出已知、求证，然后进行证明；连接 OP，先证明 RtPAORtPCO，然后根据切线的判定方法判 断 PB.PC 为O 的切线； （3）先证明OAC 为等边三角形得
16、到 OAAC23，AOC60，再计算出 AP2，然后根据扇形的面 积公式，利用劣弧 AC 与线段 PA.PC 围成的封闭图形的面积进行计算 【解答】解： （1）如图， （2） 已知： 如图， BPD120， 点 A.C 分别在射线 PB.PD 上， PAC30， AC23过 A.C 分别作 PB.PD 的垂线，它们相交于 O，以 OA 为半径作O，OAPB， 求证：PB.PC 为O 的切线； 证明：BPD120，PAC30， PCA30， PAPC， 连接 OP， OAPA，PCOC， PAOPCO90， OPOP， RtPAORtPCO（HL） 13 OAOC， PB.PC 为O 的切线；
17、（3）OAPOCP903060， OAC 为等边三角形， OAAC23，AOC60， OP 平分APC， APO60， AP 3 3 232， 劣弧 AC 与线段 PA.PC 围成的封闭图形的面积S四边形 APCOS形 AOC2 1 2 232 2 60(2 3) 360 432 12. (2018河北模拟)如图，点 P 是O 外一点，PA 切O 于点 A，AB 是O 的直径，连接 OP，过点 B 作 BCOP 交O 于点 C，连接 AC 交 OP 于点 D. (1)求证：PC 是O 的切线； (2)若 PD16 3 cm，AC8 cm，则图中阴影部分的面积为2548 2 cm 2； (3)在
18、(2)的条件下，若点 E 是AB 的中点，连接 CE，求 CE 的长 【解析】 ：(1)证明：连接 OC， 14 PA 切O 于点 A， PAO90. OPBC， AOPOBC，COPOCB. OCOB，OBCOCB. AOPCOP. 在PAO 和PCO 中， OAOC， AOPCOP， OPOP， PAOPCO(SAS) PAOPCO90. 又OC 是O 的半径， PC 是O 的切线 (3)连接 AE，BE，过点 B 作 BMCE 于点 M， CMBEMB90，AEB90. 又点 E 是AB 的中点，AEBE. ECBACE1 2ACB45. 又CMB90， CBM45.BMCM. 在RtB
19、CM 中，由勾股定理，得 CM 2BM2BC2，即 CM2BM236， CMBM3 2 cm. 又ABEACE45， 在RtAEB 中，BEABcosABE5 2 cm. 在RtBEM 中，由勾股定理，得 EM BE 2BM2 （5 2） 2（3 2）24 2(cm)， CECMEM7 2 cm， 即 CE 的长为 7 2 cm. 13. （2019湖北武汉8 分）已知 AB 是O 的直径，AM 和 BN 是O 的两条切线，DC 与O 相切于点 E，分 15 别交 AM、BN 于 D.C 两点 （1）如图 1，求证：AB 24ADBC； （2）如图 2，连接 OE 并延长交 AM 于点 F，连
20、接 CF若ADE2OFC，AD1，求图中阴影部分的面积 【分析】 （1）连接 OC.OD，证明AODBCO，得出 AD BO OA BC ，即可得出结论； （2）连接 OD，OC，证明CODCFD 得出CDOCDF，求出BOE120，由直角三角形的性质得出 BC3，OB3，图中阴影部分的面积2SOBCS扇形 OBE，即可得出结果 【解答】 （1）证明：连接 OC.OD，如图 1 所示： AM 和 BN 是它的两条切线， AMAB，BNAB， AMBN， ADE+BCE180 DC 切O 于 E， ODE 1 2 ADE，OCE 1 2 BCE， ODE+OCE90， DOC90， AOD+CO
21、B90， AOD+ADO90， AODOCB， OADOBC90， AODBCO， ADOA BOBC , OA 2ADBC， （ 1 2 AB） 2ADBC， 16 AB 24ADBC； （2）解：连接 OD，OC，如图 2 所示： ADE2OFC， ADOOFC， ADOBOC，BOCFOC， OFCFOC， CFOC， CD 垂直平分 OF， ODDF， 在COD 和CFD 中， CODCFD（SSS） ， CDOCDF， ODA+CDO+CDF180， ODA60BOC， BOE120， 在 RtDAO，AD 3 3 OA， RtBOC 中，BC3OB， AD：BC1：3， AD1， BC3，OB3， 图中阴影部分的面积2SOBCS扇形 OBE2 1 2 33 2 120( 3) 360 33 17