1、 1 第 11 讲 一次函数及其应用 1一次函数的概念 一般地，形如 的函数叫做一次函数，当 b0 时，ykxb 即为 ykx 叫做正比例函数，所以说 正比例函数是一种特殊的一次函数 2一次函数的图象与性质 (1)一次函数 ykxb(k0)的图象是一条直线， 它与 x 轴的交点坐标为 ，与 y 轴的交点坐标为原点，正比例函数 ykx(k0)的图象是过(0，b) 的 一条直线 (2)一次函数 ykxb(k0)的图象所经过的象限及增减性 k、b 的符号 函数图象 图象的位置 增减性 k0 b0 图象过第一、二、三象 限 y 随 x 的增大而增大 b0 图象过 第一、三象限 y 随 x 的增大而增大
2、 b0 图象过第一、三、四象 限 y 随 x 的增大而增大 k0 函数图象 图象的位置 增减性 b0 图象过第一、二、四象 限 y 随 x 的增大而减小 b0 图象过第二、四象限 y 随 x 的增大而减小 2 b0 图象过 第二、三、四 象限 y 随 x 的增大而减小 3.待定系数法求一次函数解析式的一般步骤 (1)设：设出一次函数解析式一般形式 ykxb(k0); (2)代：将已知条件中函数图象上的两点坐标代入 ykxb 得到方程(组); (3)求：解方程(组)求出 k，b 的值； (4)写：写出一次函数的解析式 4一次函数与方程(组)的关系 (1)一次函数的解析式 ykxb 就是一个二元一
3、次方程； (2)一次函数 ykxb 的图象与 x 轴交点的_ _就是方程 kxb0 的解； (3)一次函数 yk1xb1与 yk2xb2的图象交点的横、纵坐标值就是方程组 yk1xb1 yk2xb2的解 5一次函数与不等式的关系 (1)函数 ykxb 的函数值 y 大于 0 时，自变量 x 的取值范围就是不等式 kxb0 的解集，即函数图象位 于 x 轴的上方部分对应点的横坐标的取值范围； (2)函数 ykxb 的函数值 y 小于 0 时，自变量 x 的取值范围 就是不等式 的解集，即函数图象位于 x 轴的 部分对应点的横坐标的取值范围 6一次函数的实际应用 (1)常见类型：费用问题；销售问题
4、；行程问题；容量问题； 方案问题 (2)解一次函数实际问题的一般步骤： 设出实际问题中的变量； 建立一次函数关系式； 利用待定系数法求出一次函数关系式； 确定自 变量取值范围； 利用一次函数的性质求相应的值，对所得到的解进行检验，是否符合实际意义； 答 考点 1： 一次函数的图象与性质 【例题 1】 （2018江苏扬州3 分）如图，在等腰 RtABO，A=90，点 B 的坐标为（0，2） ，若直线 l： y=mx+m（m0）把ABO 分成面积相等的两部分，则 m 的值为 3 考点 2： 一次函数与方程、不等式的关系 【例题 2】 (2018河北 T2410 分)如图，直角坐标系 xOy 中，一
5、次函数 y1 2x5 的图象 l 1分别与 x， y 轴交于 A，B 两点，正比例函数的图象 l2与 l1交于点 C(m，4) (1)求 m 的值及 l2的解析式； (2)求 SAOCSBOC的值； (3)一次函数 ykx1 的图象为 l3，且 l1，l2，l3不能围成三角形，直接写出 k 的值 考点 3： 一次函数的实际应用 【例题 3】 （2019四川省广安市8 分）为了节能减排，我市某校准备购买某种品牌的节能灯，已知 3 只 A 型节能灯和 5 只 B 型节能灯共需 50 元，2 只 A 型节能灯和 3 只 B 型节能灯共需 31 元 （1）求 1 只 A 型节能灯和 1 只 B 型节能
6、灯的售价各是多少元？ 4 （2） 学校准备购买这两种型号的节能灯共 200 只， 要求 A 型节能灯的数量不超过 B 型节能灯的数量的 3 倍， 请设计出最省钱的购买方案，并说明理由 归纳： 1.对于一次函数方案设计题，关键是读懂题意，然后在列方案时找出其中的数量关系并列出不等 式；通过解不等式求出未知数的取值范围，然后取其整数解，将每一组符合题意的整数解定为一种方案， 在选择最优方案时，通过将每一组解代入相应的关系式中，满足题意的最优解即可定为最优方案2在遇 到求解一次函数最值问题时，切入问题的关键点在于确定自变量的取值范围，通过给定自变量的范围，选 取合适的数值代入解析式求解即可同时，一次
7、函数确定最值时还应注意以下两点： 当在确定一次函数自变量时，有时需要列不等式解题，对于某些关键字要特别注意，如“不超过” 、 “不 多于” 、 “最多”等字眼需要使用“” ；而“至少” 、 “不少于”等字眼要使用“” ； 从方程中得到的解一定要进行检验，即要符合原方程和实际意义，切不可忽略 3涉及图象问题的实际应用要注意： 在观察函数图象时，首先要弄清横轴与纵轴所表示的函数变量，然后在分析函数图象时应注意拐点、交点 的实际意义，最后在分析图象时要考虑到函数自变量的取值范围 一、选择题： 1. （2019四川省广安市3 分）一次函数 y2x3 的图象经过的象限是（ ） A一、二、三 B二、三、四
8、 C一、三、四 D一、二、四 2. （2018湘潭）若 b0，则一次函数 y=x+b 的图象大致是（ ） A B C D 3. (2019 湖北荆门)（3 分）如果函数ykx+b（k，b是常数）的图象不经过第二象限，那么k，b应满足 的条件是（ ） Ak0 且b0 Bk0 且b0 Ck0 且b0 Dk0 且b0 5 4. （2019山东临沂3 分）下列关于一次函数ykx+b（k0，b0）的说法，错误的是（ ） A图象经过第一、二、四象限 By随x的增大而减小 C图象与y轴交于点（0，b） D当x时，y0 5. （2018包头）如图，在平面直角坐标系中，直线 l1：y=x+1 与 x 轴，y 轴
9、分别交于点 A 和点 B，直 线 l2：y=kx（k0）与直线 l1在第一象限交于点 C若BOC=BCO，则 k 的值为（ ） A B C D2 二、填空题： 6. （2019山东潍坊3 分）当直线 y（22k）x+k3 经过第二、三、四象限时，则 k 的取值范围是 7. （2018邵阳）如图所示，一次函数 y=ax+b 的图象与 x 轴相交于点（2，0），与 y 轴相交于点（0，4）， 结合图象可知，关于 x 的方程 ax+b=0 的解是 8. （2019广西河池3 分）如图，在平面直角坐标系中，A（2，0） ，B（0，1） ，AC由AB绕点A顺时针旋 转 90而得，则AC所在直线的解析式是
10、 9. （2019山东省聊城市3 分）如图，在 RtABO中，OBA90，A（4，4） ，点C在边AB上，且 ，点D为OB的中点，点P为边OA上的动点，当点P在OA上移动时，使四边形PDBC周长最小的点P的坐 标为 . 6 三、解答题： 10. （2019湖北省仙桃市8 分）某农贸公司销售一批玉米种子，若一次购买不超过 5 千克，则种子价格为 20 元/千克，若一次购买超过 5 千克，则超过 5 千克部分的种子价格打 8 折设一次购买量为x千克，付款 金额为y元 （1）求y关于x的函数解析式； （2）某农户一次购买玉米种子 30 千克，需付款多少元？ 11. (2017台州改编)如图，直线 l
11、1：y2x1 与直线 l2：ymx4 相交于点 P(1，b) (1)求 b，m 的值； (2)直接写出关于 x 的不等式 2x1mx4 的解集； (3)垂直于 x 轴的直线 xa 与直线 l1，l2分别交于点 C，D.若线段 CD 长为 2，求 a 的值 7 12. （2018重庆）如图，在平面直角坐标系中，直线 y=x+3 过点 A（5，m）且与 y 轴交于点 B，把点 A 向左平移 2 个单位，再向上平移 4 个单位，得到点 C过点 C 且与 y=2x 平行的直线交 y 轴于点 D （1）求直线 CD 的解析式； （2）直线 AB 与 CD 交于点 E，将直线 CD 沿 EB 方向平移，平
12、移到经过点 B 的位置结束，求直线 CD 在平移过 程中与 x 轴交点的横坐标的取值范围 13. (2017河北 T2410 分)如图，直角坐标系 xOy 中，A(0，5)，直线 x5 与 x 轴交于点 D，直线 y 3 8x 39 8 与 x 轴及直线 x5 分别交于点 C，E.点 B，E 关于 x 轴对称，连接 AB. (1)求点 C，E 的坐标及直线 AB 的解析式； (2)设面积的和 SSCDES四边形 ABDO，求 S 的值； (3)在求(2)中 S 时，嘉琪有个想法： “将CDE 沿 x 轴翻折到CDB 的位置，而CDB 与四边形 ABDO 拼接后 可看成AOC，这样求 S 便转化
13、为直接求AOC 的面积不更快捷吗？”但大家经反复验算，发现 SAOCS，请 8 通过计算解释他的想法错在哪里 14. （2019贵州安顺10 分）安顺市某商贸公司以每千克 40 元的价格购进一种干果，计划以每千克 60 元的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量y（千元）与每千元降 价x（元） （0 x20）之间满足一次函数关系，其图象如图所示： （1）求y与x之间的函数关系式； （2）商贸公司要想获利 2090 元，则这种干果每千克应降价多少元？ 15. (2018唐山乐亭县一模)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，过点 A(6，0)的直线 l1与直线 l2：y2x 相交于点 B(m，4) (1)求直线 l1的解析式； (2)直线 l1与 y 轴交于点 M，求AOM 的面积； (3)过动点 P(n，0)且垂直于 x 轴的直线与 l1，l2的交点分别为 C，D，当点 C 位于点 D 上方时，直接写出 n 的取值范围 【变式】 (4)将(3)中条件“过动点 P(n，0)且垂直于 x 轴的直线 l1，l2的交点分别为 C，D”保持不变， “当 点 C 位于点 D 上方时”改为“且 CD2” ，求点 C 的坐标 9