1、 1 第第 1313 讲讲 二次函数及其应用二次函数及其应用 1二次函数的概念及解析式 (1)概念：形如 yax 2bxc(其中 a，b，c 是常数，且 a0)的函数叫做二次函数，利用配方可以把二次 函数 yax 2bxc 表示成 ya(xb 2a) 24acb 2 4a . (2)二次函数解析式的三种形式： 一般式 yax 2bxc(a，b，c 是常数，a0)； 交点式 ya(xx1)(xx2)(a，x1，x2是常数，a0)(x1，0)、(x2，0)是函数与 x 轴的交点坐标； 顶点式 ya(xh) 2k(a，h，k 是常数，a0)，其顶点坐标为 三种解析式之间的关系： 顶点式 配方 一般式
2、 因式分解交点式 解析式的求法： 确定二次函数的解析式，一般用待定系数法，由于二次函数解析式有三个待定系数 a，b，c(或 a，h，k 或 a，x1，x2)，因而确定二次函数解析式需要已知三个独立的条件： a已知抛物线上任意三个点的坐标时，选用一般式 b已知抛物线的顶点坐标时，选用顶点式 c已知抛物线与 x 轴两个交点的坐标(或横坐标 x1，x2)时，选用交点式 2二次函数的图象和性质 二次函数 yax 2bxc(其中 a，b，c 是常数，且 a0)的图象是抛物线 (1)当 a0 时，抛物线的开口向上；对称轴是直线 ； 当 x b 2a时，y 有最小值，为 4acb 2 4a ； 在对称轴左边
3、(即 x b 2a)时，y 随 x 的增大而减小； 在对称轴右边(即 x b 2a)时，y 随 x 的增大而增大； 顶点( b 2a， 4acb 2 4a )是抛物线上位置最低的点； (2)当 a0 时，抛物线的开口向下；对称轴是直线 x b 2a； 2 当 x b 2a时，y 有最大值，为 4acb 2 4a ，在对称轴左边(即 x b 2a)时， y 随 x 的增大而减小；顶点( b 2a， 4acb 2 4a )是抛物线上位置最高的点 4二次函数函数的变换 (1)二次函数图象的平移： 二次函数的平移可看作是二次函数的顶点坐标的平移，即解决这类问题先把二次函数化为顶点式，由顶 点坐标的平移
4、确定函数的平移 平移规律：将抛物线 ya(xh) 2k 向左移 m 个单位得 ya(xhm)2k；向右平移 m 个单位得 ； 向上平移 m 个单位得 ya(xh) 2km；向下平移 m 个单位得 简记为“h：左加右减，k：上 加下减” (2)二次函数图象的对称： 两抛物线关于 x 轴对称，此时顶点关于 x 轴对称，a 的符号相反； 两抛物线关于 y 轴对称，此时顶点关于 y 轴对称，a 的符号不变； (3)二次函数图象的旋转：开口反向(或旋转 180)，此时顶点坐标不变，只是 a 的符号相反 5二次函数与一元二次方程之间的关系 方程 ax 2bxc0 的解是二次函数 yax2bxc 与 x 轴
5、交点的横坐标解一元二次方程 ax2bxck 就是求二次函数 yax 2bxc 与直线 yk 的交点的横坐标 (1)当 b 24ac0 时，抛物线与 x 轴有两个交点，方程有两个不相等的实数根； (2)当 b 24ac0 时，抛物线与 x 轴有 ，方程有两个相等的实数根； (3)当 b 24ac y1 y2 B. 2 y2 y1 C. y1 y22 D. y2 y12 2. （2018广西）将抛物线 y=x 26x+21 向左平移 2 个单位后，得到新抛物线的解析式为（ ） Ay=（x8） 2+5 By=（x4） 2+5 Cy=（x8） 2+3 Dy=（x4） 2+3 3. （2019江苏连云港
6、3 分）如图，利用一个直角墙角修建一个梯形储料场ABCD，其中C120若新 建墙BC与CD总长为 12m，则该梯形储料场ABCD的最大面积是（ ） A18m 2 B18 3m 2 C24 3m 2 D 45 3 2 m 2 4. （2018滨州）如图，若二次函数 y=ax 2+bx+c（a0）图象的对称轴为 x=1，与 y 轴交于点 C，与 x 轴交 于点 A、点 B（1，0），则 二次函数的最大值为 a+b+c； ab+c0； b 24ac0； 当 y0 时，1x3，其中正确的个数是（ ） A1 B2 C3 D4 6 二、填空题： 5. （2018四川自贡4 分）若函数 y=x 2+2xm
7、的图象与 x 轴有且只有一个交点，则 m 的值为 1 6. (2018 四川省绵阳市)右图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面 2m 时，水面宽 4m，水面下降 2m，水面宽度增 加_m。 7. （2019四川省凉山州5 分）当 0 x3 时，直线ya与抛物线y（x1） 23 有交点，则 a的取值 范围是 9. 在平面直角坐标系中，抛物线yx 2的图象如图所示已知 A点坐标为（1，1） ，过点A作AA1x轴交抛 物线于点A1，过点A1作A1A2OA交抛物线于点A2，过点A2作A2A3x轴交抛物线于点A3，过点A3作A3A4OA 交抛物线于点A4，依次进行下去，则点A2019的坐标为 三、解答题： 10
8、. 某商人将进价为每件 8 元的某种商品按每件 10 元出售，每天可销出 100 件他想采用提高售价的办法 来增加利润经试验，发现这种商品每件每提价 1 元，每天的销售量就会减少 10 件 （1）请写出售价 x（元/件）与每天所得的利润 y（元）之间的函数关系式； （2）每件售价定为多少元，才能使一天的利润最大？ 7 11. (2018石家庄十八县大联考)如图，曲线 BC 是反比例函数 yk x(4x6)的一部分，其中点 B(4，1 m)，C(6，m)，抛物线 yx 22bx 的顶点记作 A. (1)求 k 的值； (2)判断点 A 是否与点 B 重合； (3)若抛物线与 BC 有交点，求 b
9、 的取值范围 12. （2019贵州毕节 12 分）某山区不仅有美丽风光，也有许多令人喜爱的土特产，为实现脱贫奔小康， 某村织村民加工包装土特产销售给游客，以增加村民收入已知某种士特产每袋成本 10 元试销阶段每袋 的销售价x（元）与该士特产的日销售量y（袋）之间的关系如表： x（元） 15 20 30 y（袋） 25 20 10 若日销售量y是销售价x的一次函数，试求： （1）日销售量y（袋）与销售价x（元）的函数关系式； （2）假设后续销售情况与试销阶段效果相同，要使这种土特产每日销售的利润最大，每袋的销售价应定为 多少元？每日销售的最大利润是多少元？ 8 13. （2019湖北省咸宁市12 分）如图，在平面直角坐标系中，直线yx+2 与x轴交于点A，与y轴 交于点B，抛物线yx 2+bx+c 经过A，B两点且与x轴的负半轴交于点C （1）求该抛物线的解析式； （2）若点D为直线AB上方抛物线上的一个动点，当ABD2BAC时，求点D的坐标； （3）已知E，F分别是直线AB和抛物线上的动点，当B，O，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，直接 写出所有符合条件的E点的坐标