1、 1 第第 1717 讲讲 特殊三角形特殊三角形 1等腰三角形 (1)性质： 等腰三角形的两底角相等，两腰相等； 等腰三角形的_高线_、中线、顶角平分线“三线合一” ； 等腰三角形是轴对称图形，高线(或底边中线、顶角平分线)所在直线是它的对称轴 (2)判定： 有两角相等的三角形是等腰三角形； 有_两边相等的三角形是等腰三角形 2等边三角形 (1)性质：三边相等，三个内角都等于 60； 等边三角形是轴对称图形，有_3_条对称轴 (2)判定：三边相等、三内角相等或有一个角是 60的等腰三角形是等边三角形 3直角三角形 (1)性质：两锐角之和等于_90_；斜边上的中线等于斜边的一半；30的角所对应的
2、直角边等于斜 边的_一半_；勾股定理：若直角三角形的两条直角边分别为 a，b，斜边为 c，则有 a 2b2c2. (2)判定：有一个角是直角的三角形是直角三角形；有两个角互余的三角形是直角三角形；勾股定理 逆定理：如果三角形三边长 a，b，c 满足关系 a 2b2c2，那么这个三角形是直角三角形；一条边上的中 线等于这条边的一半的三角形是直角三角形 4等腰直角三角形 (1)性质：两直角边相等_；两锐角相等且都等于_45_. (2)判定：有两边相等的直角三角形；有一个角为 45的直角三角形；顶角为 90的等腰三角形；有两个 角是 45的三角形. 考点 1： 等腰三角形的性质及相关计算 【例题 1
3、】在ABC 中，ACBC，ACB120，点 D 是线段 AB 上一动点(D 不与 A，B 重合) 2 (1)如图 1，当点 D 为 AB 的中点，过点 B 作 BFAC 交 CD 的延长线于点 F，求证：ACBF； (2)连接 CD.作CDE30，DE 交 AC 于点 E.若 DEBC 时，如图 2. CDB ； 求证：ADE 为等腰三角形； 在点 D 的运动过程中，ECD 的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请求出AED 的度数；若不可以，请 说明理由 归纳：在以等腰三角形为背景求线段长的问题中，最常用的工具为“等腰三角形三线合一” ，由此可以找到 相应的角度、线段长度以及垂直关系，进而可通过
4、三角形全等、相似、勾股定理等求解，若已知图形中有 两个中点时，常用中位线的性质得到线段平行和数量关系 考点 2： 等边三角形的性质及相关计算 【例题 2】(2018河北模拟)如图 1，在等边ABC 和等边ADP 中，AB2，点 P 在ABC 的高 CE 上(点 P 与点 C 不重合)，点 D 在点 P 的左侧，连接 BD，ED. (1)求证：BDCP； (2)当点 P 与点 E 重合时，延长 CE 交 BD 于点 F，请你在图 2 中作出图形，并求出 BF 的长； (3)直接写出线段 DE 长度的最小值 归纳：对于等边三角形的问题主要考查三边关系与三角的特殊之处，判定时注意两个角为 60的三角
5、形为 3 等边三角形，抓住特殊求三角形高等线段长度即可得到。 考点 3： 直角三角形的性质及相关计算 【例题 3】(2018保定模拟)勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给 了小聪一灵感，他惊喜地发现，当两个全等的直角三角形如图 1 或图 2 摆放时，都可以用“面积法”来证 明，下面是小聪利用图 1 证明勾股定理的过程： 将两个全等的直角三角形按图 1 所示摆放，其中DAB90，求证：a 2b2c2. 证明：连接 DB，过点 D 作 BC 边上的高 DF，则 DFECba. S四边形 ADCBSACDSABC1 2b 21 2ab， 又S四边形 ADCBSADBS
6、DCB1 2c 21 2a(ba)， 1 2b 21 2ab 1 2c 21 2a(ba) a 2b2c2. 请参照上述证法，利用图 2 完成下面的证明 将两个全等的直角三角形按图 2 所示摆放，其中DAB90.求证：a 2b2c2. 归纳：解决与直角三角形有关的计算：(1)若直角三角形中含有 30角时，可考虑利用 30角所对的直角 边是斜边的一半；(2)若直角三角形出现中线时，可考虑利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半进行 4 求解；(3)计算有关线段长问题，如果所求线段是在直角三角形或可通过作辅助线作出含可求出两边的直角 三角形中，一般应用勾股定理求解，即直角三角形斜边的平方等于两直角
7、边的平方之和 一、选择题： 1. （2017 湖北荆州）如图，在ABC 中，AB=AC，A=30，AB 的垂直平分线 l 交 AC 于点 D，则CBD 的 度数为（ ） A30 B45 C50 D75 2. 如图，在ABC 中，AB=AC，A=30，AB 的垂直平分线 l 交 AC 于点 D，则CBD 的度数为（ ） A30 B45 C50 D75 3. （2017 毕节）如图，在正方形 ABCD 中，点 E，F 分别在 BC，CD 上，且EAF=45，将ABE 绕点 A 顺 时针旋转 90，使点 E 落在点 E处，则下列判断不正确的是（ ） AAEE是等腰直角三角形 BAF 垂直平分 EE
8、CEECAFD DAEF 是等腰三角形 4. （2019浙江衢州3 分） “三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的。 借助如图所示的“三 5 等分角仪”能三等分任一角。这个三等分角仪由两根有槽的棒 OA，OB 组成，两根棒在 O 点相连并可绕 O 转 动，C 点固定，OC=CD=DE，点 D，E 可在槽中滑动，若BDE=75，则CDE 的度数是（ ） A. 60 B. 65 C. 75 D. 80 5. （2019湖南邵阳3 分）如图，在 RtABC 中，BAC90，B36，AD 是斜边 BC 上的中线，将 ACD 沿 AD 对折，使点 C 落在点 F 处，线段 DF 与 AB 相交
9、于点 E，则BED 等于（ ） A120 B108 C72 D36 二、填空题： 6. 如图，在等边三角形 ABC 中，点 D 是边 BC 的中点，则BAD= 7. （2019贵州毕节5 分）如图，以ABC 的顶点 B 为圆心，BA 长为半径画弧，交 BC 边于点 D，连接 AD若 B40，C36，则DAC 的大小为 8. 如图，ABBC，ADDC，BAD=130，在 BC、CD 上分别找一点 E、F，当AEF 周长最小时，AEF+ AFE 的度数是 6 9. （2019黑龙江哈尔滨3 分）如图，在四边形 ABCD 中，ABAD，BCDC，A60，点 E 为 AD 边上一 点，连接 BD.CE
10、，CE 与 BD 交于点 F，且 CEAB，若 AB8，CE6，则 BC 的长为 三、解答题： 10. （2019湖北武汉8 分）如图是由边长为 1 的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点四 边形ABCD的顶点在格点上，点E是边DC与网格线的交点请选择适当的格点，用无刻度的直尺在网格中 完成下列画图，保留连线的痕迹，不要求说明理由 （1）如图 1，过点A画线段AF，使AFDC，且AFDC （2）如图 1，在边AB上画一点G，使AGDBGC （3）如图 2，过点E画线段EM，使EMAB，且EMAB 7 11. (2018嘉兴)如图，在ABC 中，ABAC，D 为 AC 的中点，DEAB
11、，DFBC，垂足分别为 E，F，且 DE DF.求证：ABC 是等边三角形 12. （2018湖北省孝感7 分）如图，ABC 中，AB=AC，小聪同学利用直尺和圆规完成了如下操作： 作BAC 的平分线 AM 交 BC 于点 D； 作边 AB 的垂直平分线 EF，EF 与 AM 相交于点 P； 连接 PB，PC 请你观察图形解答下列问题： （1）线段 PA，PB，PC 之间的数量关系是 ； （2）若ABC=70，求BPC 的度数 8 13. 如图，ABC 和AOD 是等腰直角三角形，AB=AC，AO=AD，BAC=OAD=90，点 O 是ABC 内的一点， BOC=130 （1）求证：OB=DC； （2）求DCO 的大小； （3）设AOB=，那么当 为多少度时，COD 是等腰三角形