1、 1 第第 2323 讲讲 与圆有关的计算与圆有关的计算 1弧长与扇形面积的相关计算 (1)半径为 r 的圆的周长：C2r ；半径为 r，n的圆心角所对的弧长：l ； (2)半径为 r 的圆的面积：Sr 2；半径为 r，圆心角为 n，弧长为 l 的扇形面积：S 扇形 1 2lr. 2圆锥的侧面积和全面积 (1)圆锥与其侧面展开图的关系：圆锥侧面展开图是扇形； 圆锥底面周长其侧面展开所得扇形的弧长；圆锥母线长其侧面展开所得扇形的半径； (2)圆锥侧面积底面周长母线长 2 rl； 圆锥全面积侧面积底面积rlr 2(r 表示底面圆半径，l 表示圆锥的母线长) 3求阴影部分面积的几种常见方法 (1)公
2、式法：直接用公式求解； (2)割补法：将所求面积分割后，利用规则图形的面积相互加减求解； (3)拼凑法：将所求面积分割后，利用旋转将部分阴影移位后，组成规则图形求解； (4)等积变形构造方程法：将阴影中某些图形等积变形后移位，重组成规则图形求解； (5)去重法：将阴影部分图形看成是一些基本图形覆盖而成的重叠部分，用整体和差求解 考点 1：弧长计算 【例题 1】 （2019湖北武汉3 分）如图，AB 是O 的直径，M、N 是AB（异于 A.B）上两点，C 是MN上一 动点，ACB 的角平分线交O 于点 D，BAC 的平分线交 CD 于点 E当点 C 从点 M 运动到点 N 时，则 C.E 两点的
3、运动路径长的比是（ ） 2 A2 B 2 C 3 2 D 5 2 归纳：1 1求弧长，要先确定两个要素，一是弧所在圆的半径，二是弧所在扇形的圆心角，再代入弧长公式 计算即可 2 2同一正多边形的渐开线每部分弧所对的圆心角不变，半径后一段比相邻的前一段增加一个正多边形的边 长边长为 a 的正 n 边形的渐开线第 m 段弧长为2ma n . 考点 2：阴影部分面积的计算 【例题 2】如图，在ABC 中，CACB，ACB90，AB2，点 D 为 AB 的中点，以点 D 为圆心作圆心角 为 90的扇形 DEF，点 C 恰在弧 EF 上，则图中阴影部分的面积为_. 3 归纳：在圆中求阴影部分面积大致有以
4、下方法： (1)弓形或弓形的一部分可转化成扇形减去三角形的面积； (2)新月形可以用扇形减去一个弓形的面积； (3)可以利用等积变换求阴影部分的面积； (4)可以利用轴对称、中心对称求阴影部分的面积； (5)旋转形成阴影部分的面积，往往可以转化成求一个扇形的面积 考点 3： 关于圆锥的计算 【例题 3】 （2019 浙江丽水 3 分）如图物体由两个圆锥组成其主视图中，A90，ABC105，若 上面圆锥的侧面积为 1，则下面圆锥的侧面积为（ ） A2 B3 C D2 一、选择题： 1. （2019，山东枣庄，3 分）如图，在边长为 4 的正方形 ABCD 中，以点 B 为圆心，AB 为半径画弧，
5、交对 角线 BD 于点 E，则图中阴影部分的面积是（结果保留 ） （ ） A8 B162 C82 D8 2. （2018山东淄博4 分）如图，O 的直径 AB=6，若BAC=50，则劣弧 AC 的长为（ ） 4 A2 B 8 3 C 3 4 D 4 3 3. （2018山东滨州3 分） 已知半径为 5 的O 是ABC 的外接圆， 若ABC=25， 则劣弧的长为 （ ） A 25 36 B125 36 C 25 18 D 5 36 4. （2019，四川巴中，4 分）如图，圆锥的底面半径 r6，高 h8，则圆锥的侧面积是（ ） A15 B30 C45 D60 5. （2018湖北十堰3 分）如图
6、，扇形 OAB 中，AOB=100，OA=12，C 是 OB 的中点，CDOB 交于 点 D，以 OC 为半径的交 OA 于点 E，则图中阴影部分的面积是（ ） A12+18 B12+36 C6 D6 二、填空题： 6. （2018新疆生产建设兵团5 分）如图，ABC 是O 的内接正三角形，O 的半径为 2，则图中阴影 部的面积是 7. （2019湖北黄石 3 分）如图，RtABC 中，A90，CD 平分ACB 交 AB 于点 D，O 是 BC 上一点，经 5 过 C.D 两点的O 分别交 AC.BC 于点 E.F，AD3，ADC60，则劣弧CD的长为 8. （2018山东青岛3 分）如图，R
7、tABC，B=90，C=30，O 为 AC 上一点，OA=2，以 O 为圆心， 以 OA 为半径的圆与 CB 相切于点 E，与 AB 相交于点 F，连接 OE、OF，则图中阴影部分的面积是 9. （2019山东泰安4 分）如图，AOB90，B30，以点 O 为圆心，OA 为半径作弧交 AB 于点 A、 点 C，交 OB 于点 D，若 OA3，则阴影都分的面积为 三、解答题： 10. （2018湖州）如图，已知 AB 是O 的直径，C，D 是O 上的点，OCBD，交 AD 于点 E，连结 BC （1）求证：AE=ED； （2）若 AB=10，CBD=36，求的长 6 11. （2019山东省德州
8、市 12 分）如图，BPD120，点 A.C 分别在射线 PB.PD 上，PAC30，AC 23 （1）用尺规在图中作一段劣弧，使得它在 A.C 两点分别与射线 PB 和 PD 相切要求：写出作法，并保留作 图痕迹； （2）根据（1）的作法，结合已有条件，请写出已知和求证，并证明； （3）求所得的劣弧与线段 PA.PC 围成的封闭图形的面积 12. (2018河北模拟)如图，点 P 是O 外一点，PA 切O 于点 A，AB 是O 的直径，连接 OP，过点 B 作 BCOP 交O 于点 C，连接 AC 交 OP 于点 D. (1)求证：PC 是O 的切线； (2)若 PD16 3 cm，AC8 cm，则图中阴影部分的面积为2548 2 cm 2； (3)在(2)的条件下，若点 E 是AB 的中点，连接 CE，求 CE 的长 7 13. （2019湖北武汉8 分）已知 AB 是O 的直径，AM 和 BN 是O 的两条切线，DC 与O 相切于点 E，分 别交 AM、BN 于 D.C 两点 （1）如图 1，求证：AB 24ADBC； （2）如图 2，连接 OE 并延长交 AM 于点 F，连接 CF若ADE2OFC，AD1，求图中阴影部分的面积