1、 1 第 2 讲 整式及其因式分解 【考点导引】 1.明确字母表示数的真实内涵及其规范的书写格式，能用代数式探索有关的规律 2会用语言文字叙述代数式的意义，同时掌握求代数式的值的方法 3理解同类项的概念，掌握合并同类项的法则和去括号的法则以及乘法公式，能准确地进行整式的加、减、 乘、除、乘方等混合运算 4能对多项式进行因式分解. 【难点突破】 1. 合并同类项法则是：只把系数相加减，字母和字母的次数不变. 2.考查整式运算，严格区分几种运算中指数之间的关系：幂的乘方，底数不变指数相乘；积的乘方，积中每 个因式分别乘方；同底数幂相乘，底数不变指数相加；同底数幂相除，底数不变指数相减 3. 考查代
2、数式与二次根式的运算，解答的关键是根据相应的法则进行计算；值得注意的是二次根式的加减 运算需要先将二次根式化为最简二次根式. 4. 解决图形规律探索题问题，首先从简单的图形入手，观察图形、数字随着“序号”或“编号”增加时，后一 个图形与前一个图形相比，在数量上变化情况或图形变化情况，找出变化规律，从而推出一般性结论. 5. 因式分解一般步骤为：“一提”、“二套”、“三分组”、“四检验”，先考虑通过提公因式，套用公式法解决， 不行再考虑用分组分解法进行，最后检验因式分解是否彻底正确此类问题容易出错的地方一是记错 9 是 多少的平方；二是和完全平方公式相混淆 【解题策略】 1.求代数式的值主要用代
3、入法，代入法分为直接代入法、间接代入法和整体代入法 2.整式的运算时不要盲目入手，先观察式子的结构特征，确定解题思路，结合有效的数学思想：整体代入、 降次、数形结合、逆向思维等，使解题更加方便快捷 3.因式分解与整式乘法是互逆运算因式分解时，要先观察、答案已知式的结构特征，而后再灵活选用方法 的解题习惯 【典例精析】 类型一：整数指数幂的运算 【例 1】 （2019南京2 分）计算（a2b）3的结果是（ ） Aa2b3 Ba5b3 Ca6b Da6b3 【答案】D 2 【解答】解： （a2b）3（a2）3b3a6b3故选：D 类型二：同类项与合并同类项 【例 2】 （2019湖北黄石3 分）化
4、简 1 3 （9x3）2（x+1）的结果是（ ） A2x2 Bx+1 C5x+3 Dx3 【答案】D 【解答】解：原式3x12x2x3，故选：D 类型三：整式的运算 【例 3】（2019湖北武汉8 分）计算： （2x2）3x2x4 【答案】7x6 【解答】解： （2x2）3x2x4 8x6x6 7x6 类型四：因式分解 【例 4】 （2019湖南株洲3 分）下列各选项中因式分解正确的是（ ） Ax21（x1）2 Ba32a2+aa2（a2） C2y2+4y2y（y+2） Dm2n2mn+nn（m1）2 【答案】D 【解答】解：A.x21（x+1） （x1） ，故此选项错误； B.a32a2+a
5、a2（a1） ，故此选项错误； C.2y2+4y2y（y2） ，故此选项错误； D.m2n2mn+nn（m1）2，正确 故选：D 类型五：整式运算的应用及规律型问题 【例 5】 （2019湖北十堰3 分）对于实数 a，b，定义运算“”如下：ab（a+b）2（ab）2若（m+2） （m3）24，则 m 【答案】3 或 4 【解答】解：根据题意得（m+2）+（m3）2（m+2）（m3）224， （2m1）2490， （2m1+7） （2m17）0， 3 2m1+70 或 2m170， 所以 m13，m24 故答案为3 或 4 类型六：关于整式的拓展应用 【例 5】 （2019河北4 分）如图，约定
6、：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数 示例：即 4+37 则（1）用含 x 的式子表示 m ； （2）当 y2 时，n 的值为 【解答】解： （1）根据约定的方法可得： mx+2x3x； 故答案为：3x； （2）根据约定的方法即可求出 n x+2x+2x+3m+ny 当 y2 时，5x+32 解得 x1 n2x+32+31 故答案为：1 【真题检测】 1.（2019湖南怀化4 分）单项式5ab 的系数是（ ） A5 B5 C2 D2 【答案】B 【解答】解：单项式5ab 的系数是5，故选：B 2. （2019湖南衡阳3 分）下列各式中，计算正确的是（ ） A8a3b5ab B （a
7、2）3a5 Ca8 a4a2 Da2aa3 4 【答案】D 【解答】解：A.8a 与 3b 不是同类项，故不能合并，故选项 A 不合题意； B.（a2）3a6，故选项 B 不合题意； C.a8 a4a4，故选项 C 不符合题意； D.a2aa3，故选项 D 符合题意 故选：D 3. （2019湖南株洲3 分）下列各式中，与 3x2y3是同类项的是（ ） A2x5 B3x3y2 Cx2y3 Dy5 【答案】C 【解答】解：A.2x5与 3x2y3不是同类项，故本选项错误； B.3x3y2与 3x2y3不是同类项，故本选项错误； C.x2y3与 3x2y3是同类项，故本选项正确； D.y5与 3x
8、2y3是同类项，故本选项错误；故选：C 4.（2019贵州毕节3 分）下列四个运算中，只有一个是正确的这个正确运算的序号是（ ） 30+3 13； 523；（2a2）38a5；a8 a4a4 A B C D 【答案】D 【解答】解：30+3 111 3 ，故此选项错误； 52无法计算，故此选项错误； （2a2）38a6，故此选项错误； a8 a4a4，正确故选：D 5. (2019 安徽)（4 分）已知三个实数 a，b，c 满足 a2b+c0，a+2b+c0，则（ ） Ab0，b2ac0 Bb0，b2ac0 Cb0，b2ac0 Db0，b2ac0 【答案】D 【解答】a2b+c0，a+2b+c
9、0， a+c2b，b 2 ac ， 5 a+2b+c（a+c）+2b4b0， b0， b2ac 2 () 2 ac 22 2 4 aacc ac 22 -2 4 aacc 2 - () 2 a c 0， 即 b0，b2ac0， 故选：D 6. （2019湖南怀化4 分）合并同类项：4a2+6a2a2 【答案】9a2 【解答】解：原式（4+61）a29a2， 故答案为：9a2 6. （2019湖南怀化4 分）当 a1，b3 时，代数式 2ab 的值等于 【答案】-5 【解答】解：当 a1，b3 时，2ab2 （1）35， 故答案为：5 7. （2019湖南长沙3 分）分解因式：am29a 【答案
10、】a（m+3） （m3） 【解答】解：am29a a（m29） a（m+3） （m3） 故答案为：a（m+3） （m3） 8. （2019湖南岳阳4 分）已知 x32，则代数式（x3）22（x3）+1 的值为 【答案】1 【解答】解：x32， 代数式（x3）22（x3）+1（x31）2（21）21 故答案为：1 9. （2019，山东枣庄，4 分）若 m 1 m 3，则 m2+ 2 1 m 【答案】11 【解答】解： 2 1 () m mm22+ 2 1 m 9， 6 m2+ 2 1 m 11，故答案为 11 10. （2019南京7 分）计算（x+y） （x2xy+y2） 【答案】x3+y3
11、 【解答】解： （x+y） （x2xy+y2） ， x3x2y+xy2+x2yxy2+y3， x3+y3 故答案为：x3+y3 11. （2019浙江宁波6 分）先化简，再求值： （x2） （x+2）x（x1） ，其中 x3 【答案】-1 【解答】解： （x2） （x+2）x（x1） x24x2+x x4， 当 x3 时，原式x41 12. （2019四川省凉山州5 分）先化简，再求值： （a+3）2（a+1） （a1）2（2a+4） ，其中 a 【答案】1 【解答】解： 原式a2+6a+9（a21）4a8 2a+2 将 a代入原式2 （）+21 13.（2019 贵州贵阳 8 分）如图是一个长为 a，宽为 b 的矩形，两个阴影图形都是一对底边长为 1，且底边 在矩形对边上的平行四边形 （1）用含字母 a，b 的代数式表示矩形中空白部分的面积； （2）当 a3，b2 时，求矩形中空白部分的面积 【答案】 （1）Sabab+1；(2)2 7 【解答】解： （1）Sabab+1； （2）当 a3，b2 时，S632+12；