1、 1 第 10 讲 一次函数 【考点导引】 1.理解一次函数的概念，会利用待定系数法确定一次函数的表达式 2会画一次函数的图象，掌握一次函数的基本性质 3体会一次函数与二元一次方程的关系，能用一次函数解决简单实际问题. 【难点突破】 1.一次函数 y=kx+b(k0)的图象是不平行于 x 轴的一条直线，可以通过平移直线 y=kx(k0)得到一次函数 y=kx+b(k0)中，k 的符号决定着函数的增减性，b 的符号决定着直线与 y 轴的交点位置一次函数的主要性 质如下表： k 的符号 增减性 b 的符号 所在象限 k0 y 随 x 的增大而增大 b0 第一、二、三象限 b0 第一、三、四象限 k
2、0 y 随 x 的增大而减小 b0 第一、二、四象限 b0 第二、三、四象限 2. 用一次函数解决实际问题的一般步骤： （1）设一次函数关系式； （2）利用待定系数法求出一次函数关系 式； （3）确定自变量取值范围； （4）依据一次函数的性质确定相应的值，并看看是否符合实际意义 【解题策略】 1.待定系数法，是求一次函数解析式的常用方法，一般是先设待求的函数关系式(其中含有未知常数)，再根 据条件列出方程或方程组，通过解方程或方程组，求出未知系数，从而得到所求函数解析式的方法 2利用函数图象解决实际问题时，要注意仔细答案图象中各点的含义，尤其是图象与图象或坐标轴的交点， 要善于运用数形结合思想
3、从图象中获取有用的信息 【典例精析】 类型一：一次函数的图象与性质 【例 1】 （2019湖北省荆门市3 分）如果函数 ykx+b（k，b 是常数）的图象不经过第二象限，那么 k，b 应满足的条件是（ ） Ak0 且 b0 Bk0 且 b0 Ck0 且 b0 Dk0 且 b0 【答案】A 【解答】解：ykx+b（k，b 是常数）的图象不经过第二象限， 2 当 k0，b0 时成立； 当 k0，b0 时成立； 综上所述，k0，b0； 故选：A 类型二：确定一次函数的解析式 【例 2】 （2019山东省聊城市3 分）如图，在 RtABO 中，OBA90 ，A（4，4） ，点 C 在边 AB 上，且
4、，点 D 为 OB 的中点，点 P 为边 OA 上的动点，当点 P 在 OA 上移动时，使四边形 PDBC 周长最小的 点 P 的坐标为（ ） A （2，2） B （，） C （，） D （3，3） 【答案】C 【解答】解：在 RtABO 中，OBA90 ，A（4，4） ， ABOB4，AOB45 ， ，点 D 为 OB 的中点， BC3，ODBD2， D（0，2） ，C（4，3） ， 作 D 关于直线 OA 的对称点 E，连接 EC 交 OA 于 P， 则此时，四边形 PDBC 周长最小，E（0，2） ， 直线 OA 的解析式为 yx， 设直线 EC 的解析式为 ykx+b， ， 解得：，
5、3 直线 EC 的解析式为 yx+2， 解得， P（，） ， 故选：C 类型三：一次函数与方程(组)、不等式的关系 【例 3】 （2019贵州黔东3 分）如图所示，一次函数 yax+b（A.b 为常数，且 a0）的图象经过点 A（4， 1） ，则不等式 ax+b1 的解集为 x4 【答案】x4 【解答】解：函数 yax+b 的图象如图所示，图象经过点 A（4，1） ，且函数值 y 随 x 的增大而增大， 故不等式 ax+b1 的解集是 x4 故答案为：x4 类型四：一次函数的应用 【例 4】 （2019浙江绍兴8 分）如图是某型号新能源纯电动汽车充满电后，蓄电池剩余电量 y（千瓦时）关 于已行
6、驶路程 x（千米）的函数图象 （1）根据图象，直接写出蓄电池剩余电量为 35 千瓦时时汽车已行驶的路程当 0 x150 时，求 1 千瓦时 的电量汽车能行驶的路程 （2）当 150 x200 时，求 y 关于 x 的函数表达式，并计算当汽车已行驶 180 千米时，蓄电池的剩余电量 4 【答案】 （1）6 千米； （2）当 150 x200 时，函数表达式为 y0.5x+110，当汽车已行驶 180 千米时，蓄电池的剩余电量为 20 千瓦时 【解答】解： （1）由图象可知，蓄电池剩余电量为 35 千瓦时时汽车已行驶了 150 千米 1 千瓦时的电量汽车能行驶的路程为： 150 6035 =6 千
7、米； （2）设 ykx+b（k0） ，把点（150，35） ， （200，10）代入， 得， ， y0.5x+110， 当 x180 时，y0.5 180+11020， 答：当 150 x200 时，函数表达式为 y0.5x+110，当汽车已行驶 180 千米时，蓄电池的剩余电量为 20 千瓦时 【真题检测】 1. （2019四川省广安市3 分）一次函数 y2x3 的图象经过的象限是（ ） A一、二、三 B二、三、四 C一、三、四 D一、二、四 【答案】C 【解答】解：一次函数 y2x3，该函数经过第一、三、四象限，故选：C 【点评】本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函
8、数的性质解答 2. （2019山东临沂3 分）下列关于一次函数 ykx+b（k0，b0）的说法，错误的是（ ） A图象经过第一、二、四象限 By 随 x 的增大而减小 C图象与 y 轴交于点（0，b） D当 x时，y0 【答案】D 【解答】解：ykx+b（k0，b0） ， 5 图象经过第一、二、四象限，A 正确； k0，y 随 x 的增大而减小，B 正确； 令 x0 时，yb，图象与 y 轴的交点为（0，b） ，C 正确； 令 y0 时，x，当 x时，y0；D 不正确；故选：D 3. (2019 湖北荆门)（3 分）如果函数 ykx+b（k，b 是常数）的图象不经过第二象限，那么 k，b 应满
9、足的 条件是（ ） Ak0 且 b0 Bk0 且 b0 Ck0 且 b0 Dk0 且 b0 【答案】A 【解答】解：ykx+b（k，b 是常数）的图象不经过第二象限， 当 k0，b0 时成立； 当 k0，b0 时成立； 综上所述，k0，b0； 故选：A 4. （2019江苏苏州3 分） 若一次函数ykxb（kb、为常数， 且0k ） 的图像经过点01A，1 1B ， 则不等式1kxb的解为（ ） 。 A0 x B0 x C1x D1x 【答案】D 【解答】如下图图像，易得1kxb时，1x 故选 D。 x y 1 2 3 1234512345 1 2 3 O 5. （2019，山东枣庄，3 分）
10、如图，一直线与两坐标轴的正半轴分别交于 A，B 两点，P 是线段 AB 上任意 一点（不包括端点） ，过点 P 分别作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形的周长为 8，则该直线的函数表 达式是（ ） 6 Ayx+4 Byx+4 Cyx+8 Dyx+8 【答案】A 【解答】解：如图，过 P 点分别作 PDx 轴，PCy 轴，垂足分别为 D.C， 设 P 点坐标为（x，y） ， P 点在第一象限， PDy，PCx， 矩形 PDOC 的周长为 8， 2（x+y）8， x+y4， 即该直线的函数表达式是 yx+4， 故选：A 6. （2019山东潍坊3 分）当直线 y（22k）x+k3 经过第二、三、四
11、象限时，则 k 的取值范围是 1 k3 【答案】1k3； 【解答】解：y（22k）x+k3 经过第二、三、四象限， 22k0，k30， k1，k3， 1k3； 7 故答案为 1k3； 7.（2019浙江金华4 分）元朝朱世杰的算学启蒙一书记载：“今有良马目行二百四十里，驽马日行一百 五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之，”如图是两匹马行走路程 s 关于行走时间 t 的函数图象， 则两图象交点 P 的坐标是_ 【答案】 （32，4800） 【解析】解：设良马追及 x 日，依题可得： 150 12+150 x=240 x， 解得：x=20， 240 20=4800， P 点横坐标为：20+
12、12=32， P（32，4800） ， 故答案为： （32，4800）. 8. （2019 贵州贵阳 4 分）在平面直角坐标系内，一次函数 yk1x+b1与 yk2x+b2的图象如图所示，则关于 x，y 的方程组的解是 【答案】 【解答】解：一次函数 yk1x+b1与 yk2x+b2的图象的交点坐标为（2，1） ， 关于 x，y 的方程组的解是 故答案为 9. （2019广西河池3 分）如图，在平面直角坐标系中，A（2，0） ，B（0，1） ，AC 由 AB 绕点 A 顺时针旋 8 转 90 而得，则 AC 所在直线的解析式是 y2x4 【答案】y2x4 【解答】解：A（2，0） ，B（0，1
13、） OA2，OB1 过点 C 作 CDx 轴于点 D， 则易知ACDBAO（AAS） ADOB1，CDOA2 C（3，2） 设直线 AC 的解析式为 ykx+b，将点 A，点 C 坐标代入得 02 23 kb kb 2 4 k b 直线 AC 的解析式为 y2x4 故答案为：y2x4 10. （2019湖北省仙桃市8 分）某农贸公司销售一批玉米种子，若一次购买不超过 5 千克，则种子价格为 20 元/千克，若一次购买超过 5 千克，则超过 5 千克部分的种子价格打 8 折设一次购买量为 x 千克，付款 金额为 y 元 （1）求 y 关于 x 的函数解析式； （2）某农户一次购买玉米种子 30
14、千克，需付款多少元？ 9 【答案】 （1）根据题意，得当 0 x5 时，y20 x；当 x5，y20 0.8（x5）+20 516x+20； （2）把 x30 代入 y16x+20，即可求解； 【解答】解： （1）根据题意，得 当 0 x5 时，y20 x； 当 x5，y20 0.8（x5）+20 516x+20； （2）把 x30 代入 y16x+20， y16 30+20500； 一次购买玉米种子 30 千克，需付款 500 元； 11. （2019四川省广安市8 分）为了节能减排，我市某校准备购买某种品牌的节能灯，已知 3 只 A 型节能 灯和 5 只 B 型节能灯共需 50 元，2 只
15、 A 型节能灯和 3 只 B 型节能灯共需 31 元 （1）求 1 只 A 型节能灯和 1 只 B 型节能灯的售价各是多少元？ （2）学校准备购买这两种型号的节能灯共 200 只，要求 A 型节能灯的数量不超过 B 型节能灯的数量的 3 倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由 【答案】 （1）1 只 A 型节能灯的售价是 5 元，1 只 B 型节能灯的售价是 7 元； （2）当购买 A 型号节能灯 150 只，B 型号节能灯 50 只时最省钱 【解答】解： （1）设 1 只 A 型节能灯的售价是 x 元，1 只 B 型节能灯的售价是 y 元， 3550 2331 xy xy ，解得， 5 7
16、 x y ， 答：1 只 A 型节能灯的售价是 5 元，1 只 B 型节能灯的售价是 7 元； （2）设购买 A 型号的节能灯 a 只，则购买 B 型号的节能灯（200a）只，费用为 w 元， w5a+7（200a）2a+1400， a3（200a） ， a150， 当 a150 时，w 取得最小值，此时 w1100，200a50， 答：当购买 A 型号节能灯 150 只，B 型号节能灯 50 只时最省钱 12. （2019 贵州安顺 10 分）安顺市某商贸公司以每千克 40 元的价格购进一种干果，计划以每千克 60 元的 价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量 y（千元）与每千元降价 x （元） （0 x20）之间满足一次函数关系，其图象如图所示： （1）求 y 与 x 之间的函数关系式； 10 （2）商贸公司要想获利 2090 元，则这种干果每千克应降价多少元？ 【解答】解： （1）设一次函数解析式为：ykx+b 当 x2，y120；当 x4，y140； ， 解得：， y 与 x 之间的函数关系式为 y10 x+100； （2）由题意得： （6040 x） （10 x+100）2090， 整理得：x210 x+90， 解得：x11x29， 让顾客得到更大的实惠， x9， 答：商贸公司要想获利 2090 元，则这种干果每千克应降价 9 元