1、 1 第 14 讲 三角形与全等三角形 【考点导引】 1.了解三角形和全等三角形有关的概念，知道三角形的稳定性，掌握三角形的三边关系 2理解三角形内角和定理及推论 3理解三角形的角平分线、中线、高的概念及画法和性质 4掌握三角形全等的性质与判定，熟练掌握三角形全等的证明. 【难点突破】 1. 在判断已知三条线段是否能够组成三角形，关键是灵活而巧妙运用三角形三边关系，能够组成三角形， 必须满足下列两个条件之一： （1）如果选最长边作第三边，则需判断其余两边之和大于第三边， （2）如果 选最短边作第三边，则需判断其余两边之差小于第三边 2. 对于三角形的形状判定，除了用三角形中是最大角判定方法外，
2、还可用边的方法锐角三角形的两条较 短边的平方和大于最长边的平方，直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方，钝角三角形的两条 较短边的平方和等小于最长边的平方 3. 绝对值、 偶次方与算术平方根是初中阶段三种常见的非负数， 三者常常借助其非负特征综合进行应用 若 三角形的三边长分别为 a，b，c，由三角形的三边关系可得|ab|cab.若判断三条线段 a，b，c 能否组 成三角形，常用的方法是将两条较短线段的和与最长线段作比较，若两条较短线段之和大于最长线段时， 则断定能组成三角形 4. 证明三角形的外角和是 360 ，方法很多解题的突破口是如何通过转化得到 360 ，可以运用平角或者互 补的
3、两个角，也可以运用周角，还可以运用三角形的外角性质（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个 内角的和）和三角形的内角和证明 5.（1）证明两个三角形全等的方法有：SAS,ASA,AAS,SSS,本题在证明三角形全等时运用了 SAS； （2）证明 三角形时等边三角形可证明它的三条边相等，也可以先证明有两条边相等，再证有一个角是 600； （3）求两 条线段的比值问题，可以证它们所在的两个三角形相似、可以利用平行线、可以把它们转化到特殊的三角 形（如等边三角形、等腰直角三角形）中、也可以借助某条线段作为桥梁，建立要求的两条线段与“桥梁线 段”的关系，使问题得以解决. 6. 运用构造法解几何题时，可以
4、根据题设条件或结论所具有的性质、特征，构造出满足条件或结论的一个 基本图形生成新的结论，从而在条件与结论之间架起一座“桥”，把一个复杂问题的条件明朗化，使问题获得 简捷明了的解答方法 7.尺规作图问题是近几年中考热点题型，需要同学们熟练掌握五种基本尺规作图：1. 作一条线段等于已知 2 线段2. 作一个角等于已知角3. 平分已知角4. 作一条线段的垂直平分线5. 经过直线外一点作这条 直线的垂线 【解题策略】 找全等三角形的方法： （1）可以从结论出发，寻找要证明的相等的两条线段（或两个角）分别在哪两个可能全等的三角形中； （2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形全等； （3）
5、可从条件和结论综合考虑，看它们能确定哪两个三角形全等； （4）若上述方法均不可行，可考虑添 加辅助线，构造全等三角形 【典例精析】 类型一：三角形的边角关系 【例 1】 （2019 浙江丽水 3 分） 若长度分别为 a， 3， 5 的三条线段能组成一个三角形， 则 a 的值可以是 （ ） A1 B2 C3 D8 【答案】C 【解答】解：由三角形三边关系定理得：53a5+3， 即 2a8， 即符合的只有 3， 故选：C 类型二：三角形的内角和外角 【例 2】 （2019黑龙江省齐齐哈尔市3 分）如图，直线 ab，将一块含 30 角（BAC30 ）的直角三角尺 按图中方式放置，其中 A 和 C 两
6、点分别落在直线 a 和 b 上若120 ，则2 的度数为（ ） A20 B30 C40 D50 【答案】C 【解答】解：直线 ab， 1+BCA+2+BAC180 ， BAC30 ，BCA90 ，120 ， 240 3 故选：C 类型三：全等三角形的性质与判定 【例 3】 （2019 湖南益阳 8 分）已知，如图，ABAE，ABDE，ECB70 ，D110 ，求证：ABC EAD 【答案】见证明过程 【解答】证明：由ECB70 得ACB110 又D110 ACBD ABDE CABE 在ABC 和EAD 中 ABCEAD（AAS） 类型四：全等三角形的综合探究 【例 4】 （2019河北省9
7、分）如图，ABC 和ADE 中，ABAD6，BCDE，BD30 ，边 AD 与 边 BC 交于点 P（不与点 B，C 重合） ，点 B，E 在 AD 异侧，I 为APC 的内心 （1）求证：BADCAE； （2）设 APx，请用含 x 的式子表示 PD，并求 PD 的最大值； （3）当 ABAC 时，AIC 的取值范围为 m AICn ，分别直接写出 m，n 的值 4 【解答】解： （1）在ABC 和ADE 中， （如图 1） ABCADE（SAS） BACDAE 即BAD+DACDAC+CAE BADCAE （2）AD6，APx， PD6x 当 ADBC 时，APAB3 最小，即 PD633
8、 为 PD 的最大值 （3）如图 2，设BAP，则APC+30， ABAC BAC90 ，PCA60 ，PAC90 ， I 为APC 的内心 AI、CI 分别平分PAC，PCA， IACPAC，ICAPCA AIC180 （IAC+ICA）180 （PAC+PCA） 180 （90 +60）+105 090 ， 105 +105150 ，即 105 AIC150 ， m105，n150 5 【真题检测】 1. (2019浙江丽水3 分)若长度分别为 a，3，5 的三条线段能组成一个三角形，则 a 的值可以是( ) A1 B2 C3 D8 【答案】C 【解答】解：由三角形三边关系定理得：53a5
9、+3，即 2a8，符合条件的 a 的值只有 3，故选 C 2. （2019江苏泰州3 分）如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点 A.B.C.D.E.F、G 在小正方形的 顶点上，则ABC 的重心是（ ） A点 D B点 E C点 F D点 G 【答案】A 【解答】解：根据题意可知，直线 CD 经过ABC 的 AB 边上的中线，直线 AD 经过ABC 的 BC 边上的中 线， 点 D 是ABC 重心 故选：A 3. （2019，山东枣庄，3 分）将一副直角三角板按如图所示的位置放置，使含 30 角的三角板的一条直角边 和含 45 角的三角板的一条直角边放在同一条直线上，则 的度数是（ ）
10、6 A45 B60 C75 D85 【答案】C 【解答】解：如图， ACD90 、F45 ， CGFDGB45 ， 则D+DGB30 +45 75 ， 故选：C 4. （2019 湖北荆门)（3 分）将一副直角三角板按如图所示的位置摆放，使得它们的直角边互相垂直，则 1 的度数是（ ） A95 B100 C105 D110 【答案】C 【解答】解：由题意得，245 ，490 30 60 ， 3245 ， 由三角形的外角性质可知，13+4105 ， 7 故选：C 5. （2019山东青岛3 分）如图，BD 是ABC 的角平分线，AEBD，垂足为 F若ABC35 ，C50 ， 则CDE 的度数为（
11、 ） A35 B40 C45 D50 【答案】A 【解答】解：BD 是ABC 的角平分线，AEBD， ABDEBD，AFBEFB， BFBF， ABFEBF（ASA） ， AFEF，ABBE， ADDE， ABC35 ，C50 ， BAC180 ABCC95 ， 在DAB 与DEB 中， ABDEAD（SSS） ， BEDBAD95 ， ADE360 95 95 35 145 ， CDE180 ADE35 ， 8 故选：A 6. （2019 湖南益阳 4 分）若一个多边形的内角和与外角和之和是 900 ，则该多边形的边数是 5 【答案】5 【解答】解：多边形的内角和与外角和的总和为 900 ，
12、多边形的外角和是 360 ， 多边形的内角和是 900360540 ， 多边形的边数是：540 180 +23+25 故答案为：5 7. （2019黑龙江省齐齐哈尔市3 分）如图，已知在ABC 和DEF 中，BE，BFCE，点 B、F、C、 E 在同一条直线上，若使ABCDEF，则还需添加的一个条件是 （只填一个即可） 【答案】ABDE 【解答】解：添加 ABDE； BFCE， BCEF， 在ABC 和DEF 中， ABCDEF（SAS） ； 故答案为：ABDE 8. （2019广东广州3 分）一副三角板如图放置，将三角板 ADE 绕点 A 逆时针旋转 （0 90 ） ，使得 三角板 ADE
13、的一边所在的直线与 BC 垂直，则 的度数为 15 或 45 【答案】15 或 45 9 【解答】解：分情况讨论： 当 DEBC 时，BAD75 ，90 BAD15 ； 当 ADBC 时，BAD45 ，即 45 故答案为：15 或 45 9. （2019山东威海3 分）如图，在四边形 ABCD 中，ABDC，过点 C 作 CEBC，交 AD 于点 E，连接 BE，BECDEC，若 AB6，则 CD 3 【答案】3 【解答】解：如图，延长 BC、AD 相交于点 F， CEBC， BCEFCE90 ， BECDEC，CECE， EBCEFC（ASA） ， BCCF， ABDC， ADDF， DC=
14、3 故答案为：3 10. （2019广东广州9 分）如图，D 是 AB 上一点，DF 交 AC 于点 E，DEFE，FCAB，求证：ADE CFE 10 【答案】见证明 【解答】证明：FCAB， AFCE，ADEF， 在ADE 与CFE 中： ， ADECFE（AAS） 11. (2019湖北宜昌7 分)如图，在ABC 中，D 是 BC 边上的一点，ABDB，BE 平分ABC，交 AC 边于点 E，连接 DE (1)求证：ABEDBE； (2)若A100 ，C50 ，求AEB 的度数 【答案】(1) ABEDBE； ；(2) 65 【解答】(1)证明：BE 平分ABC，ABEDBE， 在ABE
15、 和DBE 中， ABEDBE（SAS） ； (2)解：A100 ，C50 ，ABC30 ， BE 平分ABC，ABEDBE 1 2 ABC15 ， 在ABE 中，AEB180 AABE180 100 15 65 11 12. （2019，山东枣庄，10 分）在ABC 中，BAC90 ，ABAC，ADBC 于点 D （1）如图 1，点 M，N 分别在 AD，AB 上，且BMN90 ，当AMN30 ，AB2 时，求线段 AM 的长； （2）如图 2，点 E，F 分别在 AB，AC 上，且EDF90 ，求证：BEAF； （3）如图 3，点 M 在 AD 的延长线上，点 N 在 AC 上，且BMN9
16、0 ，求证：AB+AN2AM 【答案】 （1）2 6 3 ； ； （2）BEAF； （3）AB+AN2AM 【解答】 （1）解：BAC90 ，ABAC，ADBC， ADBDDC，ABCACB45 ，BADCAD45 ， AB2， ADBDDC2， AMN30 ， BMD180 90 30 60 ， MBD30 ， BM2DM， 由勾股定理得，BM2DM2BD2，即（2DM）2DM2（2）2， 解得，DM 6 3 ， AMADDM2 6 3 ； （2）证明：ADBC，EDF90 ， 12 BDEADF， 在BDE 和ADF 中， ， BDEADF（ASA） BEAF； （3）证明：过点 M 作 MEBC 交 AB 的延长线于 E， AME90 ， 则 AE2AM，E45 ， MEMA， AME90 ，BMN90 ， BMEAMN， 在BME 和AMN 中， ， BMEAMN（ASA） ， BEAN， AB+ANAB+BEAE2AM