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第14讲 三角形与全等三角形(教师版)备战2020年中考考点讲练案

1、 1 第 14 讲 三角形与全等三角形 【考点导引】 1.了解三角形和全等三角形有关的概念,知道三角形的稳定性,掌握三角形的三边关系 2理解三角形内角和定理及推论 3理解三角形的角平分线、中线、高的概念及画法和性质 4掌握三角形全等的性质与判定,熟练掌握三角形全等的证明. 【难点突破】 1. 在判断已知三条线段是否能够组成三角形,关键是灵活而巧妙运用三角形三边关系,能够组成三角形, 必须满足下列两个条件之一: (1)如果选最长边作第三边,则需判断其余两边之和大于第三边, (2)如果 选最短边作第三边,则需判断其余两边之差小于第三边 2. 对于三角形的形状判定,除了用三角形中是最大角判定方法外,

2、还可用边的方法锐角三角形的两条较 短边的平方和大于最长边的平方,直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方,钝角三角形的两条 较短边的平方和等小于最长边的平方 3. 绝对值、 偶次方与算术平方根是初中阶段三种常见的非负数, 三者常常借助其非负特征综合进行应用 若 三角形的三边长分别为 a,b,c,由三角形的三边关系可得|ab|cab.若判断三条线段 a,b,c 能否组 成三角形,常用的方法是将两条较短线段的和与最长线段作比较,若两条较短线段之和大于最长线段时, 则断定能组成三角形 4. 证明三角形的外角和是 360 ,方法很多解题的突破口是如何通过转化得到 360 ,可以运用平角或者互 补的

3、两个角,也可以运用周角,还可以运用三角形的外角性质(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个 内角的和)和三角形的内角和证明 5.(1)证明两个三角形全等的方法有:SAS,ASA,AAS,SSS,本题在证明三角形全等时运用了 SAS; (2)证明 三角形时等边三角形可证明它的三条边相等,也可以先证明有两条边相等,再证有一个角是 600; (3)求两 条线段的比值问题,可以证它们所在的两个三角形相似、可以利用平行线、可以把它们转化到特殊的三角 形(如等边三角形、等腰直角三角形)中、也可以借助某条线段作为桥梁,建立要求的两条线段与“桥梁线 段”的关系,使问题得以解决. 6. 运用构造法解几何题时,可以

4、根据题设条件或结论所具有的性质、特征,构造出满足条件或结论的一个 基本图形生成新的结论,从而在条件与结论之间架起一座“桥”,把一个复杂问题的条件明朗化,使问题获得 简捷明了的解答方法 7.尺规作图问题是近几年中考热点题型,需要同学们熟练掌握五种基本尺规作图:1. 作一条线段等于已知 2 线段2. 作一个角等于已知角3. 平分已知角4. 作一条线段的垂直平分线5. 经过直线外一点作这条 直线的垂线 【解题策略】 找全等三角形的方法: (1)可以从结论出发,寻找要证明的相等的两条线段(或两个角)分别在哪两个可能全等的三角形中; (2)可以从已知条件出发,看已知条件可以确定哪两个三角形全等; (3)

5、可从条件和结论综合考虑,看它们能确定哪两个三角形全等; (4)若上述方法均不可行,可考虑添 加辅助线,构造全等三角形 【典例精析】 类型一:三角形的边角关系 【例 1】 (2019 浙江丽水 3 分) 若长度分别为 a, 3, 5 的三条线段能组成一个三角形, 则 a 的值可以是 ( ) A1 B2 C3 D8 【答案】C 【解答】解:由三角形三边关系定理得:53a5+3, 即 2a8, 即符合的只有 3, 故选:C 类型二:三角形的内角和外角 【例 2】 (2019黑龙江省齐齐哈尔市3 分)如图,直线 ab,将一块含 30 角(BAC30 )的直角三角尺 按图中方式放置,其中 A 和 C 两

6、点分别落在直线 a 和 b 上若120 ,则2 的度数为( ) A20 B30 C40 D50 【答案】C 【解答】解:直线 ab, 1+BCA+2+BAC180 , BAC30 ,BCA90 ,120 , 240 3 故选:C 类型三:全等三角形的性质与判定 【例 3】 (2019 湖南益阳 8 分)已知,如图,ABAE,ABDE,ECB70 ,D110 ,求证:ABC EAD 【答案】见证明过程 【解答】证明:由ECB70 得ACB110 又D110 ACBD ABDE CABE 在ABC 和EAD 中 ABCEAD(AAS) 类型四:全等三角形的综合探究 【例 4】 (2019河北省9

7、分)如图,ABC 和ADE 中,ABAD6,BCDE,BD30 ,边 AD 与 边 BC 交于点 P(不与点 B,C 重合) ,点 B,E 在 AD 异侧,I 为APC 的内心 (1)求证:BADCAE; (2)设 APx,请用含 x 的式子表示 PD,并求 PD 的最大值; (3)当 ABAC 时,AIC 的取值范围为 m AICn ,分别直接写出 m,n 的值 4 【解答】解: (1)在ABC 和ADE 中, (如图 1) ABCADE(SAS) BACDAE 即BAD+DACDAC+CAE BADCAE (2)AD6,APx, PD6x 当 ADBC 时,APAB3 最小,即 PD633

8、 为 PD 的最大值 (3)如图 2,设BAP,则APC+30, ABAC BAC90 ,PCA60 ,PAC90 , I 为APC 的内心 AI、CI 分别平分PAC,PCA, IACPAC,ICAPCA AIC180 (IAC+ICA)180 (PAC+PCA) 180 (90 +60)+105 090 , 105 +105150 ,即 105 AIC150 , m105,n150 5 【真题检测】 1. (2019浙江丽水3 分)若长度分别为 a,3,5 的三条线段能组成一个三角形,则 a 的值可以是( ) A1 B2 C3 D8 【答案】C 【解答】解:由三角形三边关系定理得:53a5

9、+3,即 2a8,符合条件的 a 的值只有 3,故选 C 2. (2019江苏泰州3 分)如图所示的网格由边长相同的小正方形组成,点 A.B.C.D.E.F、G 在小正方形的 顶点上,则ABC 的重心是( ) A点 D B点 E C点 F D点 G 【答案】A 【解答】解:根据题意可知,直线 CD 经过ABC 的 AB 边上的中线,直线 AD 经过ABC 的 BC 边上的中 线, 点 D 是ABC 重心 故选:A 3. (2019,山东枣庄,3 分)将一副直角三角板按如图所示的位置放置,使含 30 角的三角板的一条直角边 和含 45 角的三角板的一条直角边放在同一条直线上,则 的度数是( )

10、6 A45 B60 C75 D85 【答案】C 【解答】解:如图, ACD90 、F45 , CGFDGB45 , 则D+DGB30 +45 75 , 故选:C 4. (2019 湖北荆门)(3 分)将一副直角三角板按如图所示的位置摆放,使得它们的直角边互相垂直,则 1 的度数是( ) A95 B100 C105 D110 【答案】C 【解答】解:由题意得,245 ,490 30 60 , 3245 , 由三角形的外角性质可知,13+4105 , 7 故选:C 5. (2019山东青岛3 分)如图,BD 是ABC 的角平分线,AEBD,垂足为 F若ABC35 ,C50 , 则CDE 的度数为(

11、 ) A35 B40 C45 D50 【答案】A 【解答】解:BD 是ABC 的角平分线,AEBD, ABDEBD,AFBEFB, BFBF, ABFEBF(ASA) , AFEF,ABBE, ADDE, ABC35 ,C50 , BAC180 ABCC95 , 在DAB 与DEB 中, ABDEAD(SSS) , BEDBAD95 , ADE360 95 95 35 145 , CDE180 ADE35 , 8 故选:A 6. (2019 湖南益阳 4 分)若一个多边形的内角和与外角和之和是 900 ,则该多边形的边数是 5 【答案】5 【解答】解:多边形的内角和与外角和的总和为 900 ,

12、多边形的外角和是 360 , 多边形的内角和是 900360540 , 多边形的边数是:540 180 +23+25 故答案为:5 7. (2019黑龙江省齐齐哈尔市3 分)如图,已知在ABC 和DEF 中,BE,BFCE,点 B、F、C、 E 在同一条直线上,若使ABCDEF,则还需添加的一个条件是 (只填一个即可) 【答案】ABDE 【解答】解:添加 ABDE; BFCE, BCEF, 在ABC 和DEF 中, ABCDEF(SAS) ; 故答案为:ABDE 8. (2019广东广州3 分)一副三角板如图放置,将三角板 ADE 绕点 A 逆时针旋转 (0 90 ) ,使得 三角板 ADE

13、的一边所在的直线与 BC 垂直,则 的度数为 15 或 45 【答案】15 或 45 9 【解答】解:分情况讨论: 当 DEBC 时,BAD75 ,90 BAD15 ; 当 ADBC 时,BAD45 ,即 45 故答案为:15 或 45 9. (2019山东威海3 分)如图,在四边形 ABCD 中,ABDC,过点 C 作 CEBC,交 AD 于点 E,连接 BE,BECDEC,若 AB6,则 CD 3 【答案】3 【解答】解:如图,延长 BC、AD 相交于点 F, CEBC, BCEFCE90 , BECDEC,CECE, EBCEFC(ASA) , BCCF, ABDC, ADDF, DC=

14、3 故答案为:3 10. (2019广东广州9 分)如图,D 是 AB 上一点,DF 交 AC 于点 E,DEFE,FCAB,求证:ADE CFE 10 【答案】见证明 【解答】证明:FCAB, AFCE,ADEF, 在ADE 与CFE 中: , ADECFE(AAS) 11. (2019湖北宜昌7 分)如图,在ABC 中,D 是 BC 边上的一点,ABDB,BE 平分ABC,交 AC 边于点 E,连接 DE (1)求证:ABEDBE; (2)若A100 ,C50 ,求AEB 的度数 【答案】(1) ABEDBE; ;(2) 65 【解答】(1)证明:BE 平分ABC,ABEDBE, 在ABE

15、 和DBE 中, ABEDBE(SAS) ; (2)解:A100 ,C50 ,ABC30 , BE 平分ABC,ABEDBE 1 2 ABC15 , 在ABE 中,AEB180 AABE180 100 15 65 11 12. (2019,山东枣庄,10 分)在ABC 中,BAC90 ,ABAC,ADBC 于点 D (1)如图 1,点 M,N 分别在 AD,AB 上,且BMN90 ,当AMN30 ,AB2 时,求线段 AM 的长; (2)如图 2,点 E,F 分别在 AB,AC 上,且EDF90 ,求证:BEAF; (3)如图 3,点 M 在 AD 的延长线上,点 N 在 AC 上,且BMN9

16、0 ,求证:AB+AN2AM 【答案】 (1)2 6 3 ; ; (2)BEAF; (3)AB+AN2AM 【解答】 (1)解:BAC90 ,ABAC,ADBC, ADBDDC,ABCACB45 ,BADCAD45 , AB2, ADBDDC2, AMN30 , BMD180 90 30 60 , MBD30 , BM2DM, 由勾股定理得,BM2DM2BD2,即(2DM)2DM2(2)2, 解得,DM 6 3 , AMADDM2 6 3 ; (2)证明:ADBC,EDF90 , 12 BDEADF, 在BDE 和ADF 中, , BDEADF(ASA) BEAF; (3)证明:过点 M 作 MEBC 交 AB 的延长线于 E, AME90 , 则 AE2AM,E45 , MEMA, AME90 ,BMN90 , BMEAMN, 在BME 和AMN 中, , BMEAMN(ASA) , BEAN, AB+ANAB+BEAE2AM