1、 1 第 16 讲 直角三角形 【考点导引】 1.了解直角三角形的有关概念，掌握其性质与判定 2掌握勾股定理与逆定理，并能用来解决有关问题. 【难点突破】 1. 证明一个三角形是直角三角形的方法比较多， 最简捷的方法就是求出一个角等于 90 ， 也可以利用三角形 一边上的中线等于这边的一半，或者利用勾股定理的逆定理证得 . 直角三角形除具有两锐角互余、两直角边的平方和等于斜边的平方、斜边的中线等于斜边的一半这些性质 外，还具有外接圆半径等于斜边的一半，内切圆半径等于两直角边的和与斜边差的一半，它的外心是斜边 的中点，垂心是直角顶点等性质 3. 勾股定理主要的用途是已知直角三角形的两边求第三边，
2、当我们只知道直角三角形的一边时，如果可以 找到另外两边的关系，也可通过列方程的方法求出另外两条边 4. 勾股定理逆定理主要是已知一个三角形的三边，判断三角形是否为直角三角形 【解题策略】 面积法：用面积法证题是常用的方法之一，使用这种方法时一般是利用某个图形的多种面积求法或面积之 间的和差关系列出等式，从而得到要证明的结论如 chab，其中 a、b 为两直角边，c 为斜边，h 为斜边 上的高； 【典例精析】 类型一：直角三角形的判定 【例 1】如图，ABC 中，AC=5，BC=12，AB=13，CD 是 AB 边上的中线则 CD= 6.5 【答案】6.5 【解答】解：在ABC 中，AC=5，B
3、C=12，AB=13， AC2+BC2=52+122=132=AB2， ABC 为直角三角形，且ACB=90 ， CD 是 AB 边上的中线， CD=6.5； 2 故答案为：6.5 类型二：直角三角形的性质 【例 2】 （2019海南3 分）如图，在 RtABC 中，C90 ，AB5，BC4点 P 是边 AC 上一动点，过 点 P 作 PQAB 交 BC 于点 Q，D 为线段 PQ 的中点，当 BD 平分ABC 时，AP 的长度为（ ） A B C D 【答案】B 【解答】解：C90 ，AB5，BC4， AC3， PQAB， ABDBDQ，又ABDQBD， QBDBDQ， QBQD， QP2Q
4、B， PQAB， CPQCAB， ，即， 解得，CP， APCACP， 故选：B 类型三：勾股定理及其逆定理 【例 3】 （2019河北9 分）已知：整式 A（n21）2+（2n）2，整式 B0 尝试 化简整式 A 发现 AB2，求整式 B 3 联想 由上可知，B2（n21）2+（2n）2，当 n1 时，n21，2n，B 为直角三角形的三边长，如图填写 下表中 B 的值： 直角三角形三边 n21 2n B 勾股数组 / 8 勾股数组 35 / 【解答】解：A（n21）2+（2n）2n42n2+1+4n2n4+2n2+1（n2+1）2， AB2，B0， Bn2+1， 当 2n8 时，n4，n2+
5、142+115； 当 n2135 时，n2+137 故答案为：15；37 类型四：勾股定理及其逆定理的实际应用 【例 4】 （2019南京2 分）无盖圆柱形杯子的展开图如图所示将一根长为 20cm 的细木筷斜放在该杯子内， 木筷露在杯子外面的部分至少有 5 cm 【答案】5 【解答】解：由题意可得： 杯子内的筷子长度为：15， 则筷子露在杯子外面的筷子长度为：20155（cm） 故答案为：5 类型五：直角三角形的综合探究 【例 5】如图，在ABC 中，ADBC 于 D，BD=AD，DG=DC，E，F 分别是 BG，AC 的中点 （1）求证：DE=DF，DEDF； 4 （2）连接 EF，若 AC
6、=10，求 EF 的长 【答案】 （1）DE=DF，DEDF； （2）5 【解答】 （1）证明：ADBC， ADB=ADC=90 ， 在BDG 和ADC 中， ， BDGADC， BG=AC，BGD=C， ADB=ADC=90 ，E，F 分别是 BG，AC 的中点， DE=BG=EG，DF=AC=AF， DE=DF，EDG=EGD，FDA=FAD， EDG+FDA=90 ， DEDF； （2）解：AC=10， DE=DF=5， 由勾股定理得，EF=5 【真题检测】 1. （2019湖北省咸宁市3 分）勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”我国对勾股定理的证明是由 汉代的赵爽在注解周髀算经时
7、给出的，他用来证明勾股定理的图案被称为“赵爽弦图”.2002 年在北京召 开的国际数学大会选它作为会徽下列图案中是“赵爽弦图”的是（ ） 5 A B C D 【答案】B 【解答】解：“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，如图所示： 故选：B 2. （2019 湖南益阳 4 分）已知 M、N 是线段 AB 上的两点，AMMN2，NB1，以点 A 为圆心，AN 长为半径画弧； 再以点 B 为圆心， BM 长为半径画弧， 两弧交于点 C， 连接 AC， BC， 则ABC 一定是 （ ） A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D等腰三角形 【答案】B 【解答】解：
8、如图所示，ACAN4，BCBM3，AB2+2+15， AC2+BC2AB2， ABC 是直角三角形，且ACB90 ， 故选：B 3. （2019山东省滨州市 3 分）满足下列条件时，ABC 不是直角三角形的为（ ） AAB，BC4，AC5 BAB：BC：AC3：4：5 CA：B：C3：4：5 D|cosA|+（tanB）20 【答案】C 【解答】解：A.，ABC 是直角三角形，错误； B.（3x）2+（4x）29x2+16x225x2（5x）2，ABC 是直角三角形，错误； C.A：B：C3：4：5，C，ABC 不是直角三角形，正 确； 6 D.|cosA|+（tanB）20，A60 ，B30
9、 ，C90 ， ABC 是直角三角形，错误； 故选：C 4. （2019湖南湘西州4 分）如图，在ABC 中，C90 ，AC12，AB 的垂直平分线 EF 交 AC 于点 D， 连接 BD，若 cosBDC 5 7 ，则 BC 的长是（ ） A10 B8 C43 D26 【答案】D； 【解答】解：C90 ，cosBDC 5 7 ， 设 CD5x，BD7x， BC26x， AB 的垂直平分线 EF 交 AC 于点 D， ADBD7x， AC12x， AC12， x1， BC26； 故选：D 5. （2019湖南衡阳3 分）如图，在直角三角形 ABC 中，C90 ，ACBC，E 是 AB 的中点，
10、过点 E 作 AC 和 BC 的垂线，垂足分别为点 D 和点 F，四边形 CDEF 沿着 CA 方向匀速运动，点 C 与点 A 重合时 停止运动，设运动时间为 t，运动过程中四边形 CDEF 与ABC 的重叠部分面积为 S则 S 关于 t 的函数图 象大致为（ ） 7 AB CD 【解答】解：在直角三角形 ABC 中，C90 ，ACBC， ABC 是等腰直角三角形， EFBC，EDAC， 四边形 EFCD 是矩形， E 是 AB 的中点， EFAC，DEBC， EFED， 四边形 EFCD 是正方形， 设正方形的边长为 a， 如图 1 当移动的距离a 时，S正方形的面积EEH 的面积a2 1
11、2 t2； 当移动的距离a 时，如图 2，SSACH 1 2 （2at）2 1 2 t22at+2a2， S 关于 t 的函数图象大致为 C 选项， 故选：C 6. （2019湖北省鄂州市3 分）如图，已知线段 AB4，O 是 AB 的中点，直线 l 经过点 O，160 ，P 点是直线 l 上一点，当APB 为直角三角形时，则 BP 8 【答案】2 或2 3或2 7 【解答】解：AOOB2， 当 BP2 时，APB90 ， 当PAB90 时，AOP60 ， APOAtanAOP2 3， BP2 7， 当PBA90 时，AOP60 ， BPOBtan12 3， 故答案为：2 或2 3或2 7 7
12、.（2019，四川巴中，4 分）如图，等边三角形 ABC 内有一点 P，分別连结 AP、BP、CP，若 AP6，BP 8，CP10则 S ABP +S BPC 9 【答案】24+163 【解答】解：如图，将BPC 绕点 B 逆时针旋转 60 后得APB，连接 PP， 根据旋转的性质可知， 旋转角PBPCAB60 ，BPBP， BPP为等边三角形， BPBP8PP； 由旋转的性质可知，APPC10， 在BPP中，PP8，AP6， 由勾股定理的逆定理得，APP是直角三角形， S ABP +S BPC S四边形APBPSBPB+SAPP 3 4 BP2+ 1 2 PP AP24+163 故答案为：2
13、4+163 8. （2019 贵州安顺 4 分）如图，在 RtABC 中，BAC90 ，且 BA3，AC4，点 D 是斜边 BC 上的 一个动点，过点 D 分别作 DMAB 于点 M，DNAC 于点 N，连接 MN，则线段 MN 的最小值为 【答案】 【解答】解：BAC90 ，且 BA3，AC4， BC5， DMAB，DNAC， DMADNABAC90 ， 四边形 DMAN 是矩形， 10 MNAD， 当 ADBC 时，AD 的值最小， 此时，ABC 的面积 1 2 AB AC 1 2 BC AD， AD， MN 的最小值为； 故答案为： 9. （2019山东临沂3 分）如图，在ABC 中，A
14、CB120 ，BC4，D 为 AB 的中点，DCBC，则ABC 的面积是 8 【答案】8 【解答】解：DCBC， BCD90 ， ACB120 ， ACD30 ， 延长 CD 到 H 使 DHCD， D 为 AB 的中点， ADBD， 在ADH 与BCD 中， ADHBCD（SAS） ， AHBC4，HBCD90 ， ACH30 ， CH3AH43， CD23， ABC 的面积2SBCD2 4 2383， 11 故答案为：83 10. （2019，四川巴中，8 分）如图，等腰直角三角板如图放置直角顶点 C 在直线 m 上，分别过点 A.B 作 AE直线 m 于点 E，BD直线 m 于点 D 求证：ECBD； 若设AEC 三边分别为 A.B.c，利用此图证明勾股定理 【答案】ECBD；证明 【解答】证明：ACB90 ， ACE+BCD90 ACE+CAE90 ， CAEBCD 在AEC 与BCD 中， CAEBCD（AAS） ECBD； 解：由知：BDCEa CDAEb S梯形AEDB 1 2 （a+b） （a+b） 1 2 a2+ab+ 1 2 b2 又S梯形AEDBSAEC+SBCD+SABC 12 1 2 ab+ 1 2 ab+ 1 2 c2 ab+ 1 2 c2 1 2 a2+ab+ 1 2 b2ab+ 1 2 c2 整理，得 a2+b2c2