1、 1 第 19 讲 特殊平行四边形 【考点导引】 1.掌握平行四边形与矩形、菱形、正方形之间的关系 2掌握矩形、菱形、正方形的概念、判定和性质 3灵活运用特殊平行四边形的判定与性质进行有关的计算和证明. 【难点突破】 1.矩形的折叠是一种轴对称变换，也是中考数学中的热点问题折叠前后的图形是全等的，即对应边相等， 对应角相等，折叠问题常常伴随着勾股定理，这是解决问题的关键所在 2. 四边形的判定一览表： 平行四边形 （1）两组对边分别平行； （2）两组对边分别相等； （3）一组对边平行且相 等； （4）两条对角线互相平分； （5）两组对角分别相等的四边形是平行四边 形 矩形 （1）有三个角是直角
2、； （2）是平行四边形，并且有一个角是直角； （3）是 平行四边形，并且两条对角线相等 菱形 （1）四条边都相等； （2）是平行四边形，并且有一组邻边相等； （3）是平 行四边形，并且两条对角线互相垂直 正方形 （1）是矩形，并且有一组邻边相等； （2）是菱形，并且有一个角是直角 3. 判定一个菱形是正方形，只需一个角是 90 度或对角线垂直即可 4. 1）我们一般习惯了通过推理证两条线段相等，而往往忽视通过求解线段的具体长度而得到线段相等的方 法，这一点应引起注意 （2）旋转属于全等变换，解决以旋转为背景的问题时，注意寻找旋转前后相等的边与角，图形中所蕴含的 全等三角形，会给解决问题带来很大
3、方便另外，旋转问题与三角形、特殊四边形知识联系非常密切，应 熟练掌握相关它们的性质与判定方法 5. 动点问题本身就是初中数学的一个难点，根据运动的路径判断取值范围较为常见，要认真审题，看在哪 些线段上运动，由动点和函数结合的题，往往求出的解析式是分段函数此题还体现了一线三等角的构造， 这是解决相似三角形时常用的方法体现了数学中的转化思想、分类讨论思想 【解题策略】 正方形的判定可简记为：菱形矩形正方形，其证明思路有两个：先证四边形是菱形，再证明它有一个 2 角是直角或对角线相等(即矩形)；或先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直(即菱 形) 【典例精析】 类型一：矩形的性质与
4、判定 【例 1】(2019 湖北咸宁市)（ （7 分）在 RtABC 中，C90 ，A30 ，D，E，F 分别是 AC，AB，BC 的中点，连接 ED，EF （1）求证：四边形 DEFC 是矩形； （2）请用无刻度的直尺在图中作出ABC 的平分线（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 （1）见证明过程 （2）见作法 【解答】 （1）证明：D，E，F 分别是 AC，AB，BC 的中点， DEFC，EFCD， 四边形 DEFC 是平行四边形， DCF90 ， 四边形 DEFC 是矩形 （2）连接 EC，DF 交于点 O，作射线 BO，射线 BO 即为所求 类型二：菱形的性质与判定 【例 2】 （20
5、19浙江宁波10 分）如图，矩形 EFGH 的顶点 E，G 分别在菱形 ABCD 的边 AD，BC 上，顶点 F，H 在菱形 ABCD 的对角线 BD 上 （1）求证：BGDE； （2）若 E 为 AD 中点，FH2，求菱形 ABCD 的周长 3 【答案】 （1）见证明过程； （2）8 【解答】解： （1）四边形 EFGH 是矩形， EHFG，EHFG， GFHEHF， BFG180 GFH，DHE180 EHF， BFGDHE， 四边形 ABCD 是菱形， ADBC， GBFEDH， BGFDEH（AAS） ， BGDE； （2）连接 EG， 四边形 ABCD 是菱形， ADBC，ADBC，
6、 E 为 AD 中点， AEED， BGDE， AEBG，AEBG， 四边形 ABGE 是平行四边形， ABEG， EGFH2， AB2， 菱形 ABCD 的周长8 4 类型三：正方形的性质与判定 【例 3】 （2019甘肃8 分）如图，在正方形 ABCD 中，点 E 是 BC 的中点，连接 DE，过点 A 作 AGED 交 DE 于点 F，交 CD 于点 G （1）证明：ADGDCE； （2）连接 BF，证明：ABFB 【答案】 （1）见证明过程； （2）见证明过程 【解答】解： （1）四边形 ABCD 是正方形， ADGC90 ，ADDC， 又AGDE， DAG+ADF90 CDE+ADF
7、， DAGCDE， ADGDCE（ASA） ； （2）如图所示，延长 DE 交 AB 的延长线于 H， E 是 BC 的中点， BECE， 又CHBE90 ，DECHEB， DCEHBE（ASA） ， BHDCAB， 5 即 B 是 AH 的中点， 又AFH90 ， RtAFH 中，BFAHAB 类型四：特殊平行四边形的综合运用 【例 4】 （2019湖南株洲8 分）如图所示，已知正方形 OEFG 的顶点 O 为正方形 ABCD 对角线 AC.BD 的交 点，连接 CE.DG （1）求证：DOGCOE； （2）若 DGBD，正方形 ABCD 的边长为 2，线段 AD 与线段 OG 相交于点 M
8、，AM，求正方形 OEFG 的边长 【答案】 （1）见证明过程； （2）2 【解答】解： （1）正方形 ABCD 与正方形 OEFG，对角线 AC.BD DOOC DBAC， DOADOC90 GOE90 6 GOD+DOEDOE+COE90 GODCOE GOOE 在DOG 和COE 中 DOGCOE（SAS） （2）如图，过点 M 作 MHDO 交 DO 于点 H AM，DA2 DM MDB45 MHDHsin45DM，DOcos45DA HODODH 在 RtMHO 中，由勾股定理得 MO DGBD，MHDO MHDG 易证OHMODG ，得 GO2 则正方形 OEFG 的边长为 2 7
9、 【真题检测】 1. （2019南京2 分）面积为 4 的正方形的边长是（ ） A4 的平方根 B4 的算术平方根 C4 开平方的结果 D4 的立方根 【答案】B 【解答】解：面积为 4 的正方形的边长是，即为 4 的算术平方根； 故选：B 2. （2019广西池河3 分）如图，在正方形 ABCD 中，点 E，F 分别在 BC，CD 上，BECF，则图中与 AEB 相等的角的个数是（ ） A1 B2 C3 D4 【答案】B 【解答】证明：四边形 ABCD 是正方形， ABBC，ABBC，ABEBCF90 ， 在ABE 和BCF 中， ， ABEBCF（SAS） ， BFCAEB， BFCABF
10、， 故图中与AEB 相等的角的个数是 2故选：B 3. （2019江苏苏州3 分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，416ACBD，将ABOV沿 点A到点C的方向平移，得到A B C V，当点 A 与点C重合时，点A与点 B 之间的距离为（） A B C10 D12 8 O O A C（A) D B B 【答案】C 【解答】由菱形的性质得28AOOCCOBOODB O ， 90AOBAO B o AO B V为直角三角形 2222 6810ABAOB O 故选 C 4. （2019湖南株洲3 分）对于任意的矩形，下列说法一定正确的是（ ） A对角线垂直且相等 B四边都互相垂直 C四
11、个角都相等 D是轴对称图形，但不是中心对称图形 【答案】C 【解答】解：A.矩形的对角线相等，但不垂直，故此选项错误； B.矩形的邻边都互相垂直，对边互相平行，故此选项错误； C.矩形的四个角都相等，正确； D.矩形是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项错误 故选：C 5. （2019山东省德州市 4 分）如图，正方形 ABCD，点 F 在边 AB 上，且 AF：FB1：2，CEDF，垂 足为 M，且交 AD 于点 E，AC 与 DF 交于点 N，延长 CB 至 G，使 BG 1 2 BC，连接 CM有如下结论： DEAF；AN 2 4 AB；ADFGMF；SANF：S四边形CNFB1：8上
12、述结论中，所有正确结 论的序号是（ ） 9 A B C D 【答案】C 【解答】解：四边形 ABCD 是正方形， ADABCDBC，CDEDAF90 ， CEDF， DCE+CDFADF+CDF90 ， ADFDCE， 在ADF 与DCE 中， ， ADFDCE（ASA） ， DEAF；故正确； ABCD， AF CD AN DN ， AF：FB1：2， AF：ABAF：CD1：3， AN CN 1 3 ， AN AC 1 4 ， AC2AB， 2 AN AB 1 4 ， 10 AN 2 4 AB；故正确； 作 GHCE 于 H，设 AFDEa，BF2a，则 ABCDBC3a，EC10a， 由
13、CMDCDE，可得 CM 9 10 10 a， 由GHCCDE，可得 CH 9 10 20 a， CHMH 1 2 CM， GHCM， GMGC， GMHGCH， FMG+GMH90 ，DCE+GCM90 ， FEGDCE， ADFDCE， ADFGMF；故正确， 设ANF 的面积为 m， AFCD， 1 3 ，AFNCDN， ADN 的面积为 3m，DCN 的面积为 9m， ADC 的面积ABC 的面积12m， SANF：S四边形CNFB1：11，故错误， 故选：C 6. （2019浙江绍兴4 分） 正方形 ABCD 的边 AB 上有一动点 E， 以 EC 为边作矩形 ECFG， 且边 FG
14、 过点 D 在 11 点 E 从点 A 移动到点 B 的过程中，矩形 ECFG 的面积（ ） A先变大后变小 B先变小后变大 C一直变大 D保持不变 【答案】D 【解答】解：正方形 ABCD 和矩形 ECFG 中， DCBFCE90 ，FB90 ， DCFECB， BCEFCD， ， CFCECBCD， 矩形 ECFG 与正方形 ABCD 的面积相等 故选：D 7. （2019浙江绍兴5 分）如图，在直线 AP 上方有一个正方形 ABCD，PAD30 ，以点 B 为圆心，AB 长为半径作弧，与 AP 交于点 A，M，分别以点 A，M 为圆心，AM 长为半径作弧，两弧交于点 E，连结 ED， 则
15、ADE 的度数为 【答案】15 或 45 【解答】解：四边形 ABCD 是正方形， ADAE，DAE90 ， BAM180 90 30 60 ，ADAB， 当点 E 与正方形 ABCD 的直线 AP 的同侧时，由题意得，点 E 与点 B 重合， ADE45 ， 当点 E 与正方形 ABCD 的直线 AP 的两侧时，由题意得，EAEM， 12 AEM 为等边三角形， EAM60 ， DAE360 120 90 150 ， ADAE， ADE15 ， 故答案为：15 或 45 8. （2019四川省凉山州5 分）如图，正方形 ABCD 中，AB12，AEAB，点 P 在 BC 上运动（不与 B、
16、C 重合） ，过点 P 作 PQEP，交 CD 于点 Q，则 CQ 的最大值为 4 【答案】4 【解答】解：BEP+BPE90 ，QPC+BPE90 ， BEPCPQ 又BC90 ， BPECQP 设 CQy，BPx，则 CP12x ，化简得 y（x212x） ， 整理得 y（x6）2+4， 所以当 x6 时，y 有最大值为 4 故答案为 4 9. （2019湖北省咸宁市3 分）如图，先有一张矩形纸片 ABCD，AB4，BC8，点 M，N 分别在矩形的 13 边 AD，BC 上，将矩形纸片沿直线 MN 折叠，使点 C 落在矩形的边 AD 上，记为点 P，点 D 落在 G 处，连 接 PC，交
17、MN 于点 Q，连接 CM下列结论： CQCD； 四边形 CMPN 是菱形； P，A 重合时，MN2； PQM 的面积 S 的取值范围是 3S5 其中正确的是 （把正确结论的序号都填上） 【答案】 【解答】解：如图 1， PMCN， PMNMNC， MNCPNM， PMNPNM， PMPN， NCNP， PMCN， MPCN， 四边形 CNPM 是平行四边形， CNNP， 四边形 CNPM 是菱形，故正确； 14 CPMN，BCPMCP， MQCD90 ， CPCP， 若 CQCD，则 RtCMQCMD， DCMQCMBCP30 ，这个不一定成立， 故错误； 点 P 与点 A 重合时，如图 2
18、， 设 BNx，则 ANNC8x， 在 RtABN 中，AB2+BN2AN2， 即 42+x2（8x）2， 解得 x3， CN835，AC， ， ， MN2QN2 故正确； 当 MN 过点 D 时，如图 3， 15 此时，CN 最短，四边形 CMPN 的面积最小，则 S 最小为 S， 当 P 点与 A 点重合时，CN 最长，四边形 CMPN 的面积最大，则 S 最大为 S， 4S5， 故错误 故答案为： 10. （2019山东省聊城市8 分）在菱形 ABCD 中，点 P 是 BC 边上一点，连接 AP，点 E，F 是 AP 上的两 点，连接 DE，BF，使得AEDABC，ABFBPF 求证：
19、（1）ABFDAE； （2）DEBF+EF 【答案】 （1）见证明过程； （2）见证明过程； 【解答】证明： （1）四边形 ABCD 是菱形， ABAD，ADBC， BOADAE， ABCAED， BAFADE， ABFBPF，BPADAE， ABFDAE， ABDA， ABFDAE（ASA） ； （2）ABFDAE， AEBF，DEAF， AFAE+EFBF+EF， DEBF+EF 16 11. （2019山东省滨州市 13 分）如图，矩形 ABCD 中，点 E 在边 CD 上，将BCE 沿 BE 折叠，点 C 落 在 AD 边上的点 F 处，过点 F 作 FGCD 交 BE 于点 G，连接
20、 CG （1）求证：四边形 CEFG 是菱形； （2）若 AB6，AD10，求四边形 CEFG 的面积 【答案】 （1）见证明过程； （2） 【解答】 （1）证明：由题意可得， BCEBFE， BECBEF，FECE， FGCE， FGECEB， FGEFEG， FGFE， FGEC， 四边形 CEFG 是平行四边形， 又CEFE， 四边形 CEFG 是菱形； （2）矩形 ABCD 中，AB6，AD10，BCBF， BAF90 ，ADBCBF10， AF8， DF2， 设 EFx，则 CEx，DE6x， FDE90 ， 22+（6x）2x2， 解得，x， 17 CE， 四边形 CEFG 的面积是：CEDF 2