1、 1 备战 2020 中考初中数学考点导学练 30 讲 第 24 讲 与圆有关的位置关系 【考点导引】 1.探索并了解点和圆、直线和圆以及圆和圆的位置关系 2知道三角形的内心和外心 3了解切线的概念，并掌握切线的判定和性质，会过圆上一点画圆的切线. 【难点突破】 1. 直线与圆有三种位置关系：设圆的半径为 r，圆心到直线的距离为 d，则：dR直线和圆相离无 公共点；d=R直线和圆相切惟一公共点；dR直线和圆相交两公共点. 2. 解决与圆的切线有关的角度和长度的相关计算时，一般先连接半径构造直角三角形，利用切线长定理结 合圆周角和圆心角有关性质求解角度，利用切线长定理结合垂径定理、直径所对的圆周
2、角是直角等知识构 造方程求解长度在和圆的切线有关的问题中，一般需要连接圆心和切点 3. 在圆中，看到直径联想 90 的圆周角，反之，亦然；直线与圆的位置关系最重要的当属直线与圆相切，判 定圆的切线常见思路：若已知直线与圆的公共点，则采用判定定理法，其基本思路是：当已知点在圆上 时，连接过这点的半径，证明这条半径与直线垂直即可，可简述为：有切点，连半径，证垂直；若未知 直线与圆的交点，则采用数量关系法，其基本思路是：过圆心作直线的垂线段，证明垂线段的长等于圆的 半径，可简述为：无切点，作垂线，证相等 【解题策略】 1. 分类讨论思想：圆是一种极为重要的几何图形，由于图形位置、形状及大小的不确定，
3、经常出现多结论 情况，解题时漏解出错时有发生，解决这类问题，一定要仔细答案，缜密思考，分类讨论，逐一解答 (1)由于点在圆周上的位置的不确定而分类讨论； (2)由于弦所对弧的优劣情况的不确定而分类讨论； (3)由于弦的位置不确定而分类讨论； (4)由于直线与圆的位置关系的不确定而分类讨论 2. 判断一直线是否为圆的切线的方法：连半径，证垂直；作垂线，证半径 【典例精析】 类型一：点与圆的位置关系 【例 1】矩形 ABCD 中，AB8，BC3 5，点 P 在边 AB 上，且 BP3AP，如果圆 P 是以点 P 为圆心， PD 为半径的圆，那么下列判断正确的是( ) A点 B，C 均在圆 P 外
4、B点 B 在圆 P 外、点 C 在圆 P 内 2 C点 B 在圆 P 内、点 C 在圆 P 外 D点 B，C 均在圆 P 内 【答案】C 【解析】画出矩形后求解出 DP 的长度即圆的半径，然后求出 BP，CP 的长度与 DP 的长度作比较就可以发 现答案在 RtADP 中，DP AD2AP27，在 RtBCP 中，BP6，PC BC2BP29. PCDP，BPDP，点 B 在圆 P 内，点 C 在圆 P 外 答案：C 类型二：切线的性质与判定 【例 2】(2019湖南益阳4 分)如图，PA、PB 为圆 O 的切线，切点分别为 A、B，PO 交 AB 于点 C，PO 的 延长线交圆 O 于点 D
5、，下列结论不一定成立的是( ) APAPB BBPDAPD CABPD DAB 平分 PD 【答案】D 【解答】解：PA，PB 是O 的切线，PAPB，所以 A 成立； BPDAPD，所以 B 成立； ABPD，所以 C 成立； PA，PB 是O 的切线，ABPD，且 ACBC， 只有当 ADPB，BDPA 时，AB 平分 PD，所以 D 不一定成立故选 D 【例 3】 （2019四川省凉山州8 分）如图，点 D 是以 AB 为直径的O 上一点，过点 B 作O 的切线，交 AD 的延长线于点 C，E 是 BC 的中点，连接 DE 并延长与 AB 的延长线交于点 F （1）求证：DF 是O 的切
6、线； （2）若 OBBF，EF4，求 AD 的长 【答案】 （1）见证明过程； （2）6 3 【解答】解： （1）如图，连接 OD，BD， AB 为O 的直径， ADBBDC90 ， 在 RtBDC 中，BEEC， DEECBE， 13， BC 是O 的切线， 3+490 ， 1+490 ， 又24， 1+290 ， DF 为O 的切线； （2）OBBF， OF2OD， F30 ， FBE90 ， BEEF2， DEBE2， DF6， F30 ，ODF90 ， FOD60 ， ODOA， AADOBOD30 ， AF， ADDF6 4 类型三：三角形的内切圆 【例 4】 （2019 湖北省鄂州
7、市） （10 分）如图，PA 是O 的切线，切点为 A，AC 是O 的直径，连接 OP 交O 于 E过 A 点作 ABPO 于点 D，交O 于 B，连接 BC，PB （1）求证：PB 是O 的切线； （2）求证：E 为PAB 的内心； （3）若 cosPAB 10 10 ，BC1，求 PO 的长 【答案】 （1）见证明； （2）见证明； （3）5 【解答】 （1）证明：连结 OB， AC 为O 的直径， ABC90 ， ABPO， POBC AOPC，POBOBC， OBOC， OBCC， AOPPOB， 在AOP 和BOP 中， 5 ， AOPBOP（SAS） ， OBPOAP， PA 为O
8、 的切线， OAP90 ， OBP90 ， PB 是O 的切线； （2）证明：连结 AE， PA 为O 的切线， PAE+OAE90 ， ADED， EAD+AED90 ， OEOA， OAEAED， PAEDAE，即 EA 平分PAD， PA、PD 为O 的切线， PD 平分APB E 为PAB 的内心； （3）解：PAB+BAC90 ，C+BAC90 ， PABC， cosCcosPAB 10 10 ， 在 RtABC 中，cosC BC AC 1 AC 10 10 ， AC10，AO 10 2 ， PAOABC， 6 POAO ACBC ， PO AO AC BC 10 2 105 类型
9、四：圆与圆的位置关系 【例 5】在ABC 中，C90 ，AC3 cm，BC4 cm，若A，B 的半径分别为 1 cm,4 cm，则A， B 的位置关系是( ) A外切 B内切 C相交 D外离 【答案】A 【解析】 ：如图所示，由勾股定理可得 AB AC2BC2 32425(cm)， A，B 的半径分别为 1 cm,4 cm， 圆心距 dRr，A，B 的位置关系是外切 答案：A 【真题检测】 1. （2019江苏苏州3 分）如图，AB为O的切线，切点为A，连接AOBO、，BO与O交于点C，延长 BO与O交于点D，连接AD，若36ABO o，则 ADC的度数为（） A54o B36o C32o D
10、27o C D O A B 【答案】D 7 【解答】切线性质得到90BAO o 903654AOB ooo ODOAQ OADODA AOBOADODA Q 27ADCADO o 故选 D 2. （2019 湖南益阳 4 分）如图，PA、PB 为圆 O 的切线，切点分别为 A、B，PO 交 AB 于点 C，PO 的延长 线交圆 O 于点 D，下列结论不一定成立的是（ ） APAPB BBPDAPD CABPD DAB 平分 PD 【答案】D 【解答】解：PA，PB 是O 的切线， PAPB，所以 A 成立； BPDAPD，所以 B 成立； ABPD，所以 C 成立； PA，PB 是O 的切线，
11、 ABPD，且 ACBC， 只有当 ADPB，BDPA 时，AB 平分 PD，所以 D 不一定成立 故选：D 3. （2019黑龙江哈尔滨3 分） 如图， PA.PB 分别与O 相切于 A.B 两点， 点 C 为O 上一点， 连接 AC.BC， 若P50 ，则ACB 的度数为（ ） 8 A60 B75 C70 D65 【答案】D 【解答】解：连接 OA.OB， PA.PB 分别与O 相切于 A.B 两点， OAPA，OBPB， OAPOBP90 ， AOB180 P180 50 130 ， ACBAOB 130 65 故选：D 4.( 2019山东青岛3 分）如图，线段 AB 经过O 的圆心，
12、AC，BD 分别与O 相切于点 C，D若 AC BD4，A45 ，则的长度为（ ） A B2 C2 D4 【答案】B 【解答】解：连接 OC、OD， AC，BD 分别与O 相切于点 C，D 9 OCAC，ODBD， A45 ， AOC45 ， ACOC4， ACBD4，OCOD4， ODBD， BOD45 ， COD180 45 45 90 ， 的长度为：2， 故选：B 5. (2019 湖北仙桃)（3 分）如图，AB 为O 的直径，BC 为O 的切线，弦 ADOC，直线 CD 交 BA 的延 长线于点 E， 连接 BD 下列结论： CD 是O 的切线； CODB； EDAEBD； EDBCB
13、OBE 其 中正确结论的个数有（ ） A4 个 B3 个 C2 个 D1 个 【答案 A 【解答】解：连结 DO AB 为O 的直径，BC 为O 的切线， CBO90 ， ADOC， 10 DAOCOB，ADOCOD 又OAOD， DAOADO， CODCOB 在COD 和COB 中， CODCOB（SAS） ， CDOCBO90 又点 D 在O 上， CD 是O 的切线；故正确， CODCOB， CDCB， ODOB， CO 垂直平分 DB， 即 CODB，故正确； AB 为O 的直径，DC 为O 的切线， EDOADB90 ， EDA+ADOBDO+ADO90 ， ADEBDO， ODOB
14、， ODBOBD， EDADBE， EE， EDAEBD，故正确； EDOEBC90 ， EE， EODECB， 11 ， ODOB， EDBCBOBE，故正确； 故选：A 【点评】本题主要考查了切线的判定、全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质，注意掌握 辅助线的作法，注意数形结合思想的应用是解答此题的关键 6. （2019湖北省鄂州市3 分）如图，在平面直角坐标系中，已知 C（3，4） ，以点 C 为圆心的圆与 y 轴相 切点 A、B 在 x 轴上，且 OAOB点 P 为C 上的动点，APB90 ，则 AB 长度的最大值为 16 【答案】16 【解答】解：连接 OC 并延长，交C
15、 上一点 P，以 O 为圆心，以 OP 为半径作O，交 x 轴于 A、B，此 时 AB 的长度最大， C（3，4） ， OC5， 以点 C 为圆心的圆与 y 轴相切 C 的半径为 3， OPOAOB8， AB 是直径， 12 APB90 ， AB 长度的最大值为 16， 故答案为 16 7. 2019广西池河3 分）如图，PA，PB 是O 的切线，A，B 为切点，OAB38 ，则P 76 【答案】76 【解答】解：PA，PB 是O 的切线， PAPB，PAOA， PABPBA，OAP90 ， PBAPAB90 OAB90 38 52 ， P180 52 52 76 ； 故答案为：76 8. （
16、2019山东省济宁市 3 分）如图，O 为 RtABC 直角边 AC 上一点，以 OC 为半径的O 与斜边 AB 相切于点 D，交 OA 于点 E，已知 BC3，AC3则图中阴影部分的面积是 【答案】 6 【解答】解：在 RtABC 中，BC3，AC3 AB 22 ACBC2 3， BCOC， 13 BC 是圆的切线， O 与斜边 AB 相切于点 D， BDBC， ADABBD2333； 在 RtABC 中，sinA BC AB 3 2 3 1 2 ， A30 ， O 与斜边 AB 相切于点 D， ODAB， AOD90 A60 ， OD AD tanAtan30 ， 3 OD 3 3 ， O
17、D1， S阴影 2 601 360 6 故答案是： 6 【点评】本题考查了切线的性质定理、切线长定理以及勾股定理的运用，熟记和圆有关的各种性质定理是 解题的关键 9.（2019湖北省咸宁市9 分）如图，在 RtABC 中，ACB90 ，D 为 AB 的中点，以 CD 为直径的O 分别交 AC，BC 于点 E，F 两点，过点 F 作 FGAB 于点 G （1）试判断 FG 与O 的位置关系，并说明理由 （2）若 AC3，CD2.5，求 FG 的长 14 【答案】 （1）相切； （2） 【解答】解： （1）FG 与O 相切， 理由：如图，连接 OF， ACB90 ，D 为 AB 的中点， CDBD， DBCDCB， OFOC， OFCOCF， OFCDBC， OFDB， OFG+DGF180 ， FGAB， DGF90 ， OFG90 ， FG 与O 相切； （2）连接 DF， CD2.5， AB2CD5， BC4， CD 为O 的直径， DFC90 ， FDBC， 15 DBDC， BFBC2， sinABC， 即， FG 【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，平行线的判定和性质，勾股定理，解直角三角形，正确的作出 辅助线是解题的关键