1、 1 第 25 讲 圆的有关计算 【考点导引】 1.会计算圆的弧长和扇形的面积 2会计算圆柱和圆锥的侧面积和全面积 3了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系. 【难点突破】 1.圆锥的侧面展开图是扇形，半圆的面积就是圆锥的侧面积，根据半圆的弧长等于圆锥底面圆的周长，即可 求得圆锥底面圆的半径，进而求得面积和全面积，正确理解圆锥的底面的周长等于展开图中扇形的弧长是 解题的关键 2. 阴影面积的计算方法很多，灵活性强，常采用转化的数学思想： (1)将所求面积分割后，利用规则图形的面积相互加减求解 (2)将阴影中某些图形等积变形后移位，重组成规则图形求解 (3)将所求面积分割后，利用旋转将部分阴影图
2、形移位后，组成规则图形求解 (4)将阴影图形看成是一些基本图形覆盖而成的重叠部分，用整体和差法求解 【解题策略】 转化思想：处理不规则图形的面积时，注意利用割补法与等积变换转化为规则图形，再利用规则图形的公 式求解 【典例精析】 类型一：弧长、扇形的面积 【例 1】 （2019湖北黄石 3 分）如图，RtABC 中，A90 ，CD 平分ACB 交 AB 于点 D，O 是 BC 上 一点，经过 C.D 两点的O 分别交 AC.BC 于点 E.F，AD3，ADC60 ，则劣弧CD的长为 4 3 【答案】 4 3 【解答】解：连接 DF，OD， CF 是O 的直径， 2 CDF90 ， ADC60
3、，A90 ， ACD30 ， CD 平分ACB 交 AB 于点 D， DCF30 ， OCOD， OCDODC30 ， COD120 ， 在 RtCAD 中，CD2AD23， 在 RtFCD 中，CF cos30 CD 2 3 3 2 4， O 的半径2， 劣弧CD的长120 2 180 4 3 ， 故答案为 4 3 类型二：圆柱和圆锥 【例 2】 （2019，四川巴中，4 分）如图，圆锥的底面半径 r6，高 h8，则圆锥的侧面积是（ ） A15 B30 C45 D60 【答案】D 3 【解答】解：圆锥的母线 l10， 圆锥的侧面积10660， 故选：D 【点评】本题考查圆锥的侧面积，勾股定理
4、等知识，解题的关键是记住圆锥的圆锥的侧面积公式 类型三：阴影面积的计算 【例 3】 （2019湖北武汉8 分）已知 AB 是O 的直径，AM 和 BN 是O 的两条切线，DC 与O 相切于点 E，分别交 AM、BN 于 D.C 两点 （1）如图 1，求证：AB24ADBC； （2）如图 2，连接 OE 并延长交 AM 于点 F，连接 CF若ADE2OFC，AD1，求图中阴影部分的面 积 【答案】 （1）见证明过程； （2）33 【解答】 （1）证明：连接 OC.OD，如图 1 所示： AM 和 BN 是它的两条切线， AMAB，BNAB， AMBN， ADE+BCE180 DC 切O 于 E，
5、 ODE 1 2 ADE，OCE 1 2 BCE， ODE+OCE90 ， DOC90 ， AOD+COB90 ， AOD+ADO90 ， 4 AODOCB， OADOBC90 ， AODBCO， ADOA BOBC , OA2ADBC， （ 1 2 AB）2ADBC， AB24ADBC； （2）解：连接 OD，OC，如图 2 所示： ADE2OFC， ADOOFC， ADOBOC，BOCFOC， OFCFOC， CFOC， CD 垂直平分 OF， ODDF， 在COD 和CFD 中， CODCFD（SSS） ， CDOCDF， ODA+CDO+CDF180 ， ODA60 BOC， BOE1
6、20 ， 在 RtDAO，AD 3 3 OA， RtBOC 中，BC3OB， AD：BC1：3， AD1， 5 BC3，OB3， 图中阴影部分的面积2SOBCS扇形OBE21 2 3 3 2 120( 3) 360 33 【真题检测】 1. （2019，山东枣庄，3 分）如图，在边长为 4 的正方形 ABCD 中，以点 B 为圆心，AB 为半径画弧，交 对角线 BD 于点 E，则图中阴影部分的面积是（结果保留 ） （ ） A8 B162 C82 D8 【答案】C 【解答】解：S阴SABDS扇形BAE 4 4 2 454 360 82， 故选：C 2. (2019，山西，3 分）如图，在 RtA
7、BC 中，ABC=90 ，AB= 32 ，BC=2，以 AB 的中点为圆心，OA 的长为半径作半圆交 AC 于点 D，则图中阴影部分的面积为（ ） A. 24 35 B. 24 35 C.32 D. 2 34 6 【答案】A 【解析】作 DEAB 于点 E，连接 OD，在 RtABC 中：tanCAB= 3 3 32 2 AB BC ，CAB=30 ， BOD=2CAB=60 . 在 RtODE 中：OE= 2 1 OD= 2 3 ，DE=3OE= 2 3 . S阴影=SABC-SAOD-S扇形BOD= 2 360 60 2 1 2 1 OBDEODBCAB = 24 35 )3( 360 6
8、0 2 3 3 2 1 232 2 1 2 ，故选 A 3. （2019 浙江丽水 3 分）如图物体由两个圆锥组成其主视图中，A90 ，ABC105 ，若上面圆锥 的侧面积为 1，则下面圆锥的侧面积为（ ） A2 B3 C D2 【答案】D 【解答】解：A90 ，ABAD， ABD 为等腰直角三角形， ABD45 ，BD2AB， ABC105 ， CBD60 ， 而 CBCD， 7 CBD 为等边三角形， BCBD2AB， 上面圆锥与下面圆锥的底面相同， 上面圆锥的侧面积与下面圆锥的侧面积的比等于 AB：CB， 下面圆锥的侧面积2 12 故选：D 4. （2019浙江宁波4 分）如图所示，矩形
9、纸片 ABCD 中，AD6cm，把它分割成正方形纸片 ABFE 和矩 形纸片 EFCD 后，分别裁出扇形 ABF 和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则 AB 的长为 （ ） A3.5cm B4cm C4.5cm D5cm 【答案】B 【解答】解：设 ABxcm，则 DE（6x）cm， 根据题意，得 90 180 x （6x） ， 解得 x4 故选：B 5. （2019湖北武汉3 分）如图，AB 是O 的直径，M、N 是AB（异于 A.B）上两点，C 是MN上一动 点，ACB 的角平分线交O 于点 D，BAC 的平分线交 CD 于点 E当点 C 从点 M 运动到点 N 时，则 C.
10、E 两点的运动路径长的比是（ ） 8 A2 B 2 C 3 2 D 5 2 【答案】A 【解答】解：如图，连接 EB设 OAr AB 是直径， ACB90 ， E 是ACB 的内心， AEB135 ， ACDBCD， ADDB， ADDB2r， ADB90 ， 易知点 E 在以 D 为圆心 DA 为半径的圆上，运动轨迹是GF，点 C 的运动轨迹是MN， MON2GDF，设GDF，则MON2 MN GF 的长 的长 2 180 ar 2 180 ar 2 故选：A 6. （2019 湖北省鄂州市） （3 分） 一个圆锥的底面半径 r5， 高 h10， 则这个圆锥的侧面积是 25 5 【答案】25
11、 5 【解答】解：圆锥的底面半径 r5，高 h10， 9 圆锥的母线长为 22 51055， 圆锥的侧面积为 55 525 5， 故答案为：25 5 7. (2019 湖北咸宁市 3 分)如图，半圆的直径 AB6，点 C 在半圆上，BAC30 ，则阴影部分的面积为 3 （结果保留 ） 【答案】3 【解答】解：连接 OC.BC，作 CDAB 于点 D， 直径 AB6，点 C 在半圆上，BAC30 ， ACB90 ，COB60 ， AC3， CDA90 ， CD， 故答案为：3 8. （2019山东泰安4 分）如图，AOB90 ，B30 ，以点 O 为圆心，OA 为半径作弧交 AB 于点 A、 点
12、 C，交 OB 于点 D，若 OA3，则阴影都分的面积为 3 4 10 【答案】 3 4 【解答】解：连接 OC，作 CHOB 于 H， AOB90 ，B30 ， OAB60 ，AB2OA6， 由勾股定理得，OB 22 ABOA33， OAOC，OAB60 ， AOC 为等边三角形， AOC60 ， COB30 ， COCB，CH 1 2 OC 3 2 ， 阴影都分的面积 2 603 360 1 2 3 3 3 2 + 1 2 333 2 2 303 360 3 4 ， 故答案为： 3 4 9. （2019黑龙江省齐齐哈尔市8 分）如图，以ABC 的边 BC 为直径作O，点 A 在O 上，点
13、D 在线段 BC 的延长线上，ADAB，D30 （1）求证：直线 AD 是O 的切线； （2）若直径 BC4，求图中阴影部分的面积 【答案】 （1）见证明过程； （2）2 【解答】 （1）证明：连接 OA，则COA2B， 11 ADAB， BD30 ， COA60 ， OAD180 60 30 90 ， OAAD， 即 CD 是O 的切线； （2）解：BC4， OAOC2， 在 RtOAD 中，OA2，D30 ， OD2OA4，AD2， 所以 SOADOAAD 2 22， 因为COA60 ， 所以 S扇形COA， 所以 S阴影SOADS扇形COA2 10. （2019山东省德州市 12 分）如
14、图，BPD120 ，点 A.C 分别在射线 PB.PD 上，PAC30 ，AC 23 （1）用尺规在图中作一段劣弧，使得它在 A.C 两点分别与射线 PB 和 PD 相切要求：写出作法，并保留 作图痕迹； （2）根据（1）的作法，结合已有条件，请写出已知和求证，并证明； （3）求所得的劣弧与线段 PA.PC 围成的封闭图形的面积 12 【答案】 （1）过 A.C 分别作 PB.PD 的垂线，它们相交于 O，然后以 OA 为半径作O 即可 （2）写出已知、求证，然后进行证明；连接 OP，先证明 RtPAORtPCO，然后根据切线的判定方法判 断 PB.PC 为O 的切线； （3）先证明OAC 为
15、等边三角形得到 OAAC23，AOC60 ，再计算出 AP2，然后根据扇形的 面积公式，利用劣弧 AC 与线段 PA.PC 围成的封闭图形的面积进行计算 【解答】解： （1）如图， （2）已知：如图，BPD120 ，点 A.C 分别在射线 PB.PD 上，PAC30 ，AC23过 A.C 分别作 PB.PD 的垂线，它们相交于 O，以 OA 为半径作O，OAPB， 求证：PB.PC 为O 的切线； 证明：BPD120 ，PAC30 ， PCA30 ， PAPC， 连接 OP， OAPA，PCOC， PAOPCO90 ， OPOP， RtPAORtPCO（HL） OAOC， PB.PC 为O 的切线； （3）OAPOCP90 30 60 ， OAC 为等边三角形， OAAC23，AOC60 ， OP 平分APC， APO60 ， AP 3 3 232， 劣弧AC与线段PA.PC围成的封闭图形的面积S四边形APCOS形AOC21 2 23 2 2 60(2 3) 360 432 13