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第25讲 圆的有关计算(教师版)备战2020年中考考点讲练案

1、 1 第 25 讲 圆的有关计算 【考点导引】 1.会计算圆的弧长和扇形的面积 2会计算圆柱和圆锥的侧面积和全面积 3了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系. 【难点突破】 1.圆锥的侧面展开图是扇形,半圆的面积就是圆锥的侧面积,根据半圆的弧长等于圆锥底面圆的周长,即可 求得圆锥底面圆的半径,进而求得面积和全面积,正确理解圆锥的底面的周长等于展开图中扇形的弧长是 解题的关键 2. 阴影面积的计算方法很多,灵活性强,常采用转化的数学思想: (1)将所求面积分割后,利用规则图形的面积相互加减求解 (2)将阴影中某些图形等积变形后移位,重组成规则图形求解 (3)将所求面积分割后,利用旋转将部分阴影图

2、形移位后,组成规则图形求解 (4)将阴影图形看成是一些基本图形覆盖而成的重叠部分,用整体和差法求解 【解题策略】 转化思想:处理不规则图形的面积时,注意利用割补法与等积变换转化为规则图形,再利用规则图形的公 式求解 【典例精析】 类型一:弧长、扇形的面积 【例 1】 (2019湖北黄石 3 分)如图,RtABC 中,A90 ,CD 平分ACB 交 AB 于点 D,O 是 BC 上 一点,经过 C.D 两点的O 分别交 AC.BC 于点 E.F,AD3,ADC60 ,则劣弧CD的长为 4 3 【答案】 4 3 【解答】解:连接 DF,OD, CF 是O 的直径, 2 CDF90 , ADC60

3、,A90 , ACD30 , CD 平分ACB 交 AB 于点 D, DCF30 , OCOD, OCDODC30 , COD120 , 在 RtCAD 中,CD2AD23, 在 RtFCD 中,CF cos30 CD 2 3 3 2 4, O 的半径2, 劣弧CD的长120 2 180 4 3 , 故答案为 4 3 类型二:圆柱和圆锥 【例 2】 (2019,四川巴中,4 分)如图,圆锥的底面半径 r6,高 h8,则圆锥的侧面积是( ) A15 B30 C45 D60 【答案】D 3 【解答】解:圆锥的母线 l10, 圆锥的侧面积10660, 故选:D 【点评】本题考查圆锥的侧面积,勾股定理

4、等知识,解题的关键是记住圆锥的圆锥的侧面积公式 类型三:阴影面积的计算 【例 3】 (2019湖北武汉8 分)已知 AB 是O 的直径,AM 和 BN 是O 的两条切线,DC 与O 相切于点 E,分别交 AM、BN 于 D.C 两点 (1)如图 1,求证:AB24ADBC; (2)如图 2,连接 OE 并延长交 AM 于点 F,连接 CF若ADE2OFC,AD1,求图中阴影部分的面 积 【答案】 (1)见证明过程; (2)33 【解答】 (1)证明:连接 OC.OD,如图 1 所示: AM 和 BN 是它的两条切线, AMAB,BNAB, AMBN, ADE+BCE180 DC 切O 于 E,

5、 ODE 1 2 ADE,OCE 1 2 BCE, ODE+OCE90 , DOC90 , AOD+COB90 , AOD+ADO90 , 4 AODOCB, OADOBC90 , AODBCO, ADOA BOBC , OA2ADBC, ( 1 2 AB)2ADBC, AB24ADBC; (2)解:连接 OD,OC,如图 2 所示: ADE2OFC, ADOOFC, ADOBOC,BOCFOC, OFCFOC, CFOC, CD 垂直平分 OF, ODDF, 在COD 和CFD 中, CODCFD(SSS) , CDOCDF, ODA+CDO+CDF180 , ODA60 BOC, BOE1

6、20 , 在 RtDAO,AD 3 3 OA, RtBOC 中,BC3OB, AD:BC1:3, AD1, 5 BC3,OB3, 图中阴影部分的面积2SOBCS扇形OBE21 2 3 3 2 120( 3) 360 33 【真题检测】 1. (2019,山东枣庄,3 分)如图,在边长为 4 的正方形 ABCD 中,以点 B 为圆心,AB 为半径画弧,交 对角线 BD 于点 E,则图中阴影部分的面积是(结果保留 ) ( ) A8 B162 C82 D8 【答案】C 【解答】解:S阴SABDS扇形BAE 4 4 2 454 360 82, 故选:C 2. (2019,山西,3 分)如图,在 RtA

7、BC 中,ABC=90 ,AB= 32 ,BC=2,以 AB 的中点为圆心,OA 的长为半径作半圆交 AC 于点 D,则图中阴影部分的面积为( ) A. 24 35 B. 24 35 C.32 D. 2 34 6 【答案】A 【解析】作 DEAB 于点 E,连接 OD,在 RtABC 中:tanCAB= 3 3 32 2 AB BC ,CAB=30 , BOD=2CAB=60 . 在 RtODE 中:OE= 2 1 OD= 2 3 ,DE=3OE= 2 3 . S阴影=SABC-SAOD-S扇形BOD= 2 360 60 2 1 2 1 OBDEODBCAB = 24 35 )3( 360 6

8、0 2 3 3 2 1 232 2 1 2 ,故选 A 3. (2019 浙江丽水 3 分)如图物体由两个圆锥组成其主视图中,A90 ,ABC105 ,若上面圆锥 的侧面积为 1,则下面圆锥的侧面积为( ) A2 B3 C D2 【答案】D 【解答】解:A90 ,ABAD, ABD 为等腰直角三角形, ABD45 ,BD2AB, ABC105 , CBD60 , 而 CBCD, 7 CBD 为等边三角形, BCBD2AB, 上面圆锥与下面圆锥的底面相同, 上面圆锥的侧面积与下面圆锥的侧面积的比等于 AB:CB, 下面圆锥的侧面积2 12 故选:D 4. (2019浙江宁波4 分)如图所示,矩形

9、纸片 ABCD 中,AD6cm,把它分割成正方形纸片 ABFE 和矩 形纸片 EFCD 后,分别裁出扇形 ABF 和半径最大的圆,恰好能作为一个圆锥的侧面和底面,则 AB 的长为 ( ) A3.5cm B4cm C4.5cm D5cm 【答案】B 【解答】解:设 ABxcm,则 DE(6x)cm, 根据题意,得 90 180 x (6x) , 解得 x4 故选:B 5. (2019湖北武汉3 分)如图,AB 是O 的直径,M、N 是AB(异于 A.B)上两点,C 是MN上一动 点,ACB 的角平分线交O 于点 D,BAC 的平分线交 CD 于点 E当点 C 从点 M 运动到点 N 时,则 C.

10、E 两点的运动路径长的比是( ) 8 A2 B 2 C 3 2 D 5 2 【答案】A 【解答】解:如图,连接 EB设 OAr AB 是直径, ACB90 , E 是ACB 的内心, AEB135 , ACDBCD, ADDB, ADDB2r, ADB90 , 易知点 E 在以 D 为圆心 DA 为半径的圆上,运动轨迹是GF,点 C 的运动轨迹是MN, MON2GDF,设GDF,则MON2 MN GF 的长 的长 2 180 ar 2 180 ar 2 故选:A 6. (2019 湖北省鄂州市) (3 分) 一个圆锥的底面半径 r5, 高 h10, 则这个圆锥的侧面积是 25 5 【答案】25

11、 5 【解答】解:圆锥的底面半径 r5,高 h10, 9 圆锥的母线长为 22 51055, 圆锥的侧面积为 55 525 5, 故答案为:25 5 7. (2019 湖北咸宁市 3 分)如图,半圆的直径 AB6,点 C 在半圆上,BAC30 ,则阴影部分的面积为 3 (结果保留 ) 【答案】3 【解答】解:连接 OC.BC,作 CDAB 于点 D, 直径 AB6,点 C 在半圆上,BAC30 , ACB90 ,COB60 , AC3, CDA90 , CD, 故答案为:3 8. (2019山东泰安4 分)如图,AOB90 ,B30 ,以点 O 为圆心,OA 为半径作弧交 AB 于点 A、 点

12、 C,交 OB 于点 D,若 OA3,则阴影都分的面积为 3 4 10 【答案】 3 4 【解答】解:连接 OC,作 CHOB 于 H, AOB90 ,B30 , OAB60 ,AB2OA6, 由勾股定理得,OB 22 ABOA33, OAOC,OAB60 , AOC 为等边三角形, AOC60 , COB30 , COCB,CH 1 2 OC 3 2 , 阴影都分的面积 2 603 360 1 2 3 3 3 2 + 1 2 333 2 2 303 360 3 4 , 故答案为: 3 4 9. (2019黑龙江省齐齐哈尔市8 分)如图,以ABC 的边 BC 为直径作O,点 A 在O 上,点

13、D 在线段 BC 的延长线上,ADAB,D30 (1)求证:直线 AD 是O 的切线; (2)若直径 BC4,求图中阴影部分的面积 【答案】 (1)见证明过程; (2)2 【解答】 (1)证明:连接 OA,则COA2B, 11 ADAB, BD30 , COA60 , OAD180 60 30 90 , OAAD, 即 CD 是O 的切线; (2)解:BC4, OAOC2, 在 RtOAD 中,OA2,D30 , OD2OA4,AD2, 所以 SOADOAAD 2 22, 因为COA60 , 所以 S扇形COA, 所以 S阴影SOADS扇形COA2 10. (2019山东省德州市 12 分)如

14、图,BPD120 ,点 A.C 分别在射线 PB.PD 上,PAC30 ,AC 23 (1)用尺规在图中作一段劣弧,使得它在 A.C 两点分别与射线 PB 和 PD 相切要求:写出作法,并保留 作图痕迹; (2)根据(1)的作法,结合已有条件,请写出已知和求证,并证明; (3)求所得的劣弧与线段 PA.PC 围成的封闭图形的面积 12 【答案】 (1)过 A.C 分别作 PB.PD 的垂线,它们相交于 O,然后以 OA 为半径作O 即可 (2)写出已知、求证,然后进行证明;连接 OP,先证明 RtPAORtPCO,然后根据切线的判定方法判 断 PB.PC 为O 的切线; (3)先证明OAC 为

15、等边三角形得到 OAAC23,AOC60 ,再计算出 AP2,然后根据扇形的 面积公式,利用劣弧 AC 与线段 PA.PC 围成的封闭图形的面积进行计算 【解答】解: (1)如图, (2)已知:如图,BPD120 ,点 A.C 分别在射线 PB.PD 上,PAC30 ,AC23过 A.C 分别作 PB.PD 的垂线,它们相交于 O,以 OA 为半径作O,OAPB, 求证:PB.PC 为O 的切线; 证明:BPD120 ,PAC30 , PCA30 , PAPC, 连接 OP, OAPA,PCOC, PAOPCO90 , OPOP, RtPAORtPCO(HL) OAOC, PB.PC 为O 的切线; (3)OAPOCP90 30 60 , OAC 为等边三角形, OAAC23,AOC60 , OP 平分APC, APO60 , AP 3 3 232, 劣弧AC与线段PA.PC围成的封闭图形的面积S四边形APCOS形AOC21 2 23 2 2 60(2 3) 360 432 13