1、 1 第 22 讲 尺规作图 【考点导引】 1.能用尺规完成五种基本作图 2会写已知、求作，了解作图的道理，保留作图的痕迹，不要求写出作法 3能运用尺规的基本作图方法解决作图的简单应用问题 【难点突破】 1.线段的垂直平分线的画法是： 已知线段 AB，分别以 A、B 为端点，以大于 1 2 AB长为半径，在线段两侧分别作弧；设所画弧交于两点 C、D；过 C、D 两点作一条直线，则为线段 AB 的垂直平分线 2. 线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点距离相等；其逆定理是：到 一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 3.根据轴对称的性质，过一个点向对称
2、轴作垂线，并延长至另一侧，使其两侧的线段相等，得到的点为这个 点的对称点；画一个图形平移得到的图形，只要找到每一个顶点按要求平移后的对称点即可. 4. 要作出一个边长为无理数的线段，可考虑以这个无理数为斜边构造直角三角形，两条直角边长已知或为 有理数 5.基本作图有： （1） 作一条线段等于已知线段 （2） 作一个角等于已知角 （3） 作已知线段的垂直平分线 （4） 作已知角的角平分线 （5）过一点作已知直线的垂线 【解题策略】 1. 分类讨论：作图问题不是在任何已知的条件下都能作出图形，要分清问题有一个解、多个解或者没有解 2. 根据已知条件作几何图形时，可采用逆向思维，假设已作出图形，再寻
3、找图形的性质，然后作图或设计 方案 【典例精析】 类型一：基本作图 【例 1】 （ （2019湖南长沙3 分）如图，RtABC 中，C90 ，B30 ，分别以点 A 和点 B 为圆心，大 于AB 的长为半径作弧，两弧相交于 M、N 两点，作直线 MN，交 BC 于点 D，连接 AD，则CAD 的度数 是（ ） 2 A20 B30 C45 D60 【答案】B 【解答】解：在ABC 中，B30 ，C90 ， BAC180 BC60 ， 由作图可知 MN 为 AB 的中垂线， DADB， DABB30 ， CADBACDAB30 ， 故选：B 类型二：基本作图的实际应用 【例 2】如图，A、B、C
4、为某公园的三个景点，景点 A 和景点 B 之间有一条笔直的小路，现要在小路上建 一个凉亭 P，使景点 B、景点 C 到凉亭 P 的距离之和等于景点 B 到景点 A 的距离，请用直尺和圆规在所给 的图中作出点 P （不写作法和证明，只保留作图痕迹） 【答案】如图，连接 AC，作线段 AC 的垂直平分线 MN，直线 MN 交 AB 于 P点 P 即为所求的点 【解答】解：如图，连接 AC，作线段 AC 的垂直平分线 MN，直线 MN 交 AB 于 P 点 P 即为所求的点 3 理由：MN 垂直平分线段 AC， PA=PC， PC+PB=PA+PB=AB 归纳总结：根据线段垂直平分线的性质，平分线上
5、的点到线段两个端点的距离相等，即可解决问题 类型三：作图与技能训练 【例 3】2019广西贵港5 分）尺规作图（只保留作图痕迹，不要求写出作法） ： 如图，已知ABC，请根据“SAS”基本事实作出DEF，使DEFABC 【答案】先作一个DA，然后在D 的两边分别截取 EDBA，DFAC，连接 E 即可得到DEF； 【解答】解：如图， DEF 即为所求 【点评】本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何 图形的性质和基本作图方法解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质 把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作也考查了全等三角形的判定 【
6、例 4】 （2019江苏无锡10 分）按要求作图，不要求写作法，但要保留作图痕迹 （1）如图 1，A 为O 上一点，请用直尺（不带刻度）和圆规作出O 的内接正方形； （2）我们知道，三角形具有性质：三边的垂直平分线相交于同一点，三条角平分线相交于一点，三条中线 相交于一点，事实上，三角形还具有性质：三条高所在直线相交于一点 请运用上述性质，只用直尺（不带刻度）作图 如图 2，在ABCD 中，E 为 CD 的中点，作 BC 的中点 F 如图 3，在由小正方形组成的 4 3 的网格中，ABC 的顶点都在小正方形的顶点上，作ABC 的高 AH 4 【答案】 （1）连结 AE 并延长交圆 E 于点 C
7、，作 AC 的中垂线交圆于点 B，D，四边形 ABCD 即为所求 （2）连结 AC，BD 交于点 O，连结 EB 交 AC 于点 G，连结 DG 并延长交 CB 于点 F，点 F 即为所求； 结合网格特点和三角形高的概念作图可得 【解答】解： （1）如图 1，连结 AO 并延长交圆 O 于点 C，作 AC 的中垂线交圆于点 B，D，四边形 ABCD 即为所求 （2）如图 2，连结 AC，BD 交于点 O，连结 EB 交 AC 于点 G，连结 DG 并延长交 CB 于点 F，F 即为所 求 如图 3 所示，AH 即为所求 5 【点评】本题主要考查作图应用与设计作图，解题的关键是掌握圆的有关性质和
8、平行四边形的性质及三 角形垂心的性质 【真题检测】 1. （2019河北3 分）根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形外心的是（ ） ABCD 【答案】 ：C 【解析】三角形外心为三边的垂直平分线的交点，由基本作图得到 C 选项作了两边的垂直平分线，从而可 用直尺成功找到三角形外心故选：C 2. （2019广东深圳3 分）如图，已知 AB=AC，AB=5，BC=3，以 AB 两点为圆心，大于 2 1 AB 的长为半径 画圆，两弧相交于点 M，N，连接 MN 与 AC 相较于点 D，则BDC 的周长为（ ） A.8 B.10 C.11 D.13 【答案】A 【解析】尺规作图，因为 MN 是线
9、段 AB 的垂直平分线，则 AD=BD，又因为 AB=AC=5，BC=3，所以BDC 的周长为 8. 3. （2019贵阳3 分）如图，在ABC 中，ABAC，以点 C 为圆心，CB 长为半径画弧，交 AB 于点 B 和点 D，再分别以点 B，D 为圆心，大于BD 长为半径画弧，两弧相交于点 M，作射线 CM 交 AB 于点 E若 AE2，BE1，则 EC 的长度是（ ） A2 B3 C D 6 【答案】D 【解答】解：由作法得 CEAB，则AEC90 ， ACABBE+AE2+13， 在 RtACE 中，CE 故选：D 【点评】本题考查了作图基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段
10、；作一个角等于已知 角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线） 4. （2019河南3 分）如图，在四边形 ABCD 中，ADBC，D90 ，AD4，BC3分别以点 A，C 为圆心，大于 1 2 AC 长为半径作弧，两弧交于点 E，作射线 BE 交 AD 于点 F，交 AC 于点 O若点 O 是 AC 的中点，则 CD 的长为（ ） A22 B4 C3 D10 【答案】A 【解答】解：如图，连接 FC，则 AFFC ADBC， FAOBCO 在FOA 与BOC 中， ， FOABOC（ASA） ， AFBC3， FCAF3，FDADAF431 7 在FDC 中，D
11、90 ， CD2+DF2FC2， CD2+1232， CD22 故选：A 5. （2019山东潍坊3 分）如图，已知AOB按照以下步骤作图： 以点 O 为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交AOB 的两边于 C，D 两点，连接 CD 分别以点 C，D 为圆心，以大于线段 OC 的长为半径作弧，两弧在AOB 内交于点 E，连接 CE，DE 连接 OE 交 CD 于点 M 下列结论中错误的是（ ） ACEODEO BCMMD COCDECD DS四边形OCED 1 2 CDOE 【答案】C 【解答】解：由作图步骤可得：OE 是AOB 的角平分线， CEODEO，CMMD，S四边形OCED 1 2 C
12、DOE， 但不能得出OCDECD， 故选：C 8 6. (2019，四川成都，4 分）如图，ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O，按以下步骤作图：以点 A 为 圆心，以任意长为半径作弧，分别交 AO，AB 于点 M，N；以点 O 为圆心，以 AM 长为半径作弧，交 OC 于点 M ；以点 M 为圆心，以 MN 长为半径作弧，在COB 内部交前面的弧于点 N ；过点 N 作 射线 N O 交 BC 于点 E，若 AB=8，则线段 OE 的长为 . 【答案】4 【解析】此题考察的是通过尺规作图构造全等三角形的原理及两直线平行的判定，连接MN和 NM ，因为 MOAM ， NOAN ，
13、NMMN ，所以 )(SSSNMOAMN ，所以， NOMMAN ， 所以 ABOE ，又因为O是AC中点，所以OE是ABC的中位线，所以 ABOE 2 1 ，所以 4OE . 7. . ( 2019 甘肃省兰州市) 如图， 矩形 ABCD， BAC600. 以点 A 为圆心，以任意长为半径作弧分别 交 AB.AC 于点 M、N 两点，再分别以点 M、N 为圆心，以大于 2 1 MN 的长为半径作弧交于点 P ，作射线 AP 交 BC 于点 E，若 BE1，则矩形 ABCD 的面积等于_. 【答案】3 3 【解析】 由题可知 AP 是BAC 的角平分线 BAC600 BAEEAC300 AE2
14、 BE2. AB3 9 AEB600 又AEBEAC+ECA EACECA300 AEEC2 BC3 S矩形ABCD33 8. (2019湖南益阳4 分)已知 M、N 是线段 AB 上的两点，AMMN2，NB1，以点 A 为圆心，AN 长为半 径画弧；再以点 B 为圆心，BM 长为半径画弧，两弧交于点 C，连接 AC，BC，则ABC 一定是 三角 形。 【答案】依据作图即可得到 ACAN4，BCBM3，AB2+2+15，进而得到 AC2+BC2AB2，即可得 出ABC 是直角三角形 【解答】解：如图所示，ACAN4，BCBM3，AB2+2+15， AC2+BC2AB2， ABC 是直角三角形，
15、且ACB90 ，故选 B 【点评】本题主要考查了勾股定理的逆定理，如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2+b2c2，那么这个三角 形就是直角三角形 9. （2019甘肃4 分）如图，在ABC 中，点 P 是 AC 上一点，连接 BP，求作一点 M，使得点 M 到 AB 和 AC 两边的距离相等，并且到点 B 和点 P 的距离相等 （不写作法，保留作图痕迹） 【答案】根据角平分线的作法、线段垂直平分线的作法作图即可 【解答】解：如图，点 M 即为所求， 10 【点评】本题考查的是复杂作图、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质，掌握基本尺规作图的一般步 骤是解题的关键 10. （2019江苏泰
16、州8 分）如图，ABC 中，C90 ，AC4，BC8 （1）用直尺和圆规作 AB 的垂直平分线； （保留作图痕迹，不要求写作法） （2）若（1）中所作的垂直平分线交 BC 于点 D，求 BD 的长 【答案】 （1）分别以 A，B 为圆心，大于 1 2 AB 为半径画弧，两弧交于点 M，N，作直线 MN 即可 （2）设 ADBDx，在 RtACD 中，利用勾股定理构建方程即可解决问题 【解答】解： （1）如图直线 MN 即为所求 （2）MN 垂直平分线段 AB， DADB，设 DADBx， 在 RtACD 中，AD2AC2+CD2， x242+（8x）2， 解得 x5， BD5 【点评】本题考查
17、作图基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识， 11 属于中考常考题型 11. （2019湖北孝感8 分）如图，RtABC 中，ACB90 ，一同学利用直尺和圆规完成如下操作： 以点 C 为圆心，以 CB 为半径画弧，交 AB 于点 G；分别以点 G、B 为圆心，以大于GB 的长为半径画 弧，两弧交点 K，作射线 CK； 以点 B 为圆心，以适当的长为半径画弧，交 BC 于点 M，交 AB 的延长线于点 N；分别以点 M、N 为圆心， 以大于MN 的长为半径画弧，两弧交于点 P，作直线 BP 交 AC 的延长线于点 D，交射线 CK 于点 E 请你观察图形，根据操作
18、结果解答下列问题； （1）线段 CD 与 CE 的大小关系是 CDCE ； （2）过点 D 作 DFAB 交 AB 的延长线于点 F，若 AC12，BC5，求 tanDBF 的值 【答案】 （1）由作图知 CEAB，BD 平分CBF，据此得123，结合CEB+32+CDE 90 知CEBCDE，从而得出答案； （2） 证BCDBFD 得 CDDF， 从而设 CDDFx， 求出 AB13， 知 sinDAF DF AD BC AB ， 即 12+ x x 5 13 ，解之求得 x15 2 ，结合 BCBF5 可得答案 【解答】解： （1）CDCE， 由作图知 CEAB，BD 平分CBF， 12
19、123， CEB+32+CDE90 ， CEBCDE， CDCE， 故答案为：CDCE； （2）BD 平分CBF，BCCD，BFDF， BCBF，CBDFBD， 在BCD 和BFD 中， ， BCDBFD（AAS） ， CDDF， 设 CDDFx， 在 RtACB 中，AB13， sinDAF DF AD BC AB ，即 12+ x x 5 13 ， 解得 x15 2 ， BCBF5， tanDBF DF BF 15 2 1 5 3 2 12. （2019广西池河8 分）如图，AB 为O 的直径，点 C 在O 上 （1）尺规作图：作BAC 的平分线，与O 交于点 D；连接 OD，交 BC 于
20、点 E（不写作法，只保留作图痕 迹，且用黑色墨水笔将作图痕迹加黑） ； 13 （2）探究 OE 与 AC 的位置及数量关系，并证明你的结论 【答案】 （1）利用基本作图作 AD 平分BAC，然后连接 OD 得到点 E； （2） 由 AD 平分BAC 得到BAD 1 2 BAC，由圆周角定理得到BAD 1 2 BOD， 则BODBAC， 再证明 OE 为ABC 的中位线，从而得到 OEAC，OE 1 2 AC 【解答】解： （1）如图所示； （2）OEAC，OE 1 2 AC 理由如下： AD 平分BAC， BAD 1 2 BAC， BAD 1 2 BOD， BODBAC， OEAC， OAOB， OE 为ABC 的中位线， OEAC，OE 1 2 AC