1、 1 第 23 讲 圆的基本性质 【考点导引】 1.理解圆的有关概念和性质，了解圆心角、弧、弦之间的关系 2了解圆心角与圆周角及其所对弧的关系，掌握垂径定理及推论. 【难点突破】 1. 圆中通常把圆周角和圆心角以及它们所对弧的度数进行转换，怎么转换需要根据题目的要求来确定；同 圆的半径相等， 有时还需要连接半径， 用它来构造等腰三角形， 有了等腰三角形， 再利用“等边对等角”及“三 线合一”来进行证明和计算 2. 解决与圆有关的角度的相关计算时，一般先判断角是圆周角还是圆心角，再转化成同弧所对的圆周角或 圆心角，利用同弧所对的圆周角相等，同弧所对的圆周角是圆心角的一半等关系求解，特别地，当有一
2、直 径这一条件时，往往要用到直径所对的圆周角是直角这一结论 3. 在解答与圆有关的计算问题时，垂径定理和勾股定理“形影不离”，常结合起来使用如图，设圆的半径 为、弦长为、弦心距为d，弓形高为，则 22 2 ( ) a d 2 r，rd，这两个等式是关于四个量， ，d，的一 个方程组，只要已知其中任意两个量即可求出其余两个量 4. 看到直径，就想到直径所对的圆周角是 90 ，垂直于弦的直径，平分弦，并且平分弦所分的两条弧；同弧 或等弧所对的圆周角等于该弧所对圆心角的一半 5. 同弧所对的圆周角是其所对圆心角的一半，看到 45 就应该联想到 90 ，从而把问题转化到一个等腰直角 三角形中去解决，转
3、化思想是几何中常用的数学思想，通过转化，可以把比较复杂的问题转化为相对容易 的问题.已知特殊的角，要寻找线段之间的关系，常通过添加辅助线构成特殊的三角形，把要寻找关系的线 段放在特殊三角形中来研究此题也可以利用三角函数解决：在 RtAOC 中，sin OC OAC AC ，即 sin45 2 3 OC ， 2 22 3 OC ，所以6OC 6. “同弧（或等弧）所对的圆周角相等”是转化圆中圆周角的重要性质定理，特别地，当圆中有直径时，通常 根据“直径所对的圆周角是直角”，在圆中构造直角三角形来解决问题 【解题策略】 2 1. 分类讨论思想：在很多没有给定图形的题目中，常常不能根据题目的条件把图
4、形确定下来，因此会导致 解的不唯一性对于这种多解题必须要分类讨论，分类时要注意标准一致，不重不漏如：圆周角所对的 弦是唯一的，但是弦所对的圆周角不是唯一的 2. 辅助线：有关直径的问题，如图，常作直径所对的圆周角 【典例精析】 类型一：垂径定理及推论 【例 1】 （2019四川省凉山州4 分） 如图所示， AB 是O 的直径， 弦 CDAB 于 H， A30 ， CD23， 则O 的半径是 2 【答案】2 【解答】解：连接 BC，如图所示： AB 是O 的直径，弦 CDAB 于 H， ACB90 ，CHDHCD3， A30 ， AC2CH23， 在 RtABC 中，A30 ， AC3BC23，
5、AB2BC， BC2，AB4， OA2， 即O 的半径是 2； 故答案为：2 3 类型二：圆心(周)角、弧、弦之间的关系 【例 2】（2018襄阳）如图，点 A，B，C，D 都在半径为 2 的O 上，若 OABC，CDA=30 ，则弦 BC 的长为（ ） A4 B2 C D2 【答案】D 【解答】解：OABC， CH=BH， =， AOB=2CDA=60 ， BH=OBsinAOB=， BC=2BH=2， 故选：D 类型三：圆周角定理及推论 【例 3】 （2019广东广州12 分）如图，O 的直径 AB10，弦 AC8，连接 BC （1）尺规作图：作弦 CD，使 CDBC（点 D 不与 B 重
6、合） ，连接 AD； （保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）所作的图中，求四边形 ABCD 的周长 4 【答案】 （1）以 C 为圆心，CB 为半径画弧，交O 于 D，线段 CD 即为所求 （2）124 5 【解答】解： （1）如图，线段 CD 即为所求 （2）连接 BD，OC 交于点 E，设 OEx AB 是直径， ACB90 ， BC 22 ABAC 22 1086， BCCD， ， OCBD 于 E BEDE， BE2BC2EC2OB2OE2， 62（5x）252x2， 解得 x 7 5 ， BEDE，BOOA， AD2OE14 5 ， 四边形 ABCD 的周长6+6+10+ 14
7、5 124 5 5 【真题检测】 1. （2019 湖北宜昌 3 分）如图，点 A，B，C 均在O 上，当OBC40 时，A 的度数是（ ） A50 B55 C60 D65 【答案】A 【解答】解：OBOC， OCBOBC40 ， BOC180 40 40 100 ， ABOC50 故选：A 2. （2019甘肃庆阳3 分）如图，点 A，B，S 在圆上，若弦 AB 的长度等于圆半径的2倍，则ASB 的度 数是（ ） A22.5 B30 C45 D60 【答案】C 【解答】解：设圆心为 O，连接 OA、OB，如图， 弦 AB 的长度等于圆半径的2倍， 即 AB2OA, OA2+OB2AB2， O
8、AB 为等腰直角三角形，AOB90 ， 6 ASB 1 2 AOB45 故选：C 3. （2019海南省3 分）如图，直线 l1l2，点 A 在直线 l1上，以点 A 为圆心，适当长度为半径画弧，分别 交直线 l1、l2于 B、C 两点，连结 AC、BC若ABC70 ，则1 的大小为（ ） A20 B35 C40 D70 【答案】C 【解答】解：点 A 为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线 l1、l2 于 B、C， ACAB， CBABCA70 ， l1l2， CBA+BCA+1180 ， 1180 70 70 40 ， 故选：C 4. （2019山东威海3 分）如图，P 与 x 轴交于点
9、A（5，0） ，B（1，0） ，与 y 轴的正半轴交于点 C若 ACB60 ，则点 C 的纵坐标为（ ） A13+3 B22+3 C42 D22+2 7 【答案】B 【解答】解：连接 PA，PB，PC，过 P 作 PDAB 于 D，PEBC 于 E， ACB60 ， APB120 ， PAPB， PABPBA30 ， A（5，0） ，B（1，0） ， AB6， ADBD3， PD3，PAPBPC23， PDAB，PEBC，AOC90 ， 四边形 PEOD 是矩形， OEPD3，PEOD2， CE22， OCCE+OE22+3， 点 C 的纵坐标为 22+3， 故选：B 【点评】本题考查了圆周角
10、定理，坐标与图形性质，垂径定理，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关 键 5. （2019山东潍坊3 分）如图，四边形 ABCD 内接于O，AB 为直径，ADCD，过点 D 作 DEAB 于 点 E，连接 AC 交 DE 于点 F若 sinCAB 3 5 ，DF5，则 BC 的长为（ ） 8 A8 B10 C12 D16 【答案】C 【解答】解：连接 BD，如图， AB 为直径， ADBACB90 ， ADCD， DACDCA， 而DCAABD， DACABD， DEAB， ABD+BDE90 ， 而ADE+BDE90 ， ABDADE， ADEDAC， FDFA5， 在 RtAEF 中，si
11、nCAB EF AF 3 5 ， EF3， AE4，DE5+38， ADEDBE，AEDBED， ADEDBE， DE：BEAE：DE，即 8：BE4：8， BE16， AB4+1620， 在 RtABC 中，sinCAB BC AB 3 5 ， 9 BC203 5 12 故选：C 6.（2019甘肃庆阳3 分）如图，点 A，B，S 在圆上，若弦 AB 的长度等于圆半径的2倍，则ASB 的度 数是 . 【答案】45 【解答】解：设圆心为 O，连接 OA、OB，如图， 弦 AB 的长度等于圆半径的2倍， 即 AB2OA， OA2+OB2AB2， OAB 为等腰直角三角形，AOB90 ， ASBA
12、OB45 7. （2019湖北省随州市3 分）如图，点 A，B，C 在O 上，点 C 在优弧 上，若OBA=50 ，则C 的 度数为_ 10 【答案】40 【解析】解：OA=OB， OAB=OBA=50 ， AOB=180 -50 -50 =80 ， C=AOB=40 故答案为 40 8. （2019广西北部湾3 分）九章算术作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与古希腊 的几何原本并称现代数学的两大源泉.在九章算术看记载有一问题“今有圆材埋在壁中，不知大小， 以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问几何？”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面如图所示，已知：锯口 深为 1 寸，锯道 AB=1
13、 尺（1 尺=10 寸），则该圆材的直径为 寸. 【答案】26 【解析】解：设O 的半径为 r 在 RtADO 中，AD=5，OD=r-1，OA=r， 则有 r2=52+（r-1）2， 解得 r=13， O 的直径为 26 寸， 11 故答案为：26 设O 的半径为 r在 RtADO 中，AD=5，OD=r-1，OA=r，则有 r2=52+（r-1）2，解方程即可 9. （2019湖北省荆门市10 分）已知锐角ABC 的外接圆圆心为 O，半径为 R （1）求证： sin AC B 2R； （2）若ABC 中A45 ，B60 ，AC3，求 BC 的长及 sinC 的值 【答案】 （1）见证明过程
14、； （2） 62 4 【解答】解： （1）如图 1，连接 AO 并延长交O 于 D，连接 CD， 则CD90 ，ABCADC， sinABCsinADC AC AD = 2 AC R sin AC B 2R； （2） sin AC B 2R， 同理可得： sin AC B - sin AB C = sin BC A 2R， 2R 3 sin60 2， BC2RsinA2sin45 2， 如图 2，过 C 作 CEAB 于 E， BEBCcosB2cos60 2 2 ，AEACcos45 6 2 ， 12 ABAE+BE 62 2 ， ABARsinC， sinC 62 4 10. （2019甘
15、肃庆阳8 分）已知：在ABC 中，ABAC （1）求作：ABC 的外接圆 （要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）若ABC 的外接圆的圆心 O 到 BC 边的距离为 4，BC6，则 SO 25 【答案】 （1）作线段 AB，BC 的垂直平分线，两线交于点 O，以 O 为圆心，OB 为半径作O，O 即为所 求 （2）在 RtOBE 中，利用勾股定理求出 OB 即可解决问题 【解答】解： （1）如图O 即为所求 13 （2）设线段 BC 的垂直平分线交 BC 于点 E 由题意 OE4，BEEC3， 在 RtOBE 中，OB5， S圆O5225 故答案为 25 11. （2019山东威海1
16、2 分） （1）方法选择 如图，四边形 ABCD 是O 的内接四边形，连接 AC，BD，ABBCAC求证：BDAD+CD 小颖认为可用截长法证明：在 DB 上截取 DMAD，连接 AM 小军认为可用补短法证明：延长 CD 至点 N，使得 DNAD 请你选择一种方法证明 （2）类比探究 【探究 1】 如图，四边形 ABCD 是O 的内接四边形，连接 AC，BD，BC 是O 的直径，ABAC试用等式表示 线段 AD，BD，CD 之间的数量关系，井证明你的结论 【探究 2】 如图，四边形 ABCD 是O 的内接四边形，连接 AC，BD若 BC 是O 的直径，ABC30 ，则线段 AD，BD，CD 之
17、间的等量关系式是 （3）拓展猜想 如图，四边形 ABCD 是O 的内接四边形，连接 AC，BD若 BC 是O 的直径，BC：AC：ABa：b： c，则线段 AD，BD，CD 之间的等量关系式是 【答案】 （1 见证明； （2）BDBM+DMCD+2AD； （3）BD b c CD+ b a AD 14 【解答】解： （1）方法选择：ABBCAC， ACBABC60 ， 如图，在 BD 上截取 DEMAD，连接 AM， ADBACB60 ， ADM 是等边三角形， AMAD， ABMACD， AMBADC120 ， ABMACD（AAS） ， BMCD， BDBM+DMCD+AD； （2）类比探
18、究：如图， BC 是O 的直径， BAC90 ， ABAC， ABCACB45 ， 过 A 作 AMAD 交 BD 于 M， ADBACB45 ， ADM 是等腰直角三角形， AMAD，AMD45 ， DM2AD， AMBADC135 ， ABMACD， ABMACD（AAS） ， BMCD， BDBM+DMCD+2AD； 【探究 2】如图，若 BC 是O 的直径，ABC30 ， BAC90 ，ACB60 ， 15 过 A 作 AMAD 交 BD 于 M， ADBACB60 ， AMD30 ， MD2AD， ABDACD，AMBADC150 ， ABMACD， BM CD = AB AC 3，
19、 BM3CD， BDBM+DM3CD+2AD； 故答案为：BD3CD+2AD； （3）拓展猜想：BDBM+DM b c CD+ b a AD； 理由：如图，若 BC 是O 的直径， BAC90 ， 过 A 作 AMAD 交 BD 于 M， MAD90 ， BAMDAC， ABMACD， BM CD = AB AC b c ， BM b c CD， ADBACB，BACNAD90 ， ADMACB， AD DM AC BC b a ， DM b a AD， BDBM+DM b c CD+ v AD 故答案为：BD b c CD+ b a AD 16 【点评】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性 质，等边三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键