1、 1 第 27 讲 概率 【考点导引】 1.能正确指出自然和社会现象中的一些必然事件、不可能事件、不确定事件 2能从实际问题中了解概率的意义，能用列举法计算随机事件发生的概率 3能用大量重复试验时的频率估计事件发生的概率. 【难点突破】 1. 一般地，如果一次试验中，有 n 种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件 A 包含其中的 m 种 结果，那么事件 A 发生的概率为( ) m P A n 2. 求概率的常用方法：列表法：列表的目的在于不重不漏地列举出所有可能的结果求出 n，再从中选出 符合事件 A 或 B 的结果数目 m，求出概率列举法求概率的关键在于列举出所有可能的结果.当有两个
2、元素 时，可以用列表法列举，也可用树形图列举.当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，我们 常用列表的方式，列出所有可能的结果，再求出概率树形图列举法一般是选择一个元素再和其他元素 分别组合，依次列出，象树的枝丫形式，最末端的枝丫个数就是总的可能的结果 n需要两步以上完成，一 般可用树状图列举出所有可能情况 【解题策略】 列表法与树状图法： 列表和画树状图的目的都是不重不漏地列举所有可能性相等的结果，在很多问题中，二者是共通的； 当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为了不重复不遗漏地列出所有可能的结果， 通常采用列表法； 当一次试验要涉及三个或更多个因素时，为了不
3、重复不遗漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图法 【典例精析】 类型一：事件的分类 【例 1】 （2019湖北天门3 分）下列说法正确的是（ ） A了解我市市民知晓“礼让行人”交通新规的情况，适合全面调查 B甲、乙两人跳远成绩的方差分别为 S甲 23，S 乙 24，说明乙的跳远成绩比甲稳定 C一组数据 2，2，3，4 的众数是 2，中位数是 2.5 D可能性是 1%的事件在一次试验中一定不会发生 【答案】C 2 【解答】解：A了解我市市民知晓“礼让行人”交通新规的情况，适合抽样调查，A 错误； B甲、乙两人跳远成绩的方差分别为 S甲 23，S 乙 24，说明甲的跳远成绩比乙稳定，B 错误； C
4、一组数据 2，2，3，4 的众数是 2，中位数是 2.5，正确； D可能性是 1%的事件在一次试验中可能会发生，D 错误 故选：C 类型二：用列举法求概率 【例 2】 （2019湖北武汉3 分）从 1.2.3.4 四个数中随机选取两个不同的数，分别记为 A.c，则关于 x 的一元 二次方程 ax2+4x+c0 有实数解的概率为（ ） A 1 4 B 1 3 C 1 2 D 2 3 【答案】C 【解答】解：画树状图得： 由树形图可知：一共有 12 种等可能的结果，其中使 ac4 的有 6 种结果， 关于 x 的一元二次方程 ax2+4x+c0 有实数解的概率为 1 2 ， 故选：C 类型三：频率
5、与概率 【例 3】 （ （2019浙江绍兴4 分）为了解某地区九年级男生的身高情况，随机抽取了该地区 100 名九年级男 生，他们的身高 x（cm）统计如下： 组别（cm） x160 160 x170 170 x180 x180 人数 5 38 42 15 根据以上结果，抽查该地区一名九年级男生，估计他的身高不低于 180cm 的概率是（ ） A0.85 B0.57 C0.42 D0.15 【答案】D 【解答】解：样本中身高不低于 180cm 的频率0.15， 所以估计他的身高不低于 180cm 的概率是 0.15 故选：D 3 【例 4】 （2019甘肃武威4 分）一个猜想是否正确，科学家们
6、要经过反复的实验论证下表是几位科学家“掷 硬币”的实验数据： 实验者 德摩根 蒲丰 费勒 皮尔逊 罗曼诺夫斯基 掷币次数 6140 4040 10000 36000 80640 出现“正面朝上” 的次数 3109 2048 4979 18031 39699 频率 0.506 0.507 0.498 0.501 0.492 请根据以上数据，估计硬币出现“正面朝上”的概率为 0.5 （精确到 0.1） 【答案】0.5 【解答】解：因为表中硬币出现“正面朝上”的频率在 0.5 左右波动， 所以估计硬币出现“正面朝上”的概率为 0.5 故答案为 0.5 类型四：概率的应用 【例 5】 （2019四川省
7、广安市6 分）为了提高学生的阅读能力，我市某校开展了“读好书，助成长”的活动， 并计划购置一批图书，购书前，对学生喜欢阅读的图书类型进行了抽样调查，并将调查数据绘制成两幅不 完整的统计图，如图所示，请根据统计图回答下列问题： （1）本次调查共抽取了 名学生，两幅统计图中的 m ，n （2）已知该校共有 3600 名学生，请你估计该校喜欢阅读“A”类图书的学生约有多少人？ （3）学校将举办读书知识竞赛，九年级 1 班要在本班 3 名优胜者（2 男 1 女）中随机选送 2 人参赛，请用 列表或画树状图的方法求被选送的两名参赛者为一男一女的概率 【答案】 （1）200;84;15； （2）1224
8、人； 4 （3） 2 3 【解答】解： （1）68 34%200， 所以本次调查共抽取了 200 名学生， m200 42%84， n% 30 200 100%15%，即 n15； （2）3600 34%1224， 所以估计该校喜欢阅读“A”类图书的学生约有 1224 人； （3）画树状图为： 共有 6 种等可能的结果数，其中被选送的两名参赛者为一男一女的结果数为 4， 所以被选送的两名参赛者为一男一女的概率 4 6 2 3 【真题检测】 1. （2019 浙江丽水 3 分）一个布袋里装有 2 个红球、3 个黄球和 5 个白球，除颜色外其它都相同搅匀后 任意摸出一个球，是白球的概率为（ ） A
9、 1 2 B 3 10 C 1 5 D 7 10 【答案】A 【解答】袋子里装有 2 个红球、3 个黄球和 5 个白球共 10 个球，从中摸出一个球是白球的概率是 5 10 = 1 2 故选：A 2. （2019 湖北宜昌 3 分）在“践行生态文明，你我一起行动”主题有奖竞赛活动中，903 班共设置“生态知识、 生态技能、生态习惯、生态文化”四个类别的竞赛内容，如果参赛同学抽到每一类别的可能性相同，那么小 宇参赛时抽到“生态知识”的概率是（ ） A 1 2 B 1 4 C 1 8 D 1 16 【答案】B 【解答】解：共设置“生态知识、生态技能、生态习惯、生态文化”四个类别的竞赛内容，参赛同学
10、抽到每 一类别的可能性相同， 5 小宇参赛时抽到“生态知识”的概率是： 1 4 故选：B 3. （2019湖北武汉3 分）不透明的袋子中只有 4 个黑球和 2 个白球，这些球除颜色外无其他差别，随机从 袋子中一次摸出 3 个球，下列事件是不可能事件的是（ ） A3 个球都是黑球 B3 个球都是白球 C三个球中有黑球 D3 个球中有白球 【答案】B 【解答】解：A.3 个球都是黑球是随机事件； B.3 个球都是白球是不可能事件； C.三个球中有黑球是必然事件； D.3 个球中有白球是随机事件； 故选：B 4. （2019黑龙江省齐齐哈尔市3 分）在一个不透明的口袋中，装有一些除颜色外完全相同的红
11、、白、黑三 种颜色的小球已知袋中有红球 5 个，白球 23 个，且从袋中随机摸出一个红球的概率是，则袋中黑球 的个数为（ ） A27 B23 C22 D18 【答案】C 【解答】解：设袋中黑球的个数为 x， 根据题意得，解得 x22， 即袋中黑球的个数为 22 个 故选：C 5. （2019山东省德州市 4 分）甲、乙是两个不透明的纸箱，甲中有三张标有数字 1 4 ， 1 2 ，1 的卡片，乙 中有三张标有数字 1，2，3 的卡片，卡片除所标数字外无其他差别，现制定一个游戏规则：从甲中任取一 张卡片， 将其数字记为 a， 从乙中任取一张卡片， 将其数字记为 b 若 a， b 能使关于 x 的一
12、元二次方程 ax2+bx+1 0 有两个不相等的实数根，则甲获胜；否则乙获胜则乙获胜的概率为（ ） A 2 3 B 5 9 C 4 9 D 1 3 【答案】C 6 【解答】解： （1）画树状图如下： 由图可知，共有 9 种等可能的结果，其中能使乙获胜的有 4 种结果数， 乙获胜的概率为 4 9 ， 故选：C 6. （2019广东深圳3 分）现有 8 张同样的卡片，分别标有数字：1，1，2，2，2，3，4，5，将这些卡片放 在一个不透明的盒子里，搅匀后从中随机地抽取一张，抽到标有数字 2 的卡片的概率是 . 【答案】 8 3 【解析】全部共有 8 张卡片，标有数字 2 的卡片有 3 张，随机抽取
13、一张，故抽到 2 概率为 8 3 . 7. (2019 湖北咸宁市 3 分)一个质地均匀的小正方体，六个面分别标有数字“1”“1”“2”“4”“5”“5”，随机掷一次 小正方体，朝上一面的数字是奇数的概率是 【答案】 【解答】解：一个质地均匀的小正方体，六个面分别标有数字“1”“1”“2”“4”“5”“5”， 随机掷一次小正方体，朝上一面的数字是奇数的概率是： 故答案为： 8. (2019湖南益阳4 分)小蕾有某文学名著上、中、下各 1 册，她随机将它们叠放在一起，从上到下的顺序 恰好为“上册、中册、下册”的概率是 【答案】 1 6 【解答】解：画树状图如图： 共有 6 个等可能的结果，从上到
14、下的顺序恰好为“上册、中册、下册”的结果有 1 个， 7 从上到下的顺序恰好为“上册、中册、下册”的概率为 1 6 ； 故答案为 1 6 9. (2019 甘肃省陇南市)（4 分）一个猜想是否正确，科学家们要经过反复的实验论证下表是几位科学家“掷 硬币”的实验数据： 实验者 德摩根 蒲丰 费勒 皮尔逊 罗曼诺夫斯基 掷币次数 6140 4040 10000 36000 80640 出现“正面朝上”的次数 3109 2048 4979 18031 39699 频率 0.506 0.507 0.498 0.501 0.492 请根据以上数据，估计硬币出现“正面朝上”的概率为 0.5 （精确到 0.
15、1） 【答案】0.5 【解答】解：因为表中硬币出现“正面朝上”的频率在 0.5 左右波动， 所以估计硬币出现“正面朝上”的概率为 0.5 故答案为 0.5 10. (2019 湖北仙桃)（3 分）一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，其上分别标有数字 1，2，4，8随 机摸取一个小球后不放回，再随机摸取一个小球，则两次取出的小球上数字之积等于 8 的概率是 1 3 【答案】 1 3 【解答】解：列表如下 1 2 4 8 1 2 4 8 2 2 8 16 4 4 8 32 8 8 16 32 由表知，共有 12 种等可能结果，其中两次取出的小球上数字之积等于 8 的有 4 种结果， 所以两次取
16、出的小球上数字之积等于 8 的概率为 4 12 1 3 ， 故答案为： 1 3 11. （2019广西池河8 分）某校计划开设美术、书法、体育、音乐兴趣班，为了解学生报名的意向，随机 8 调查了部分学生，要求被调查的学生必选且只选一项，根据调查结果绘制出如下不完整的统计图表： 兴趣班 人数 百分比 美术 10 10% 书法 30 a 体育 b 40% 音乐 20 c 根据统计图表的信息，解答下列问题： （1）直接写出本次调查的样本容量和表中 a，b，c 的值； （2）将折线图补充完整； （3）该校现有 2000 名学生，估计该校参加音乐兴趣班的学生有多少人？ 【答案】 （1）本次调查的样本容量
17、 10 10%100（人） ，b10010302040（人） ，a30 10030%， c20 10020%； （2）根据（1）补充折线图； （3）估计该校参加音乐兴趣班的学生 2000 20%400（人） 【解答】解： （1）本次调查的样本容量 10 10%100（人） ， b10010302040（人） ， a30 10030%， c20 10020%； （2）折线图补充如下： 9 （3）估计该校参加音乐兴趣班的学生 2000 20%400（人） 答：估计该校参加音乐兴趣班的学生 400 人 12. （2019 湖北省鄂州市） （8 分）某校为了解全校学生对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类
18、电视节目的 喜爱情况，随机选取该校部分学生进行调查，要求每名学生从中选出一类最喜爱的电视节目，以下是根据 调查结果绘制的统计图表的一部分 类别 A B C D E 类型 新闻 体育 动画 娱乐 戏曲 人数 11 20 40 m 4 请你根据以上信息，回答下列问题： （1）统计表中 m 的值为 ，统计图中 n 的值为 ，A 类对应扇形的圆心角为 度； （2）该校共有 1500 名学生，根据调查结果，估计该校最喜爱体育节目的学生人数； （3）样本数据中最喜爱戏曲节目的有 4 人，其中仅有 1 名男生从这 4 人中任选 2 名同学去观赏戏曲表演， 请用树状图或列表求所选 2 名同学中有男生的概率 【答案】 （1）25;25;39.6； （2）300 人； （3） 1 2 10 【解答】解： （1）样本容量为 20 20%100， m100（11+20+40+4）25，n% 25 100 100%25%，A 类对应扇形的圆心角为 360 11 100 39.6 ， 故答案为：25、25、39.6 （2）1500 20 100 300（人） 答：该校最喜爱体育节目的人数约有 300 人； （3）画树状图如下： 共有 12 种情况，所选 2 名同学中有男生的有 6 种结果， 所以所选 2 名同学中有男生的概率为 1 2