1、 1 第 28 讲 投影与视图 【考点导引】 1.了解平行投影和中心投影的含义及其简单的应用 2.会判断简单物体的三视图 3.能根据三视图描述基本几何体或实物原型，掌握简单几何体表面展开图与折叠. 【难点突破】 1. 自几何体的前方向后投射，在正面投影面上得到的视图称为主视图；自几何体的左侧向右投射，在侧面 投影面上得到的视图称为左视图；自几何体的上方向下投射，在水平投影面上得到的视图称为俯视图.一个 几何体的三视图与它的放置方式和观察者的观察角度有关. 2. （1）三视图属于正投影三视图的主要特征是：长对正、高平齐、宽相等画三视图时，三个视图一般 要放在正确的位置（即主视图要在左上边，它的下
2、方应是俯视图，左视图坐落在右边） ，还要注意线条的虚 实，看得见的部分的轮廓应画成实线，看不见部分的轮廓应画成虚线 （2）简单几何体的三视图可以确定出原简单几何体的大致形状，辨别时充分利用空间想象力，注意组合物 体的位置特征，这样才能使问题顺利得以解决由三视图逆推原几何体，主视图主要描述物体的长和高， 左视图主要描述物体的宽和高，俯视图主要描述物体的长和宽，而若三视图不完整，则组合体可能存在多 种情形，需进行分类讨论，全面获解 3. 由视图到立体图形，根据视图想像出视图所反映的立体形状，我们称为读图读图的一般规律： （1）长、 宽、高的关系：主视图和俯视图长度相等，主视图和左视图高度相等，俯视
3、图和左视图宽度相等 （2）上 下、前后、左右的关系：读图时，可从主视图上分清物体各部分的上下和左右位置；从俯视图上分清物体 各部分的左右和前后位置；从左视图上分清物体各部分的上下和前后位置 4. 画物体的三视图时，应遵循这样的画图规则：“主、俯两图长对正，主、左两图高平齐，左、俯两图宽相 等”. 另外要注意看得见部分的轮廓线画成实线，看不见部分的轮廓线画成虚线. 此类问题容易出错的地方 是忽略内部轮廓线及其虚实. 【解题策略】 转化思想，将立体图形转化为平面图形，如物体的包装等 【典例精析】 类型一：物体的三视图 【例 1】 （ 2019广西池河3 分）某几何体的三视图如图所示，该几何体是（
4、） 2 A圆锥 B圆柱 C三棱锥 D球 【答案】A 【解答】解：由已知三视图得到几何体是以圆锥；故选：A 类型二：根据视图确定物体的形状 【例 2】 （2019甘肃3 分）已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为等边三角形，则该几何体的左视 图的面积为 【答案】 （18+23）cm2 【解答】解：该几何体是一个三棱柱，底面等边三角形边长为 2cm，高为3cm，三棱柱的高为 3，所以， 其表面积为 3 2 3+218+23（cm2） 故答案为（18+23）cm2 类型三：投影 【例 3】 (1)一木杆按如图所示的方式直立在地面上，请在图中画出它在阳光下的影子(用线段 CD 表示)； 3 (2)
5、图是两根标杆及它们在灯光下的影子请在图中画出光源的位置(用点 P 表示)，并在图中画出人在此 光源下的影子(用线段 EF 表示) 解：(1)如图，CD 是木杆在阳光下的影子 (2)如图所示，点 P 是光源；EF 就是人在光源 P 下的影子 归纳总结：1阳光下的影子为平行投影，在同一时刻两物体的影子应在同一方向上，并且物高与影长成正 比2灯光下的影子为中心投影，影子应在物体背对光的一侧 【真题检测】 1. (2019 甘肃省陇南市)下列四个几何体中，是三棱柱的为（ ） A B C D 【答案】C 【解答】解：A.该几何体为四棱柱，不符合题意； B.该几何体为四棱锥，不符合题意； C.该几何体为三
6、棱柱，符合题意； D.该几何体为圆柱，不符合题意 故选：C 2. （2019湖南邵阳3 分）下列立体图形中，俯视图与主视图不同的是（ ） 4 【答案】C 【解答】解：A俯视图与主视图都是正方形，故选项 A 不合题意； B俯视图与主视图都是正方形，故选项 B 不合题意； C俯视图是圆，左视图是三角形；故选项 C 符合题意； D俯视图与主视图都是圆，故选项 D 不合题意； 故选：C 3. （2019，山东淄博，4 分）下列几何体中，其主视图、左视图和俯视图完全相同的是（ ） A BC D 【答案】D 【解答】解：A.圆柱的主视图和左视图都是矩形，但俯视图也是一个圆形，不符合题意；B.三棱柱的主视图
7、 和左视图、俯视图都不相同，不符合题意； C.长方体的主视图和左视图是相同的，都为一个长方形，但是俯视图是一个不一样的长方形，不符合题意； D.球的三视图都是大小相同的圆，符合题意故选：D 4. （2019浙江绍兴4 分）如图的几何体由六个相同的小正方体搭成，它的主视图是（ ） A B C D 【答案】A 【解答】解：从正面看有三列，从左起第一列有两个正方形，第二列有两个正方形，第三列有一个正方形， 故 A 符合题意， 故选：A 5 5. （2019湖北省随州市3 分）如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的表面积为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】解：根据三
8、视图可得这个几何体是圆锥， 底面积=12=， 侧面积为=3=3， 则这个几何体的表面积=+3=4；故选：C 根据主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看所得到的图形，判断出几何体的形状，再 根据三视图的数据，求出几何体的表面积即可 6. （2019河北省2 分）图 2 是图 1 中长方体的三视图，若用 S 表示面积，S主x2+2x，S左x2+x，则 S俯 （ ） Ax2+3x+2 Bx2+2 Cx2+2x+1 D2x2+3x 【答案】A 【解答】解：S主x2+2xx（x+2） ，S左x2+xx（x+1） ， 俯视图的长为 x+2，宽为 x+1， 则俯视图的面积 S俯（x+2） （x
9、+1）x2+3x+2， 7. （2018齐齐哈尔）三棱柱的三视图如图所示，已知EFG 中，EF=8cm，EG=12cm，EFG=45 则 AB 的长为 cm 6 【答案】4 【解答】解：过点 E 作 EQFG 于点 Q， 由题意可得出：EQ=AB， EF=8cm，EFG=45 ， EQ=AB= 8=4（cm） 故答案为：4 8. （2019山东青岛3 分）如图，一个正方体由 27 个大小相同的小立方块搭成，现从中取走若干个小立方 块，得到一个新的几何体若新几何体与原正方体的表面积相等，则最多可以取走 4 个小立方块 【答案】4 【解答】解：若新几何体与原正方体的表面积相等，则新几何体的三视图与
10、原来的几何体的三视图相同， 所以最多可以取走 4 个小立方块 故答案为：4 9. 小明想利用太阳光测量楼高，他带着皮尺来到一栋楼下，发现对面墙上有这栋楼的影子，针对这种 情况，他设计了一种测量方案，具体测量情况如下： 如示意图，小明边移动边观察，发现站到点 E 处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的 影子重叠， 且高度恰好相同 此时， 测得小明落在墙上的影子高度 CD1.2 m， CE0.8 m， CA30 m(点 A、E、C 在同一直线上) 已知小明的身高 EF 是 1.7 m，请你帮小明求出楼高 AB(结果精确到 0.1 m) 7 【解析】 ：如题图，过点 D 作 DGAB，分别交 AB，EF 于点 G，H，则 EHAGCD1.2， DHCE0.8，DGCA30. EFAB，FH BG DH DG. 由题意，知 FHEFEH1.71.20.5. 0.5 BG 0.8 30，解之，得 BG18.75. ABBGAG18.751.219.9520.0， 楼高 AB 约为 20.0 米