1、 1 备战 2020 中考初中数学考点导学练 30 讲 第 11 讲 反比例函数 【考点导引】 1.理解反比例函数的概念，能根据已知条件确定反比例函数的解析式 2会画反比例函数图象，根据图象和解析式探索并理解其基本性质 3能用反比例函数解决简单实际问题. 【难点突破】 1. 反比例函数0 k yk x 的性质：当 k0 时，图象分别位于第一、三象限；当 k0 时，图象分别位 于第二、四象限当 k0 时，在同一个象限内，y 随 x 的增大而减小；当 k0 时，在同一个象限，y 随 x 的增大而增大 2. 反比例函数的几何意义包括： （1）如下图，过双曲线上任意一点 P 分别作 x 轴、y 轴的垂
2、线 PM、PN，所得的矩形 PMON 的面积 S=PM PN=yx=xy.y= x k ，xy=k，S=k，即过双曲线上任意一点作 x 轴、y 轴的垂线，所得的矩 形面积为k （2）如上图，过双曲线上的任意一点 E 作 EF 垂直其中一坐标轴，垂足为 F，连接 EO，则 EOF S= 2 k ，即 过双曲线上的任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点与原点，所得三角形的面积为 2 k 3. 解答反比例函数的问题，往往结合中点及三角形或梯形的面积一起出现，此类问题中，由于题中没有点 的坐标，通常可通过间接设未知数的方向，表示出题目中所求的线段，利用图形旋转的特征和数形结合思 想在坐标系中求图形中关键点
3、的坐标，从而求得所求图形的面积 【解题策略】 1.反比例函数值的大小比较时，应分 x0 与 x0 两种情况讨论，而不能笼统地说成“k0 时，y 随 x 的增 大而增大” 2 2.在一次函数与反比例函数的函数值的大小比较中，要把 x 的取值以两交点横坐标、原点为分界点分成四部 分进行分析 【典例精析】 类型一：反比例函数的图象与性质 【例 1】(2019 安徽)（4 分）已知点 A（1，3）关于 x 轴的对称点 A在反比例函数 y k x 的图象上，则实 数 k 的值为（ ） A3 B 1 3 C3 D 1 3 类型二：反比例函数解析式的确定 【例 2】 （2019，山东枣庄，3 分）如图，在平
4、面直角坐标系中，等腰直角三角形 ABC 的顶点 A.B 分别在 x 轴、y 轴的正半轴上，ABC90 ，CAx 轴，点 C 在函数 y k x （x0）的图象上，若 AB1，则 k 的 值为（ ） A1 B 2 2 C2 D2 类型三：反比例函数的比例系数 k 的几何意义 【例 3】 （2019贵州毕节5 分）如图，在平面直角坐标中，一次函数 y4x+4 的图象与 x 轴、y 轴分别交 于 A.B 两点正方形 ABCD 的顶点 C.D 在第一象限，顶点 D 在反比例函数 y k x （k0）的图象上若正 方形 ABCD 向左平移 n 个单位后，顶点 C 恰好落在反比例函数的图象上，则 n 的值
5、是 3 类型四：反比例函数的应用 【例 4】 （2019河北省10 分）长为 300m 的春游队伍，以 v（m/s）的速度向东行进，如图 1 和图 2，当队伍 排尾行进到位置 O 时，在排尾处的甲有一物品要送到排头，送到后立即返回排尾，甲的往返速度均为 2v （m/s） ，当甲返回排尾后，他及队伍均停止行进设排尾从位置 O 开始行进的时间为 t（s） ，排头与 O 的距 离为 S头（m） （1）当 v2 时，解答： 求 S头与 t 的函数关系式（不写 t 的取值范围） ； 当甲赶到排头位置时，求 S 的值；在甲从排头返回到排尾过程中，设甲与位置 O 的距离为 S甲（m） ，求 S 甲与 t 的
6、函数关系式（不写 t 的取值范围） （2）设甲这次往返队伍的总时间为 T（s） ，求 T 与 v 的函数关系式（不写 v 的取值范围） ，并写出队伍在此 过程中行进的路程 4 【真题检测】 1. （2019湖北天门3 分）反比例函数 y，下列说法不正确的是（ ） A图象经过点（1，3） B图象位于第二、四象限 C图象关于直线 yx 对称 Dy 随 x 的增大而增大 2. （2019湖北武汉3 分）已知反比例函数 y k x 的图象分别位于第二、第四象限，A（x1，y1） 、B（x2， y2）两点在该图象上，下列命题：过点 A 作 ACx 轴，C 为垂足，连接 OA若ACO 的面积为 3，则 k
7、 6；若 x10 x2，则 y1y2；若 x1+x20，则 y1+y20，其中真命题个数是（ ） A0 B1 C2 D3 3. （2019贵州毕节3 分）若点 A（4，y1） 、B（2，y2） 、C（2，y3）都在反比例函数 y 1 x 的图象上， 则 y1.y2.y3的大小关系是（ ） Ay1y2y3 By3y2y1 Cy2y1y3 Dy1y3y2 4. （2019湖南衡阳3 分）如图，一次函数 y1kx+b（k0）的图象与反比例函数 y2 m x （m 为常数且 m0） 的图象都经过 A（1，2） ，B（2，1） ，结合图象，则不等式 kx+b m x 的解集是（ ） Ax1 B1x0 C
8、x1 或 0 x2 D1x0 或 x2 5. （2019湖北孝感3 分）公元前 3 世纪，古希腊科学家阿基米德发现了杠杆平衡，后来人们把它归纳为“杠 杆原理”，即：阻力 阻力臂动力 动力臂小伟欲用撬棍撬动一块石头，已知阻力和阻力臂分别是 1200N 和 0.5m，则动力 F（单位：N）关于动力臂 l（单位：m）的函数解析式正确的是（ ） AF 1200 1 BF 600 1 CF 500 1 DF 0.5 1 6. （贵州省毕节市，10，3 分）如图，点 A 为反比例函数 x y 4 图象上一点，过 A 作 ABx轴于点 B， 链接 OA，则ABO 的面积为（ ） A4 B4 C2 D2 5
9、7. (2019，山西，3 分）如图，在平面直角坐标系中，点 O 为坐标原点，菱形 ABCD 的顶点 B 在 x 轴的正半 轴上，点 A 坐标为（-4，0） ，点 D 的坐标为（-1，4） ，反比例函数 )0( x x k y 的图象恰好经过点 C，则 k 的值为 . 8. （2019浙江绍兴5 分）如图，矩形 ABCD 的顶点 A，C 都在曲线 y（常数是0，x0）上，若顶 点 D 的坐标为（5，3） ，则直线 BD 的函数表达式是 9.（2019湖南长沙3 分）如图，函数 y k x （k 为常数，k0）的图象与过原点的 O 的直线相交于 A，B 两点，点 M 是第一象限内双曲线上的动点（
10、点 M 在点 A 的左侧） ，直线 AM 分别交 x 轴，y 轴于 C，D 两 点，连接 BM 分别交 x 轴，y 轴于点 E，F现有以下四个结论： ODM 与OCA 的面积相等；若 BMAM 于点 M，则MBA30 ；若 M 点的横坐标为 1，OAM 为等边三角形，则 k2+3；若 MF 2 5 MB，则 MD2MA 其中正确的结论的序号是 （只填序号） 6 10. （2019，四川巴中，8 分）如图，一次函数 y1k1x+b（k1.b 为常数，k10）的图象与反比例函数 y2 （k20，x0）的图象交于点 A（m，8）与点 B（4，2） 求一次函数与反比例函数的解析式 根据图象说明，当 x
11、 为何值时，k1x+b0 7 11. （2019湖南湘西州8 分）如图，一次函数 ykx+b 的图象与反比例函数 y m x 的图象在第一象限交于 点 A（3，2） ，与 y 轴的负半轴交于点 B，且 OB4 （1）求函数 y m x 和 ykx+b 的解析式； （2）结合图象直接写出不等式组 0 m x kx+b 的解集 8 12. （2019广西河池12 分）在平面直角坐标系中，矩形 ABCD 的顶点坐标为 A（0，0） ，B（6，0） ，C（6， 8） ，D（0，8） ，AC，BD 交于点 E （1）如图（1） ，双曲线 y过点 E，直接写出点 E 的坐标和双曲线的解析式； （2）如图（2） ，双曲线 y与 BC，CD 分别交于点 M，N，点 C 关于 MN 的对称点 C在 y 轴上求证 CMNCBD，并求点 C的坐标； （3）如图（3） ，将矩形 ABCD 向右平移 m（m0）个单位长度，使过点 E 的双曲线 y与 AD 交于点 P当AEP 为等腰三角形时，求 m 的值