1、 1 第 16 讲 直角三角形 【考点导引】 1.了解直角三角形的有关概念，掌握其性质与判定 2掌握勾股定理与逆定理，并能用来解决有关问题. 【难点突破】 1. 证明一个三角形是直角三角形的方法比较多， 最简捷的方法就是求出一个角等于 90 ， 也可以利用三角形 一边上的中线等于这边的一半，或者利用勾股定理的逆定理证得 . 直角三角形除具有两锐角互余、两直角边的平方和等于斜边的平方、斜边的中线等于斜边的一半这些性质 外，还具有外接圆半径等于斜边的一半，内切圆半径等于两直角边的和与斜边差的一半，它的外心是斜边 的中点，垂心是直角顶点等性质 3. 勾股定理主要的用途是已知直角三角形的两边求第三边，
2、当我们只知道直角三角形的一边时，如果可以 找到另外两边的关系，也可通过列方程的方法求出另外两条边 4. 勾股定理逆定理主要是已知一个三角形的三边，判断三角形是否为直角三角形 【解题策略】 面积法：用面积法证题是常用的方法之一，使用这种方法时一般是利用某个图形的多种面积求法或面积之 间的和差关系列出等式，从而得到要证明的结论如 chab，其中 a、b 为两直角边，c 为斜边，h 为斜边 上的高； 【典例精析】 类型一：直角三角形的判定 【例 1】如图，ABC 中，AC=5，BC=12，AB=13，CD 是 AB 边上的中线则 CD= 类型二：直角三角形的性质 【例 2】 （2019海南3 分）如
3、图，在 RtABC 中，C90 ，AB5，BC4点 P 是边 AC 上一动点，过 点 P 作 PQAB 交 BC 于点 Q，D 为线段 PQ 的中点，当 BD 平分ABC 时，AP 的长度为（ ） 2 A B C D 类型三：勾股定理及其逆定理 【例 3】 （2019河北9 分）已知：整式 A（n21）2+（2n）2，整式 B0 尝试 化简整式 A 发现 AB2，求整式 B 联想 由上可知，B2（n21）2+（2n）2，当 n1 时，n21，2n，B 为直角三角形的三边长，如图填写 下表中 B 的值： 直角三角形三边 n21 2n B 勾股数组 / 8 勾股数组 35 / 类型四：勾股定理及其
4、逆定理的实际应用 【例 4】 （2019南京2 分）无盖圆柱形杯子的展开图如图所示将一根长为 20cm 的细木筷斜放在该杯子内， 木筷露在杯子外面的部分至少有 cm 类型五：直角三角形的综合探究 【例 5】如图，在ABC 中，ADBC 于 D，BD=AD，DG=DC，E，F 分别是 BG，AC 的中点 （1）求证：DE=DF，DEDF； （2）连接 EF，若 AC=10，求 EF 的长 3 【真题检测】 1. （2019湖北省咸宁市3 分）勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”我国对勾股定理的证明是由 汉代的赵爽在注解周髀算经时给出的，他用来证明勾股定理的图案被称为“赵爽弦图”.2002
5、年在北京召 开的国际数学大会选它作为会徽下列图案中是“赵爽弦图”的是（ ） A B C D 2. （2019 湖南益阳 4 分）已知 M、N 是线段 AB 上的两点，AMMN2，NB1，以点 A 为圆心，AN 长为半径画弧； 再以点 B 为圆心， BM 长为半径画弧， 两弧交于点 C， 连接 AC， BC， 则ABC 一定是 （ ） A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D等腰三角形 3. （2019山东省滨州市 3 分）满足下列条件时，ABC 不是直角三角形的为（ ） AAB，BC4，AC5 BAB：BC：AC3：4：5 CA：B：C3：4：5 D|cosA|+（tanB）20 4. （
6、2019湖南湘西州4 分）如图，在ABC 中，C90 ，AC12，AB 的垂直平分线 EF 交 AC 于点 D， 连接 BD，若 cosBDC 5 7 ，则 BC 的长是（ ） A10 B8 C43 D26 5. （2019湖南衡阳3 分）如图，在直角三角形 ABC 中，C90 ，ACBC，E 是 AB 的中点，过点 E 4 作 AC 和 BC 的垂线，垂足分别为点 D 和点 F，四边形 CDEF 沿着 CA 方向匀速运动，点 C 与点 A 重合时 停止运动，设运动时间为 t，运动过程中四边形 CDEF 与ABC 的重叠部分面积为 S则 S 关于 t 的函数图 象大致为（ ） AB CD 6.
7、 （2019湖北省鄂州市3 分）如图，已知线段 AB4，O 是 AB 的中点，直线 l 经过点 O，160 ，P 点是直线 l 上一点，当APB 为直角三角形时，则 BP 7.（2019，四川巴中，4 分）如图，等边三角形 ABC 内有一点 P，分別连结 AP、BP、CP，若 AP6，BP 8，CP10则 S ABP +S BPC 8. （2019 贵州安顺 4 分）如图，在 RtABC 中，BAC90 ，且 BA3，AC4，点 D 是斜边 BC 上的 一个动点，过点 D 分别作 DMAB 于点 M，DNAC 于点 N，连接 MN，则线段 MN 的最小值为 5 9. （2019山东临沂3 分）如图，在ABC 中，ACB120 ，BC4，D 为 AB 的中点，DCBC，则ABC 的面积是 10. （2019，四川巴中，8 分）如图，等腰直角三角板如图放置直角顶点 C 在直线 m 上，分别过点 A.B 作 AE直线 m 于点 E，BD直线 m 于点 D 求证：ECBD； 若设AEC 三边分别为 A.B.c，利用此图证明勾股定理