1、 1 第 15 讲 等腰三角形 【考点导引】 1.了解等腰三角形的有关概念，掌握其性质及判定 2了解等边三角形的有关概念，掌握其性质及判定 3掌握线段垂直平分线的性质及判定 4掌握角平分线的性质及判定. 【难点突破】 1. 在解有关等腰三角形边长问题时，通常要进行讨论，注意分类讨论后一定要运用三边关系检验，所求的 结果若能够组成三角形后，才能继续进行有关的计算. 2.当等腰三角形中只确定两个点，第三个点的位置不确定时，这时需要分类讨论解决在讨论时，一般按等 腰三角形的顶角的顶点是哪个点来分类，比如：ABC 是等腰三角形，则有三种可能： （1）以 A 为顶角的 顶点，则 AB=AC； （2）以
2、B 为顶角的顶点，则 BA=BC； （3）以 C 为顶角的顶点，则 CA=CB 3. 等边三角形的判方法有：三边都相等的三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形； 有两个角都等于 60 的三角形是等边三角形；有一个等于 60 的等腰三角形是等边三角形 4. 常见的证明两条线段相等的方法有：全等、特殊图形（特殊三角形、特殊四边形）的性质、等量代换等； 本题考查了一个常见的几何模型：角平分线+平行线等腰三角形 【解题策略】 1.求等腰三角形腰上的高，在所给条件不确定的条件下，应按顶角为锐角和钝角两种情况来考虑：(1)当顶角 为锐角时，腰上的高在三角形内部；(2)当顶角为钝角时，腰上的高
3、在三角形外部 【典例精析】 类型一：等腰三角形的性质与判定 【例 1】 （2019浙江衢州3 分）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的。 借助如图所示的“三 等分角仪”能三等分任一角。这个三等分角仪由两根有槽的棒 OA，OB 组成，两根棒在 O 点相连并可绕 O 转动，C 点固定，OC=CD=DE，点 D，E 可在槽中滑动，若BDE=75 ，则CDE 的度数是（ ） A. 60 B. 65 C. 75 D. 80 类型二：等边三角形的性质与判定 2 【例 2】 （2019湖南邵阳3 分）如图，将等边AOB 放在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为（4，0） ，点 B 在第一象限，将
4、等边AOB 绕点 O 顺时针旋转 180 得到AOB，则点 B的坐标是 类型三：线段的垂直平分线 【例 3】 如图， 在ABC 中， AB=AC， A=30 ， AB 的垂直平分线 l 交 AC 于点 D， 则CBD 的度数为 （ ） A30 B45 C50 D75 类型四：角的平分线 【例 4】如图，在等边三角形 ABC 中，点 D 是边 BC 的中点，则BAD= 类型五：等腰三角形的综合探究 【例 5】 （2019湖北武汉3 分）问题背景：如图 1，将ABC 绕点 A 逆时针旋转 60 得到ADE，DE 与 BC 交于点 P，可推出结论：PA+PCPE 问题解决： 如图 2， 在MNG 中
5、， MN6， M75 ， MG4 2 点 O 是MNG 内一点， 则点 O 到MNG 三个顶点的距离和的最小值是 3 图 1 图 2 【真题检测】 1. 如图，AC=AD，BC=BD，则有（ ） AAB 垂直平分 CD BCD 垂直平分 AB CAB 与 CD 互相垂直平分 DCD 平分ACB 2.如图所示，在ABC 中，AB 的垂直平分线交 AC 于点 E，若 AE=4，则 BE 两点间的距离是（ ） A B C 4 D 3. 如图，已知在 RtABC 中，ABC=90 ，点 D 是 BC 边的中点，分别以 B、C 为圆心，大于线段 BC 长 度一半的长为半径圆弧，两弧在直线 BC 上方的交
6、点为 P，直线 PD 交 AC 于点 E，连接 BE，则下列结论： EDBC；A=EBA；EB 平分AED；ED=12AB 中，一定正确的是（ ） 4 A B C D 4. 如图所示，在正五边形的对称轴直线 l 上找点 P，使得PCD、PDE 均为等腰三角形，则满足条件的点 P 有（ ） A 4 个 B 5 个 C 6 个 D 7 个 5. （2019湖南邵阳3 分） 如图， 在 RtABC 中， BAC90 ， B36 ， AD 是斜边 BC 上的中线， 将ACD 沿 AD 对折，使点 C 落在点 F 处，线段 DF 与 AB 相交于点 E，则BED 等于（ ） A120 B108 C72
7、D36 6. （2019湖南怀化4 分）若等腰三角形的一个底角为 72 ，则这个等腰三角形的顶角为 7. （2019贵州毕节5 分） 如图， 以ABC 的顶点 B 为圆心， BA 长为半径画弧， 交 BC 边于点 D， 连接 AD 若 B40 ，C36 ，则DAC 的大小为 8. （2019 湖南常德 3 分） 如图， 已知ABC 是等腰三角形， ABAC， BAC45 ， 点在 AC 边上， 将ABD 绕点 A 逆时针旋转 45 得到ACD，且点 D、D、B 三点在同一条直线上，则ABD 的度数是 9. （2019甘肃庆阳4 分） 定义： 等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值 k 称为这
8、个等腰三角形的“特 5 征值”若等腰ABC 中，A80 ，则它的特征值 k 10.（2019黑龙江哈尔滨3 分）如图，在四边形 ABCD 中，ABAD，BCDC，A60 ，点 E 为 AD 边 上一点，连接 BD.CE，CE 与 BD 交于点 F，且 CEAB，若 AB8，CE6，则 BC 的长为 11. （2019广西贵港10 分）已知：ABC 是等腰直角三角形，BAC90 ，将ABC 绕点 C 顺时针方向 旋转得到ABC，记旋转角为 ，当 90 180 时，作 ADAC，垂足为 D，AD 与 BC 交于点 E （1）如图 1，当CAD15 时，作AEC 的平分线 EF 交 BC 于点 F 写出旋转角 的度数； 求证：EA+ECEF； （2）如图 2，在（1）的条件下，设 P 是直线 AD 上的一个动点，连接 PA，PF，若 AB2，求线段 PA+PF 的最小值 （结果保留根号）