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2020-2021学年河南省安阳市汤阴县九年级上期中数学试卷(含答案解析)

1、2020-2021 学年河南省安阳市汤阴县九年级(上)期中数学试卷学年河南省安阳市汤阴县九年级(上)期中数学试卷 一、选择题(本题共计一、选择题(本题共计 10 小题,每题小题,每题 3 分,共计分,共计 30 分)分) 1下列说法正确的是( ) A形如 ax2+bx+c0 的方程叫做一元二次方程 B (x+1) (x1)0 是一元二次方程 C方程 x22x1 的常数项为 0 D在一元二次方程中,二次项系数、一次项系数及常数项都不能为 0 2根据下列表格的对应值: x 0.59 0.60 0.61 0.62 0.63 x2+x 1 0.0619 0.04 0.0179 0.0044 0.026

2、9 判断方程 x2+x10 一个解的取值范围是( ) A0.59x0.60 B0.60 x0.61 C0.61x0.62 D0.62x0.63 3数学来源于生活,下列生活中的运动属于旋转的是( ) A国旗上升的过程 B球场上滚动的足球 C工作中的风力发电机叶片 D传输带运输的东西 4下列语句中不正确的有( ) 长度相等的弧是等弧; 垂直于弦的直径平分弦; 圆是轴对称图形,任何一条直径都是它的对称轴; 平分弦的直径也必平分弦所对的两条弧; 弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦且过圆心 A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 5二次函数 y2x24x1 的顶点式是( ) Ay(2x1)22 By2(

3、x1)23 Cy2(x+1)23 Dy2(x+1)2+3 6二次函数 y2x2的图象如何移动,就得到 y2x2+4x+1 的图象( ) A向左移动 1 个单位,向上移动 3 个单位 B向左移动 1 个单位,向下移动 3 个单位 C向右移动 1 个单位,向上移动 3 个单位 D向右移动 1 个单位,向下移动 3 个单位 7半径为 2 的O 中,两条弦 AB2,AC2,BAC 的度数为( ) A45或 60 B105 C15 D15或 105 8如图,点 A、B、C 在O 上,ACB52,则ABO 的度数是( ) A52 B26 C38 D104 9如图,在O 中,直径 CD 垂直弦 AB 于点

4、E,连接 OB、CB,已知O 的半径为 2,AB,则 BCD 的大小为( ) A30 B45 C60 D15 10yax2+bx+c(a0)的图象如图,则下列判断正确的有( ) abc0,ba+c,4a+2b+c0,2c3b,a+bm(am+b)且 m1 A2 个 B3 个 C4 个 D5 个 二、填空题(本题共计二、填空题(本题共计 5 小题,每题小题,每题 3 分,共计分,共计 15 分)分) 11若 y(m+2)x+mx+1 是关于自变量 x 的二次函数,则 m 12 已知关于x的二次函数ymx22x+1, 当x时, y的值随x的增大而减小, 则m的取值范围为 13如图,四边形 ABCD

5、 是面积为 25 的正方形,E 是 DC 上一点,DE1,将ADE 绕着点 A 顺时针旋转 到与ABF 重合,则 EF 的长为 14如图,在O 中,点 A、B、C 在O 上,且ACB100,则 15AB 是O 的直径,AB4,OC 是O 的半径,OCAB,点 D 在 AC 上,AD2CD,点 P 是半径 OC 上的一个动点,则 AP+PD 的最小值为 三、解答题(本题共计三、解答题(本题共计 8 小题,共计小题,共计 75 分)分) 16 (8 分)用适当的方法解方程 (1)2x2+3x3; (2)18x+16x228x 17 (9 分)关于 x 的一元二次方程 x2+(2k+1)x+k2+1

6、0 (1)当方程有一个根为1 时,求 k 的值及另一个根; (2)当方程有两个不相等的实数根时,求 k 的取值范围; (3)若方程有两个实数根 x1,x2且满足 x12+x225,求 k 得值 18 (9 分)在边长为 1 个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系,ABC 的顶点都在格 点上,请解答下列问题: (1)作出ABC 向左平移 4 个单位长度后得到的A1B1C1,并写出点 C1的坐标; (2)作出ABC 关于原点 O 对称的A2B2C2,并写出点 C2的坐标;A2B2C2可看作A1B1C1以点 ( , )为旋转中心,旋转 得到的 (3)已知ABC 关于直线 l 对称的A3

7、B3C3的顶点 A3的坐标为(4,2) ,请直接写出直线 l 的函数 解析式 19 (9 分)豫东北机场待建在即,国道 515 围机场绕道而行如图是公路转弯处的一段圆弧,点 O 是这 段圆弧的圆心直径 CDAB 于点 FBE 平分ABC 交 CD 于点 E,AB3km,DF450m (1)求圆的半径; (2)请判断 A、B、E 三点是否在以点 D 为圆心 DE 为半径的圆上?并说明理由 20 (9 分)二次函数 yax2+bx+c(a0)与一次函数 yx+k(k0)的图象如图所示,根据图象解答下列 问题: (1)写出方程 ax2+bx+c0 的两个根; (2)写出不等式 ax2+bx+cxk0

8、 的解集; (3)写出二次函数值 y 随 x 的增大而减小的自变量 x 的取值范围; (4)若方程 ax2+bx+cm 有两个不等的实数根,求 m 的取值范围; 21 (10 分) “双节”8 天长假,瓦岗乡村记忆馆游客急剧增加,为发展农村经济,促进当地农产品销量, 某超市销售的 “火龙岗小杂粮” 原价每件 100 元, 连续两次降价后每件 81 元, 若每次下降的百分率相同 (1)求每次下降的百分率; (2)某超市发现进货价每件 71 元的“火龙岗小杂粮”连续两次降价后,每天可售出 500 件,在进货价 不变的情况下,若每件涨价 1 元,日销售量将减少 20 件现该超市要保证每天盈利 600

9、0 元,且要尽快 减少库存,那么每件“火龙岗小杂粮”售价多少元? (3)在(2)的条件下,若超市想在双节期间获得最大利润,每件“火龙岗小杂粮”售价多少元? 22 (10 分)下面是数学王老师布置的一到课后思考题已知:如图 1,在ABC 中,BAC90,AB AC,点 D 为线段 BC 上一动点(不与端点 B、C 重合) ,以 AD 为边作正方形 ADEF,连接 CF请判 断CF、BC和CD的数量关 系 小明思考了一会儿了,认为可以先证明ABDACF(SAS) ,从而可得出 CF、BC 和 CD 的数量关系 为 (请把正确答案填在横线上) (2)类比探究 如图 2,当点 D 在线段 BC 延长线

10、上时,其他条件不变,请判断 CF、BC 和 CD 三条线段之间的关系, 并说明理由 (3)解决问题 如图 3, 当 D 在线段 BC 反向延长线上时, 且点 A、 F 分别在直线 BC 的两侧, 正方形 ADEF 边长为 2, 对角线 AE、DF 相交于点 O,并连接 OC,并求 OC 的长 23 (11 分)如图在平面直角坐标系中,已知抛物线 yx22x+c 与两坐标轴分别交于 A,B,C 三点,且 OCOB,点 G 是抛物线的顶点 (1)求抛物线的解析式 (2)若点 M 为第四象限内抛物线上一动点,点 M 的横坐标为 m,四边形 OCMB 的面积为 S求 S 关于 m 的函数关系式,并求出

11、 S 的最大值 (3)若点 P 是抛物线上的动点,点 Q 是 x 轴上的动点,判断有几个位置能够使得点 P、Q、A、G 为顶 点的四边形为平行四边形,直接写出相应的点 P 的坐标 2020-2021 学年河南省安阳市汤阴县九年级(上)期中数学试卷学年河南省安阳市汤阴县九年级(上)期中数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题(本题共计一、选择题(本题共计 10 小题,每题小题,每题 3 分,共计分,共计 30 分)分) 1下列说法正确的是( ) A形如 ax2+bx+c0 的方程叫做一元二次方程 B (x+1) (x1)0 是一元二次方程 C方程 x22x1 的常数项为 0 D

12、在一元二次方程中,二次项系数、一次项系数及常数项都不能为 0 【分析】根据一元二次方程的定义及相关概念逐一判断可得 【解答】解:A形如 ax2+bx+c0(a、b、c 均为常数且 a0)的方程叫做一元二次方程,此选项错误; B (x+1) (x1)0,即 x210 是一元二次方程,此选项正确; C方程 x22x1,即 x22x10 的常数项为1,此选项错误; D在一元二次方程中,二次项系数不能为 0,此选项错误; 故选:B 2根据下列表格的对应值: x 0.59 0.60 0.61 0.62 0.63 x2+x 1 0.0619 0.04 0.0179 0.0044 0.0269 判断方程 x

13、2+x10 一个解的取值范围是( ) A0.59x0.60 B0.60 x0.61 C0.61x0.62 D0.62x0.63 【分析】由于 x0.61 时,x2+x10.0179;x0.62 时,x2+x10.0044,则在 0.61 和 0.62 之间有 一个值能使 x2+x1 的值为 0,于是可判断方程 x2+x10 一个解 x 的范围为 0.61x0.62 【解答】解:x0.61 时,x2+x10.0179;x0.62 时,x2+x10.0044, 方程 x2+x10 一个解 x 的范围为 0.61x0.62 故选:C 3数学来源于生活,下列生活中的运动属于旋转的是( ) A国旗上升的

14、过程 B球场上滚动的足球 C工作中的风力发电机叶片 D传输带运输的东西 【分析】根据旋转变换的概念,对选项进行一一分析,排除错误答案 【解答】解:A、国旗上升的过程是平移,不属于旋转,不符合题意; B、球场上滚动的足球属于滚动,不是绕着某一个固定的点转动,不属于旋转,不符合题意; C、工作中的风力发电机叶片,符合旋转变换的定义,属于旋转,符合题意; D、传输带运输的东西是平移,不属于旋转,不符合题意 故选:C 4下列语句中不正确的有( ) 长度相等的弧是等弧; 垂直于弦的直径平分弦; 圆是轴对称图形,任何一条直径都是它的对称轴; 平分弦的直径也必平分弦所对的两条弧; 弦所对的两条弧的中点连线垂

15、直平分弦且过圆心 A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【分析】根据垂径定理和圆的对称性质对各个语句分别判断即可 【解答】解:能够完全重合的弧是等弧, 不正确; 垂直于弦的直径平分弦, 正确; 圆是轴对称图形,任何一条直径所在的直线都是它的对称轴, 不正确; 平分弦(不是直径)的直径也必平分弦所对的两条弧, 不正确 弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦且过圆心, 正确; 不正确的个数有 3 个, 故选:C 5二次函数 y2x24x1 的顶点式是( ) Ay(2x1)22 By2(x1)23 Cy2(x+1)23 Dy2(x+1)2+3 【分析】运用配方法把一般式化为顶点式即可 【解答】解:y2

16、x24x1 2(x1)23, 故选:B 6二次函数 y2x2的图象如何移动,就得到 y2x2+4x+1 的图象( ) A向左移动 1 个单位,向上移动 3 个单位 B向左移动 1 个单位,向下移动 3 个单位 C向右移动 1 个单位,向上移动 3 个单位 D向右移动 1 个单位,向下移动 3 个单位 【分析】利用二次函数的图象的性质 【解答】解:二次函数 y2x2的顶点坐标为(0,0) ,y2x2+4x+1 的顶点坐标为(1,3) , 向右移动 1 个单位,向上移动 3 个单位 故选:C 7半径为 2 的O 中,两条弦 AB2,AC2,BAC 的度数为( ) A45或 60 B105 C15

17、D15或 105 【分析】先根据题意画出符合的两种情况,再解直角三角形求出 OF 和 OG 的长,求出FAO 和GAO 的度数,最后求出答案即可 【解答】解:分为两种情况:如图,弦 AB 和弦 AC 在直径 AE 的同旁时, 过 O 作 OGAB 于 G,OFAC 于 F, OG 和 OF 都过圆心 O,OGAB,OFAC,AB2,AC2, AGAB,AFAC1AO,AGOAFO90, FOA30,OGAG, FAO60,GAO45, BACFAOGAO604515; 当弦 AC 和弦 AB 在直径 AE 的两旁时, 此时BACGAO+FAO60+45105; 所以BAC 的度数是 15或 1

18、05, 故选:D 8如图,点 A、B、C 在O 上,ACB52,则ABO 的度数是( ) A52 B26 C38 D104 【分析】 根据圆周角定理得出AOB2ACB, 求出AOB, 根据等腰三角形的性质得出ABOOAB, 再求出ABO 即可 【解答】解:ACB52, 由圆周角定理得:AOB2ACB104, OAOB, ABOOAB(180AOB)38, 故选:C 9如图,在O 中,直径 CD 垂直弦 AB 于点 E,连接 OB、CB,已知O 的半径为 2,AB,则 BCD 的大小为( ) A30 B45 C60 D15 【分析】首先在直角三角形 OEB 中利用锐角三角函数求得EOB 的度数,

19、然后利用同弧所对的圆心角 和圆周角之间的关系求得BCD 的度数即可 【解答】解:直径 CD 垂直弦 AB 于点 E,AB2, EBAB, O 的半径为 2, sinEOB, EOB60, BCD30 故选:A 10yax2+bx+c(a0)的图象如图,则下列判断正确的有( ) abc0,ba+c,4a+2b+c0,2c3b,a+bm(am+b)且 m1 A2 个 B3 个 C4 个 D5 个 【分析】根据函数图象和二次函数的性质可以判断题目中各个小题是否正确,本题得以解决 【解答】解:由图象可得, a0,b0,c0, abc0,故错误; 当 x1 时,yab+c0, 则 a+cb,故错误; 当

20、 x2 时,y4a+2b+c0,故正确; 当 x1 时,yab+c0, 1, a, , c 即 2c3b,故正确; 当 x1 时,函数取得最大值, a+b+cam2+bm+c(m1) , a+bam2+bm, 即 a+bm(am+b) ,故正确; 故选:B 二、填空题(本题共计二、填空题(本题共计 5 小题,每题小题,每题 3 分,共计分,共计 15 分)分) 11若 y(m+2)x+mx+1 是关于自变量 x 的二次函数,则 m 2 【分析】根据二次函数的定义条件列出方程与不等式求解即可 【解答】解:根据二次函数的定义,得: m222, 解得 m2 或 m2, 又m+20, m2, 当 m2

21、 时,这个函数是二次函数 故答案是:2 12已知关于 x 的二次函数 ymx22x+1,当 x时,y 的值随 x 的增大而减小,则 m 的取值范围为 0 m5 【分析】根据对称轴的左侧的增减性,可得 m0,根据增减性,可得对称轴大于或等于,可得答案 【解答】解:由当 x时,y 的值随 x 的增大而减小可知,抛物线开口向上,m0, 且对称轴, 解得 m5, 故答案为:0m5 13如图,四边形 ABCD 是面积为 25 的正方形,E 是 DC 上一点,DE1,将ADE 绕着点 A 顺时针旋转 到与ABF 重合,则 EF 的长为 2 【分析】由旋转的性质可得 DEBF1,DABF90,可证点 F,点

22、 B,点 C 共线,由勾股定 理可求解 【解答】解:正方形 ABCD 的面积为 25, ABBCCDAD5, DE1, CE4, 将ADE 绕着点 A 顺时针旋转到与ABF 重合, DEBF1,DABF90, ABF+ABC180, 点 F,点 B,点 C 共线, CF5+16, EF2, 故答案为:2 14如图,在O 中,点 A、B、C 在O 上,且ACB100,则 160 【分析】在优弧上取一点 E,连接 AE、BE,根据圆内接四边形的性质得出ACB+AEB180, 求出AEB80,根据圆周角定理得出AEBAOB,即可求出结论 【解答】解:如图,在优弧上取一点 E,连接 AE、BE, A、

23、C、B、E 四点共圆, ACB+AEB180, ACB100, AEB80, 由圆周角定理得:AEBAOB, 2AEB160, 故答案为:160 15AB 是O 的直径,AB4,OC 是O 的半径,OCAB,点 D 在 AC 上,AD2CD,点 P 是半径 OC 上的一个动点,则 AP+PD 的最小值为 【分析】 先找出 P 点的位置, 求出CAB45, 求出 AEDE, 根据勾股定理求出 AE 和 DE, 求出 BE, 再根据勾股定理求出 BD,即可得出答案 【解答】解:OCAB,AOBO, A 和 B 关于 OC 对称, 连接 BD,BD 交 OC 于 P,连接 DP,AP,则此时 AP+

24、PD 的值最小, 此时 AP+PDBP+DPBD, AB 是O 的直径, ACB90, OAOB,OCAB, ACBC, CABCBA45, 过 D 作 DEAB 于 E ADECAB45, AEDE, AB 是O 的直径,AB4, AOCO2, 由勾股定理得:AC2, AD2CD, ADAC, AE2+DE2AD2,AEDE, AEDE, BEABAE4, 在 RtDEB 中,由勾股定理得:BD, 即 AP+PD 的最小值为, 故答案为: 三、解答题(本题共计三、解答题(本题共计 8 小题,共计小题,共计 75 分)分) 16 (8 分)用适当的方法解方程 (1)2x2+3x3; (2)18

25、x+16x228x 【分析】 (1)化为一般式,计算,代入求根公式即可; (2)利用因式分解法解方程 【解答】解: (1)2x2+3x3, 2x2+3x30, a2,b3,c3,3242(3)330, x, x1,x2; (2)18x+16x228x, 16x210, (4x+1) (4x1)0, 4x+10 或 4x10, x1,x2 17 (9 分)关于 x 的一元二次方程 x2+(2k+1)x+k2+10 (1)当方程有一个根为1 时,求 k 的值及另一个根; (2)当方程有两个不相等的实数根时,求 k 的取值范围; (3)若方程有两个实数根 x1,x2且满足 x12+x225,求 k

26、得值 【分析】 (1)把 x1 代入方程得到关于 k 的方程,解方程求得 k 的值,从而得到原方程为:x2+3x+2 0,根据根与系数的关系即可求得另一个根 (2)根据判别式的意义得到(2k+1)24(k2+1) ,然后解不等式即可得到 k 的取值范围; (3) 根据根与系数的关系得 x1+x22k1, x1x2k2+1, 利用完全平方公式, 由 x21+x225 得到 (x1+x2) 22x1x2(2k1)22(k2+1)5,整理得 k2+2k30,然后解方程后通过 k 的范围确定 k 的值 【解答】解: (1)把 x1 代入一元二次方程 x2+(2k+1)x+k2+10 得: (1)2(2

27、k+1)+k2+10, 整理得:k22k+10, 解得:k1, 即原方程为:x2+3x+20, x1x22, x11, x22, 即 k 的值为 1,另一个根为2; (2)根据题意得:(2k+1)24(k2+1)4k30, 解得:, 即 k 的取值范围为 (3)根据题意得 x1+x22k1,x1x2k2+1, x21+x225, (x1+x2)22x1x2(2k1)22(k2+1)5, 整理得 k2+2k30,解得 k13,k21, 方程有两个实数根时,k, k1 18 (9 分)在边长为 1 个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系,ABC 的顶点都在格 点上,请解答下列问题:

28、(1)作出ABC 向左平移 4 个单位长度后得到的A1B1C1,并写出点 C1的坐标; (2) 作出ABC 关于原点 O 对称的A2B2C2, 并写出点 C2的坐标; A2B2C2可看作A1B1C1以点 ( 2 , 0 )为旋转中心,旋转 180 得到的 (3)已知ABC 关于直线 l 对称的A3B3C3的顶点 A3的坐标为(4,2) ,请直接写出直线 l 的函数 解析式 【分析】 (1)根据平移的性质即可作出ABC 向左平移 4 个单位长度后得到的A1B1C1; (2)根据轴对称的性质即可作出ABC 关于原点 O 对称的A2B2C2;再根据旋转的性质即可得结论; (3)根据轴对称的性质,根据

29、点 A3的坐标为(4,2) ,即可求出直线 l 的函数解析式 【解答】解: (1)如图,A1B1C1为所作,点 C1的坐标(1,2) ; (2)如图,A2B2C2为所作,C2(3,2) ; A2B2C2可看作A1B1C1以点(2,0)为旋转中心,旋转 180得到的 故答案为:2,0,180; (3)因为 A 的坐标为(2,4) ,A3的坐标为(4,2) , 所以直线 l 的函数解析式为 yx 19 (9 分)豫东北机场待建在即,国道 515 围机场绕道而行如图是公路转弯处的一段圆弧,点 O 是这 段圆弧的圆心直径 CDAB 于点 FBE 平分ABC 交 CD 于点 E,AB3km,DF450m

30、 (1)求圆的半径; (2)请判断 A、B、E 三点是否在以点 D 为圆心 DE 为半径的圆上?并说明理由 【分析】 (1) 连接 OA, 设圆 O 的半径为 rm, 则 OF (r450) m, 由垂径定理得 AFBFAB1500, 在 RtAOF 中,由勾股定理得出方程,解方程即可; (2)利用等弧所对的圆周角相等得BCDABD,再证出DBEDEB,从而证明 ADBDDE, 即可得出结论 【解答】解: (1)连接 OA,如图所示: 设圆 O 的半径为 rm,则 OF(r450)m, 直径 CDAB, AFBFAB1500, 在 RtAOF 中,由勾股定理得:15002+(r450)2r2,

31、 解得:r2725, 即圆的半径为 2725m; (2)A、B、E 三点在以点 D 为圆心 DE 为半径的圆上,理由如下: 直径 CDAB, , BCDABD,ADBD, 又BE 平分ABC, CBEABE, DBEABD+ABE,DEBBCD+CBE, DBEDEB, BDDE ADBDDE, A、B、E 三点在以点 D 为圆心 DE 为半径的圆上 20 (9 分)二次函数 yax2+bx+c(a0)与一次函数 yx+k(k0)的图象如图所示,根据图象解答下列 问题: (1)写出方程 ax2+bx+c0 的两个根; (2)写出不等式 ax2+bx+cxk0 的解集; (3)写出二次函数值 y

32、 随 x 的增大而减小的自变量 x 的取值范围; (4)若方程 ax2+bx+cm 有两个不等的实数根,求 m 的取值范围; 【分析】观察函数图象即可求解 【解答】解: (1)从图象看,方程 ax2+bx+c0 的两个根为 x3 或1; (2)从图象看,3x0.5 时,ax2+bx+cx+k,即 ax2+bx+cxk0; (3)从图象看 x2 时,y 随 x 的增大而减小; (4)设 ym,当 m2 时,ym 与 yax2+bx+c 有两个交点, 故 m2 21 (10 分) “双节”8 天长假,瓦岗乡村记忆馆游客急剧增加,为发展农村经济,促进当地农产品销量, 某超市销售的 “火龙岗小杂粮”

33、原价每件 100 元, 连续两次降价后每件 81 元, 若每次下降的百分率相同 (1)求每次下降的百分率; (2)某超市发现进货价每件 71 元的“火龙岗小杂粮”连续两次降价后,每天可售出 500 件,在进货价 不变的情况下,若每件涨价 1 元,日销售量将减少 20 件现该超市要保证每天盈利 6000 元,且要尽快 减少库存,那么每件“火龙岗小杂粮”售价多少元? (3)在(2)的条件下,若超市想在双节期间获得最大利润,每件“火龙岗小杂粮”售价多少元? 【分析】 (1)设每次下降的百分率为 a,根据题意,得:100(1a)281,即可求解; (2)设每件应涨价 x 元,由题意得: (8171+x

34、) (50020 x)6000,进而求解; (3)由题意得:y8(8171+x) (50020 x) ,即 y160 x2+2400 x+40000160(x7.5)2+6125, 即可求解 【解答】解: (1)设每次下降的百分率为 a,根据题意,得:100(1a)281, 解得:a1.9(舍)或 a0.110%, 答:每次下降的百分率为 10%; (2)设每件应涨价 x 元,由题意得: (8171+x) (50020 x)6000, 整理,得 x215x+500, 解得:x15,x210, 要尽快减少库存, 舍去 x10,故 x5, 该商场要保证每天盈利 6000 元,且要尽快减少库存,那么

35、每件应涨价 5 元,售价 86 元 答:每件“火龙岗小杂粮”售价 86 元; (3)设每件应涨价 x 元,双节期间获得利润为 y 元, 由题意得:y8(8171+x) (50020 x) ,即 y160 x2+2400 x+40000160(x7.5)2+6125, 答:那么每件应涨价 7.5 元,即售价 88.5 元该商场双节期间盈利最多 6125 元 22 (10 分)下面是数学王老师布置的一到课后思考题已知:如图 1,在ABC 中,BAC90,AB AC,点 D 为线段 BC 上一动点(不与端点 B、C 重合) ,以 AD 为边作正方形 ADEF,连接 CF请判 断CF、BC和CD的数量

36、关 系 小明思考了一会儿了,认为可以先证明ABDACF(SAS) ,从而可得出 CF、BC 和 CD 的数量关系 为 CF+CDBC (请把正确答案填在横线上) (2)类比探究 如图 2,当点 D 在线段 BC 延长线上时,其他条件不变,请判断 CF、BC 和 CD 三条线段之间的关系, 并说明理由 (3)解决问题 如图 3, 当 D 在线段 BC 反向延长线上时, 且点 A、 F 分别在直线 BC 的两侧, 正方形 ADEF 边长为 2, 对角线 AE、DF 相交于点 O,并连接 OC,并求 OC 的长 【分析】 (1)ABC 是等腰直角三角形,利用 SAS 即可证明BADCAF,从而证得

37、CFBD,据此 即可证得; (2)同(1)相同,利用 SAS 即可证得BADCAF,从而证得 BDCF,即可得到 CFCDBC; (3)首先证明BADCAF,FCD 是直角三角形,然后根据正方形的性质即可求得 DF 的长,则 OC 即可求得 【解答】解: (1)BAC90,ABC45, ACBABC45, ABAC, 四边形 ADEF 是正方形, ADAF,DAF90, BAD90DAC,CAF90DAC, BADCAF, 则在BAD 和CAF 中, , BADCAF(SAS) , BDCF, BD+CDBC, CF+CDBC; 故答案为:CF+CDBC; (2)四边形 ADEF 为正方形,

38、ADAF,DAF90 BAC90, BAC+DACDAF+DAC, 即BADCAF, 在ABD 和ACF 中, ABDACF(SAS) , BDCF, CFBC+CD; (3)BAC90,ABC45, ACBABC45, ABAC, 四边形 ADEF 是正方形, ADAF,DAF90, BAD90BAF,CAF90BAF, BADCAF, 在BAD 和CAF 中, , BADCAF(SAS) , ACFABD, ABC45, ABD135, ACFABD135, FCD90, FCD 是直角三角形 正方形 ADEF 的边长为 2且对角线 AE、DF 相交于点 O DFAD4,O 为 DF 中点

39、 OCDF2 23 (11 分)如图在平面直角坐标系中,已知抛物线 yx22x+c 与两坐标轴分别交于 A,B,C 三点,且 OCOB,点 G 是抛物线的顶点 (1)求抛物线的解析式 (2)若点 M 为第四象限内抛物线上一动点,点 M 的横坐标为 m,四边形 OCMB 的面积为 S求 S 关于 m 的函数关系式,并求出 S 的最大值 (3)若点 P 是抛物线上的动点,点 Q 是 x 轴上的动点,判断有几个位置能够使得点 P、Q、A、G 为顶 点的四边形为平行四边形,直接写出相应的点 P 的坐标 【分析】 (1)用待定系数法即可求解; (2)由 S 四边形SMBC+SOCB(m2+3m)+,即可

40、求解; (3)分 AG 是边、AG 是对角线两种情况,利用平移的性质和中线定理即可求解 【解答】解: (1)抛物线 yx22x+c 与 y 轴交于点 C, 点 C 的坐标为(0,c) , (c0) , OCOB,且点 B 在 x 的正半轴上, 点 B 的坐标为(c,0) 抛物线 yx22x+c 经过点 B, (c)22(c)+c0 解得:c10(舍去) ,c23 抛物线解析式为 yx22x3; (2)连接 BC,过点 M 作 MD 平行于 y 轴,交 BC 于点 D, 设直线 BC 的解析式为 ykx+b, 把点 B(3,0)和点 C (0,3)的坐标代入解析式得:,解得, 直线 BC 的解析

41、式为 yx3 抛物线解析式为 yx22x3, M(m,m22m3) ,点 D(m,m3) , MDm3(m22m3)m2+3m, SSMBC+SOCB(m2+3m)+, , (3)有两个位置满足条件,此时 P 为(1+,4)或(1,4) 设点 P(m,m22m3) ,点 N(1,n) , 由抛物线的表达式知,点 G(1,4) , 而点 A、C 的坐标分别为(1,0) 、 (2,3) , 当 AG 是边时, 点 A 向右平移 2 个单位向下平移 4 个单位得到点 G,同样,点 P(Q)向右平移 2 个单位向下平移 4 个 单位得到点 Q(P) , 故 m22m340 或 m22m3+40, 解得 m2或 1(舍去 1) , 故点 P 的坐标为(1+2,4)或(12,4) ; 当 AG 是对角线时, 由中点公式得:(04)(m22m3+0) ,解得 m1(舍去) ; 综上,点 P 的坐标为(1+2,4)或(12,4)