1、2020-2021 学年山西省晋中市寿阳县九年级（上）期中数学试卷学年山西省晋中市寿阳县九年级（上）期中数学试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 30 分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合 题目要求，把正确答案的标号用题目要求，把正确答案的标号用 2B 铅笔填（涂）在答题卡内相应的位置上）铅笔填（涂）在答题卡内相应的位置上） 1下列关于 x 的方程中，一定是一元二次方程的为（ ） Aax2+bx+c0 Bx22（x+3）2 C Dx22 2用配方法解一元二次方程 x24x+10
2、时，下列变形正确的是（ ） A （x2）21 B （x2）25 C （x+2）23 D （x2）23 3若 123k0，则关于 x 的一元二次方程 x2+4x+k0 的根的情况是（ ） A有两个相等的实数根 B有两个不相等的实数根 C没有实数根 D无法判断 4若 a、b、c、d 是成比例线段，其中 a5cm，b2.5cm，c10cm，则线段 d 的长为（ ） A2cm B4cm C5cm D6cm 5如图，已知 ABCDEF，BD：DF1：2，那么下列结论中，正确的是（ ） AAC：AE1：3 BCE：EA1：3 CCD：EF1：2 DAB：EF1：2 6如图，下列选项中不能判定ACDABC
3、的是（ ） AAC2ADAB BBC2BDAB CACDB DADCACB 7如图，在 RtACB 中，ACB90，ACBC，点 D 是 AB 上的一个动点（不与点 A，B 重合） ，连接 CD，将 CD 绕点 C 顺时针旋转 90得到 CE，连接 DE，DE 与 AC 相交于点 F，连接 AE，则图中与 ACE 全等或相似的三角形有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 8国家统计局统计数据显示，我国快递业务收入逐年增加2017 年至 2019 年我国快递业务收入由 5000 亿 元增加到 7500 亿元 设我国 2017 年至 2019 年快递业务收入的年平均增长率为 x， 则可列
4、方程为 （ ） A5000（1+2x）7500 B50002（1+x）7500 C5000（1+x）27500 D5000+5000（1+x）+5000（1+x）27500 9数学老师拿出四张卡片，背面完全一样，正面分别画有：矩形、菱形、等边三角形、圆背面朝上洗匀后 先让小明抽出一张，记下形状后放回，洗匀后再让小亮抽出一张请你计算出两次都抽到既是中心对称图 形又是轴对称图形的概率是（ ） A B C D 10如图，已知点 E 是正方形 ABCD 的边 AB 边上的黄金分割点，且 AEEB，若 S1表示 AE 为边长的正方 形面积， S2表示以 BC 为长， BE 为宽的矩形面积， S3表示正方
5、形 ABCD 除去 S1和 S2剩余的面积， 则 S3： S2的值为（ ） A B C D 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，共分，共 15 分）分） 11一元二次方程（x+1）2x+1 的根是 12若，则 13在一个不透明的布袋中装有 52 个白球和若干个黑球，除颜色外其他都相同，小强每次摸出一个球记录 下颜色后并放回，通过多次试验后发现，摸到黑球的频率稳定在 0.2 左右，则布袋中黑球的个数可能 有 14如图，已知 DC 为ACB 的平分线，DEBC若 AD8，BD10，BC15，求 EC 的长 15如图，在直角坐标系中，A，B 两点的坐标分别为（8，0）和（0，6） ，点 C
6、 为 AB 的中点，点 D 在 x 轴上，当 D 点坐标为 时，由点 A，C，D 组成的三角形与AOB 相似 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 8 小题，共小题，共 75 分解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤分解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 16 （16 分）解下列方程： （1）x22x50； （2）3x242x； （3）2（x3）2x（x3） ； （4） （x+4）2（52x）2 17 （7 分）关于 x 的一元二次方程 x22（m+1）x+m2+50 有实数根 （1）求 m 的取值范围； （2）已知等腰ABC 的底边长为 4，另两边的长恰好是方程的
7、两个根，求ABC 的周长 18 （8 分）为了解疫情期间学生网络学习的学习效果，东坡中学随机抽取了部分学生进行调查要求每位 学生从“优秀” ， “良好” ， “一般” ， “不合格”四个等次中，选择一项作为自我评价网络学习的效果现 将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题： （1）这次活动共抽查了 人 （2）将条形统计图补充完整，并计算出扇形统计图中，学习效果“一般”的学生人数所在扇形的圆心角 度数 （3）张老师在班上随机抽取了 4 名学生，其中学习效果“优秀”的 1 人， “良好”的 2 人， “一般”的 1 人，若再从这 4 人中随机抽取 2 人，请用画树状
8、图法，求出抽取的 2 人学习效果全是“良好”的概率 19 （8 分）如图，在矩形 ABCD 中，E 为 AD 边上的一点，过 C 点作 CFCE 交 AB 的延长线于点 F （1）求证：CDECBF； （2）若 B 为 AF 的中点，CB3，DE1，求 CD 的长 20 （8 分）如图 1，有一张长 40cm，宽 20cm 的长方形硬纸片，裁去角上 2 个小正方形和 2 个小长方形（图 中阴影部分）之后，恰好折成如图 2 的有盖纸盒 （1）若纸盒的高是 3cm，求纸盒底面长方形的长和宽； （2）若纸盒的底面积是 150cm2，求纸盒的高 21 （8 分）某水果店进口一种高档水果，卖出每斤水果盈
9、利（毛利润）5 元，每天可卖出 1000 斤，经市场 调查后发现，在进价不变的情况下，若每斤售价涨 0.5 元，每天销量将减少 40 斤 （1）若以每斤盈利 9 元的价钱出售，则每天能盈利 元 （2）若水果店想保证每天销售这种水果的毛利润为 6000 元，同时又要使顾客觉得价不太贵，则每斤水 果涨价后的定价为多少元？ 解：方法一：设每斤水果应涨价 x 元，由题意，得方程 ； 方法二：设每斤水果涨价后的盈利为 x 元，由题意，得方程： 请你选择一种方法完成解答 22 （8 分）阅读下列材料，完成相应学习任务： 相似四边形如果两个四边形的角分别相等，边成比例，那么这两个四边形叫做相似四边形 如图
10、1 中，两个四边形 ABCD 和 ABCD中，如果AA、BB、CC、DD， ，则四边形 ABCD四边形 ABCD 类比判定两相似三角形，我们也可以用较少的条件判定两个四边形相似 判定：四边对应成比例且有一个角对应相等的两个四边形相似 已知：如图 2，在四边形 ABCD 和 ABCD中，AA 求证：四边形 ABCD四边形 ABCD 证明：分别连接 BD、BD， 学习任务： （1）请将材料中判定方法的证明过程补充完整； （2）判断下面命题是否正确？若不正确，请举出反例 四个角分别相等的两个四边形相似； 四条边对应成比例的两个四边形相似； 23 （12 分） 【问题情境】 （1）如图 1，在等边AB
11、C 中，点 M 是 BC 边上的任意一点（不含端点 B，C） ，连结 AM，以 AM 为边 作等边AMN，连结 CN，则线段 BM 与 CN 之间的数量关系是 【类比探究】 （2）如图 2，在等边ABC 中，点 M 是 BC 延长线上的任意一点（不含端点 C） ，其它条件不变， （1） 中结论还成立吗？请说明理由 【拓展延伸】 （3）如图 3，在等腰ABC 中，BABC6，AC4，点 M 是 BC 边上的任意一点（不含端点 B，C） ， 连结 AM， 以 AM 为边作等腰AMN， 使顶角AMNABC 连结 CN 试探究 BM 与 CN 的数量关系， 并说明理由 2020-2021 学年山西省晋
12、中市寿阳县九年级（上）期中数学试卷学年山西省晋中市寿阳县九年级（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 30 分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合 题目要求，把正确答案的标号用题目要求，把正确答案的标号用 2B 铅笔填（涂）在答题卡内相应的位置上）铅笔填（涂）在答题卡内相应的位置上） 1下列关于 x 的方程中，一定是一元二次方程的为（ ） Aax2+bx+c0 Bx22（x+3）2 C Dx22 【分析】一元二次方程必须满足两个条件
13、： （1）未知数的最高次数是 2； （2）二次项系数不为 0 【解答】解：A、当 a0 时，该方程不是一元二次方程，故本选项不符合题意 B、由已知方程得到 6x+110，属于一元一次方程，故本选项不符合题意 C、该方程属于分式方程，故本选项不符合题意 D、该方程符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意 故选：D 2用配方法解一元二次方程 x24x+10 时，下列变形正确的是（ ） A （x2）21 B （x2）25 C （x+2）23 D （x2）23 【分析】移项，配方，即可得出选项 【解答】解：x24x+10， x24x1， x24x+41+4， （x2）23， 故选：D 3若 123k0
14、，则关于 x 的一元二次方程 x2+4x+k0 的根的情况是（ ） A有两个相等的实数根 B有两个不相等的实数根 C没有实数根 D无法判断 【分析】先计算判别式的值，再利用 k 的范围得到0，然后根据判别式的意义进行判断 【解答】解：424k 164k， 123k0， k4， 164k0，即0， 方程无实数根 故选：C 4若 a、b、c、d 是成比例线段，其中 a5cm，b2.5cm，c10cm，则线段 d 的长为（ ） A2cm B4cm C5cm D6cm 【分析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段根据定义 ad cb，将 a，b 及 c 的值代入即可求得
15、 d 【解答】解：已知 a，b，c，d 是成比例线段， 根据比例线段的定义得：adcb， 代入 a5cm，b2.5cm，c10cm， 解得：d5 故线段 d 的长为 5cm 故选：C 5如图，已知 ABCDEF，BD：DF1：2，那么下列结论中，正确的是（ ） AAC：AE1：3 BCE：EA1：3 CCD：EF1：2 DAB：EF1：2 【分析】三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，据此可得结论 【解答】解：ABCDEF，BD：DF1：2， AC：AE1：3，故 A 选项正确； CE：EA2：3，故 B 选项错误； CD：EF 的值无法确定，故 C 选项错误； AB：EF 的值无法确定
16、，故 D 选项错误； 故选：A 6如图，下列选项中不能判定ACDABC 的是（ ） AAC2ADAB BBC2BDAB CACDB DADCACB 【分析】根据相似三角形的判定定理逐个判断即可 【解答】解：A、AC2ADAB， ， AA， ACDABC，故本选项不符合题意； B、BC2BDAB， ， 添加AA，不能推出ACDABC，故本选项符合题意； C、AA，ACDB， ACDABC，故本选项不符合题意； D、AA，ADCACB， ACDABC，故本选项不符合题意； 故选：B 7如图，在 RtACB 中，ACB90，ACBC，点 D 是 AB 上的一个动点（不与点 A，B 重合） ，连接 C
17、D，将 CD 绕点 C 顺时针旋转 90得到 CE，连接 DE，DE 与 AC 相交于点 F，连接 AE，则图中与 ACE 全等或相似的三角形有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【分析】先证明ACEBCD，得CAECEF45，再证明ACEECF，最后证明ACE ADF，便可得结论 【解答】解：将 CD 绕点 C 顺时针旋转 90得到 CE， CECB，ACBDCE90， BCDACE， 在ACE 和BCD 中， ， ACEBCD（SAS） ； CAEBCEF45， ACEECF， ACEECF； FADFEC45，AFDEFC， ADFACE， DAFCAE45， ACEADF，
18、 综上，图中与ACE 全等或相似的三角形有 3 个 故选：C 8国家统计局统计数据显示，我国快递业务收入逐年增加2017 年至 2019 年我国快递业务收入由 5000 亿 元增加到 7500 亿元 设我国 2017 年至 2019 年快递业务收入的年平均增长率为 x， 则可列方程为 （ ） A5000（1+2x）7500 B50002（1+x）7500 C5000（1+x）27500 D5000+5000（1+x）+5000（1+x）27500 【分析】根据题意可得等量关系：2017 年的快递业务量（1+增长率）22019 年的快递业务量，根据 等量关系列出方程即可 【解答】解：设我国 20
19、17 年至 2019 年快递业务收入的年平均增长率为 x， 由题意得：5000（1+x）27500， 故选：C 9数学老师拿出四张卡片，背面完全一样，正面分别画有：矩形、菱形、等边三角形、圆背面朝上洗匀后 先让小明抽出一张，记下形状后放回，洗匀后再让小亮抽出一张请你计算出两次都抽到既是中心对称图 形又是轴对称图形的概率是（ ） A B C D 【分析】用列表法或画出树状图列出可能的情况，让两次摸牌的牌面图形既是中心对称图形又是轴对称 图形的情况数除以总情况数即为所求的概率 【解答】解：记矩形、菱形、等边三角形、圆分别为 A、B、C、D， 列表如下： A B C D A （A，A） （A，B）
20、（A，C） （A，D） B （B，A） （B，B） （B，C） （B，D） C （C，A） （C，B） （C，C） （C，D） D （D，A） （D，B） （D，C） （D，D） 从表中可以得到， 两次摸牌所有可能出现的结果共有 16 种， 其中既是中心对称图形又是轴对称图形的有 9 种 两次都抽到既是中心对称图形又是轴对称图形的概率是， 故选：C 10如图，已知点 E 是正方形 ABCD 的边 AB 边上的黄金分割点，且 AEEB，若 S1表示 AE 为边长的正方 形面积， S2表示以 BC 为长， BE 为宽的矩形面积， S3表示正方形 ABCD 除去 S1和 S2剩余的面积， 则 S3：
21、 S2的值为（ ） A B C D 【分析】根据黄金分割的定义：把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC（ACBC） ，且使 AC 是 AB 和 BC 的 比例中项，叫做把线段 AB 黄金分割，点 C 叫做线段 AB 的黄金分割点其中 ACAB，进行计算 即可 【解答】解：如图，设 AB1， 点 E 是正方形 ABCD 的边 AB 边上的黄金分割点，且 AEEB， AEGF， BEFHABAE， S3：S2（GFFH） ： （BCBE） （） ： （1） 故选：A 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，共分，共 15 分）分） 11一元二次方程（x+1）2x+1 的根是 x10，x2
22、1 【分析】利用因式分解法求解可得 【解答】解：（x+1）2x+1， （x+1）2（x+1）0， 则 x（x+1）0， x0 或 x+10， 解得 x10，x21， 故答案为：x10，x21 12若，则 【分析】依据，即可得到 3x7y，再根据比例的性质，即可得到 【解答】解：， 4x6yx+y， 3x7y， ， 故答案为： 13在一个不透明的布袋中装有 52 个白球和若干个黑球，除颜色外其他都相同，小强每次摸出一个球记录 下颜色后并放回，通过多次试验后发现，摸到黑球的频率稳定在 0.2 左右，则布袋中黑球的个数可能有 13 【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概
23、率附近，可以从比例关系 入手，设出未知数列出方程求解 【解答】解：设袋中有黑球 x 个， 由题意得：0.2， 解得：x13， 经检验 x13 是原方程的解， 则布袋中黑球的个数可能有 13 个 故答案为：13 14如图，已知 DC 为ACB 的平分线，DEBC若 AD8，BD10，BC15，求 EC 的长 【分析】先由角平分线的定义及平行线的性质求得EDCECD，从而 ECDE；再 DEBC，证得 ADEABC，然后根据相似三角形的性质列出比例式，求得 DE 的长，即为 EC 的长 【解答】解：DC 为ACB 的平分线 BCDECD DEBC EDCBCD EDCECD ECDE AD8，BD
24、10 AB18 DEBC ADEABC AD8，AB18，BC15 DE EC 故答案为： 15如图，在直角坐标系中，A，B 两点的坐标分别为（8，0）和（0，6） ，点 C 为 AB 的中点，点 D 在 x 轴上，当 D 点坐标为 （4，0）或（，0） 时，由点 A，C，D 组成的三角形与AOB 相似 【分析】首先根据题意求得 AB 与 AC 的长，然后分别从当，即时，ACDABO 与 当，即时，ACDAOB 去分析求解即可求得答案 【解答】解：在直角坐标系中，A，B 两点的坐标分别为（8，0）和（0，6） ， OA8，OB6， AB10， 点 C 为 AB 的中点， ACAB5， OAB
25、是公共角， 如图 1，当，即时，ACDABO， 解得：AD4， ODABAD4， 点 D（4，0） ； 如图 2，当，即时，ACDAOB， 解得：AD， ODOAAD， 点 D（，0） ； 当 D 点坐标为（4，0）或（，0）时，由点 A，C，D 组成的三角形与AOB 相似 故答案为： （4，0）或（，0） 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 8 小题，共小题，共 75 分解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤分解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 16 （16 分）解下列方程： （1）x22x50； （2）3x242x； （3）2（x3）2x（x3） ； （4）
26、 （x+4）2（52x）2 【分析】 （1）利用配方法求解即可； （2）整理成一般式，再利用公式法求解即可； （3）利用因式分解法求解即可； （4）利用直接开平方法求解即可 【解答】解： （1）x22x5， x22x+15+1，即（x1）26， 则 x1， x11+，x21； （2）3x2+2x40， a3，b2，c4， 则2243（4）520， x， 即 x1，x2； （3）2（x3）2x（x3）0， （x3） （x6）0， 则 x30 或 x60， 解得 x13，x26； （4）（x+4）2（52x）2， x+452x 或 x+42x5， 解得 x1，x29 17 （7 分）关于 x 的一
27、元二次方程 x22（m+1）x+m2+50 有实数根 （1）求 m 的取值范围； （2）已知等腰ABC 的底边长为 4，另两边的长恰好是方程的两个根，求ABC 的周长 【分析】 （1）利用判别式的意义得到4（m+1）24（m2+5）0，然后解不等式即可； （2）根据等腰三角形的性质和判别式的意义得到4（m+1）24（m2+5）0，解得 m2，此时方 程为 x26x+90，然后解方程后计算三角形的周长 【解答】解： （1）根据题意得4（m+1）24（m2+5）0， 解得 m2； （2）等腰ABC 的底边长为 4，另两边的长恰好是方程的两个根， 方程有两个相等的实数解， 4（m+1）24（m2+5
28、）0，解得 m2， 此时方程为 x26x+90，解得 x1x23， ABC 的周长3+3+410 18 （8 分）为了解疫情期间学生网络学习的学习效果，东坡中学随机抽取了部分学生进行调查要求每位 学生从“优秀” ， “良好” ， “一般” ， “不合格”四个等次中，选择一项作为自我评价网络学习的效果现 将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题： （1）这次活动共抽查了 200 人 （2）将条形统计图补充完整，并计算出扇形统计图中，学习效果“一般”的学生人数所在扇形的圆心角 度数 （3）张老师在班上随机抽取了 4 名学生，其中学习效果“优秀”的 1 人， “良好”
29、的 2 人， “一般”的 1 人，若再从这 4 人中随机抽取 2 人，请用画树状图法，求出抽取的 2 人学习效果全是“良好”的概率 【分析】 （1）由“良好”的人数及其所占百分比可得总人数； （2）求出“不合格”的学生人数为 20 人，从而补全条形统计图；由 360乘以学习效果“一般”的学 生人数所占的百分比即可； （3）画出树状图，利用概率公式求解即可 【解答】解： （1）这次活动共抽查的学生人数为 8040%200（人） ； 故答案为：200； （2） “不合格”的学生人数为 20040806020（人） ， 将条形统计图补充完整如图： 学习效果“一般”的学生人数所在扇形的圆心角度数为 3
30、60108； （3）把学习效果“优秀”的记为 A， “良好”记为 B， “一般”的记为 C， 画树状图如图： 共有 12 个等可能的结果，抽取的 2 人学习效果全是“良好”的结果有 2 个， 抽取的 2 人学习效果全是“良好”的概率 19 （8 分）如图，在矩形 ABCD 中，E 为 AD 边上的一点，过 C 点作 CFCE 交 AB 的延长线于点 F （1）求证：CDECBF； （2）若 B 为 AF 的中点，CB3，DE1，求 CD 的长 【分析】 （1） 先利用矩形的性质得D12+390， 然后根据等角的余角相等得到24， 则可判断CDECBF； （2）先BFAB，设 CDBFx，再利用
31、CDECBF，则可根据相似比得到，然后利用比 例性质求出 x 即可 【解答】 （1）证明：四边形 ABCD 是矩形， D12+390， CFCE 4+390 24， CDECBF； （2）解：四边形 ABCD 是矩形， CDAB， B 为 AF 的中点 BFAB， 设 CDBFx CDECBF， ， ， x0， x， 即 CD 的长为 20 （8 分）如图 1，有一张长 40cm，宽 20cm 的长方形硬纸片，裁去角上 2 个小正方形和 2 个小长方形（图 中阴影部分）之后，恰好折成如图 2 的有盖纸盒 （1）若纸盒的高是 3cm，求纸盒底面长方形的长和宽； （2）若纸盒的底面积是 150cm
32、2，求纸盒的高 【分析】 （1）根据纸盒底面长方形的长（长方形硬纸片的长2纸盒的高）2，可求出纸盒底面长 方形的长；根据纸盒底面长方形的宽长方形硬纸片的宽2纸盒的高，可求出纸盒底面长方形的宽； （2）设当纸盒的高为 xcm 时，纸盒的底面积是 150cm2，根据长方形的面积公式结合纸盒的底面积是 150cm2，即可得出关于 x 的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论 【解答】解： （1）纸盒底面长方形的长为（4023）217（cm） ， 纸盒底面长方形的宽为 202314（cm） 答：纸盒底面长方形的长为 17cm，宽为 14cm （2）设当纸盒的高为 xcm 时，纸盒的底面积是 150c
33、m2， 依题意，得：（202x）150， 化简，得：x230 x+1250， 解得：x15，x225 当 x5 时，202x100，符合题意； 当 x25 时，202x300，不符合题意，舍去 答：若纸盒的底面积是 150cm2，纸盒的高为 5cm 21 （8 分）某水果店进口一种高档水果，卖出每斤水果盈利（毛利润）5 元，每天可卖出 1000 斤，经市场 调查后发现，在进价不变的情况下，若每斤售价涨 0.5 元，每天销量将减少 40 斤 （1）若以每斤盈利 9 元的价钱出售，则每天能盈利 6120 元 （2）若水果店想保证每天销售这种水果的毛利润为 6000 元，同时又要使顾客觉得价不太贵，
34、则每斤水 果涨价后的定价为多少元？ 解：方法一：设每斤水果应涨价 x 元，由题意，得方程 （x+5） （100040）6000 ； 方法二：设每斤水果涨价后的盈利为 x 元，由题意，得方程： x1000（x5）0.5406000 请你选择一种方法完成解答 【分析】 （1）根据每斤售价涨 0.5 元则每天销量将减少 40 斤，可求出每斤盈利 9 元时每天的销售量，再 利用总利润每斤利润销售数量，即可求出结论； （2）设每斤水果涨价后的盈利为 x 元，则每天可卖出（100040）斤水果，根据总利润每 斤利润销售数量，即可得出关于 x 的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；设每斤水果涨价 后的
35、盈利为 x 元，根据定价乘以涨价后的实际销量，等于毛利润，从而问题得解 选择其中一个解答即可 【解答】解： （1）100040680（斤） ， 96806120（元） 故答案为：6120 （2）方法一： （x+5） （100040）6000； 方法二：由题意，得方程：x1000（x5）0.5406000 故答案为： （x+5） （100040）600；x1000（x5）0.5406000 选择方法一解答： 设每斤水果涨价后的盈利为 x 元，则每天可卖出（100040）斤水果， 依题意，得： （x+5） （100040）6000， 解得：x12.5，x25 又要使顾客觉得价不太贵， x2.5 答
36、：每斤水果应涨价 2.5 元 22 （8 分）阅读下列材料，完成相应学习任务： 相似四边形如果两个四边形的角分别相等，边成比例，那么这两个四边形叫做相似四边形 如图 1 中，两个四边形 ABCD 和 ABCD中，如果AA、BB、CC、DD， ，则四边形 ABCD四边形 ABCD 类比判定两相似三角形，我们也可以用较少的条件判定两个四边形相似 判定：四边对应成比例且有一个角对应相等的两个四边形相似 已知：如图 2，在四边形 ABCD 和 ABCD中，AA 求证：四边形 ABCD四边形 ABCD 证明：分别连接 BD、BD， 学习任务： （1）请将材料中判定方法的证明过程补充完整； （2）判断下面
37、命题是否正确？若不正确，请举出反例 四个角分别相等的两个四边形相似； 四条边对应成比例的两个四边形相似； 【分析】 （1）先判断出ABDABD，得出ABDABD，ADBADB， ，进而得出BCDBCD，得出CC，CDBCDB，CBDCBD，即可 得出结论 （2）利用长方形和正方形的内角都是 90相等，但不能相似 利用正方形的四边相等，菱形的四边也相等，四边成比例，但不能相似 【解答】 （1）证明：分别连接 BD，BD， ，AA， ABDABD， ABDABD，ADBADB， ， BCDBCD， CC，CDBCDB，CBDCBD， ABCABC，CDACDA， ，AA，CC 四边形 ABCD四边
38、形 ABCD （2）解：不正确， 如正方形和长方形 不正确， 如正方形和菱形 23 （12 分） 【问题情境】 （1）如图 1，在等边ABC 中，点 M 是 BC 边上的任意一点（不含端点 B，C） ，连结 AM，以 AM 为边 作等边AMN，连结 CN，则线段 BM 与 CN 之间的数量关系是 BMCN 【类比探究】 （2）如图 2，在等边ABC 中，点 M 是 BC 延长线上的任意一点（不含端点 C） ，其它条件不变， （1） 中结论还成立吗？请说明理由 【拓展延伸】 （3）如图 3，在等腰ABC 中，BABC6，AC4，点 M 是 BC 边上的任意一点（不含端点 B，C） ， 连结 AM
39、， 以 AM 为边作等腰AMN， 使顶角AMNABC 连结 CN 试探究 BM 与 CN 的数量关系， 并说明理由 【分析】 （1）根据等边三角形的性质得到 ABAC，AMAN，BACMAN60，利用 SAS 定理证 明BAMCAN，根据全等三角形的性质证明即可； （2）仿照（2）的证明方法解答； （3）先证明ABCAMN，得到，进而得到，再证明BAMCAN，根据相 似三角形的性质解答即可 【解答】解： （1）ABC 和AMN 都是等边三角形， ABAC，AMAN，BACMAN60， BACMACMANMAC，即BAMCAN， 在BAM 和CAN 中， ， BAMCAN（SAS） ， BMCN， 故答案为：BMCN； （2）结论成立， 理由如下：ABC 和AMN 都是等边三角形， ABAC，AMAN，BACMAN60， BAC+MACMAN+MAC，即BAMCAN， 在BAM 和CAN 中， ， BAMCAN（SAS） ， BMCN； （3）， 理由如下：ABBC，AMMN， ， AMNABC， ABCAMN， ， ， AMNABC， BACMAN， BAM+MACMAC+CAN， BAMCAN， BAMCAN，