1、第第 13 章章 轴对称轴对称 综合培优训练综合培优训练 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 道小题）道小题） 1. 以下列各组数据为边长，可以构成等腰三角形的是( ) A1，1，2 B1，1，3 C2，2，1 D2，2，5 2. 如图，线段 AB 与 AB(ABAB)不关于直线 l 成轴对称的是( ) 3. 已知等腰三角形的一个角等于 42 ，则它的底角为( ) A42 B69 C69 或 84 D42 或 69 4. 在 ABC 中，与A 相邻的外角是 110 ，要使 ABC 为等腰三角形，则B 的度数是( ) A70 B55 C70 或 55 D70 或 55 或 40 5.
2、 若点 A(2m，2m)和点 B(3n，n)关于 y 轴对称，则 m，n 的值分别为( ) A1，1 B.5 3， 1 3 C5，7 D1 3， 7 3 6. 如图， ABC 是等边三角形，DEBC.若 AB10，BD6，则 ADE 的周长为( ) A4 B12 C18 D30 7. 一条船从海岛 A 出发，以 15 海里/时的速度向正北航行，2 小时后到达海岛 B 处.灯塔 C 在 海岛在海岛 A 的北偏西 42 方向上，在海岛 B 的北偏西 84 方向上.则海岛 B 到灯塔 C 的距离 是（ ） A.15 海里 B.20 海里 C. 30 海里 D.60 海里 8. 如图，直线 l 是一条
3、河，P，Q 是两个村庄.欲在直线 l 上的某处修建一个水泵站 M，向 P，Q 两村供水， 现有如下四种铺设方案， 图中 PM， MQ 表示铺设的管道， 则所需管道最短的是( ) 9. 对于 ABC，嘉淇用尺规进行如下操作： 如图，(1)分别以点 B 和点 C 为圆心，BA，CA 为半径作弧，两弧相交于点 D； (2)作直线 AD 交 BC 边于点 E. 根据嘉淇的操作方法，可知线段 AE 是( ) A ABC 的高线 B ABC 的中线 C边 BC 的垂直平分线 D ABC 的角平分线 10. 如图，以 C 为圆心，大于点 C 到 AB 的距离为半径作弧，交 AB 于点 D，E，再以 D，E
4、为 圆心，大于1 2DE 的长为半径作弧，两弧交于点 F，作射线 CF，则( ) ACF 平分ACB BCFAB CCF 平分 AB DCF 垂直平分 AB 11. (2019广西)如图， 在ABC中，,40ACBCA， 观察图中尺规作图的痕迹， 可知BCG 的度数为 A40 B45 C50 D60 12. 如图，在 ABC 中，BAC72 ，C36 ，BAC 的平分线 AD 交 BC 于点 D，则图中 有等腰三角形( ) A0 个 B1 个 C2 个 D3 个 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 12 道小题）道小题） 13. 如图所示的五角星是轴对称图形，它的对称轴共有_条 14.
5、如图，AOB30 ，点 P 在 OA 上，且 OP2，点 P 关于直线 OB 的对称点是 Q，则 PQ _ 15. 如图，在 ABC 中，AD 为角平分线，若BC60 ，AB8，则 CD 的长为_ 16. 如图，在等边三角形 ABC 中，点 D 在边 AB 上，点 E 在边 AC 上，将 ADE 折叠，使点 A 落在 BC 边上的点 F 处，则BDFCEF_ . 17. 如图，点 P 在AOB 内，M，N 分别是点 P 关于 OA，OB 的对称点，连接 MN 交 OA 于点 E，交 OB 于点 F.若 PEF 的周长是 20 cm，则 MN 的长是_cm. 18. 如图所示，OP 平分AOB，
6、AOP15 ，PCOA，PDOA 于点 D，PC4，则 PD _. 19. 如图， 在 ABC 中，C90 ， DE 是 AB 的垂直平分线，AD 恰好平分BAC.若 DE1， 则 BC 的长是_ 20. 如图， 在ABC 中， AB， AC 的垂直平分线分别交 BC 于点 E， F.若AEF 的周长为 10 cm， 则 BC 的长为 cm. 21. 如图，BO 平分CBA，CO 平分ACB，MN 过点 O 且 MNBC，设 AB12，AC18， 则 AMN 的周长为_ 22. 数学活动课上，两名同学围绕作图问题:“如图，已知直线 l 和直线 l 外一点 P，用直尺和 圆规作直线 PQ，使 P
7、Q直线 l 于点 Q.”分别作出了如图所示的两个图形，其中作法正确 的为图 (填“”或“”). 23. 规律探究如图，BOC9 ，点 A 在 OB 上，且 OA1，按下列要求画图： 以 A 为圆心，1 为半径向右画弧交 OC 于点 A1，得第 1 条线段 AA1； 再以 A1为圆心，1 为半径向右画弧交 OB 于点 A2，得第 2 条线段 A1A2； 再以 A2为圆心，1 为半径向右画弧交 OC 于点 A3，得第 3 条线段 A2A3 这样画下去，直到得第 n 条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则 n_ 24. 现要在三角地带 ABC 内(如图)建一座中心医院， 使医院到 A， B 两
8、个居民小区的距离相等， 并且到公路 AB 和 AC 的距离也相等，请你确定这座中心医院的位置. 三、作图题（本大题共三、作图题（本大题共 2 道小题）道小题） 25. 如图，在公路 l 附近有两个小区 A，B，某商家计划在公路 l 旁修建一个大型超市 M，要求 超市 M 到 A，B 两个小区的距离相等，请你借助尺规在图上找出超市 M 的位置(不写作法， 保留作图痕迹) 26. 分析与操作如图，有公路 l1同侧、l2异侧的两个城镇 A，B，电信部门要修建一座信号发射 塔，按照设计要求，发射塔到两个城镇 A，B 的距离必须相等，到两条公路 l1，l2的距离也必 须相等，发射塔 C 应修建在什么位置
9、？请用尺规作图找出所有符合条件的点，注明点 C 的位 置(保留作图痕迹，不写作法) 四、解答题（本大题共四、解答题（本大题共 6 道小题）道小题） 27. 如图，在 ABC 中，ABAC，A36 ，以 B 为圆心，BC 长为半径作弧，交 AC 于点 D， 连接 BD，求ABD 的度数. 28. （2020 广东）如题20图，在ABC中，点D、E分别是AB、AC边上的点，BD=CE，ABE= ACD，BE与CD相交于点F求证：ABC是等腰三角形 29. 如图， 在 ABC 中， ABC， ACB 的平分线交于点 O， 过点 O 作 EFBC 分别交 AB， AC 于点 E，F. 探究一：猜想图中
10、线段 EF 与 BE，CF 间的数量关系，并证明 探究二：设 AB8，AC6，求 AEF 的周长 探究三：如图，在 ABC 中，ABC 的平分线 BO 与 ABC 的外角平分线 CO 交于点 O， 过点 O 作 EFBC 交 AB 于点 E， 交 AC 于点 F.猜想这时 EF 与 BE， CF 间又是什么数量关系， 并证明 30. 已知：如图，BAC 的平分线与 BC 的垂直平分线 DG 交于点 D，DEAB，DFAC，垂 足分别为 E，F. (1)求证：BECF； (2)若 AF6，BC7，求 ABC 的周长 F E C A B D 31. 如图，已知 Rt ABC 中，ACB90 ，CD
11、AB 于点 D，BAC 的平分线分别交 BC，CD 于点 E，F.求证： CEF 是等腰三角形 32. 如图，在直角坐标系中，ABO 的各顶点的坐标分别为 O(0，0)，A(2a，0)，B(0，-a)，线 段 EF 两端点的坐标分别为 E(-m，a+1)，F(-m，1)(其中 2ama0)，直线 ly 轴交 x 轴于点 P(a，0)，且线段 EF 与 CD 关于 y 轴对称，线段 CD 与 MN 关于直线 l 对称. (1)求点 M，N 的坐标(用含 m，a 的式子表示); (2)ABO 与MFE 能通过平移互相重合吗?若能通过平移互相重合，请你说出一种平移方案 (平移的距离用含 m，a 的式
12、子表示). 第第 13 章章 轴对称轴对称 综合培优训练综合培优训练-答案答案 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 道小题）道小题） 1. 【答案】【答案】C 2. 【答案】【答案】A 3. 【答案】【答案】D 解析 在等腰三角形中，当一个锐角在未指明为顶角还是底角时，一定要分类 讨论 42的角为等腰三角形的底角； 42 的角为等腰三角形的顶角，则底角为(180 42 ) 269 .所以底角为 42 或 69 . 4. 【答案】【答案】D 解析 由题意得，A70 ，当BA70 时， ABC 为等腰三角形； 当B55 时，可得C55 ，BC， ABC 为等腰三角形； 当B40 时，可
13、得C70 A， ABC 为等腰三角形 5. 【答案】【答案】C 解析 点 A(2m，2m)和点 B(3n，n)关于 y 轴对称，2m3n0，2 mn，解得 m5，n7. 6. 【答案】【答案】B 解析 ABC 为等边三角形，ABC60 .DEBC，ADE B60 ，AEDC60 .ADE 为等边三角形AB10，BD6，ADAB BD1064.ADE 的周长为 4 312. 7. 【答案】【答案】C 【解析】根据题意画图，如图，A=42 ，DBC=84 ，AB=15 2=30(海里), C=DBC-A=42 ,BC=BA=30(海里). 8. 【答案】【答案】D 9. 【答案】【答案】A 10.
14、 【答案】【答案】B 11. 【答案】【答案】C 【解析】由作法得CGAB，ABAC，CG平分 ACB，AB ， 1804040100ACB， 1 50 2 BCGACB故选 C 12. 【答案】【答案】D 解析 BAC72 ，C36 ， ABC72 .BACABC. CACB. ABC 是等腰三角形 BAC 的平分线 AD 交 BC 于点 D， DABCAD36 . CADC.CDAD， ACD 是等腰三角形 ADBCADC72 ，ADBB.ADAB. ADB 是等腰三角形 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 12 道小题）道小题） 13. 【答案】【答案】5 解析 如图，五角星的对称
15、轴共有 5 条 14. 【答案】【答案】2 解析 如图，连接 OQ. 点 P 关于直线 OB 的对称点是 Q， OB 垂直平分 PQ. POBQOB30 ，OPOQ.POQ60 . POQ 为等边三角形PQOP2. 15. 【答案】【答案】4 解析 BC60 ，BAC60 .ABC 为等边三角形AB8， BCAB8.AD 为角平分线，BDCD.CD4. 16. 【答案】【答案】120 解析 由于 ABC 是等边三角形，所以A60 . 所以ADEAED120 . 因为将 ADE 折叠，使点 A 落在 BC 边上的点 F 处，所以ADEEDF，AEDDEF. 所以ADFAEF2(ADEAED)24
16、0 . 所以BDFCEF360 (ADFAEF)120 . 17. 【答案】【答案】20 18. 【答案】【答案】2 解析 过点 P 作 PEOB 于点 E. AOPBOP，PDOA，PEOB， PEPD. BOPAOP15 ，AOB30 . PCOA，BCPAOB30 . 在 Rt PCE 中，PE1 2PC 1 2 42. PDPE2.故答案是 2. 19. 【答案】【答案】3 解析 AD 平分BAC，且 DEAB，C90 ，CDDE1. DE 是 AB 的垂直平分线，ADBD. BDAB. DABCAD， CADDABB. C90 ，CADDABB90 . B30 .BD2DE2. BC
17、BDCD213. 20. 【答案】【答案】10 解析 AB，AC 的垂直平分线分别交 BC 于点 E，F，AE=BE，AF=CF. BC=BE+EF+CF=AE+EF+AF=10 cm. 21. 【答案】【答案】30 解析 MNBC，MOBOBC. OBMOBC， MOBOBM. MOMB.同理 NONC. AMN 的周长AMMOANNOAMMBANNCABAC30. 22. 【答案】【答案】 23. 【答案】【答案】9 24. 【答案】【答案】解:作线段 AB 的垂直平分线 EF，作BAC 的平分线 AM，EF 与 AM 相交于点 P， 则点 P 处即为这座中心医院的位置. 三、作图题（本大
18、题共三、作图题（本大题共 2 道小题）道小题） 25. 【答案】【答案】 解：如图，点 M 为所作 26. 【答案】【答案】 如图所示，作两条公路夹角的平分线 OD，OE； 作线段 AB 的垂直平分线 FG，则射线 OD，OE 与直线 FG 的交点 C1，C2即为所求的位置 四、解答题（本大题共四、解答题（本大题共 6 道小题）道小题） 27. 【答案】【答案】 解：ABAC，A36 ， ABCACB72 . BCBD，BDCBCD72 . DBC36 . ABDABCDBC36 . 28. 【答案】【答案】 证明：在BFD 和CFE 中，ABE=ACD，DFB=CFE，BD=CE， BFDC
19、FE（AAS）.DBF=ECF.ABE=ACDDBF+ABE=ECF+ ACD. ABC=ACB. AB=AC. ABC 是等腰三角形. 【解析】先利用三角形边边角的判定方法证明DBF=ECF，再根据等式的性质，加上相等 角得到ABC=ACB，等角对等边，得到 AB=AC.根据等腰三角形定义得到 ABC 是等腰 三角形. 29. 【答案】【答案】 解：探究一： 猜想：EFBECF.证明如下： BO 平分ABC，ABOCBO. EFBC，EOBCBO. ABOEOB.BEOE. 同理：OFCF，EFOEOFBECF. 探究二：C AEFAEEFAFAE(OEOF)AF(AEBE)(AFCF)AB
20、AC8 614. 探究三： 猜想：EFBECF. 证明如下：BO 平分ABC， EBOCBO. EFBC，EOBCBO. EBOEOB.BEOE. 同理：OFCF， EFOEOFBECF. 30. 【答案】【答案】 (1)证明：如图，连接 CD. 点 D 在 BC 的垂直平分线上，BDCD. DEAB，DFAC，AD 平分BAC， DEDF，BEDCFD90 . 在 Rt BDE 和 Rt CDF 中， DEDF， BDCD， Rt BDERt CDF(HL)BECF. (2)在 Rt ADE 和 Rt ADF 中， DEDF， ADAD，Rt ADERt ADF. AEAF6. ABC 的周
21、长ABBCAC(AEBE)BC(AFCF)67619. 31. 【答案】【答案】 证明：ACB90 ， BBAC90 . CDAB，CADACD90 . ACDB. AE 是BAC 的平分线， CAEEAB. EABBCEF，CAEACDCFE，CFECEF. CFCE.CEF 是等腰三角形 32. 【答案】【答案】 解:(1)线段 EF 与 CD 关于 y 轴对称，EF 两端点的坐标分别为 E(-m，a+1)，F(-m，1)， C(m，a+1)，D(m，1). CD 与直线 l 之间的距离为 m-a. 线段 CD 与 MN 关于直线 l 对称，l 与 y 轴之间的距离为 a， MN 与 y 轴之间的距离为 a-(m-a)=2a-m. M(2a-m，a+1)，N(2a-m，1). (2)能. 平移方案(不唯一):将ABO 向上平移(a+1)个单位长度后，再向左平移 m 个单位长度，即可与 MFE 重合.