1、2019-2020 学年浙江省杭州市拱墅区公益中学九年级（上）期末数学试卷学年浙江省杭州市拱墅区公益中学九年级（上）期末数学试卷 一、选择题（本题有一、选择题（本题有 10 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1 （3 分）如果两个相似三角形的相似比为 2：3，那么这两个三角形的面积比为（ ） A2：3 B C4：9 D9：4 2 （3 分）将二次函数 y5x2的图象先向右平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位，得到的函数图象的解析 式为（ ） Ay5（x+2）2+3 By5（x2）2+3 Cy5（x+2）23 Dy5（x2）23 3 （3 分） 一个不透明的口袋
2、里有红、 黄、 蓝三种颜色的小球， 这些小球除颜色外都相同， 其中有红球 3 个， 黄球 2 个， 蓝球若干， 已知随机摸出一个球是红球的概率是， 则随机摸出一个球是蓝球的概率是 （ ） A B C D 4 （3 分）若抛物线 yax2+2ax+4（a0）上有，三点，则 y1，y2，y3的大小关系为（ ） Ay1y2y3 By3y2y1 Cy3y1y2 Dy2y3y1 5 （3 分）已知 为锐角，且 sin（10），则 等于（ ） A70 B60 C50 D30 6 （3 分）下列语句中，正确的是（ ） 相等的圆周角所对的弧相等；同弧或等弧所对的圆周角相等；平分弦的直径垂直于弦，并且平分 弦所
3、对的弧；圆内接平行四边形一定是矩形 A B C D 7 （3 分）如图，AB 是O 的直径，OC 是O 的半径，点 D 是半圆 AB 上一动点（不与 A、B 重合） ，连 结 DC 交直径 AB 与点 E，若AOC60，则AED 的范围为（ ） A0AED180 B30AED120 C60AED120 D60AED150 8 （3 分）如图，已知矩形 ABCD，AB6，BC10，E，F 分别是 AB，BC 的中点，AF 与 DE 相交于 I， 与 BD 相交于 H，则四边形 BEIH 的面积为（ ） A6 B7 C8 D9 9 （3 分）已知二次函数 yax2+bx+c（a0）图象上部分点的坐
4、标（x，y）的对应值如表所示： x 0 4 y 0.37 1 0.37 则方程 ax2+bx+1.370 的根是（ ） A0 或 4 B或 4 C1 或 5 D无实根 10 （3 分）如图，ABC 中，点 D 为边 BC 上的点，点 E、F 分别是边 AB、AC 上两点，且 EFBC，若 AE：EBm，BD：DCn，则（ ） Am1，n1，则 2SAEFSABD Bm1，n1，则 2SAEFSABD Cm1，n1，则 2SAEFSABD Dm1，n1，则 2SAEFSABD 二、填空题（本题有二、填空题（本题有 6 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 24 分）分） 11 （4 分）已
5、知线段 a4 cm，b9 cm，则线段 a，b 的比例中项为 cm 12 （4 分） 小北同学掷两面质地均匀硬币， 抛 5 次， 4 次正面朝上， 则掷硬币出现正面向上概率为 13 （4 分）如图，AB 是O 的直径，C、D 为O 上的点，P 为圆外一点，PC、PD 均与圆相切，设A+ B130，CPD，则 14 （4 分）若实数 a、b 满足 a+b22，则 a2+5b2的最小值为 15 （4 分）在ABC 中，AB10，AC8，B 为锐角且，则 BC 16 （4 分）如图，在矩形纸片 ABCD 中，将 AB 沿 BM 翻折，使点 A 落在 BC 上的点 N 处，BM 为折痕，连 接 MN；
6、再将 CD 沿 CE 翻折，使点 D 恰好落在 MN 上的点 F 处，CE 为折痕，连接 EF 并延长交 BM 于 点 P，若 AD8，AB5，则线段 PE 的长等于 三、简答题（本题有三、简答题（本题有 7 小题，共小题，共 66 分）分） 17 （6 分）求下列各式的值： （1）2sin303cos60 （2）16cos245 18 （8 分）一个斜抛物体的水平运动距离为 x（m） ，对应的高度记为 h（m） ，且满足 hax2+bx2a（其中 a0） 已知当 x0 时，h2；当 x10 时，h2 （1）求 h 关于 x 的函数表达式； （2）求斜抛物体的最大高度和达到最大高度时的水平距离
7、 19 （8 分）某同学报名参加校运动会，有以下 5 个项目可供选择： 径赛项目：100m，200m，400m（分别用 A1、A2、A3表示） ； 田赛项目：跳远，跳高（分别用 B1、B2表示） （1）该同学从 5 个项目中任选一个，恰好是田赛项目的概率为 ； （2）该同学从 5 个项目中任选两个，利用树状图或表格列举出所有可能出现的结果，并求恰好是一个田 赛项目和一个径赛项目的概率 20 （10 分）如图，在ABC 中，CD 是边 AB 上的中线，B 是锐角，sinB，tanA，AC， （1）求B 的度数和 AB 的长 （2）求 tanCDB 的值 21 （10 分）如图，在矩形 ABCD
8、中，点 E 是 AD 上的一个动点，连结 BE，作点 A 关于 BE 的对称点 F， 且点 F 落在矩形 ABCD 的内部，连结 AF，BF，EF，过点 F 作 GFAF 交 AD 于点 G，设n （1）求证：AEGE； （2）当点 F 落在 AC 上时，用含 n 的代数式表示的值； （3）若 AD4AB，且以点 F，C，G 为顶点的三角形是直角三角形，求 n 的值 22 （12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 yax2+bx+c 经过 A（0，4）和 B（2，0）两点 （1）求 c 的值及 a，b 满足的关系式； （2）若抛物线在 A 和 B 两点间，y 随 x 的增大而增大，求
9、a 的取值范围； （3）抛物线同时经过两个不同的点 M（p，m） ，N（2p，n） 若 mn，求 a 的值； 若 m2p3，n2p+1，点 M 在直线 y2x3 上，请验证点 N 也在 y2x3 上并求 a 的值 23 （12 分）如图，AB 为O 直径，点 D 为 AB 下方O 上一点，点 C 为弧 ABD 中点，连接 CD，CA （1）若ABD，求BDC（用 表示） ； （2）过点 C 作 CEAB 于 H，交 AD 于 E，CAD，求ACE（用 表示） ； （3）在（2）的条件下，若 OH5，AD24，求线段 DE 的长 2019-2020 学年浙江省杭州市拱墅区公益中学九年级（上）期末
10、数学试卷学年浙江省杭州市拱墅区公益中学九年级（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本题有一、选择题（本题有 10 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1 （3 分）如果两个相似三角形的相似比为 2：3，那么这两个三角形的面积比为（ ） A2：3 B C4：9 D9：4 【分析】根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方解答 【解答】解：两个相似三角形的相似比为 2：3， 这两个三角形的面积比为 4：9， 故选：C 【点评】 本题考查的是相似三角形的性质， 掌握相似三角形的面积的比等于相似比的平方是解题的关键 2 （3 分）将二次函数 y
11、5x2的图象先向右平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位，得到的函数图象的解析 式为（ ） Ay5（x+2）2+3 By5（x2）2+3 Cy5（x+2）23 Dy5（x2）23 【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可 【解答】解：由“左加右减”的原则可知，将二次函数 y5x2的图象先向右平移 2 个单位所得函数的解 析式为：y5（x2）2； 由“上加下减”的原则可知，将二次函数 y5（x2）2的图象先向下平移 3 个单位所得函数的解析式 为： y5（x2）23 故选：D 【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象几何变换的法则是解答此题的关键 3 （3 分
12、） 一个不透明的口袋里有红、 黄、 蓝三种颜色的小球， 这些小球除颜色外都相同， 其中有红球 3 个， 黄球 2 个， 蓝球若干， 已知随机摸出一个球是红球的概率是， 则随机摸出一个球是蓝球的概率是 （ ） A B C D 【分析】先求出口袋中蓝球的个数，再根据概率公式求出摸出一个球是蓝球的概率即可 【解答】解：设口袋中蓝球的个数有 x 个，根据题意得： ， 解得：x4， 则随机摸出一个球是蓝球的概率是； 故选：D 【点评】本题考查了概率的知识用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比 4 （3 分）若抛物线 yax2+2ax+4（a0）上有，三点，则 y1，y2，y3的大小关系为（ ） A
13、y1y2y3 By3y2y1 Cy3y1y2 Dy2y3y1 【分析】先求出抛物线对称轴，根据题意可知抛物线开口向下，再根据三个点与对称轴距离的大小及抛 物线的增减性即可判断纵坐标的大小 【解答】解：抛物线 yax2+2ax+4（a0） ， 对称轴为：x1， 当 x1 时，y 随 x 的增大而增大，当 x1 时，y 随 x 的增大而减小， 与对称轴距离越近的点对应的纵坐标越大 A、B、C 三点与对称轴距离按从小到大顺序是 B、A、C， y3y1y2， 故选：C 【点评】本题主要考查了抛物线先上点坐标的特征，找准对称轴以及抛物线的增减性是解题的关键 5 （3 分）已知 为锐角，且 sin（10）
14、，则 等于（ ） A70 B60 C50 D30 【分析】根据特殊角的三角函数值可得 1060，进而可得 的值 【解答】解：sin（10）， 1060， 70 故选：A 【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，关键是掌握 30、45、60角的各种三角函数值 6 （3 分）下列语句中，正确的是（ ） 相等的圆周角所对的弧相等；同弧或等弧所对的圆周角相等；平分弦的直径垂直于弦，并且平分 弦所对的弧；圆内接平行四边形一定是矩形 A B C D 【分析】根据圆周角定理、垂径定理、圆内接四边形的性质定理判断 【解答】解：在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，本说法错误； 同弧或等弧所对的圆周角相等
15、，本说法正确； 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，本说法错误； 圆内接平行四边形一定是矩形，本说法正确； 故选：C 【点评】本题考查的是命题的真假判断，掌握圆周角定理、垂径定理、圆内接四边形的性质定理是解题 的关键 7 （3 分）如图，AB 是O 的直径，OC 是O 的半径，点 D 是半圆 AB 上一动点（不与 A、B 重合） ，连 结 DC 交直径 AB 与点 E，若AOC60，则AED 的范围为（ ） A0AED180 B30AED120 C60AED120 D60AED150 【分析】如图 1，当点 E 在线段 AO 上时，如图 2，当点 E 在线段 OB 上时，根据
16、圆周角定理和三角形外 角的性质即可得到结论 【解答】解：如图 1，当点 E 在线段 AO 上时， AB 是O 的直径， ADB90， AOC60， ADC30， BDE60， AEDBDE， AED60； 如图 2，当点 E 在线段 OB 上时， ADEAOC30， DEB30， AED+DEB180， AED150， AED 的范围为 60AED150， 故选：D 【点评】本题考查了圆周角定理，三角形外角的性质，正确的识别图形是解题的关键 8 （3 分）如图，已知矩形 ABCD，AB6，BC10，E，F 分别是 AB，BC 的中点，AF 与 DE 相交于 I， 与 BD 相交于 H，则四边形
17、 BEIH 的面积为（ ） A6 B7 C8 D9 【分析】延长 AF 交 DC 于 Q 点，由矩形的性质得出 CDAB6，ABCD，ADBC，得出1， AEIQDI，因此 CQABCD6，AEI 的面积：QDI 的面积1：16，根据三角形的面积公式即 可得出结果 【解答】解：延长 AF 交 DC 于 Q 点，如图所示： E，F 分别是 AB，BC 的中点， AEAB3，BFCFBC5， 四边形 ABCD 是矩形， CDAB6，ABCD，ADBC， 1，AEIQDI， CQABCD6，AEI 的面积：QDI 的面积（）2， AD10， AEI 中 AE 边上的高2， AEI 的面积323， A
18、BF 的面积5615， ADBC， BFHDAH， ， BFH 的面积255， 四边形 BEIH 的面积ABF 的面积AEI 的面积BFH 的面积15357 故选：B 【点评】 本题考查了矩形的性质、 相似三角形的判定与性质、 三角形面积的计算； 熟练掌握矩形的性质， 证明三角形相似是解决问题的关键 9 （3 分）已知二次函数 yax2+bx+c（a0）图象上部分点的坐标（x，y）的对应值如表所示： x 0 4 y 0.37 1 0.37 则方程 ax2+bx+1.370 的根是（ ） A0 或 4 B或 4 C1 或 5 D无实根 【分析】利用抛物线经过点（0，0.37）得到 c0.37，根
19、据抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线 x 2， 抛物线经过点 （， 1） ， 由于方程 ax2+bx+1.370 变形为 ax2+bx+0.371， 则方程 ax2+bx+1.37 0的根理解为函数值为1所对应的自变量的值， 所以方程ax2+bx+1.370的根为 x1， x24 【解答】解：由抛物线经过点（0，0.37）得到 c0.37， 因为抛物线经过点（0，0.37） 、 （4，0.37） ， 所以抛物线的对称轴为直线 x2， 而抛物线经过点（，1） ， 所以抛物线经过点（4，1） ， 所以二次函数解析式为 yax2+bx+0.37， 方程 ax2+bx+1.370 变形为 ax2+
20、bx+0.371， 所以方程 ax2+bx+0.371 的根理解为函数值为1 所对应的自变量的值， 所以方程 ax2+bx+1.370 的根为 x1，x24 故选：B 【点评】本题考查了抛物线与 x 轴的交点：把求二次函数 yax2+bx+c（a，b，c 是常数，a0）与 x 轴 的交点坐标问题转化为解关于 x 的一元二次方程也考查了二次函数的性质 10 （3 分）如图，ABC 中，点 D 为边 BC 上的点，点 E、F 分别是边 AB、AC 上两点，且 EFBC，若 AE：EBm，BD：DCn，则（ ） Am1，n1，则 2SAEFSABD Bm1，n1，则 2SAEFSABD Cm1，n1
21、，则 2SAEFSABD Dm1，n1，则 2SAEFSABD 【分析】 由 EFBC， 可得AEFABC， 利用相似三角形的面积比等相似比的平方， 先计算出 m1， n1 时的面积关系，再逐个选项分析即可 【解答】解：EFBC AEFABC AE：EBm， 当 m1 时，EF 为ABC 的中位线，此时； 当 n1 时，SABDSABC 则 2SAEFSABCSABD 选项 A：m1，n1，时，比如 m，n9， 则，2SAEFSABC SABDSABC 2SAEFSABD 故 A 错误； 选项 B：m1，n1，可取 m，n，则显然结论不成立，故 B 错误； 选项 C：m1，n1，可取 m10，
22、n，则 2SAEFSABD，故 C 错误； 选项 D：从排除法已经可以得出 D 正确分析看，当 m1，n1 时，2SAEFSABCSABD 当 m1，n1 时，2SAEFSABC，SABCSABD，则 2SAEFSABD 从而 D 正确 故选：D 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质，是解题的关键 二、填空题（本题有二、填空题（本题有 6 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 24 分）分） 11 （4 分）已知线段 a4 cm，b9 cm，则线段 a，b 的比例中项为 6 cm 【分析】根据比例中项的定义，列出比例式即可得出中项，注意线段不能为负 【
23、解答】解：根据比例中项的概念结合比例的基本性质，得：比例中项的平方等于两条线段的乘积 设它们的比例中项是 x，则 x249，x6， （线段是正数，负值舍去） ，故填 6 【点评】理解比例中项的概念，这里注意线段不能是负数 12 （4 分）小北同学掷两面质地均匀硬币，抛 5 次，4 次正面朝上，则掷硬币出现正面向上概率为 【分析】根据抛掷一枚硬币，要么正面朝上，要么反面朝上，可以求得相应的概率 【解答】解：无论哪一次掷硬币，都有两种可能，即正面朝上与反面朝上， 则掷硬币出现正面向上的概率为：； 故答案为： 【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有 n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件
24、 A 出 现 m 种结果，那么事件 A 的概率 P（A） 13 （4 分）如图，AB 是O 的直径，C、D 为O 上的点，P 为圆外一点，PC、PD 均与圆相切，设A+ B130，CPD，则 100 【分析】 连结 OC， OD，则PCO90，PDO90， 可得CPD+COD180， 根据 OBOC， ODOA，可得BOC1802B，AOD1802A，则可得出 与 的关系式进而可求出 的度数 【解答】解：连结 OC，OD， PC、PD 均与圆相切， PCO90，PDO90， PCO+COD+ODP+CPD360， CPD+COD180， OBOC，ODOA， BOC1802B，AOD1802A
25、， COD+BOC+AOD180， 180CPD+1802B+1802A180 CPD100， 故答案为：100 【点评】本题利用了切线的性质，圆周角定理，四边形的内角和为 360 度求解，解题的关键是熟练掌握 切线的性质 14 （4 分）若实数 a、b 满足 a+b22，则 a2+5b2的最小值为 4 【分析】由 a+b22 得出 b22a，代入 a2+5b2得出 a2+5b2a2+5（2a）a25a+10，再利用配方 法化成 a2+5b2（a）2+，即可求出其最小值 【解答】解：a+b22， b22a，a2， a2+5b2a2+5（2a）a25a+10（a）2+， 当 a2 时， a2+5
26、b2可取得最小值为 4 故答案为：4 【点评】本题考查了二次函数的最值，根据题意得出 a2+5b2（a）2+是关键 15 （4 分）在ABC 中，AB10，AC8，B 为锐角且，则 BC 8+2或 82 【分析】分两种情况进行解答，即ACB 为锐角，ACB 为钝角，分别画出图形，利用三角函数 解直角三角形即可 【解答】解：过点 A 作 ADBC，垂足为 D， 当ACB 为锐角时，如图 1， 在 RtABD 中，BDABcosB108， AD6， 在 RtACD 中，CD2， BCBD+CD8+2， 当ACB 为钝角时，如图 2， 在 RtABD 中，BDABcosB108， AD6， 在 Rt
27、ACD 中，CD2， BCBDCD82， 故答案为：8+2或 82 【点评】考查直角三角形的边角关系，理解锐角三角函数的意义是正确解答的关键，分类讨论在此类问 题中经常用到 16 （4 分）如图，在矩形纸片 ABCD 中，将 AB 沿 BM 翻折，使点 A 落在 BC 上的点 N 处，BM 为折痕，连 接 MN；再将 CD 沿 CE 翻折，使点 D 恰好落在 MN 上的点 F 处，CE 为折痕，连接 EF 并延长交 BM 于 点 P，若 AD8，AB5，则线段 PE 的长等于 【分析】根据折叠可得 ABNM 是正方形，CDCF5，DCFE90，EDEF，可求出三角形 FNC 的三边为 3，4，
28、5，在 RtMEF 中，由勾股定理可以求出三边的长，通过作辅助线，可证FNC PGF，三边占比为 3：4：5，设未知数，通过 PGHN，列方程求出待定系数，进而求出 PF 的长，然 后求 PE 的长 【解答】解：过点 P 作 PGFN，PHBN，垂足为 G、H， 由折叠得：ABNM 是正方形，ABBNNMMA5， CDCF5，DCFE90，EDEF， NCMD853， 在 RtFNC 中，FN4， MF541， 在 RtMEF 中，设 EFx，则 ME3x，由勾股定理得， 12+（3x）2x2， 解得：x， CFN+PFG90，PFG+FPG90， CFNFPG， 又FGPCNF90 FNCP
29、GF， FG：PG：PFNC：FN：FC3：4：5， 设 FG3m，则 PG4m，PF5m， GNPHBH43m，HN5（43m）1+3mPG4m， 解得：m1， PF5m5， PEPF+FE5+， 故答案为： 【点评】考查折叠轴对称的性质，矩形、正方形的性质，直角三角形的性质等知识，知识的综合性较强， 是有一定难度的题目 三、简答题（本题有三、简答题（本题有 7 小题，共小题，共 66 分）分） 17 （6 分）求下列各式的值： （1）2sin303cos60 （2）16cos245 【分析】 （1）直接把特殊角的三角函数值代入求出答案； （2）直接把特殊角的三角函数值代入求出答案 【解答】
30、解： （1）2sin303cos60 23 1 ； （2）16cos245tan260 16（）2（）2 8 【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键 18 （8 分）一个斜抛物体的水平运动距离为 x（m） ，对应的高度记为 h（m） ，且满足 hax2+bx2a（其中 a0） 已知当 x0 时，h2；当 x10 时，h2 （1）求 h 关于 x 的函数表达式； （2）求斜抛物体的最大高度和达到最大高度时的水平距离 【分析】 （1）将当 x0 时，h2；当 x10 时，h2，代入解析式，可求解； （2）由 hx2+10 x+2（x5）2+27，即可求解 【解答】解：
31、 （1）当 x0 时，h2；当 x10 时，h2 解得： h 关于 x 的函数表达式为：hx2+10 x+2； （2）hx2+10 x+2（x5）2+27， 斜抛物体的最大高度为 27，达到最大高度时的水平距离为 5 【点评】本题考查了二次函数的应用，求出二次函数的解析式是本题的关键 19 （8 分）某同学报名参加校运动会，有以下 5 个项目可供选择： 径赛项目：100m，200m，400m（分别用 A1、A2、A3表示） ； 田赛项目：跳远，跳高（分别用 B1、B2表示） （1）该同学从 5 个项目中任选一个，恰好是田赛项目的概率为 ； （2）该同学从 5 个项目中任选两个，利用树状图或表格
32、列举出所有可能出现的结果，并求恰好是一个田 赛项目和一个径赛项目的概率 【分析】 （1）由 5 个项目中田赛项目有 2 个，直接利用概率公式求解即可求得答案； （2） 首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好是一个田赛项目和一个径赛 项目的情况，再利用概率公式即可求得答案 【解答】解： （1）5 个项目中田赛项目有 2 个， 该同学从 5 个项目中任选一个，恰好是田赛项目的概率为：； 故答案为：； （2）画树状图得： 共有 20 种等可能的结果，恰好是一个田赛项目和一个径赛项目的 12 种情况， 恰好是一个田赛项目和一个径赛项目的概率为： 【点评】本题考查的是用列表法或画
33、树状图法求概率列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所 有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件用到的知识 点为：概率所求情况数与总情况数之比 20 （10 分）如图，在ABC 中，CD 是边 AB 上的中线，B 是锐角，sinB，tanA，AC， （1）求B 的度数和 AB 的长 （2）求 tanCDB 的值 【分析】 （1）作 CEAB 于 E，设 CEx，利用A 的正切可得到 AE2x，则根据勾股定理得到 AC x，所以x，解得 x1，于是得到 CE1，AE2，接着利用 sinB得到B45，则 BE CE1，最后计算 AE+BE 得到 AB 的长，
34、 （2）利用 CD 为中线得到 BDAB1.5，则 DEBDBE0.5，然后根据正切的定义求解 【解答】解： （1）作 CEAB 于 E，设 CEx， 在 RtACE 中，tanA， AE2x， ACx， x，解得 x1， CE1，AE2， 在 RtBCE 中，sinB， B45， BCE 为等腰直角三角形， BECE1， ABAE+BE3， 答：B 的度数为 45，AB 的值为 3； （2）CD 为中线， BDAB1.5， DEBDBE1.510.5， tanCDE2， 即 tanCDB 的值为 2 【点评】 本题考查了解直角三角形： 在直角三角形中， 由已知元素求未知元素的过程就是解直角三
35、角形 解 决此类题目的关键是熟练应用勾股定理和锐角三角函数的定义 21 （10 分）如图，在矩形 ABCD 中，点 E 是 AD 上的一个动点，连结 BE，作点 A 关于 BE 的对称点 F， 且点 F 落在矩形 ABCD 的内部，连结 AF，BF，EF，过点 F 作 GFAF 交 AD 于点 G，设n （1）求证：AEGE； （2）当点 F 落在 AC 上时，用含 n 的代数式表示的值； （3）若 AD4AB，且以点 F，C，G 为顶点的三角形是直角三角形，求 n 的值 【分析】 （1）直接利用等角的余角相等得出FGAEFG，即可得出 EGEF，代换即可； （2）先判断出ABEDAC，得出比
36、例式用 ABDC 代换化简即可得出结论； （3）先判断出只有CFG90或CGF90，分两种情况建立方程求解即可 【解答】解：设 AEa，则 ADna， （1）由对称知，AEFE， EAFEFA， GFAF， EAF+FGAEFA+EFG90， FGAEFG， EGEF， AEEG； （2）如图 1，当点 F 落在 AC 上时， 由对称知，BEAF， ABE+BAC90， DAC+BAC90， ABEDAC， BAED90， ABEDAC， ，ABDC， AB2ADAEna2， AB0， ABa， ； （3）若 AD4AB，则 ABa， 如图 2，当点 F 落在线段 BC 上时，EFAEABa，
37、此时aa， n4， 当点 F 落在矩形内部时，n4， 点 F 落在矩形内部，点 G 在 AD 上， FCGBCD， FCG90， 当CFG90时， 如图 1，则点 F 落在 AC 上， 由（2）得， n16， 当CGF90时，则CGD+AGF90， FAG+AGF90， CGDFAGABE， BAED90， ABEDGC， ， ABDCDGAE， DGADAEEGna2a（n2）a， （a）2（n2）aa， n8+4或 n84（由于 n4，所以舍） ， 当 n16 或 n8+4时，以点 F，C，G 为顶点的三角形是直角三角形 【点评】 此题是相似形综合题， 主要考查了矩形的性质， 等腰三角形的
38、判定， 相似三角形的判定和性质， 解（1）的关键是判断出 EGEF，解（2）的关键是判断出ABEDAC，解（3）的关键是分类讨论， 用方程的思想解决问题 22 （12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 yax2+bx+c 经过 A（0，4）和 B（2，0）两点 （1）求 c 的值及 a，b 满足的关系式； （2）若抛物线在 A 和 B 两点间，y 随 x 的增大而增大，求 a 的取值范围； （3）抛物线同时经过两个不同的点 M（p，m） ，N（2p，n） 若 mn，求 a 的值； 若 m2p3，n2p+1，点 M 在直线 y2x3 上，请验证点 N 也在 y2x3 上并求 a 的值 【
39、分析】 （1）令 x0，则 c4，将点 B（2，0）代入 yax2+bx+c 可得 2a+b2； （2）当 a0，对称轴 x10，当 a0 时，对称轴 x12，即可求 a 的范围； （3）mn 时，M（p，m） ，N（2p，n）关于对称轴对称，则有 11；将点 N（2p， n）代入 y2x3 等式成立，则可证明 N 点在直线上，再由直线与抛物线的两个交点是 M、N，则有 根与系数的关系可得 p+（2p），即可求 a 【解答】解： （1）令 x0，则 c4， 将点 B（2，0）代入 yax2+bx+c 可得 4a+2b40， 2a+b2； （2）当 a0 时， A（0，4）和 B（2，0） ，
40、对称轴 x10， 0a1； 当 a0 时， 对称轴 x12， 1a0； 综上所述：1a1 且 a0； （3）当 mn 时，M（p，m） ，N（2p，n）关于对称轴对称， 对称轴 x11， a； 将点 N（2p，n）代入 y2x3， n4+2p31+2p， N 点在 y2x3 上， 联立 y2x3 与 yax2+（22a）x4 有两个不同的实数根， ax2+（42a）x10， p+（2p）， a1 【点评】本题考查二次函数的性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，能结合函数的对称性、增减性、 直线与抛物线的交点个数综合解题是关键 23 （12 分）如图，AB 为O 直径，点 D 为 AB 下方O 上
41、一点，点 C 为弧 ABD 中点，连接 CD，CA （1）若ABD，求BDC（用 表示） ； （2）过点 C 作 CEAB 于 H，交 AD 于 E，CAD，求ACE（用 表示） ； （3）在（2）的条件下，若 OH5，AD24，求线段 DE 的长 【分析】 （1）连接 AD，设BDC，CAD，则CABBDC，证明DAB，90 ，ABD2，得出ABD2BDC，即可得出结果； （2）连接 BC，由直角三角形内角和证明ACEABC，由点 C 为弧 ABD 中点，得出ADCCAD ABC，即可得出结果； （3）连接 OC，证明COBABD，得出OCHABD，则，求出 BD2OH10， 由勾股定理得出
42、 AB26，则 AO13，AHAO+OH18，证明AHEADB，得出 ，求出 AE，即可得出结果 【解答】解： （1）连接 AD，如图 1 所示： 设BDC，CAD， 则CABBDC， 点 C 为弧 ABD 中点， ， ADCCAD， DAB， AB 为O 直径， ADB90， +90， 90， ABD90DAB90（）9090+2， ABD2BDC， BDCABD； （2）连接 BC，如图 2 所示： AB 为O 直径， ACB90，即BAC+ABC90， CEAB， ACE+BAC90， ACEABC， 点 C 为弧 ABD 中点， ， ADCCADABC， ACE； （3）连接 OC，如图 3 所示： COB2CAB， ABD2BDC，BDCCAB， COBABD， OHCADB90， OCHABD， ， BD2OH10， AB26， AO13， AHAO+OH13+518， EAHBAD，AHEADB90， AHEADB， ，即， AE， DEADAE24 【点评】本题考查了圆周角定理、相似三角形的判定和性质、三角形内角和定理、勾股定理等知识；正 确作出辅助线是解题的关键