1、2019-2020 学年浙江省杭州市西湖区九年级（上）期末数学试卷学年浙江省杭州市西湖区九年级（上）期末数学试卷 一、选择题：每小题一、选择题：每小题 4 分，共分，共 40 分分 1 （4 分）若二次函数 yax2的图象经过点 P（1，4） ，则该图象必经过点（ ） A （1，4） B （1，4） C （4，1） D （4，1） 2 （4 分）已知线段 a 是线段 b，c 的比例中项，则（ ） A B C D 3 （4 分）， 四个实数，任取一个数是无理数的概率为（ ） A B C D1 4 （4 分）如图所示，ABC 的顶点在正方形网格的格点上，则 cosB（ ） A B C D 5 （4
2、 分）ABC 中，C90，AC3，BC4，以点 C 为圆心，CA 为半径的圆与 AB、BC 分别交于点 E、D，则 AE 的长为（ ） A B C D 6 （4 分）在平面直角坐标系中，二次函数 y（x+5） （x3）的图象向右平移 2 个单位后的函数为（ ） Ay（x5） （x+1） By（x5） （x+3） Cy（x5） （x3） Dy（x+7） （x1） 7 （4 分）如图，AB 为O 的直径，点 C 在O 上，若 AB4，则 O 到 AC 的距离为（ ） A1 B2 C D 8 （4 分）二次函数 yx2+2x+4，当1x2 时，则（ ） A1y4 By5 C4y5 D1y5 9 （4
3、 分） 如图， 在ABC 中， 中线 AD， BE 相交于点 F， EGBC， 交 AD 于点 G， 下列说法： BD2GE； AF2FD； AGE 与BDF 面积相等； ABF 与四边形 DCEF 面积相等， 结论正确的是 （ ） A B C D 10 （4 分）已知二次函数 yx2+3mx3n 图象与 x 轴没有交点，则（ ） A2m+n B2m+n C2mn D2mn 二、填空题：单空题每题二、填空题：单空题每题 4 分，多空题每题分，多空题每题 6 分分 11 （4 分）从 0，1，2，3，4 中任取两个不同的数，其乘积为 0 的概率是 12 （4 分）已知点 E 是线段 AB 的黄金
4、分割点，且 BEAE，若 AB2，则 BE 13 （4 分）如图，ABC 是O 的内接正三角形，弦 EF 经过 BC 边的中点 D，且 EFAB，若 AB6，则 EF 14 （4 分）当3x2 时，函数 yax24ax+2（a0）的最大值是 8，则 a 15 （4 分）如图，ABC 的两条高线 BD，CE 相交于点 F，已知ABC60，ABa，CFEF，则ABC 的面积为 （用含 a 的代数式表示） 16 （4 分）二次函数（其中 m0） ，下列命题：该函数图象过（6，0） ；该函数图 象顶点在第三象限；当 x3 时，y 随着 x 的增大而增大；若当 xn 时，都有 y 随着 x 的增大而减
5、小，则正确的序号是 三、解答题：三、解答题：7 小题，共小题，共 66 分分 17已知二次函数 ya（x1）2+h 的图象经过点 A（0，4） ，B（2，m） （1）求二次函数图象的对称轴； （2）求 m 的值 18如图，在ABC 中，AC4，CD2，BC8，点 D 在 BC 边上 （1）判断ABC 与DAC 是否相似？请说明理由 （2）当 AD3 时，求 AB 的长 19甲口袋中装有两个相同的小球，它们的标号分别为 2 和 7，乙口袋中装有两个相同的小球，它们的标号 分别为 4 和 5，丙口袋中装有三个相同的小球，它们的标号分别为 3，8，9从这 3 个口袋中各随机地取 出 1 个小球 （1
6、）求取出的 3 个小球的标号全是奇数的概率是多少？ （2） 若以取出的三个小球的标号分别表示三条线段的长度， 请用列表或树状图法求三条线段能构成三角 形的概率 20在ABC 中，AB6，BC4，B 为锐角且 （1）求B 的度数； （2）求ABC 的面积； （3）求 tanC 21如图，在O 中，弦 BC 垂直于半径 OA，垂足为 E，D 是优弧 BC 上一点，连接 BD，AD，OC，ADB 30 （1）求AOC 的度数； （2）若弦 BC8cm，求图中劣弧 BC 的长 22已知二次函数的图象经过三点（1，0） ， （6，0） ， （0，3） （1）求该二次函数的解析式； （2）若反比例函数图象
7、与二次函数的图象在第一象限内交于点 A （x0，y0） ，x0落在两个相邻的正整数之间，请求出这两个相邻的正整数； （3）若反比例函数的图象与二次函数的图象在第一象限 内的交点为 B，点 B 的横坐标为 m，且满足 3m4，求实数 k 的取值范围 23在等边三角形 ABC 中，点 D，E 分别在 BC，AC 上，且 DCAE，AD 与 BE 交于点 P，连接 PC （1）证明：ABECAD； （2）若 CECP，求证：CPDPBD； （3）在（2）的条件下，证明：点 D 是 BC 的黄金分割点 2019-2020 学年浙江省杭州市西湖区九年级（上）期末数学试卷学年浙江省杭州市西湖区九年级（上）
8、期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：每小题一、选择题：每小题 4 分，共分，共 40 分分 1 （4 分）若二次函数 yax2的图象经过点 P（1，4） ，则该图象必经过点（ ） A （1，4） B （1，4） C （4，1） D （4，1） 【分析】先确定出二次函数图象的对称轴为 y 轴，再根据二次函数的对称性解答 【解答】解：二次函数 yax2的对称轴为 y 轴， 若图象经过点 P（1，4） ，则该图象必经过点（1，4） 故选：A 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数图象的对称性，确定出函数图 象的对称轴为 y 轴是解题的关键 2 （
9、4 分）已知线段 a 是线段 b，c 的比例中项，则（ ） A B C D 【分析】根据比例中项的定义，内项之积等于外项之积即可判断 【解答】解：线段 a 是线段 b，c 的比例中项， a2bc， 由 A 得，b2ac，故错误； 由 B 得，a2bc，故正确； 由 C 得，c2ab，故错误； 由 D 得，b2ac，故错误； 故选：B 【点评】 本题考查比例线段， 解题的关键是灵活运用内项之积等于外项之积解决问题， 属于中考基础题 3 （4 分）， 四个实数，任取一个数是无理数的概率为（ ） A B C D1 【分析】根据题目中的数字，可以判断其中有几个无理数，从而可以求得任取一个数是无理数的概
10、率 【解答】解：在， 四个实数中，无理数是， 故任取一个数是无理数的概率为， 故选：B 【点评】本题考查概率公式、无理数，解答本题的关键是明确题意，求出相应的概率 4 （4 分）如图所示，ABC 的顶点在正方形网格的格点上，则 cosB（ ） A B C D 【分析】如图，取格点 E，连接 CE构造直角三角形，利用三角函数解决问题即可 【解答】解：如图，取格点 E，连接 CE 由题意：BEC90，BEEC，BC2， cosB， 故选：C 【点评】本题考查解直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想思考问题， 属于中考常考题型 5 （4 分）ABC 中，C90，AC3，BC4
11、，以点 C 为圆心，CA 为半径的圆与 AB、BC 分别交于点 E、D，则 AE 的长为（ ） A B C D 【分析】在 RtABC 中，由勾股定理可直接求得 AB 的长；过 C 作 CMAB，交 AB 于点 M，由垂径定 理可得 M 为 AE 的中点，在 RtACM 中，根据勾股定理得 AM 的长，从而得到 AE 的长 【解答】解：在 RtABC 中， AC3，BC4， AB5 过 C 作 CMAB，交 AB 于点 M，如图所示， 由垂径定理可得 M 为 AE 的中点， SABCACBCABCM，且 AC3，BC4，AB5， CM， 在 RtACM 中，根据勾股定理得：AC2AM2+CM2
12、，即 9AM2+（）2， 解得：AM， AE2AM 故选：C 【点评】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键 6 （4 分）在平面直角坐标系中，二次函数 y（x+5） （x3）的图象向右平移 2 个单位后的函数为（ ） Ay（x5） （x+1） By（x5） （x+3） Cy（x5） （x3） Dy（x+7） （x1） 【分析】根据左移加，右移减，即可得出结论 【解答】解：二次函数 y（x+5） （x3） ， 将其向右平移 2 个单位后抛物线的解析式是：y（x+52） （x32）（x+3） （x5） ， 故选：B 【点评】此题主要考查了次函数图象与几何变换，
13、要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减 7 （4 分）如图，AB 为O 的直径，点 C 在O 上，若 AB4，则 O 到 AC 的距离为（ ） A1 B2 C D 【分析】连接 BC，作 OEAC 于 E根据勾股定理求出 BC，利用三角形的中位线定理即可解决问题 【解答】解：连接 BC，作 OEAC 于 E AB 是直径， ACB90， BC2， OEAC， AEEC， AOOB， OEBC， 故选：C 【点评】 本题考查垂径定理， 勾股定理， 三角形的中位线定理等知识， 解题的关键是熟练掌握基本知识， 属于中考常考题型 8 （4 分）二次函数 yx2+2x+4，当1x2 时，则（ ） A
14、1y4 By5 C4y5 D1y5 【分析】先根据二次函数的已知条件，得出二次函数的图象开口向上，再根据变量 x 在1x2 的范 围内变化，再分别进行讨论，即可得出函数 y 的最大值与最小值即可确定 y 的取值范围 【解答】解：二次函数 yx2+2x+4（x1）2+5， 该抛物线的对称轴为 x1，且 a10， 当 x1 时，二次函数有最大值为 5， 当 x1 时，二次函数有最小值为：（11）2+51， 综上所述，二次函数 yx2+2x+4，求当1x2 时，1y5， 故选：D 【点评】本题考查了二次函数对称轴的求解，考查了二次函数的最值问题，本题中求得二次函数的对称 轴是解题的关键 9 （4 分
15、） 如图， 在ABC 中， 中线 AD， BE 相交于点 F， EGBC， 交 AD 于点 G， 下列说法： BD2GE； AF2FD； AGE 与BDF 面积相等； ABF 与四边形 DCEF 面积相等， 结论正确的是 （ ） A B C D 【分析】由三角形的重心定理得出 BF2EF，AF2FD，正确；证明BDFEGF，得出 2，得出 BD2GE，正确；求出BDF 的面积ABC 的面积，AGE 的面积ADC 的面 积ABC 的面积，得出AGE 与BDF 面积不相等，不正确；由三角形的中线得出ABD 的面积 BCE 的面积，得出ABF 与四边形 DCEF 面积相等，正确；即可得出答案 【解答
16、】解：中线 AD，BE 相交于点 F， BDCD，AECE，BF2EF，AF2FD，正确； EGBC， BDFEGF， 2， BD2GE，正确； AF2FD， ABF 的面积2BDF 的面积ABD 的面积ABC 的面积，BDF 的面积ABC 的面 积， EGBC，AECE， AGEADC， （）2， AGE 的面积ADC 的面积ABC 的面积， AGE 与BDF 面积不相等，不正确； BDCD，AECE， ABD 的面积ADC 的面积ABC 的面积ABE 的面积BCE 的面积， ABD 的面积BCE 的面积， ABD 的面积BDF 的面积BCE 的面积 BDF 的面积， 即ABF 与四边形 D
17、CEF 面积相等，正确； 故选：D 【点评】本题考查了三角形的重心定理、三角形中位线定理、相似三角形的判定与性质以及三角形面积 关系等知识；熟练掌握三角形的重心定理和相似三角形的判定与性质是解题的关键 10 （4 分）已知二次函数 yx2+3mx3n 图象与 x 轴没有交点，则（ ） A2m+n B2m+n C2mn D2mn 【分析】根据抛物线开口向下，且与 x 轴没交点，说明无论 x 为何值，y 值都为负数，再判断出当 x2 时，y 小于 0，即可得出结论 【解答】解：二次函数 yx2+3mx3n 图象与 x 轴没有交点， 抛物线开口向下，与 x 轴没有交点， 即：无论 x 为何值，y 始
18、终小于 0， 当 x2 时，y0， 即4+6m3n0 解得 2mn 故选：C 【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系、抛物线与 x 轴的交点，解决本题的关键是抛物线与 x 轴没有交点时，判别式小于 0 的结论的熟练应用 二、填空题：单空题每题二、填空题：单空题每题 4 分，多空题每题分，多空题每题 6 分分 11 （4 分）从 0，1，2，3，4 中任取两个不同的数，其乘积为 0 的概率是 【分析】首先根据题意画出树状图，得出所有等可能的结果与积为 0 的情况，再利用概率公式求解即可 求得答案 【解答】解：根据题意画图如下： 共有 20 种等可能结果，其中积为 0 的有 8 种结果， 则
19、其乘积为 0 的概率是； 故答案为： 【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所 有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率所求情 况数与总情况数之比 12 （4 分）已知点 E 是线段 AB 的黄金分割点，且 BEAE，若 AB2，则 BE 1 【分析】根据黄金分割点的定义求解 【解答】解：E 是线段 AB 的黄金分割点，且 BEAE， ， BE1， 故答案为1 【点评】此题考查了黄金分割点的概念，要熟记黄金比的值 13 （4 分）如图，ABC 是O 的内接正三角形，弦 EF 经过 BC 边的中点 D，且
20、EFAB，若 AB6，则 EF 3 【分析】 由相交弦定理可得 EDDFBDDC9， EGFGAGGC9， DGAB3， 由此可得结果 【解答】解：ABC 是O 的内接正三角形，弦 EF 经过 BC 边的中点 D，且 EFAB，AB6， 由相交弦定理可得 EDDFBDDC9，EGFGAGGC9，DGAB3， DE （3+FG）9，FG （3+DE）9， DEFG， EF3， 故答案为：3 【点评】此题主要考查了等边三角形的性质、垂径定理、三角形中位线定理、相交弦定理等知识，能够 证得 DE、GF 的数量关系是解答此题的关键 14 （4 分）当3x2 时，函数 yax24ax+2（a0）的最大值
21、是 8，则 a 或 【分析】求得对称轴，根据 x 的取值，分 a0 和 a0 两种情况讨论求得即可 【解答】解：函数 yax24ax+2（a0）的对称轴为直线 x2， 当 a0 时，则 x3 时，函数 yax24ax+2（a0）的最大值是 8， 把 x3 代入得，9a+12a+28， 解得 a； 当 a0 时，则 x2 时，函数 yax24ax+2（a0）的最大值是 8， 把 x2 代入得，4a8a+28， 解得 a， 故答案为或 【点评】本题考查了二次函数的性质，分类讨论是解题的关键 15 （4 分）如图，ABC 的两条高线 BD，CE 相交于点 F，已知ABC60，ABa，CFEF，则AB
22、C 的面积为 （用含 a 的代数式表示） 【分析】 设BE2x， 根据30度的直角三角形的性质表示BC4x， CE2x， 得EFx， 证明， 即，得 AE3x，最后根据三角形面积可得结论 【解答】解：设 BE2x， CEAB， AECCEB90， ABC60， BCE30， BC4x，CE2x， EFCF， EFx， BD 是ABC 的高， CDFBEF90， DFCBFE， ACEEBF， AECBEF， ACEFBE， ，即， AE3x， ABa2x+3x， xa， SABC， 故答案为： 【点评】 本题考查勾股定理、 直角三角形 30 度角性质等知识， 解题的关键是灵活运用所学知识解决问
23、题， 学会利用参数表示线段的长，从而解决问题，属于中考常考题型 16 （4 分）二次函数（其中 m0） ，下列命题：该函数图象过（6，0） ；该函数图 象顶点在第三象限；当 x3 时，y 随着 x 的增大而增大；若当 xn 时，都有 y 随着 x 的增大而减 小，则正确的序号是 【分析】先把二次函数化简为一般式，求得对称轴与，再根据二次函数的性质进行判断即可 【解答】解：mx2（6m+1）x+6， 对称轴为 x3+，（6m+1）224m（6m1）20， 当 x6 时，y0， 该函数图象过（6，0） ；故正确； mx2（6m+1）x+6， 对称轴为 x3+0，该函数图象顶点不在第三象限，故错误；
24、 当 x3+时，y 随 x 的增大而增大，故错误； C、当 xn 时，y 随 x 的增大而减小，即 x3+，此选项正确； 故答案为： 【点评】此题考查二次函数的性质，掌握对称轴的求法，抛物线与 x 轴的交点坐标判定，二次函数的增 减性是解决问题的关键 三、解答题：三、解答题：7 小题，共小题，共 66 分分 17已知二次函数 ya（x1）2+h 的图象经过点 A（0，4） ，B（2，m） （1）求二次函数图象的对称轴； （2）求 m 的值 【分析】 （1）根据题目中的函数解析式，可以直接写出该函数的对称轴； （2）根据二次函数的图象具有对称性，可知点 A（0，4） ，B（2，m）关于直线 x1
25、 对称，从而可以得 到 m 的值 【解答】解： （1）二次函数 ya（x1）2+h 该函数的对称轴是直线 x1； （2）由（1）知，该函数的对称轴是直线 x1， 二次函数 ya（x1）2+h 的图象经过点 A（0，4） ，B（2，m） ， m4， 即 m 的值是 4 【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性 质解答 18如图，在ABC 中，AC4，CD2，BC8，点 D 在 BC 边上 （1）判断ABC 与DAC 是否相似？请说明理由 （2）当 AD3 时，求 AB 的长 【分析】 （1）求出，再根据相似三角形的判定定理推出即可； （2）根据相
26、似三角形的性质得出比例式，代入求出即可 【解答】解： （1）ABC 与DAC 相似， 理由是：CD2，BC8，AC4， ， CC， ABCDAC； （2）ABCDAC， ， AC4，CD2，AD3， ， 解得：AB6 【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键 19甲口袋中装有两个相同的小球，它们的标号分别为 2 和 7，乙口袋中装有两个相同的小球，它们的标号 分别为 4 和 5，丙口袋中装有三个相同的小球，它们的标号分别为 3，8，9从这 3 个口袋中各随机地取 出 1 个小球 （1）求取出的 3 个小球的标号全是奇数的概率是多少？ （2） 若以取出的三个
27、小球的标号分别表示三条线段的长度， 请用列表或树状图法求三条线段能构成三角 形的概率 【分析】 （1）分别求出取出三个口袋中奇数的概率，相乘即可得到结果； （2）画树状图得出所有等可能的情况数，找出三条线段能构成三角形的情况数，即可求出所求的概率 【解答】解： （1）根据题意得：P； （2）画树状图如下： ， 所有等可能的情况有 12 种，其中三条线段能构成三角形的情况有：2，4，3；2，5，3；7，4，8；7，4， 9；7，5，3；7，5，8；7，5，9，共 6 种， 则 P（三条线段能构成三角形） 【点评】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比 20在AB
28、C 中，AB6，BC4，B 为锐角且 （1）求B 的度数； （2）求ABC 的面积； （3）求 tanC 【分析】 （1）由特殊锐角的三角函数值即可得出答案； （2）作 ADBC 于 D，求出BAD906030，由直角三角形的性质得出 BDAB3，得 出 ADBD3，由三角形面积公式即可得出答案； （3）求出 CD1，由三角函数定义即可得出答案 【解答】解： （1）B 为锐角且， B60； （2）作 ADBC 于 D，如图所示： B60， BAD906030， BDAB3， ADBD3， ABC 的面积BCAD436； （3）BC4，BD3， CDBCBD1， tanC3 【点评】本题考查了解
29、直角三角形、含 30角的直角三角形的性质、特殊锐角的三角函数值、三角形面 积以及三角函数定义等知识；熟练掌握含 30角的直角三角形的性质和特殊锐角的三角函数值是解题的 关键 21如图，在O 中，弦 BC 垂直于半径 OA，垂足为 E，D 是优弧 BC 上一点，连接 BD，AD，OC，ADB 30 （1）求AOC 的度数； （2）若弦 BC8cm，求图中劣弧 BC 的长 【分析】 （1）连接 OB，根据垂径定理得到，得到AOCAOB，根据圆周角定理解答； （2）根据垂径定理求出 BE，根据正弦的定义求出 OB，根据弧长公式计算，得到答案 【解答】解： （1）连接 OB， OABC， ， AOCA
30、OB， 由圆周角定理得，AOB2ADB60， AOCAOB60； （2）OABC， BEBC4， 在 RtBOE 中，AOB60， OB， 劣弧 BC 的长（cm） 【点评】本题考查的是弧长的计算、垂径定理，掌握垂径定理和弧长公式是解题的关键 22已知二次函数的图象经过三点（1，0） ， （6，0） ， （0，3） （1）求该二次函数的解析式； （2）若反比例函数图象与二次函数的图象在第一象限内交于点 A （x0，y0） ，x0落在两个相邻的正整数之间，请求出这两个相邻的正整数； （3）若反比例函数的图象与二次函数的图象在第一象限 内的交点为 B，点 B 的横坐标为 m，且满足 3m4，求实数
31、 k 的取值范围 【分析】 （1）已知了抛物线与 x 轴的交点，可用交点式来设二次函数的解析式然后将另一点的坐标代 入即可求出函数的解析式 （2）可根据（1）的抛物线的解析式和反比例函数的解析式来联立方程组，求出的方程组的解就是两函 数的交点坐标，然后找出第一象限内交点的坐标，即可得出符合条件的 x0的值，进而可写出所求的两个 正整数 （3）点 B 的横坐标 m 满足 3m4，可通过 x3，x4 两个点上抛物线与反比例函数的大小关系即可 求出 k 的取值范围 【解答】解： （1）设抛物线解析式为 ya（x1） （x+6） ， 将（0，3）代入，解得 a 抛物线解析式为 yx2+x3 （2）画出
32、二次函数 yx2+x3 的图象以及反比例函数在第一象限内的图象， 由图象可知，交点的横坐标 x0落在 1 和 2 之间，从而得出这两个相邻的正整数为 1 与 2 （3）由函数图象或函数性质可知：当 3x4 时， 对 y1x2+x3，y1随着 x 增大而增大， 对 y2（k0） ，y2随着 x 的增大而减小 因为 B 为二次函数图象与反比例函数图象的交点， 所以当 m3 时，由反比例函数图象在二次函数上方得 y2y1， 即32+33， 解得 k27 同理，当 m4 时，由二次函数图象在反比例上方得 y1y2， 即42+3， 解 k60， 所以 k 的取值范围为 27k60 【点评】本题主要考查了
33、待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，反比例函数图象上点的坐 标特征，反比例函数的性质，在直角坐标系中作图、读图的能力是解题的关键 23在等边三角形 ABC 中，点 D，E 分别在 BC，AC 上，且 DCAE，AD 与 BE 交于点 P，连接 PC （1）证明：ABECAD； （2）若 CECP，求证：CPDPBD； （3）在（2）的条件下，证明：点 D 是 BC 的黄金分割点 【分析】 （1）由“SAS”可证ABECAD； （2）由全等三角形的性质可得BPD60，由等腰三角形的性质和外角性质可得EBCDPC，可 得结论； （3）由题意可证 BDCECP，通过证明PCDDCP，可得，
34、可得 PC2BCCD，即 BD2 BCCD，可得结论 【解答】证明： （1）ABC 是等边三角形， ABACBC，BACABCACB60，且 CDAE， ABEACD（SAS） （2）ABECAD， ABEDAC， DAC+DABBAC60， ABE+DABBPD60， CECP， CPECEP， AEBBPC， AEBEBC+ECB60+EBC，BPCBPD+DPC60+DPC， EBCDPC，即CPDPBD； （3）ACBC，AECD， BDCE，且 CECP， BDCP， CPDPBD，且PCDPCB， PCDBCP， ， PC2BCCD， BD2BCCD， 点 D 是 BC 的黄金分割点 【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等边三角 形的性质，灵活运用这些判定和性质进行推理是本题的关键