1、 第第 1 章直角三角形的边角关系章直角三角形的边角关系 满分 120 分 时间 90 分钟 姓名：_班级：_考号：_成绩：_ 一选择题（共一选择题（共 10 小题，满分小题，满分 30 分，每小题分，每小题 3 分）分） 1计算：cos45的结果等于（ ） A B1 C D 2将ABC 的各边都扩大 3 倍，则A 的三个三角函数值都（ ） A扩大 3 倍 B缩小 3 倍 C不变 D无法确定 3如图，在 RtABC 中，C90，AB4，AC3，则 cosB（ ） A B C D 4在 RtABC 中，C90，sinB，则 tanA 的值为（ ） A B C D 5在网格中，小正方形的边长均为
2、1，点 A，B，C 都在格点上，则ABC 的正切值是（ ） A B C D 6在直角坐标平面内有一点 P（2，3） ，OP 与 x 轴正半轴的夹角 的正弦值为（ ） A B C D 7如图，在ABC 中，A30，B45，AC，则 AB 的长为（ ） A3+ B2+2 C2 D6 8菱形 ABCD 的对角线长为 6 和 8，则较小内角的正弦值为（ ） A B C D 9若ABC 的三边分别为 a，b，c，且满足|a12|+（5b）2+0，则ABC 为（ ） A锐角三角形 B钝角三角形 C等腰直角三角形 D面积等于 30 的直角三角形 10如图，某大楼 DE 楼顶挂着“众志成城，抗击疫情”的大型宣
3、传牌，为了测量宣传牌的高度 CD，小江 从楼底点 E 向前行走 30 米到达点 A，在 A 处测得宣传牌下端 D 的仰角为 60小江再沿斜坡 AB 行走 26 米到达点 B，在点 B 测得宣传牌的上端 C 的仰角为 43，已知斜坡 AB 的坡度 i1：2.4，点 A、B、 C、D、E 在同一平面内，CDAE，宣传牌 CD 的高度约为（参考数据：sin430.68，cos430.73， tan430.93，1.73） （ ） A8.3 米 B8.5 米 C8.7 米 D8.9 米 二填空题（共二填空题（共 7 小题，满分小题，满分 28 分，每小题分，每小题 4 分）分） 11比较大小 sin6
4、0 sin30 12已知一斜坡的坡度为 1：1，则该斜坡坡角 度 13如图，在 RtABC 中，C90，sinA，AB10，D 是 AC 的中点，则 BD 14如图是一个地铁站入口双翼闸机的示意图，当它的双翼展开时，双翼边缘的端点 A 与 B 之间的距离为 10cm，双翼的边缘 ACBD61cm，且与闸机侧立面夹角PCABDQ30，当双翼收起时，可以 通过闸机的物体最大宽度为 15如图，在直角坐标系中，已知，OBC 中，OC2，BOC150则 C 点的坐标为 16在ABC 中，B30，AB4，AC，则 BC 的长为 17观察下列等式： sin30，cos60； sin45，cos45； sin
5、60，cos30 （1）根据上述规律，计算 sin2+sin2（90） （2）计算：sin21+sin22+sin23+sin289 三解答题（共三解答题（共 8 小题，满分小题，满分 62 分）分） 18 （6 分）设 RtABC 中，C90，A、B、C 的对边分别为 a、b、c，若 b6，c10，求 sinA、 cosA 和 tanA 19 （6 分）如图所示，ABC 中，B45，C30，AB2求 BC 的长 20 （6 分）一艘渔船发出遇险警报，在遇险地点南偏西 35方向，距离为 24 海里处有一艘轮船，轮船收 到警报后立即去抢险，而遇险渔船正向北偏西 55方向以每小时 10 海里的速度
6、向某岛靠近，经过 1 小 时，轮船靠近渔船，求轮船抢险的航向和速度各是多少？ 参考数据：tan2237，tan212，sin2437，sin2237 21 （8 分） （1）计算：tan60+9tan308sin602cos45； （2）在ABC 中，C90，求A 的度数 22 （8 分）如图，在 RtABC 中，C90，ABC 的周长为 24，sinB，点 D 为 BC 的中点 （1）求 BC 的长； （2）求BAD 的正弦值 23 （8 分）如图，小明利用学到的数学知识测量大桥主架在水面以上的高度 AB，在观测点 C 处测得大桥主 架顶端 A 的仰角为 30，测得大桥主架与水面交汇点 B
7、的俯角为 14，观测点与大桥主架的水平距离 CM 为 60 米，且 AB 垂直于桥面 （点 A，B，C，M 在同一平面内） （1）求大桥主架在桥面以上的高度 AM； （结果保留根号） （2）求大桥主架在水面以上的高度 AB （结果精确到 1 米） （参考数据 sin140.24，cos140.97，tan140.25，1.73） 24 （10 分）已知：如图，在 RtABC 中，C90，ABC60，BC 长为p，BB1是ABC 的平 分线交 AC 于点 B1，过 B1作 B1B2AB 于点 B2，过 B2作 B2B3BC 交 AC 于点 B3，过 B3作 B3B4AB 于点 B4，过 B4作
8、B4B5BC 交 AC 于点 B5，过 B5作 B5B6AB 于点 B6，无限重复以上操作设 b0 BB1，b1B1B2，b2B2B3，b3B3B4，b4B4B5，bnBnBn+1， （1）求 b0，b3的长； （2）求 bn 的表达式 （用含 p 与 n 的式子表示，其中 n 是正整数） 25 （10 分）阅读下列材料，并解决后面的问题 在锐角ABC 中，A、B、C 的对边分别是 a、b、c过 A 作 ADBC 于 D（如图） ，则 sinB， sinC，即 ADcsinB，ADbsinC，于是 csinBbsinC， 即同理有， 所以（*） 即：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等
9、 （1）在锐角三角形中，若已知三个元素 a、b、A，运用上述结论（*）和有关定理就可以求出其余三 个未知元素 c、B、C，请你按照下列步骤填空，完成求解过程： 第一步：由条件 a、b、A B； 第二步：由条件A、B C； 第三步：由条件 c （2）如图，已知：A60，C75，a6，运用上述结论（*）试求 b 参考答案参考答案 一选择题（共一选择题（共 10 小题，满分小题，满分 30 分，每小题分，每小题 3 分）分） 1解：cos451 故选：B 2解：因为三角函数值与对应边的比值有关，所以各边的长度都扩大 3 倍后，锐有 A 的各三角函数值没有 变化， 故选：C 3解：在 RtABC 中，
10、C90，AB4，AC3， BC， cosB 故选：C 4解：sinB， 设 AC12x，AB13x， 由勾股定理得：BC5x， tanA， 故选：D 5解：连接 AC，由题意得到BAC90， 在ABC 为直角三角形中，AC，AB2， 则 tanABC， 故选：A 6解：如图，作 PEx 轴于 E P（2，3） ， OE2，PE3， OP， sin， 故选：D 7解：过 C 作 CDAB 于 D， ADCBDC90， B45， BCDB45， CDBD， A30，AC2， CD， BDCD， 由勾股定理得：AD3， ABAD+BD3+ 故选：A 8解：菱形的对角线互相垂直平分，因而 OA3，OB
11、4 在 RtAOB 中利用勾股定理得到：AB5 BC5 过 A 作 AEBC 于点 E， 菱形 ABCD 的面积是ACBDBCAE， 即685AE，则 AE， 所以ABC 的正弦是 故选：D 9解：根据非负数的性质， 可得 a120，b50，sinC1， 进而可得：a12，b5，C90， 故 SABC30 故选：D 10解：过 B 作 BFAE，交 EA 的延长线于 F，作 BGDE 于 G RtABF 中，itanBAF，AB26 米， BF10（米） ，AF24（米） ， BGAF+AE54（米） ， RtBGC 中，CBG43， CGBGtan43540.9350.22（米） ， RtA
12、DE 中，DAE60，AE30 米， DEAE30（米） ， CDCG+GEDE50.22+10308.3（米） 故选：A 二填空题（共二填空题（共 7 小题，满分小题，满分 28 分，每小题分，每小题 4 分）分） 11解：6030， sin60sin30 12解：坡度为 1：1， tan1， 为锐角， 45 故答案为：45 13解：在 RtABC 中，C90，sinA， sinA， AB10， BCAB6， AC8， D 是 AC 的中点， CDAC4， BD2； 故答案为：2 14解：过点 A 作 AEPC 于点 E，过点 B 作 BFQD 于点 F， AC61，PCA30， AEAC，
13、 由对称性可知：BFAE， 通过闸机的物体最大宽度为 2AE+AB61+1071， 故答案为：71cm 15解：BOC150， AOC180BOC30， ACOCsin301，OAOCcos30， C 点在第二象限 C 点坐标（，1） 故答案为（，1） 16解：如图 1，过点 A 作 ADBC 于点 D， B30，AB4， ADAB2，BDABcos3042 在 RtACD 中，AD2，AC， DC， BCBD+DC2+3； 如图 2，同理可得， ADAB2，BDABcos3042，DC， BCBDDC2 综上所述，BC 的长为 3或； 故答案为：3或 17解： （1）由所提供的等式可得 si
14、ncos（90） cossin（90） ，sin2+cos21， sin2+sin2（90）sin2+cos21， 故答案为：1； （2）sin21+sin22+sin23+sin289 sin21+sin22+sin23+cos23+cos22+cos21 （sin21+cos21）+（sin22+cos22）+（sin23+cos23）+sin245 1+1+1+ 44.5， 故答案为：44.5 三解答题（共三解答题（共 8 小题，满分小题，满分 62 分）分） 18解：如图所示：RtABC 中，C90，A、B、C 的对边分别为 a、b、c，b6，c10， a8， sinA； cosA；
15、tanA 19解：过点 A 作 ADBC 于点 D，如图所示 在 RtABD 中，ADB90，B45，AB2， ADBDABsinB22 在 RtACD 中，ADC90，C30，AD2， AC2AD4，CDAD2， BCBD+CD2+2 20解：由题意得，AOF35，BOE55， AOB90，又 OB10，OA24， AB26， 轮船的速度是每小时 26 海里； sinBAO， BAO2237， GAOAOF35， GAB1223， 轮船抢险的航向是北偏东 1223， 答：轮船抢险的航向是北偏东 1223，速度是每小时 26 海里 21解： （1）原式+982； （2）在 RtABC 中，C9
16、0， tanA， A60 22解： （1）sinB， ， 设 AB5k，AC3k，则 BC4k， ABC 的周长为 24， 3k+4k+5k24， 12k24， k2， AB10，AC6，BC8； （2）过点 D 作 DEAB，垂足为 E， AD 为中线， SABDSABC24， 10DE12， DE， 在 RtACD 中，AD2CD2+AC2， AD2， sinBAD 23解： （1）AB 垂直于桥面， AMCBMC90， 在 RtAMC 中，CM60，ACM30， tanACM， AMCMtanACM6020（米） ， 答：大桥主架在桥面以上的高度 AM 为 20米； （2）在 RtBMC
17、 中，CM60，BCM14， tanBCM， MBCMtanBCM600.2515（米） ， ABAM+MB15+2050（米） 答：大桥主架在水面以上的高度 AB 约为 50 米 24解： （1）b02p， 在 RtBB1B2中，b1P， 同理：b2p，b3 （2）同（1）得：b4（）3p， bn（）n 1p（n 是正整数） 25解： （1）在锐角三角形中，若已知三个元素 a、b、B，运用上述结论和有关定 理就可以求出其余三个未知元素 c、A、C，请你按照下列步骤填空，完成求解过程： 第一步：由条件 a、b、BA； 第二步：由条件A、BA+B+C180C； 第三步：由条件 b，B，Cc （2）如图，已知：A60，C75，a6， 运用上述结论试求 b， A60，C75， B180AC 1806075 45， a6，根据上述结论有：， 即， b2