1、2020-2021 学年广东省清远市英德市九年级第一学期期中数学试卷学年广东省清远市英德市九年级第一学期期中数学试卷 一、选择题 1（3 分）下列方程是一元二次方程的是（ ） A3x2+0 B2x3y+10 C3x2x2 Dx2+2xx2+3 2（3 分）如图，已知菱形 ABCD 的边长为 3，ABC60，则对角线 AC 的长是（ ） A12 B9 C6 D3 3（3 分）方程 x24x0 的解是（ ） Ax4 Bx0 Cx10，x24 Dx10，x24 4（3 分）在直角三角形中，若斜边上的中线长为 6，则斜边长为（ ） A3 B6 C12 D无法确定 5（3 分）已知 2x3y，则下列比例
2、式成立的是（ ） A B C D 6（3 分）若 x1 是关于 x 的一元二次方程 x2+3xm0 的一个解，则 m 的值是（ ） A1 B2 C3 D4 7（3 分）已知ABCDEF，且 AB：DE1：2，则ABC 与DEF 的周长之比为（ ） A1：2 B2：1 C1：4 D4：3 8（3 分）下列判断不正确的是（ ） A四个角相等的四边形是矩形 B对角线垂直的四边形是菱形 C对角线相等的平行四边形是矩形 D对角线垂直的平行四边形是菱形 9（3 分）若关于 x 的一元二次方程 x22x+m0 有两个不相等的实数根，则 m 的取值范围是（ ） Am1 Bm1 Cm1 Dm1 10（3 分）如
3、图，矩形纸片 ABCD 中，AB4，BC8，将纸片沿 EF 折叠，使点 C 与点 A 重合，则下列 结论错误的是（ ） AAFAE BABEAGF CEF2 DAFEF 二、填空题（每题 4 分，共 28 分） 11（4 分）方程 3x25x10 的二次项系数为 12（4 分）已知菱形的两条对角线长分别为 8 和 6，则边长为 13（4 分）一个盒子装有除颜色外其它均相同的 2 个红球和 3 个白球，现从中任取 1 个球，则取到的是白 球的概率为 14（4 分）如图，矩形 ABCD 的对角线 AC8cm，AOD120，则 AB 的长为 cm 15（4 分）如图，菱形 ABCD 的对角线 AC、
4、BD 相交于点 O，E 为 AD 的中点，若 OE3，则菱形 ABCD 的周长为 16（4 分）小明身高是 1.5 米，他的影长是 2 米，同一时刻一电线杆的影长是 20 米，则电线杆的高度是 米 17（4 分）已知直角三角形的两条直角边的长恰好是方程 x27x+120 的两个根，则这个直角三角形的 斜边长是 三、解答题（一）（每题 6 分，共 18 分） 18（6 分）解方程：x24x50 19（6 分）如图，在ABC 中，DEBC，AD8，BD4，AE6，求 EC 的长 20（6 分）已知如图所示，AD 是ABC 的角平分线，DEAC 交 AB 于 E，DFAB 交 AC 于 F，四边形
5、AEDF 是菱形吗？说明理由 四、解答题（二）（每题 8 分，共 24 分） 21（8 分）有 A、B 两个不透明的盒子，A 盒里有两张卡片，分别标有数字 1、2，B 盒里有三张卡片，分 别标有数字 3、4、5，这些卡片除数字外其余都相同，将卡片充分摇匀 （1）从 A 盒里抽取一张卡片、抽到的卡片上标有数字为奇数的概率是 ； （2）从 A 盒、B 盒里各随机抽取一张卡片，请用列表或画树状图的方法，求抽到的两张卡片上标有的数 字之和大于 5 的概率 22 （8 分） 某商场一种商品的进价为每件 30 元， 售价为每件 40 元 为尽快减少库存， 商场决定降价促销 （1）若该商品连续两次下调相同的
6、百分率后售价降至每件 32.4 元，求两次下降的百分率； （2）若按此百分率再降价一次，是否会亏本，请说明理由 23（8 分）如图所示，已知平行四边形 ABCD，对角线 AC，BD 相交于点 O，OBCOCB （1）求证：平行四边形 ABCD 是矩形； （2）请添加一个条件使矩形 ABCD 为正方形 五、解答题（三）（每题 10 分，共 20 分） 24（10 分）如图，在四边形 ABCD 中，ABCD，ADBC，过点 A 作 AEBC，垂足为点 E，连接 DE， 点 F 为线段 DE 上一点，且AFEB （1）求证：四边形 ABCD 是平行四边形； （2）求证：ADFDEC； （3）若 AB
7、8，AD6，AF4，求 AE 的长 25 （10 分）如图，在边长为 4 的正方形 ABCD 中，点 P 在 AB 上从 A 向 B 运动，连接 DP 交 AC 于点 Q （1）试证明：无论点 P 运动到 AB 上何处时，都有ADQABQ； （2）当点 P 在 AB 上运动到什么位置时，ADQ 的面积是正方形 ABCD 面积的； （3）若点 P 从点 A 运动到点 B，再继续在 BC 上运动到点 C，在整个运动过程中，当点 P 运动到什么位 置时，ADQ 恰为等腰三角形 参考答案参考答案 一、选择题（每小题 3 分，共 30 分） 1（3 分）下列方程是一元二次方程的是（ ） A3x2+0 B
8、2x3y+10 C3x2x2 Dx2+2xx2+3 解：A、是关于 x 的分式方程，故本选项不符合题意； B、是关于 x，y 的二元一次方程，故本选项不符合题意； C、是关于 x 的一元二次方程，故本选项符合题意； D、是关于 x 的一元一次方程，故本选项不符合题意； 故选：C 2（3 分）如图，已知菱形 ABCD 的边长为 3，ABC60，则对角线 AC 的长是（ ） A12 B9 C6 D3 解：四边形 ABCD 是菱形， ABBC3， ABC60， ABC 是等边三角形， ACAB3 故选：D 3（3 分）方程 x24x0 的解是（ ） Ax4 Bx0 Cx10，x24 Dx10，x24
9、 解：方程分解因式得：x（x4）0， 可得 x0 或 x40， 解得：x10，x24 故选：C 4（3 分）在直角三角形中，若斜边上的中线长为 6，则斜边长为（ ） A3 B6 C12 D无法确定 解：直角三角形的斜边上的中线长为 6，则斜边上的长为 12， 故选：C 5（3 分）已知 2x3y，则下列比例式成立的是（ ） A B C D 解：2x3y， 故选：B 6（3 分）若 x1 是关于 x 的一元二次方程 x2+3xm0 的一个解，则 m 的值是（ ） A1 B2 C3 D4 解：x1 是关于 x 的一元二次方程 x2+3xm0 的一个解， 1+3m0，解得 m4 故选：D 7（3 分
10、）已知ABCDEF，且 AB：DE1：2，则ABC 与DEF 的周长之比为（ ） A1：2 B2：1 C1：4 D4：3 解：ABCDEF，AB：DE1：2， ABC 与DEF 的相似比为 1：2， ABC 与DEF 的周长之比为 1：2， 故选：A 8（3 分）下列判断不正确的是（ ） A四个角相等的四边形是矩形 B对角线垂直的四边形是菱形 C对角线相等的平行四边形是矩形 D对角线垂直的平行四边形是菱形 解：A、四个角相等的四边形是矩形，正确； B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故错误； C、对角线相等的平行四边形是矩形，正确； D、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，正确 故选：B 9（
11、3 分）若关于 x 的一元二次方程 x22x+m0 有两个不相等的实数根，则 m 的取值范围是（ ） Am1 Bm1 Cm1 Dm1 解：关于 x 的一元二次方程 x22x+m0 有两个不相等的实数根， （2）24m0， 44m0， 解得 m1 故选：A 10（3 分）如图，矩形纸片 ABCD 中，AB4，BC8，将纸片沿 EF 折叠，使点 C 与点 A 重合，则下列 结论错误的是（ ） AAFAE BABEAGF CEF2 DAFEF 解：设 BEx，则 CEBCBE8x， 沿 EF 翻折后点 C 与点 A 重合， AECE8x， 在 RtABE 中，AB2+BE2AE2， 即 42+x2（
12、8x）2 解得 x3， AE835， 由翻折的性质得，AEFCEF， 矩形 ABCD 的对边 ADBC， AFECEF， AEFAFE， AEAF5， A 正确； 在 RtABE 和 RtAGF 中， ， ABEAGF（HL）， B 正确； 过点 E 作 EHAD 于 H，则四边形 ABEH 是矩形， EHAB4， AHBE3， FHAFAH532， 在 RtEFH 中，EF2， C 正确； AEF 不是等边三角形， EFAF， 故 D 错误； 故选：D 二、填空题（每题 4 分，共 28 分） 11（4 分）方程 3x25x10 的二次项系数为 3 解：方程 3x25x10 整理得 3x25
13、x100， 方程 3x25x10 的二次项系数为 3； 故答案为：3 12（4 分）已知菱形的两条对角线长分别为 8 和 6，则边长为 5 解：如图，令 AC6，BD8， 四边形 ABCD 是菱形， AOAC3，BOBD4，且 ACBD， ABO 是直角三角形， AB5 故答案为：5 13（4 分）一个盒子装有除颜色外其它均相同的 2 个红球和 3 个白球，现从中任取 1 个球，则取到的是白 球的概率为 解：一个盒子装有除颜色外其它均相同的 2 个红球和 3 个白球，现从中任取 1 个球， 取到的是白球的概率为： 故答案为： 14（4 分）如图，矩形 ABCD 的对角线 AC8cm，AOD12
14、0，则 AB 的长为 4 cm 解：AOD120， AOB60， 四边形 ABCD 是矩形， ACBD，AOOC（cm），BOOD， AOBO4cm， ABO 是等边三角形， ABAO4cm， 故答案为：4 15（4 分）如图，菱形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，E 为 AD 的中点，若 OE3，则菱形 ABCD 的周长为 24 解：四边形 ABCD 为菱形， ACBD，ABBCCDDA， AOD 为直角三角形 OE3，且点 E 为线段 AD 的中点， AD2OE6 C菱形ABCD4AD4624 故答案为：24 16（4 分）小明身高是 1.5 米，他的影长是 2 米，同一时刻
15、一电线杆的影长是 20 米，则电线杆的高度是 15 米 解：设电线杆的高度为 x 米，根据题意得，x：1.520：2， x15 所以电线杆的高度是 15 米 故答案为 15 17（4 分）已知直角三角形的两条直角边的长恰好是方程 x27x+120 的两个根，则这个直角三角形的 斜边长是 5 解：x27x+120， （x3）（x4）0， 则 x30 或 x40， 解得 x3 或 x4， 则这个直角三角形的斜边长是5， 故答案为：5 三、解答题（一）（每题 6 分，共 18 分） 18（6 分）解方程：x24x50 解：（x+1）（x5）0， 则 x+10 或 x50， x1 或 x5 19（6
16、分）如图，在ABC 中，DEBC，AD8，BD4，AE6，求 EC 的长 解：DEBC， ， ， EC3 20（6 分）已知如图所示，AD 是ABC 的角平分线，DEAC 交 AB 于 E，DFAB 交 AC 于 F，四边形 AEDF 是菱形吗？说明理由 解：如图，由于 DEAC，DFAB，所以四边形 AEDF 为平行四边形 DEAC，32， 又12，13， AEDE，平行四边形 AEDF 为菱形 四、解答题（二）（每题 8 分，共 24 分） 21（8 分）有 A、B 两个不透明的盒子，A 盒里有两张卡片，分别标有数字 1、2，B 盒里有三张卡片，分 别标有数字 3、4、5，这些卡片除数字外
17、其余都相同，将卡片充分摇匀 （1）从 A 盒里抽取一张卡片、抽到的卡片上标有数字为奇数的概率是 ； （2）从 A 盒、B 盒里各随机抽取一张卡片，请用列表或画树状图的方法，求抽到的两张卡片上标有的数 字之和大于 5 的概率 解：（1）从 A 盒里抽取一张卡片，抽到的卡片上标有数字为奇数的概率为； 故答案为：； （2）画树状图得： 共有 6 种等可能的结果，抽到的两张卡片上标有的数字之和大于 5 的有 3 种情况， 两次抽取的卡片上数字之和大于 5 的概率为 22 （8 分） 某商场一种商品的进价为每件 30 元， 售价为每件 40 元 为尽快减少库存， 商场决定降价促销 （1）若该商品连续两次
18、下调相同的百分率后售价降至每件 32.4 元，求两次下降的百分率； （2）若按此百分率再降价一次，是否会亏本，请说明理由 解：（1）设两次下降的百分率为 x， 依题意，得：40（1x）232.4， 解得：x10.110%，x21.9（不合题意，舍去） 答：两次下降的百分率为 10% （2）32.4（110%）29.16（元）， 29.1630， 若按此百分率再降价一次，会亏本 23（8 分）如图所示，已知平行四边形 ABCD，对角线 AC，BD 相交于点 O，OBCOCB （1）求证：平行四边形 ABCD 是矩形； （2）请添加一个条件使矩形 ABCD 为正方形 【解答】（1）证明：四边形 A
19、BCD 是平行四边形， OAOC，OBOD， OBCOCB， OBOC， ACBD， 平行四边形 ABCD 是矩形； （2）解：ABAD（或 ACBD 答案不唯一） 理由：四边形 ABCD 是矩形， 又ABAD， 四边形 ABCD 是正方形 或：四边形 ABCD 是矩形， 又ACBD， 四边形 ABCD 是正方形 五、解答题（三）（每题 10 分，共 20 分） 24（10 分）如图，在四边形 ABCD 中，ABCD，ADBC，过点 A 作 AEBC，垂足为点 E，连接 DE， 点 F 为线段 DE 上一点，且AFEB （1）求证：四边形 ABCD 是平行四边形； （2）求证：ADFDEC；
20、（3）若 AB8，AD6，AF4，求 AE 的长 解：（1）证明：ABCD，ADBC， 四边形 ABCD 是平行四边形； （2）证明：ABCD，ADBC， C+B180，ADFDEC AFD+AFE180，AFEB， AFDC， ADFDEC； （3）四边形 ABCD 是平行四边形， CDAB8， 由（2）知ADFDEC， ， DE12 在 RtADE 中，由勾股定理得： AE 6 25 （10 分）如图，在边长为 4 的正方形 ABCD 中，点 P 在 AB 上从 A 向 B 运动，连接 DP 交 AC 于点 Q （1）试证明：无论点 P 运动到 AB 上何处时，都有ADQABQ； （2）当
21、点 P 在 AB 上运动到什么位置时，ADQ 的面积是正方形 ABCD 面积的； （3）若点 P 从点 A 运动到点 B，再继续在 BC 上运动到点 C，在整个运动过程中，当点 P 运动到什么位 置时，ADQ 恰为等腰三角形 【解答】（1）证明：在正方形 ABCD 中， 无论点 P 运动到 AB 上何处时，都有 ADAB，DAQBAQ，AQAQ， ADQABQ； （2）解法一：ADQ 的面积恰好是正方形 ABCD 面积的时， 过点 Q 作 QEAD 于 E，QFAB 于 F，则 QEQF， 在边长为 4 的正方形 ABCD 中， S正方形ABCD16， ADQES正方形ABCD16， QE，
22、EQAP， DEQDAP， ，即， 解得 AP2， AP2 时，ADQ 的面积是正方形 ABCD 面积的； 解法二：以 A 为原点建立如图所示的直角坐标系，过点 Q 作 QEy 轴于点 E，QFx 轴于点 F ADQES正方形ABCD16， QE， 点 Q 在正方形对角线 AC 上， Q 点的坐标为（，）， 过点 D（0，4），Q（，）两点的函数关系式为：y2x+4， 当 y0 时，x2， P 点的坐标为（2，0）， AP2 时，即当点 P 运动到 AB 中点位置时，ADQ 的面积是正方形 ABCD 面积的； （3）解：若ADQ 是等腰三角形，则有 QDQA 或 DADQ 或 AQAD， 当 ADDQ 时，则DQADAQ45 ADQ90，P 为 C 点， 当 AQDQ 时，则DAQADQ45， AQD90，P 为 B， ADAQ（P 在 BC 上）， CQACAQBCBC（1）BC ADBC ，即可得1， CPCQ（1）BC4（1） 综上，P 在 B 点，C 点，或在 CP4（1）处，ADQ 是等腰三角形