1、2020 年高考数学二模试卷（文科）年高考数学二模试卷（文科） 一、选择题（共 12 小题）. 1复平面内表示复数 的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 2已知集合 A2，1，0，1，2，Bx|y ，则 AB（ ） A1，2 B0，1，2 C2，1 D2，1，0 3已知函数 f（x）（2x+2x）ln|x|的图象大致为（ ） A B C D 4已知等比数列an满足 a14，a1a2a3a4a50，则公比 q（ ） A B C D2 5设 x，y 满足约束条件 ，则 zx+y 的最小值是（ ） A4 B2 C0 D2 6mlog3 ，n7 0.1，plog 425，则
2、m，n，p 的大小关系为（ ） Ampn Bpnm Cpmn Dnpm 7在ABC 中，D 为 BC 边上一点，E 是 AD 中点，若 ， ，则 +（ ） A B C D 8“割圆术”是刘徽最突出的数学成就之一，他在九章算术注中提出割圆术，并作为计算圆的周长、 面积以及圆周率的基础刘徽把圆内接正多边形的面积直算到了正 3072 边形，并由此而求得了圆周率为 3.1415 和 3.1416 这两个近似数值，这个结果是当时世界上圆周率计算的最精确数据如图，当分割到圆 内接正六边形时，某同学利用计算机随机模拟法向圆内随机投掷点，计算得出该点落在正六边形内的频 率为 0.8269，那么通过该实验计算出
3、来的圆周率近似值为（参考数据 2.0946）（ ） A3.1419 B3.1417 C3.1415 D3.1413 9已知函数 f（x）cos（x+）（0）的最小正周期为 ，且对 xR， ，恒成立，若函数 yf（x）在0，a上单调递减，则 a 的最大值是（ ） A B C D 10在四棱锥 P 一 ABCD 中，所有侧棱都为 4 ，底面是边长为 2 的正方形，O 是 P 在平面 ABCD 内的 射影，M 是 PC 的中点，则异面直线 OP 与 BM 所成角为（ ） A30 B45 C60 D90 11已知双曲线 ， 的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F2且斜率为 的直线与双曲线 在第一象限的
4、交点为 A，若 ，则此双曲线的标准方程可能为（ ） Ax2 1 B C D 12已知函数 ，若关于 x 的方程|f（x）|mxe 无实数解，则 m 的取值范围为（ ） A（2e，0 B（4e2，0 C ， D ， 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在答题卡中的横线上 13某公司对 2019 年 14 月份的获利情况进行了数据统计，如表所示： 月份 x 1 2 3 4 利润 y/万元 5 6 6.5 8 利用线性回归分析思想，预测出 2019 年 8 月份的利润为 11.6 万元，则 y 关于 x 的线性回归方程为 14一个圆经过椭圆 的三个顶点，且圆心在 y
5、轴的负半轴上，则该圆的标准方程为 15若一个圆柱的轴截面是面积为 4 的正方形，则该圆柱的外接球的表面积为 16已知正项数列an的前 n 项和为 Sn，满足 ，则 三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必 考题，每道试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共 60 分 17在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，bsinB+csinCa（ sinA） （1）求 A 的大小； （2）若 a ，B ，求ABC 的面积 18如图，在直四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，底面 ABCD
6、是矩形，A1D 与 AD1交于点 E，AA1AD2AB 4 （1）证明：AE平面 ECD （2）求点 C1到平面 AEC 的距离 19 某度假酒店为了解会员对酒店的满意度， 从中抽取 50 名会员进行调查， 把会员对酒店的 “住宿满意度” 与“餐饮满意度”都分为五个评分标准：1 分（很不满意）；2 分（不满意）；3 分（一般）；4 分（满 意）；5 分（很满意）其统计结果如下表（住宿满意度为 x，餐饮满意度为 y） 住宿满意度 x 人数 餐饮满意度 y 1 2 3 4 5 1 1 1 2 1 0 2 2 1 3 2 1 3 1 2 5 3 4 4 0 3 5 4 3 5 0 0 1 2 3 （
7、1）求“住宿满意度”分数的平均数； （2）求“住宿满意度”为 3 分时的 5 个“餐饮满意度”人数的方差； （3）为提高对酒店的满意度，现从 2x3 且 1y2 的会员中随机抽取 2 人征求意见，求至少有 1 人 的“住宿满意度”为 2 的概率 20已知曲线 G 上的点到点 F（1，0）的距离比它到直线 x3 的距离小 2 （1）求曲线 G 的方程 （2）是否存在过 F 的直线 l，使得 l 与曲线 G 相交于 A，B 两点，点 A 关于 x 轴的对称点为 A，且ABF 的面积等于 4？若存在，求出此时直线 l 的方程；若不存在，请说明理由 21已知函数 f（x）lnx，g（x）x1 （1）当
8、 k 为何值时，直线 yg（x）是曲线 ykf（x）的切线； （2）若不等式 在1，e上恒成立，求 a 的取值范围 （二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分选 修 4-4：坐标系与参数方程 22在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的方程为 x+ya0，曲线 C 的参数方程为 （ 为参数）以 坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系 （1）求直线 l 和曲线 C 的极坐标方程； （2）若直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，且直线 OA 与 OB 的斜率之积为 ，求 a 选修 4-5：不等式选讲 23已知函数 f（x）|x+2|
9、（1）求不等式 f（x）+f（x2）x+4 的解集； （2）若xR，使得 f（x+a）+f（x）f（2a）恒成立，求 a 的取值范围 参考答案参考答案 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的 1复平面内表示复数 的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【分析】利用复数的运算法则化简复数为 a+bi 的形式，然后求解坐标所在的象限 解： ，它在复平面对应的点在第一象限 故选：A 2已知集合 A2，1，0，1，2，Bx|y ，则 AB（ ） A1，2 B0，1，2 C2，1 D2，1，0 【分析】可以
10、求出集合 B，然后进行交集的运算即可 解：Bx|x0； AB2，1，0 故选：D 3已知函数 f（x）（2x+2x）ln|x|的图象大致为（ ） A B C D 【分析】判断函数的奇偶性和零点个数，以及利用极限思想进行求解即可 解：f（x）（2x+2x）ln|x|（2x+2x）ln|x|f（x），则 f（x）是偶函数，排除 D， 由 f（x）0 得 ln|x|0 得|x|1，即 x1 或 x1，即 f（x）有两个零点，排除 C， 当 x+，f（x）+，排除 A， 故选：B 4已知等比数列an满足 a14，a1a2a3a4a50，则公比 q（ ） A B C D2 【分析】由已知结合等比数列的通
11、项公式即可求解公比 q 解：等比数列an满足 a14，a1a2a3a4a50 由等比数列的通项公式可得，（4q）316q70 解可得，q22， q 故选：A 5设 x，y 满足约束条件 ，则 zx+y 的最小值是（ ） A4 B2 C0 D2 【分析】先画出可行域的边界，即三个直线方程对应的直线，再利用一元二次不等式表示平面区域的规 律，确定可行域，将目标函数的函数值看做目标函数对应直线的纵截距，平移目标函数，数形结合找到 最优解，即可求出结果 解：依题意 x，y 满足约束条件 画图如下： 当 z0 时，有直线 l1：x+y0 和直线 l2：xy0，并分别在上图表示出来， 当直线向 xy0 向
12、下平移并过 A 点的时候，目标函数 zx+y 有最小值，此时最优解就是 A 点，点 A 的坐标是：A（2，2）， 所以目标函数 zx+y 的最小值是 0 故选：C 6mlog3 ，n7 0.1，plog 425，则 m，n，p 的大小关系为（ ） Ampn Bpnm Cpmn Dnpm 【分析】利用对数函数、指数函数的单调性直接求解 解：mlog3 log310， 0n70.1701， plog425log441， 则 m，n，p 的大小关系为 pnm 故选：B 7在ABC 中，D 为 BC 边上一点，E 是 AD 中点，若 ， ，则 +（ ） A B C D 【分析】选 ， 为基向量，将 用
13、基向量表示，再根据平面向量基本定理可得 解： （ ） （ ） ， 又 ，根据平面向量基本定理可得： ，且（ ）， 解得 ， ，+ 故选：B 8“割圆术”是刘徽最突出的数学成就之一，他在九章算术注中提出割圆术，并作为计算圆的周长、 面积以及圆周率的基础刘徽把圆内接正多边形的面积直算到了正 3072 边形，并由此而求得了圆周率为 3.1415 和 3.1416 这两个近似数值，这个结果是当时世界上圆周率计算的最精确数据如图，当分割到圆 内接正六边形时，某同学利用计算机随机模拟法向圆内随机投掷点，计算得出该点落在正六边形内的频 率为 0.8269，那么通过该实验计算出来的圆周率近似值为（参考数据 2
14、.0946）（ ） A3.1419 B3.1417 C3.1415 D3.1413 【分析】 由几何概型中的面积型及正六边形、 圆的面积公式得： 正六边形 圆 0.8269， 所以 0.8269， 又 2.0946，所以 3.1419，得解 解：由几何概型中的面积型可得： 正六边形 圆 0.8269， 所以 0.8269， 又 2.0946， 所以 3.1419， 故选：A 9已知函数 f（x）cos（x+）（0）的最小正周期为 ，且对 xR， ，恒成立，若函数 yf（x）在0，a上单调递减，则 a 的最大值是（ ） A B C D 【分析】利用函数的周期求出 ，对 xR， ，恒成立，推出函数
15、的最小值，求出 ，然后求 解函数的单调区间即可 解：函数 f（x）cos（x+）（0）的最小正周期为 ， ， 又对任意的 x，都使得 ， 所以函数 f（x）在 上取得最小值， 则 ，kZ， 即 ，kZ 所以 ， 令 ，kZ， 解得 ，kZ， 则函数 yf（x）在 ， 上单调递减， 故 a 的最大值是 故选：B 10在四棱锥 P 一 ABCD 中，所有侧棱都为 4 ，底面是边长为 2 的正方形，O 是 P 在平面 ABCD 内的 射影，M 是 PC 的中点，则异面直线 OP 与 BM 所成角为（ ） A30 B45 C60 D90 【分析】由题意画出图形，可知四棱锥 PABCD 为正四棱锥，以
16、O 为坐标原点，分别以 OA，OB，OP 所在直线为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求解异面直线 OP 与 BM 所成角 解：如图， 由题意，四棱锥 PABCD 为正四棱锥， 以 O 为坐标原点，分别以 OA，OB，OP 所在直线为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系， 则 O（0，0，0），P（0，0， ），B（0， ，0），M（ ，0， ）， ， ， ， ， ， ， cos ， 异面直线 OP 与 BM 所成角为 60 故选：C 11已知双曲线 ， 的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F2且斜率为 的直线与双曲线 在第一象限的交点为 A，若 ，则此双曲线的标准方程可能为（ ）
17、 Ax2 1 B C D 【分析】由向量的加减运算和数量积的性质，可得|AF2|F2F1|2c，由双曲线的定义可得|AF1|2a+2c， 再由三角形的余弦定理，可得 3c5a，4c5b，即可得到所求方程 解：若（ ） 0，即为若（ ） （ ）0， 可得 2 2，即有|AF 2|F2F1|2c， 由双曲线的定义可得|AF1|2a+2c， 在等腰三角形 AF1F2中，tanAF2F1 ， cosAF2F1 ， 化为 3c5a， 即 a c，b c， 可得 a：b3：4，a2：b29：16 故选：D 12已知函数 ，若关于 x 的方程|f（x）|mxe 无实数解，则 m 的取值范围为（ ） A（2e
18、，0 B（4e2，0 C ， D ， 【分析】求出函数的导数判断函数的单调性，画出函数的图象，设出切点坐标，转化求解即可 解：函数 ，可得 ， 令 f（x）0，解得 x1， 当 x1 时，f（x）0，可知函数 f（x）在（，1）上单调递增， 在（1，+）上单调递减绘制函数 y|f（x）|的图象如图所示， 直线 ymxe 恒过点（0，e）当直线 ymxe 与曲线 y|f（x）|相切时， 切点为（x0，y0），此时 ，解得 结合图象可知，关于 x 的方程|f（x）|mxe 无实数解，此时 m（2e，0 故选：A 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在答题卡中的横线上
19、 13某公司对 2019 年 14 月份的获利情况进行了数据统计，如表所示： 月份 x 1 2 3 4 利润 y/万元 5 6 6.5 8 利用线性回归分析思想，预测出 2019 年 8 月份的利润为 11.6 万元，则 y 关于 x 的线性回归方程为 【分析】由已知求得样本点的中心的坐标，结合已知列关于 与 的方程组，求解即可得到 y 关于 x 的线 性回归方程 解：由已知表格中的数据可得， ， ， ， 又 ， 联立解得： ， y 关于 x 的线性回归方程为 故答案为： 14 一个圆经过椭圆 的三个顶点， 且圆心在 y 轴的负半轴上， 则该圆的标准方程为 x 2+ （y+1） 24 【分析】
20、利用已知条件，判断圆经过的点，设出圆心与半径，转化求解即可 解：因为一个圆经过椭圆 的三个顶点，且圆心在 y 轴的负半轴上， 所以该圆过椭圆的左、右两个顶点和下顶点 设圆心坐标为（0，m），半径为 r，所以（3r）2+3r2，解得 r2，则 m1 所以圆的标准方程为 x2+（y+1）24 故答案为：x2+（y+1）24 15若一个圆柱的轴截面是面积为 4 的正方形，则该圆柱的外接球的表面积为 8 【分析】由题意画出图形，求出圆柱外接球的直径，得到外接球的半径，则外接球的表面积可求 解：如图， 圆柱的轴截面是面积为 4 的正方形，则正方形的边长为 2， 正方形的对角线即圆柱外接球的直径为 ，半径
21、为 该圆柱的外接球的表面积为 故答案为：8 16已知正项数列an的前 n 项和为 Sn，满足 ，则 【分析】利用数列的递推关系式求出首项，然后推出数列是等差数列，求出数列的通项公式以及数列的 和，化简所求表达式的通项公式，然后利用裂项消项法求解即可 解：当 n1 时， ，解得 a11；当 n2 时， ， 相减可得 ， ， 可得 anan12， 所以 an1+2（n1）2n1， ，可得 ； ， 所以 故答案为： 三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必 考题，每道试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答（一）必考
22、题：共 60 分 17在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，bsinB+csinCa（ sinA） （1）求 A 的大小； （2）若 a ，B ，求ABC 的面积 【分析】（1）由正弦定理化简已知等式可得 b2+c2a（ a），可得 b 2+c2a2 ，进而可求 cosA ，从而可得 A 的值 （2）利用两角和的正弦函数公式可求 sinC 的值，利用正弦定理可得 b，根据三角形的面积公式即可计算 得解 解：（1）bsinB+csinCa（ sinA）， 由正弦定理可得：b2+c2a（ a）， b2+c2a2 ， 2bccosA bc，解得：cosA ，可得：A （2）sin
23、Csin（A+B） ， 由正弦定理 ，可得：b ， SABC absinC 18如图，在直四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，底面 ABCD 是矩形，A1D 与 AD1交于点 E，AA1AD2AB 4 （1）证明：AE平面 ECD （2）求点 C1到平面 AEC 的距离 【分析】 （1） 证明 CD平面 ADD1A1可得 CDAE， 根据 AA1AD 可得 AEDE， 故而 AE平面 EDC； （2）根据 V V 列方程计算 C1到平面 AEC 的距离 【解答】（1）证明：四边形 ABCD 是矩形，CDAD， AA1平面 ABCD，CD平面 ABCD， AA1CD，又 AA1ADA， CD平面
24、 ADD1A1， CDAE， 四边形 ADD1A1是平行四边形，E 是 A1D 的中点， AA1AD，AEDE， 又 CDDED， AE平面 ECD （2）解：连接 CD1，则点 C1到平面 AEC 的距离即为点 C1到平面 ACD1的距离 在ACD1中，AC2 ，AD14 ，CD12 ， CEAD1，且 CE 2 ， S 4 ， 设 C1到平面 ACD1的距离为 h，则 V 又 V V ， 4 h16，即 h 点 C1到平面 AEC 的距离为 19 某度假酒店为了解会员对酒店的满意度， 从中抽取 50 名会员进行调查， 把会员对酒店的 “住宿满意度” 与“餐饮满意度”都分为五个评分标准：1
25、分（很不满意）；2 分（不满意）；3 分（一般）；4 分（满 意）；5 分（很满意）其统计结果如下表（住宿满意度为 x，餐饮满意度为 y） 住宿满意度 x 人数 餐饮满意度 y 1 2 3 4 5 1 1 1 2 1 0 2 2 1 3 2 1 3 1 2 5 3 4 4 0 3 5 4 3 5 0 0 1 2 3 （1）求“住宿满意度”分数的平均数； （2）求“住宿满意度”为 3 分时的 5 个“餐饮满意度”人数的方差； （3）为提高对酒店的满意度，现从 2x3 且 1y2 的会员中随机抽取 2 人征求意见，求至少有 1 人 的“住宿满意度”为 2 的概率 【分析】（1）根据平均数公式可得；
26、 （2）根据平均数和方差公式以及题目中数据可计算得 （3）利用列举法以及古典概型的概率公式可得 解：（1）“住宿满意度”分数的平均数为： 3.16 （2）当“住宿满意度“为 3 分时的 5 个”餐饮满意度“人数的平均数为： 3， 其方差为 2 （3）符合条件的所有会员共 6 人，其中“住宿满意度”为 2 的 3 人分别记为 a，b，c“住宿满意度” 为 3 的 3 人分别记为 d，e，f 从这 6 人中抽取 2 人有如下情况：（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（a，f），（b，c），（b， d），（b，e），（b，f），（c，d），（c，e），（c，f），（d，e），（d，f），
27、（e，f）共 15 种情 况， 所以至少有 1 人的“住宿满意度”为 2 的概率 P 20已知曲线 G 上的点到点 F（1，0）的距离比它到直线 x3 的距离小 2 （1）求曲线 G 的方程 （2）是否存在过 F 的直线 l，使得 l 与曲线 G 相交于 A，B 两点，点 A 关于 x 轴的对称点为 A，且ABF 的面积等于 4？若存在，求出此时直线 l 的方程；若不存在，请说明理由 【分析】（1）设 S（x，y）为曲线 G 上任意一点，判断曲线 G 是以 F（1，0）为焦点，直线 x1 为 准线的抛物线，求出曲线 G 的方程 （2）设直线 l 的方程为 xmy+1，与抛物线 C 的方程联立，
28、消去 x，设 A（x1，y1），B（x2，y2），通 过韦达定理以及三角形的面积，转化求解 m 即可 解：（1）设 S（x，y）为曲线 G 上任意一点， 依题意，点 S 到 F（1，0）的距离与它到直线 x1 的距离相等， 所以曲线 G 是以 F（1，0）为焦点，直线 x1 为准线的抛物线， 所以曲线 G 的方程为 y24x （2）设直线 l 的方程为 xmy+1，与抛物线 C 的方程联立， 得 ，消去 x，得 y 24my40 设 A（x1，y1），B（x2，y2），则 y1+y24m，y1y24SABFSAABSAAF ， 解得 m1 所以存在直线 l 使得ABF 的面积等于 4，此时直线
29、 l 的方程为 xy10 21已知函数 f（x）lnx，g（x）x1 （1）当 k 为何值时，直线 yg（x）是曲线 ykf（x）的切线； （2）若不等式 在1，e上恒成立，求 a 的取值范围 【分析】（1）令 n（x）kf（x）klnx， ，设切点为（x0，y0），则 ，x01klnx0，利 用函数的单调性结合 F（1）1，求出 k （2）令 ，求出导函数，通过当 a0 时，判断函数的单调性， 当 a0 时，判断函数的单调性（i）当 4a2e，（）当 14a2e，（）当 04a21，分析函 数的最值推出结果即可 解：（1）令 n（x）kf（x）klnx， ， 设切点为（x0，y0），则 ，x
30、01klnx0，则 令 ， ，则函数 yF（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+）上 单调递增且 F（1）1，所以 k1 （2）令 ，则 当 a0 时，h（x）0，所以函数 h（x）在1，e上单调递减， 所以 h（x）h（1）0，所以 a0 满足题意 当 a0 时，令 h（x）0，得 x4a2， 所以当 x（0，4a2）时，h（x）0；当 x（4a2，+）时，h（x）0 所以函数 h（x）在（0，4a2）上单调递增，在（4a2，+）上单调递减 （i）当 4a2e，即 时，h（x）在1，e上单调递增， 所以 ，所以 ，此时无解 （）当 14a2e，即 时，函数 h（x）在（1，4a2）上单调递
31、增，在（4a2，e）上单调递减 所以 h（x）h（4a2）aln（4a2）2a+12aln（2a）2a+10 设 ，则 m（x）2ln（2x）0， 所以 m（x）在 ， 上单调递增， ，不满足题意， （） 当 04a21， 即 时， h （x） 在1， e上单调递减， 所以 h （x） h （1） 0， 所以 满足题 意 综上所述：a 的取值范围为 ， 一、选择题 22在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的方程为 x+ya0，曲线 C 的参数方程为 （ 为参数）以 坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系 （1）求直线 l 和曲线 C 的极坐标方程； （2）若直线 l 与曲线 C 交于
32、A，B 两点，且直线 OA 与 OB 的斜率之积为 ，求 a 【分析】（1）直接利用转换关系式，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换 （2）利用一元二次次方程根和系数的关系式的应用及直线的斜率求出 a 的值 解： （1） 将 xcos， ysin 代入 x+ya0 的方程中， 直线 l 的极坐标方程为 cos+sina0 在 曲线 C 的参数方程中，消去 ，可得 ， 将 xcos，ysin 代入 的方程中，所以曲线 C 的极坐标方程为 2（4sin2+cos2）4 （2）直线 l 与曲线 C 的公共点的极坐标满足方程组 ，由方程组得 a2 （4sin2+cos2）4（cos+sin）
33、2， 可化为 4a2tan2+a24+8tan+4tan2，即（4a24）tan28tan+a240，则 ， 解得 选修 4-5：不等式选讲 23已知函数 f（x）|x+2| （1）求不等式 f（x）+f（x2）x+4 的解集； （2）若xR，使得 f（x+a）+f（x）f（2a）恒成立，求 a 的取值范围 【分析】（1）由题意可得|x|+|x+2|x+4，由绝对值的意义，对 x 讨论，去绝对值，解不等式，求并集即 可； （2）由题意可得|x+a+2|+|x+2|2a+2|，运用绝对值不等式的性质可得|2a+2|a|，解不等式可得所求范 围 解：（1）f（x）|x+2|， f（x）+f（x2）x+4， 即为|x|+|x+2|x+4， 当 x0 时，x+x+2x+4，解得 0 x2； 当2x0 时，x+x+2x+4，解得2x0； 当 x2 时，xx2x+4，解得 x 综上可得不等式的解集为x|2x2； （2）f（x+a）+f（x）f（2a）， 即为|x+a+2|+|x+2|2a+2|， 由|x+a+2|+|x+2|x+a+2x2|a|， 可得|2a+2|a|， 即有 4a2+8a+4a2， 可得 3a2+8a+40， 解得2a