1、高考数学模拟试卷高考数学模拟试卷 一、填空题：本大题共一、填空题：本大题共 14 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 70 分，请将答案填写在答题卡相应的位置上分，请将答案填写在答题卡相应的位置上 1已知全集 U2，1，0，1，2，集合 A2，1，1，则UA 2已知复数 z（1i） （a+i） （i 为虚数单位）为纯虚数，则实数 a 的值为 3数据 1，3，5，7，9 的标准差为 4函数 f（x）的定义域是 5在一底面半径和高都是 2m 的圆柱形容器中盛满小麦，有一粒带麦锈病的种子混入了其中现从中随机 取出 2m3的种子，则取出了带麦锈病种子的概率是 6如图是一个算法的伪代码，则输出的
2、 i 的值为 7 在平面直角坐标系 xOy 中， 若双曲线经过点 （3， 4） ， 则该双曲线的准线方程为 8设 Sn是等比数列an的前 n 项的和，S3，S9，S6成等差数列，则的值为 9给出下列四个命题，其中正确命题的序号是 （写出所有正确命题的序号）来源:学科网 ZXXK 因为当 x时，sin（x+）sinx，所以不是函数 ysinx 的周期； 对于定义在 R 上的函数 f（x） ，若 f（2）f（2） ，则函数 f（x）不是偶函数； “MN”是“log2Mlog2N”成立的充分必要条件； 若实数 a 满足 a24，则 a2 10如图，是一个四棱锥的平面展开图，其中间是边长为 2 的正方
3、形，上面三角形是等边三角形，左、右 三角形是等腰直角三角形，则此四棱锥的体积为 11在平面直角坐标系 xOy 中，若函数 f（x）lnxax 在 x1 处的切线与圆 C：x22x+y2+1a0 存在 公共点，则实数 a 的取值范围为 12已知函数 f（x）ax3+bx2+cx，若关于 x 的不等式 f（x）0 的解集是（，1）（0，2） ，则 的值为 13 在边长为 4 的菱形 ABCD 中， A60， 点 P 在菱形 ABCD 所在的平面内 若 PA3， PC， 则 14设函数 f（x），g（x）k（x） ，其中 k0若存在唯一的整数 x， 使得 f（x）g（x） ，则实数 k 的取值范围是
4、 二、解答题：本大题共二、解答题：本大题共 6 小题，共计小题，共计 90 分请在答题卡指定区域作答，解答时应写出文字说明、证明过程分请在答题卡指定区域作答，解答时应写出文字说明、证明过程 或演算步骤或演算步骤 15如图，四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是菱形，对角线 AC，BD 交于点 O，M 为棱 PD 的中点，MA MC求证： （1）PB平面 AMC； （2）平面 PBD平面 AMC 16在锐角三角形 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c已知 tanA，tanB，tanC 成等差数列，cosA， ，cosB 成等比数列 （1）求 A 的值； （2）若ABC 的面积
5、为 1，求 c 的值 17某房地产开发商在其开发的某小区前修建了一个弓形景观湖如图，该弓形所在的圆是以 AB 为直径的 圆，且 AB300 米，景观湖边界 CD 与 AB 平行且它们间的距离为 50米开发商计划从 A 点出发建 一座景观桥（假定建成的景观桥的桥面与地面和水面均平行） ，桥面在湖面上的部分记作 PQ设AOP 2 （1）用 表示线段 PQ，并确定 sin2 的范围； （2）为了使小区居民可以充分地欣赏湖景，所以要将 PQ 的长度设计到最长，求 PQ 的最大值 18在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C 的中心为坐标原点 O，焦点在 x 轴上，右顶点 A（2，0）到右 焦点的距离
6、与它到右准线的距离之比为 （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）若 M，N 是椭圆 C 上关于 x 轴对称的任意两点，设 P（4，0） ，连接 PM 交椭圆 C 于另一点 E求 证：直线 NE 过定点 B，并求出点 B 的坐标； （3）在（2）的条件下，过点 B 的直线交椭圆 C 于 S，T 两点，求的取值范围 19已知函数 f（x），其中 a0，b0 （1）求函数 f（x）的单调区间； 若 x1，x2满足|xi|（i1，2） ，且 x1+x20，x20求证：f（x1）+2f（x2） （2）函数 g（x）ax2lnx若对任意 x1，x2（0，） ，x1x2，都有|f（x1）f（x2）|g（x1
7、） g（x2）|，求 ba 的最大值 20已知an，bn，cn都是各项不为零的数列，且满足 a1b1+a2b2+anbncnSn，nN*，其中 Sn是数 列an的前 n 项和，cn是公差为 d（d0）的等差数列 （1）若数列an是常数列，d2，c23，求数列bn的通项公式； （2）若 ann（ 是不为零的常数） ，求证：数列bn是等差数列； （3）若 a1c1dk（k 为常数，kN*） ，bncn+k （n2，nN*） 求证：对任意的 n2，nN*， 恒成立 【选做题】在【选做题】在 A，B，C 四小题中只能选做两题，每小题四小题中只能选做两题，每小题 10 分，共分，共 20 分解答时应写出
8、文字说明、证明过分解答时应写出文字说明、证明过 程或演算步骤程或演算步骤选修选修 4-2：矩阵与变换：矩阵与变换(10 分）分） 21已知二阶矩阵 A，矩阵 A 属于特征值 11 的一个特征向量为，属于特征值 2 4 的一个特征向量为求矩阵 A 选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22在平面直角坐标系 xOy 中，已知曲线 C 的参数方程为（ 为参数） 以直角坐标系原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 cos（）2点 P 为曲 线 C 上的动点，求点 P 到直线 l 距离的最大值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23设正数 a
9、，b，c 满足 a+b+c1，求+的最小值 【必做题】第【必做题】第 22 题、第题、第 23 题，每题题，每题 10 分，共计分，共计 20 分请在答卷纸指定区域内作答解答应写出文字说分请在答卷纸指定区域内作答解答应写出文字说 明、证明过程或演算步骤明、证明过程或演算步骤 24如图，在正四棱锥 PABCD 中，底面正方形的对角线 AC，BD 交于点 O 且 OPAB （1）求直线 BP 与平面 PCD 所成角的正弦值； （2）求锐二面角 BPDC 的大小 25定义：若数列an满足所有的项均由1，1 构成且其中1 有 m 个，1 有 p 个（m+p3） ，则称an为 “ （m，p）数列” （1
10、）ai，aj，ak（ijk）为“ （3，4）数列”an中的任意三项，则使得 aiajak1 的取法有多少种？ （2）ai，aj，ak（ijk）为“ （m，p）数列”an中的任意三项，则存在多少正整数对（m，p）使得 1mp100，且 aiajak1 的概率为 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、填空题：本大题共一、填空题：本大题共 14 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 70 分，请将答案填写在答题卡相应的位置上分，请将答案填写在答题卡相应的位置上 1已知全集 U2，1，0，1，2，集合 A2，1，1，则UA 0，2 进行补集的运算即可 U2，1，0，1，2，A2，1，1， U
11、A0，2 故答案为：0，2 本题考查了列举法的定义，全集和补集的定义及补集的运算，考查了计算能力，属于基础题 2已知复数 z（1i） （a+i） （i 为虚数单位）为纯虚数，则实数 a 的值为 1 利用复数运算法则、纯虚数的定义即可得出 复数 z（1i） （a+i）a+1+（1a）i 为纯虚数， a+10，1a0， 解得 a1 故答案为：1 本题考查了复数运算法则、纯虚数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 3数据 1，3，5，7，9 的标准差为 2， 首先做出这组数据的平均数，再利用方差的公式，代入数据做出这组数据的方差，最后把方差开方做出 这组数据的标准差 样本的平均数5， 这组数
12、据的方差是 S2（15）2+（35）2+（55）2+（75）2+（95）2， S28， 标准差 S2， 故答案为：2， 本题考查一组数据的标准差，我们需要先求平均数，在求方差，最后开方做出标准差，属于基础题 4函数 f（x）的定义域是 x|x0 由 12x0，结合指数函数的单调性，即可得到所求定义域 由 12x0， 即 2x120， 解得 x0， 定义域为x|x0 故答案为：x|x0 本题考查函数的定义域的求法，注意偶次根式和指数函数的性质，属于基础题 5在一底面半径和高都是 2m 的圆柱形容器中盛满小麦，有一粒带麦锈病的种子混入了其中现从中随机 取出 2m3的种子，则取出了带麦锈病种子的概率
13、是 利用几何概率计算公式即可得出 由题意可得：取出了带麦锈病种子的概率 故答案为： 本题考查了几何概率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 6如图是一个算法的伪代码，则输出的 i 的值为 5 算法的功能是求满足 S9（1+2+3+i）0 的最大正整数 i+1 的值，计算 S 的值确定输出 i 的值 由算法语句知：算法的功能是求满足 S9（1+2+3+i）0 的最小正整数 i+1 的值， S9（1+2+3）30，S9（1+2+3+4）10， 输出的 i 值为 5 故答案为：5 本题考查了当型循环结构的程序语句，根据算法的流程判断算法的功能是解题的关键 7在平面直角坐标系 xOy 中，若
14、双曲线经过点（3，4） ，则该双曲线的准线方程为 x 把已知点的坐标代入双曲线方程，求得 b，则双曲线的渐近线方程可求 双曲线经过点（3，4） ，321，解得 b22，即 b 又 a1，该双曲线的准线方程为：x 故答案为：x 本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的简单性质，是基础题 8设 Sn是等比数列an的前 n 项的和，S3，S9，S6成等差数列，则的值为 2 等比数列an的公比设为 q，判断公比 q 不为 1，由等比数列的求和公式和等差数列的通项公式，解方程 可得 q3，再由等比数列的通项公式，计算可得所求值 等比数列an的公比设为 q， S3，S9，S6成等差数列，可得 2S9S3+S
15、6， 若 q1，则 18a13a1+6a1，显然不成立，故 q1， 则 2+， 化为 2q61+q3，解得 q3， 则2， 故答案为：2 本题考查等比数列的通项公式和求和公式，等差数列的中项性质，考查分类讨论思想和运算能力，属于 中档题 9给出下列四个命题，其中正确命题的序号是 （写出所有正确命题的序号） 因为当 x时，sin（x+）sinx，所以不是函数 ysinx 的周期； 对于定义在 R 上的函数 f（x） ，若 f（2）f（2） ，则函数 f（x）不是偶函数； “MN”是“log2Mlog2N”成立的充分必要条件； 若实数 a 满足 a24，则 a2 由周期函数的定义判断；由偶函数的概
16、念判断；由充分必要条件的判定判断；求解一元二次不等 式判断 因为当 x时，sin（x+）sinx，所以由周期函数的定义知不是函数 ysinx 的周期，故 正确； 对于定义在 R 上的函数 f（x） ，若 f（2）f（2） ，由偶函数的定义知函数 f（x）不是偶函数，故正 确； 由 MN，不一定有 log2Mlog2N，反之成立，则“MN”是“log2Mlog2N”成立的必要不充分条件， 故错误； 若实数 a 满足 a24，则2a2，所以 a2 成立，故正确 正确命题的序号是 故答案为： 本题考查命题的真假判断与应用，考查逻辑思维能力与推理论证能力，是中档题 10如图，是一个四棱锥的平面展开图，
17、其中间是边长为 2 的正方形，上面三角形是等边三角形，左、右 三角形是等腰直角三角形，则此四棱锥的体积为 此四棱锥 SABCD 中，ABCD 是边长为 2 的正方形，SAD 是边长为 2 的等边三角形，平面 SAD平 面 ABCD，SAD 的高 AD 是四棱锥 SABCD 的高，由此能求出此四棱锥的体积 如图，是一个四棱锥的平面展开图，其中间是边长为 2 的正方形， 上面三角形是等边三角形，左、右三角形是等腰直角三角形， 此四棱锥 SABCD 中，ABCD 是边长为 2 的正方形，SAD 是边长为 2 的等边三角形， 平面 SAD平面 ABCD， SAD 的高 AD 是四棱锥 SABCD 的高
18、， 此四棱锥的体积为：来源:学科网 ZXXK V 故答案为： 本题考查四棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力 与计算能力，属于中档题 11在平面直角坐标系 xOy 中，若函数 f（x）lnxax 在 x1 处的切线与圆 C：x22x+y2+1a0 存在 公共点，则实数 a 的取值范围为 利用导数可求出切线方程，则切线与圆存在公共点等价于圆心到直线的距离 d 小于等于半径，解出不等 式即可 由条件得到 f（x）a，则当 x1 时，f（1）a，f（1）1a， 所以函数在 x1 处的切线为 y（1a） （x1）a（1a）x1，即（1a）xy10 圆 C 方
19、程整理可得： （x1）2+y2a，即有圆心 C（1，0） ，且 a0 所以圆心到直线的距离d， 解得a2或0a1， 故答案为： （0，12，+） 本题考查曲线上某点的切线方程，考查直线与圆存在公共点问题，属于中档题 12已知函数 f（x）ax3+bx2+cx，若关于 x 的不等式 f（x）0 的解集是（，1）（0，2） ，则 的值为 3 根据题意并结合一元二次不等式与一元二方程的关系，可得方程 ax2+bx+c0 的两根分别为1 和 2，由 此建立关于 a、b，c 的方程组并解之，即可得到实数 a、b，错之间的关系，进而求出结论 因为函数 f（x）ax3+bx2+cxx（ax2+bx+c） ，
20、 关于 x 的不等式 f（x）0 的解集是（，1）（0，2） ， ax2+bx+c0 的两根为：1 和 2； 所以有： （1）+2且（1）2； ba 且 c2a； 3； 故答案为：3 本题给出三次函数，讨论不等式不等式 f（x）0 的解集并求参数的值，着重考查了一元二次不等式的 应用、一元二次不等式与一元二方程的关系等知识国，属于中档题 13 在边长为 4 的菱形 ABCD 中， A60， 点 P 在菱形 ABCD 所在的平面内 若 PA3， PC， 则 1 可连接 AC，BD，并设 AC 与 BD 交于点 O，然后以点 O 为原点，OC，OD 分别为 x，y 轴，建立平面直 角坐标系，从而可
21、求出，并设 P（x，y） 根据 即可求出 P 点的坐标，进而可求出向量的坐标，从而进行数量积的坐标运算即 可求出的值 连接 AC，BD，设 AC，BD 交于点 O，以点 O 为原点， 分别以直线 OC，OD 为 x，y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则： ，设 P（x，y） ， ， ， 得，解得， 或，显然得出的是定值， 取 P，则， 故答案为：1 本题考查了通过建立平面直角坐标系，利用向量坐标解决向量问题的方法，两点间的距离公式，向量数 量积的坐标运算，考查了计算能力，属于中档题 14设函数 f（x），g（x）k（x） ，其中 k0若存在唯一的整数 x， 使得 f（x）g（x） ，则实数
22、 k 的取值范围是 本题利用 f（x） ，g（x）的图象特点寻找整数 x 的大致范围，再代入数字检验，确定 k 的取值范围 函数 f（x），且 k0， 画出 f（x）的图象如下： g（x）k（x） ， 又存在唯一的整数 x，使得 f（x）g（x） ， k，得 k； 又g（x）k（x） ，来源:Zxxk.Com g（x）过定点（，0） ， g（2）kf（2） ，g（3）kf（3） ， 存在唯一的整数 x3， g（4）kf（4）16， k6 故答案为：，6 本题考查了分段函数、带绝对值号函数的图象画法，以及数形结合思想，需要学生有较强的逻辑思维能 力，分析出 k 的范围属于中档题 二、解答题：本大
23、题共二、解答题：本大题共 6 小题，共计小题，共计 90 分请在答题卡指定区域作答，解答时应写出文字说明、证明过程分请在答题卡指定区域作答，解答时应写出文字说明、证明过程 或演算步骤或演算步骤 15如图，四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是菱形，对角线 AC，BD 交于点 O，M 为棱 PD 的中点，MA MC求证： （1）PB平面 AMC； （2）平面 PBD平面 AMC （1）连结 OM，推导出 OMPB，由此能证明 PB平面 AMC （2）推导出 ACOM，从而 AC平面 PBD，由此能证明平面 PBD平面 AMC （1）证明：连结 OM，O 是菱形 ABCD 对角线 AC、BD
24、的交点， O 为 BD 的中点， M 是棱 PD 的中点，OMPB， OM平面 AMC，PB平面 AMC， PB平面 AMC （2）解：在菱形 ABCD 中，ACBD，且 O 为 AC 的中点， MAMC，ACOM， OMBDO，AC平面 PBD， AC平面 AMC，平面 PBD平面 AMC 本题考查线面平行、面面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推 理能力与计算能力，属于中档题 16在锐角三角形 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c已知 tanA，tanB，tanC 成等差数列，cosA， ，cosB 成等比数列 （1）求 A 的值； （2）若
25、ABC 的面积为 1，求 c 的值 （1）运用等差数列和等比数列的中项性质，结合诱导公式、两角和的余弦公式、正切公式，化简计算可 得 tanA1，进而得到所求角； （2）运用同角的基本关系式，求得 sinB，sinC，再由正弦定理和面积公式，解方程可得所求值 （1）tanA，tanB，tanC 成等差数列，可得 2tanBtanA+tanC， 而 tanCtan（A+B），所以 tanB2tanA， 又 cosA，cosB 成等比数列， 可得 cosAcosBcosCcos（A+B）sinAsinBcosAcosB， 即 sinAsinB2cosAcosB，可得 tanAtanB2， 联立解得
26、 tanA1（负的舍去） ， 可得锐角 A； （2）由（1）可得 tanB2tanA2，tanC3， 由 tanB2，sin2B+cos2B1，B 为锐角， 解得 sinB，同理可得 sinC， 由正弦定理可得 bcc， 又ABC 的面积为 1，可得bcsinAc21， 解得 c 本题考查等差数列和等比数列的中项性质，三角形的正弦定理、面积公式的运用，考查三角函数的同角 公式、两角和的余弦、正切公式，考查化简运算能力，属于中档题 17某房地产开发商在其开发的某小区前修建了一个弓形景观湖如图，该弓形所在的圆是以 AB 为直径的 圆，且 AB300 米，景观湖边界 CD 与 AB 平行且它们间的距
27、离为 50米开发商计划从 A 点出发建 一座景观桥（假定建成的景观桥的桥面与地面和水面均平行） ，桥面在湖面上的部分记作 PQ设AOP 2 （1）用 表示线段 PQ，并确定 sin2 的范围； （2）为了使小区居民可以充分地欣赏湖景，所以要将 PQ 的长度设计到最长，求 PQ 的最大值 （1） 过点 Q 作 QHAB 于点 H， 则 QH50， 所以OAP， 由正弦定理求得 AP300sin， 所以 AQ，所以 PQ300sin，又 PQ300sin0，即 sin2 ，且 2（0，） ； （2）因为 PQ300sin50（6sin） ，令 f（）6sin，利用导数得到当 tan时，f（）取最大
28、值，此时 sin，cos，所以 PQ 的最大值为 50米 （1）过点 Q 作 QHAB 于点 H，则 QH50， 在AOP 中，OAOP150，AOP2， OAP， 由正弦定理得：，AP300sin， AQ， PQAPAQ300sin， PQ300sin0，即 sin2，且 2（0，） ； （2）PQ300sin50（6sin） ， 令 f（）6sin，sin2，且 2（0，） ， f（）6cos， 令 f（）0，即， 记 tan0， 当 00时，f（）0，f（）单调递增；当时，f（）0，f（）单调递减， 又， 当 tan时，f（）取最大值，此时 sin，cos， PQ 的最大值为 50米 本
29、题主要考查了函数的实际运用，是中档题 18在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C 的中心为坐标原点 O，焦点在 x 轴上，右顶点 A（2，0）到右 焦点的距离与它到右准线的距离之比为 （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）若 M，N 是椭圆 C 上关于 x 轴对称的任意两点，设 P（4，0） ，连接 PM 交椭圆 C 于另一点 E求 证：直线 NE 过定点 B，并求出点 B 的坐标； （3）在（2）的条件下，过点 B 的直线交椭圆 C 于 S，T 两点，求的取值范围 （1）根据题意，设椭圆方程，根据题意可知，a2，c1，即可求得 b 的值，求得椭圆方程； （2）设直线 PM 的方程代入椭圆
30、方程，根据直线点斜式方程结合韦达定理，即可求得 B 点坐标； （3）分类讨论，当直线 ST 的斜率存在，设直线 ST 的方程，代入椭圆方程，根据韦达定理及向量的坐 标运算，即可求得的取值范围 （1）设椭圆 C 的标准方程，焦距为 2c， 由题意得，a2，由，可得 c1，则 b2a2c23， 所以椭圆 C 的标准方程为； （2）证明：根据对称性，直线 NE 过的定点 B 一定在 x 轴上， 由题意可知直线 PM 的斜率存在，设直线 PM 的方程为 yk（x+4） ， 联立，消去 y 得到（4k2+3）x2+32k2x+64k2120， 设点 M（x1，y1） ，E（x2，y2） ，则 N（x1，
31、y1） 所以，所以 NE 的方程为， 令 y0，得，将 y1k（x1+4） y2k（x2+4）代入上式并整理， ， 整理得， 所以，直线 NE 与 x 轴相交于定点 B（1，0） （3）当过点 M 的直线 ST 的斜率不存在时，直线 ST 的方程为 x1，此 时， 当过点 B 的直线 ST 斜率存在时，设直线 ST 的方程为 ym（x+1） ，且 S（x3，y3） ，T（x4，y4）在椭圆 C 上， 联立方程组，消去 y，整理得（4m2+3）x2+8m2x+4m2120， 则（8m2）24（4m2+3） （4m212）144（m2+1）0 所以， 所以， 所以， 由 m20，得， 综上可得，的
32、取值范围是 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，向量的坐标运算， 考查转化思想，分类讨论思想，计算能力，属于难题 19已知函数 f（x），其中 a0，b0 （1）求函数 f（x）的单调区间； 若 x1，x2满足|xi|（i1，2） ，且 x1+x20，x20求证：f（x1）+2f（x2） （2）函数 g（x）ax2lnx若对任意 x1，x2（0，） ，x1x2，都有|f（x1）f（x2）|g（x1） g（x2）|，求 ba 的最大值 （1）先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系可求函数的单调区间； 结合的单调性及 x1，x2的范围即可证明； （2）结合函
33、数的单调性，把所要证明的不等式转化为同一函数的不同函数值的大小比较，进行合理的构 造函数，结合单调性可求 （1），x0， 由 f（x）0 可得或 x，由 f（x）0 可得， 故函数的单调递增区间（） ， （） ，单调递减区间（） ， （0，） ； x1+x20，x20， x10 或 x10， 若 x10 因为|xi|，|x1|，|x2|， 由知 f（x）在（，+）上单调递增，f（x1）+2f（x2）3f（）， 若 x10，由|x1|可得 x1， 因为 x1+x20，x20，所以 x2x1， 由f（x）在（，+）上单调递增，f（x1）+2f（x2）f（x1）+2f（x1）f（x1） 综上 f（x
34、1）+2f（x2） （2）0 x时，0，g（x）在（0，）上单调递减， 不妨设 x1x2，由（1）f（x）在（0，）上单调递减， 由|f（x1）f（x2）|g（x1）g（x2）|，可得 f（x1）f（x2）g（x1）g（x2） ， 所以 f（x1）g（x1）f（x2）g（x2）0， 令 M（x）f（x）g（x） ，x，可得 M（x）单调递减， 所以0 在（0，）上恒成立， 即 12bx0 在（0，）上恒成立，即 10， 所以 b，ba， 所以 ba 的最大值 本题综合考查了函数的性质及导数的综合应用，考查了考试分析及解决问题的能力，试题具有一定的难 度 20已知an，bn，cn都是各项不为零的
35、数列，且满足 a1b1+a2b2+anbncnSn，nN*，其中 Sn是数 列an的前 n 项和，cn是公差为 d（d0）的等差数列 （1）若数列an是常数列，d2，c23，求数列bn的通项公式； （2）若 ann（ 是不为零的常数） ，求证：数列bn是等差数列； （3）若 a1c1dk（k 为常数，kN*） ，bncn+k （n2，nN*） 求证：对任意的 n2，nN*， 恒成立 （1） 由已知得 cn2n1 由an是各项不为零的常数列， 得 Snna1， 结合已知可得 n （2n1） b1+b2+ +bn，则当 n2 时， （n1） （2n3）b1+b2+bn1，两式作差可得 bn4n3已
36、知 b11 满足，得 bn4n3； （2） 由 a1b1+a2b2+anbncnSn， 得 n2 时， a1b1+a2b2+an1bn1cn1Sn1， 两式相减得： Sn1d+ncn nbn进一步得到（n3） 可得数列bn从第二项起是公差为的等差数列； （3）由（2） ，当 n2 时，Sn1（cncn1）+ancnanbn，即 Sn1dan（bncn） ，结合 bncn+k，得 bn cnkd，进一步得到故从第二项起数列an是等比数列，求得当 n2 时， 令，则0故 对任意的 n2，nN*，恒成立 （1）解：d2，c23，cn2n1 an是各项不为零的常数列，a1a2an，则 Snna1， 则
37、由 cnSna1b1+a2b2+anbn，及 cn2n1，得 n（2n1）b1+b2+bn， 当 n2 时， （n1） （2n3）b1+b2+bn1， 两式作差，可得 bn4n3 当 n1 时，b11 满足上式，则 bn4n3； （2）证明：a1b1+a2b2+anbncnSn， 当 n2 时，a1b1+a2b2+an1bn1cn1Sn1， 两式相减得：SncnSn1cn1anbn， 即（Sn1+an）cnSn1cn1anbn，Sn1（cncn1）+ancnanbn 即 Sn1d+ncnnbn 又，即 当 n3 时， 两式相减得：（n3） 数列bn从第二项起是公差为的等差数列 又当 n1 时，
38、由 S1c1a1b1，得 c1b1， 当 n2 时，由，得 故数列bn是公差为的等差数列； （3）证明：由（2） ，当 n2 时，Sn1（cncn1）+ancnanbn，即 Sn1dan（bncn） ， bncn+k，bncn+kd，即 bncnkd， Sn1dankd，即 Sn1kan来源:Zxxk.Com SnSn1+an（k+1）an， 当 n3 时，Sn1（k+1）an1kan，即 故从第二项起数列an是等比数列， 当 n2 时， bncn+kcn+kd 另外，由已知条件可得（a1+a2）c2a1b1+a2b2，又 c22k，b1k，b2k（2+k） ， a21，因而 令，则0 故对任
39、意的 n2，nN*，恒成立 本题考查数列递推式，考查等差数列与等比数列的性质，考查逻辑思维能力与推理论证能力，考查运算 能力，属难题 【选做题】在【选做题】在 A，B，C 四小题中只能选做两题，每小题四小题中只能选做两题，每小题 10 分，共分，共 20 分解答时应写出文字说明、证明过分解答时应写出文字说明、证明过 程或演算步骤程或演算步骤选修选修 4-2：矩阵与变换：矩阵与变换(10 分）分） 21已知二阶矩阵 A，矩阵 A 属于特征值 11 的一个特征向量为，属于特征值 2 4 的一个特征向量为求矩阵 A 由特征值、 特征向量定义可知， A1， A， 由此可建立方程组， 从而可求矩阵 A
40、由特征值、特征向量定义可知，A1，A， 二阶矩阵 A，矩阵 A 属于特征值 11 的一个特征向量为， 属于特征值 24 的一个特征向量为 1，4， ，且， 解得 a2，b3，c2，d1 矩阵 A 本题考查待定系数法求矩阵， 考查特征值、 特征向量定、 矩阵乘法法则等基础知识， 考查运算求解能力， 考查函数与方程思想，是基础题 选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22在平面直角坐标系 xOy 中，已知曲线 C 的参数方程为（ 为参数） 以直角坐标系原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 cos（）2点 P 为曲 线 C 上的动点，求点 P
41、到直线 l 距离的最大值 首先把极坐标方程转换为直角坐标方程，进一步利用点到直线的距离公式的应用和三角函数关系式的恒 等变换和正弦型函数的性质的应用求出结果 直线 l 的极坐标方程为 cos（）2转换为直角坐标方程为 x+y40 设点 P（2cos，sin）为曲线上任意一点， 则：点 P 到直线的距离 d， 当 sin（+）1 时， 本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用， 主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23设正数 a，b，c 满足 a+b+c1，求+的最小值 利用柯西不等式
42、，即可求得的最小值 正数 a，b，c 满足 a+b+c1， （）（3a+2）+（3b+2）+（3c+2）（1+1+1）2， 即 当且仅当 abc时，取等号 当 abc时，的最小值为 1 本题考查求最小值，解题的关键是利用柯西不等式进行求解，属于中档题 【必做题】第【必做题】第 22 题、第题、第 23 题，每题题，每题 10 分，共计分，共计 20 分请在答卷纸指定区域内作答解答应写出文字说分请在答卷纸指定区域内作答解答应写出文字说 明、证明过程或演算步骤明、证明过程或演算步骤 24如图，在正四棱锥 PABCD 中，底面正方形的对角线 AC，BD 交于点 O 且 OPAB （1）求直线 BP
43、与平面 PCD 所成角的正弦值； （2）求锐二面角 BPDC 的大小 （1）取 AB 的中点 E，BC 的中点 F，以点 O 为坐标原点，以 OE，OF，OP 分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建 立空间直角坐标系设底面正方形边长为 2，求出平面 PCD 的法向量，以及，然后利用空间向量的数 量积求解直线 BP 与平面 PCD 所成角的正弦值 （2）求出平面 BPD 的法向量，平面 PCD 的法向量，然后求解锐二面角 BPDC 的大小 （1）在正四棱锥 PABCD 中，底面正方形的对角线 AC，BD 交于点 O， 所以 OP平面 ABCD，取 AB 的中点 E，BC 的中点 F， 所以 OP，O
44、E，OF 两两垂直，故以点 O 为坐标原点， 以 OE，OF，OP 分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系 设底面正方形边长为 2，因为 OPAB，所以 OP1， 所以 B（1，1，0） ，C（1，1，0） ，D（1，1，0） ，P（0，0，1） ， 所以（1，1，1） ， 设平面 PCD 的法向量是（x，y，z） ，来源:学科网 因为（0，2，0） ，（1，1，1） ， 所以2y0，xy+z0， 取 x1，则 y0，z1，所以（ （1，0，1） ， 所以 cos， 所以直线 BP 与平面 PCD 所成角的正弦值为 （2）设平面 BPD 的法向量是（x，y，z） ， 因为（1，1，
45、1） ，（2，2，0） ， 所以xy+z0，2x2y0， 取 x1，则 y1，z0，所以（1，1，0） ， 由（1）知平面 PCD 的法向量是（1，0，1） ， 所以 cos，所以，60， 所以锐二面角 BPDC 的大小为 60 本题考查直线与平面所成角的求法，二面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力，是中档题 25定义：若数列an满足所有的项均由1，1 构成且其中1 有 m 个，1 有 p 个（m+p3） ，则称an为 “ （m，p）数列” （1）ai，aj，ak（ijk）为“ （3，4）数列”an中的任意三项，则使得 aiajak1 的取法有多少种？ （2）ai，aj，ak（ijk）为“
46、 （m，p）数列”an中的任意三项，则存在多少正整数对（m，p）使得 1mp100，且 aiajak1 的概率为 （1）三个数乘积为 1 有两种情况： “1，1，1” ， “1，1，1” ，其中“1，1，1”共有： 12 种， “1，1，1”共有：种，利用分类计数原理能求出使得 aiajak1 的取法种数 （2） “1，1，1”共有种， “1，1，1”共有种，而在“ （m，p）数列”中任取三项共有 种，根据古典概型有：，再根据组合数的计算公式能得到（pm） （p23p2mp+m2 3m2）0，利用 pm 和 p23p2mp+m23m20 分类讨论，能求出存在多少正整数对（m，p） 使得 1mp
47、100，且 aiajak1 的概率为 （1）三个数乘积为 1 有两种情况： “1，1，1” ， “1，1，1” ， 其中“1，1，1”共有：12 种， “1，1，1”共有：种， 利用分类计数原理得： ai，aj，ak（ijk）为“ （3，4）数列” an中的任意三项， 则使得 aiajak1 的取法有：12+416 种 （2）与（1）基本同理， “1，1，1”共有种， “1，1，1”共有种， 而在“ （m，p）数列”中任取三项共有种， 根据古典概型有：， 再根据组合数的计算公式能得到： （pm） （p23p2mp+m23m2）0， pm 时，应满足， （m，p）（k，k） ，k2，3，4，10
48、0，共 99 个， p23p2mp+m23m20 时， 应满足， 视 m 为常数，可解得 p， m1， 根据 pm 可知，p， （否则 pm1） ， 下设 k，则由于 p 为正整数知 k 必为正整数， 1m100，5k49， 化简上式关系式可以知道：m， k1，k+1 均为偶数，设 k2t+1， （tN*） ，则 2t24， m，由于 t，t+1 中必存在偶数， 只需 t，t+1 中存在数为 3 的倍数即可， t2，3，5，6，8，9，11，23，24， k5，11，13，47，49 检验：p100，符合题意， 共有 16 个， 综上所述：共有 99+16115 个数对（m，p）符合题意 本题考查不同的取法种数的求法，考查分类计数原理、古典概