1、2019-2020 学年河南省商丘市梁园区九年级（上）期末数学试卷学年河南省商丘市梁园区九年级（上）期末数学试卷 一选择题（每小题一选择题（每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1下列事件中，是随机事件的是（ ） A任意画一个三角形，其内角和是 360 B任意抛一枚图钉，钉尖着地 C通常加热到 100时，水沸腾 D太阳从东方升起 2若函数是反比例函数，且它的图象在第一、三象限，则 m 的值为（ ） A2 B2 C D 3如图，ABCD，AB6，CD9，AD10，则 OD 的长为（ ） A4 B5 C6 D7 4若正方形的边长为 6，则其外接圆的半径为（ ） A3 B3 C6 D6 5如图，
2、将ABC 绕点 C 顺时针旋转 90得到EDC若点 A，D，E 在同一条直线上，ACB20， 则ADC 的度数是（ ） A55 B60 C65 D70 6如图，BC 是O 的直径，A 是O 上的一点，OAC32，则B 的度数是（ ） A58 B60 C64 D68 7若点 A（x1，6） ，B（x2，2） ，C（x3，2）在反比例函数 y的图象上，则 x1，x2，x3的大小关系 是（ ） Ax1x2x3 Bx2x1x3 Cx2x3x1 Dx3x2x1 8组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排 7 天， 每天安排 4 场比赛设比赛组织者应邀请 x 个
3、队参赛，则 x 满足的关系式为（ ） Ax（x+1）28 Bx（x1）28 Cx（x1）28 Dx（x1）28 9如图，ABC 与DEF 是位似图形，位似比为 2：3，已知 DF4，则 AC 的长为（ ） A B C D 10已知直线 yn 与二次函数 y（x2）21 的图象交于点 B，点 C，二次函数图象的顶点为 A，当 ABC 是等腰直角三角形时，则 n 的值为（ ） A1 B C2 D2+ 二填空题（每小题二填空题（每小题 3 分，共分，共 15 分）分） 11不透明袋子中装有 6 个球，其中有 5 个红球、1 个绿球，这些球除颜色外无其他差别从袋子中随机取 出 1 个球，则它是红球的概
4、率是 12把二次函数 yx24x+3 的图象沿 y 轴向下平移 1 个单位长度，再沿 x 轴向左平移 3 个单位长度后，此 时抛物线相应的函数表达式是 13 如图， 将线段AB绕点O顺时针旋转90得到线段AB， 那么A （2， 5） 的对应点A的坐标是 14如图，在扇形 OAB 中，AOB90，点 C 为 OB 的中点，CDOB 交弧 AB 于点 D若 OA2，则 阴影部分的面积为 15矩形 ABCD 中，AB6，BC8点 P 在矩形 ABCD 的内部，点 E 在边 BC 上，满足PBEDBC， 若APD 是等腰三角形，则 PE 的长为 三解答题（共三解答题（共 8 题，共题，共 75 分）分
5、） 16 （8 分）一定质量的氧气，它的密度 （kg/m3）是它的体积 V（m3）的反比例函数，当 V10m3时， 1.43kg/m3 （1）求 与 V 的函数关系式； （2）求当 V2m3时求氧气的密度 17 （9 分）一个盒中有 4 个完全相同的小球，把它们分别标号为 1，2，3，4，随机摸取一个小球然后放回， 再随机摸出一个小球 （）请用列表法（或画树状图法）列出所有可能的结果； （）求两次取出的小球标号相同的概率； （）求两次取出的小球标号的和大于 6 的概率 18 （9 分）已知关于 x 的方程 x2（m+1）x+2（m1）0 （1）求证：无论 m 取何值时，方程总有实数根； （2）
6、若等腰三角形一边长为 4，另两边恰好是此方程的根，求此三角形的另两边长 19 （9 分）如图，在矩形 ABCD 中，E 是边 AB 的中点，连接 DE 交对角线 AC 于点 F， （）求证：AFECFD； （）若 AB4，AD3，求 CF 的长 20 （9 分）如图，AB 为O 的直径，C、F 为O 上两点，且点 C 为弧 BF 的中点，过点 C 作 AF 的垂线， 交 AF 的延长线于点 E，交 AB 的延长线于点 D （1）求证：DE 是O 的切线； （2）若 AE3，DE4，求O 的半径的长 21 （10 分） 如图， 一次函数 yx+4 的图象与反比例函数 y （k 为常数且 k0）
7、的图象交于 A （1， a） ， B 两点，与 x 轴交于点 C （1）求此反比例函数的表达式； （2）若点 P 在 x 轴上，且 SACPSBOC，求点 P 的坐标 22 （10 分）数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动，将边长为的正方形 ABCD 与边长为的正 方形 AEFG 按图 1 位置放置，AD 与 AE 在同一条直线上，AB 与 AG 在同一条直线上 （1）小明发现 DGBE，请你帮他说明理由 （2）如图 2，小明将正方形 ABCD 绕点 A 逆时针旋转，当点 B 恰好落在线段 DG 上时，请你帮他求出此 时 BE 的长 23（11 分） 如图， 在平面直角坐标系中， 直线 y
8、x+3 与 x 轴， y 轴分别交于点 A， 点 B， 抛物线 yax2+bx+c （a0）经过 A，B 与点 C（1，0） （1）求抛物线的解析式； （2）点 P 是直线 AB 上方的抛物线上一动点（不与点 A、B 重合） ，过点 P 作 x 轴的垂线，垂足为 D，交 线段 AB 于点 E设点 P 的横坐标为 m 求PAB 的面积 y 关于 m 的函数关系式，当 m 为何值时，y 有最大值，最大值是多少？ 若点 E 是垂线段 PD 的三等分点，求点 P 的坐标 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（每小题一选择题（每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1下列事件中，是随机事件的
9、是（ ） A任意画一个三角形，其内角和是 360 B任意抛一枚图钉，钉尖着地 C通常加热到 100时，水沸腾 D太阳从东方升起 【分析】根据随机事件、必然事件以及不可能事件的定义即可作出判断 【解答】解：A、任意画一个三角形，其内角和是 360是不可能事件，故本选项错误； B、任意抛一枚图钉，钉尖着地是随机事件，故本选项正确； C、通常加热到 100时，水沸腾是必然事件，故本选项错误； D、太阳从东方升起是必然事件，故本选项错误； 故选：B 2若函数是反比例函数，且它的图象在第一、三象限，则 m 的值为（ ） A2 B2 C D 【分析】根据反比例函数的定义列式求出 m，根据反比例函数的性质得
10、到 m0，得到答案 【解答】解：函数 ymx是反比例函数， m251， 解得，m2， 它的图象在第一、三象限， m0， m2， 故选：A 3如图，ABCD，AB6，CD9，AD10，则 OD 的长为（ ） A4 B5 C6 D7 【分析】根据相似三角形的判定和性质列比例式即可得到结论 【解答】解：ABCD， AOBDOC， ， AB6，CD9，AD10， ， OD6， 故选：C 4若正方形的边长为 6，则其外接圆的半径为（ ） A3 B3 C6 D6 【分析】作 OEAD 于 E，连接 OD，在 RtADE 中，根据垂径定理和勾股定理即可求解 【解答】解：作 OEAD 于 E，连接 OD，则
11、AEDE3，OE3 在 RtADE 中，OD3 故选：B 5如图，将ABC 绕点 C 顺时针旋转 90得到EDC若点 A，D，E 在同一条直线上，ACB20， 则ADC 的度数是（ ） A55 B60 C65 D70 【分析】根据旋转的性质和三角形内角和解答即可 【解答】解：将ABC 绕点 C 顺时针旋转 90得到EDC DCEACB20，BCDACE90，ACCE， CAD45，ACD902070， ADC180457065， 故选：C 6如图，BC 是O 的直径，A 是O 上的一点，OAC32，则B 的度数是（ ） A58 B60 C64 D68 【分析】根据半径相等，得出 OCOA，进而
12、得出C32，利用直径和圆周角定理解答即可 【解答】解：OAOC， COAC32， BC 是直径， B903258， 故选：A 7若点 A（x1，6） ，B（x2，2） ，C（x3，2）在反比例函数 y的图象上，则 x1，x2，x3的大小关系 是（ ） Ax1x2x3 Bx2x1x3 Cx2x3x1 Dx3x2x1 【分析】 根据反比例函数图象上点的坐标特征， 将 A、 B、 C 三点的坐标代入反比例函数的解析式 y， 分别求得 x1，x2，x3的值，然后再来比较它们的大小 【解答】解：点 A（x1，6） ，B（x2，2） ，C（x3，2）在反比例函数 y的图象上， x12，x26，x36； 又
13、626， x2x1x3； 故选：B 8组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排 7 天， 每天安排 4 场比赛设比赛组织者应邀请 x 个队参赛，则 x 满足的关系式为（ ） Ax（x+1）28 Bx（x1）28 Cx（x1）28 Dx（x1）28 【分析】关系式为：球队总数每支球队需赛的场数247，把相关数值代入即可 【解答】解：每支球队都需要与其他球队赛（x1）场，但 2 队之间只有 1 场比赛， 所以可列方程为：x（x1）47 故选：B 9如图，ABC 与DEF 是位似图形，位似比为 2：3，已知 DF4，则 AC 的长为（ ） A B C D
14、【分析】位似图形就是特殊的相似图形位似比等于相似比利用相似三角形的性质即可求解 【解答】解：ABC 与DEF 是位似图形，位似比为 2：3， AC：DF2：3， AC：42：3， 则 AC 故选：C 10已知直线 yn 与二次函数 y（x2）21 的图象交于点 B，点 C，二次函数图象的顶点为 A，当 ABC 是等腰直角三角形时，则 n 的值为（ ） A1 B C2 D2+ 【分析】设 B（x1，n） 、C（x2，n） 因为ABC 是等腰直角三角形，作 ADBC，所以 ADBC，即 BC2AD，ADn（1）n+1，即：BC|x1x2| ，所以2（n+1） ，容易求出 n1 【解答】解：设 B（
15、x1，n） 、C（x2，n） ，作 ADBC，垂足为 D 连接 AB，AC， y（x2）21， 顶点 A（2，1） ， ADn（1）n+1 直线 yn 与二次函数 y（x2）21 的图象交于点 B、C， （x2）21n， 化简，得 x24x+22n0 x1+x24，x1x222n BC|x1x2| 点 B、C 关于对称轴直线 AD 对称， D 为线段 BC 的中点， ABC 是等腰直角三角形， ADBC 即 BC2AD 2（n+1） ， （2+2n）（n+1）2， 化简，得 n21， n1 或1， n1 时直线 yn 经过点 A，不符合题意舍去， 所以 n1 故选：A 二填空题（每小题二填空题
16、（每小题 3 分，共分，共 15 分）分） 11不透明袋子中装有 6 个球，其中有 5 个红球、1 个绿球，这些球除颜色外无其他差别从袋子中随机取 出 1 个球，则它是红球的概率是 【分析】根据概率的求法，找准两点：全部情况的总数；符合条件的情况数目；二者的比值就是其 发生的概率 【解答】解：共 6 个球，有 5 个红球， 从袋子中随机摸出一个球，它是红球的概率为 故答案为： 12把二次函数 yx24x+3 的图象沿 y 轴向下平移 1 个单位长度，再沿 x 轴向左平移 3 个单位长度后，此 时抛物线相应的函数表达式是 y（x+1）22 【分析】首先将原式转化为顶点式，进而利用二次函数平移规律
17、进而求出即可 【解答】解：yx24x+3（x2）21， 抛物线 yx24x+3 沿 y 轴向下平移 1 个单位长度，再沿 x 轴向左平移 3 个单位长度后，得到抛物线 解析是：y（x2+3）211（x+1）22 故答案为：y（x+1）22 13如图，将线段 AB 绕点 O 顺时针旋转 90得到线段 AB，那么 A（2，5）的对应点 A的坐标是 A（5，2） 【分析】由线段 AB 绕点 O 顺时针旋转 90得到线段 AB可以得出ABOABO，AOA 90， 作 ACy 轴于 C， ACx 轴于 C， 就可以得出ACOACO， 就可以得出 ACA C，COCO，由 A 的坐标就可以求出结论 【解答
18、】解：线段 AB 绕点 O 顺时针旋转 90得到线段 AB， ABOABO，AOA90， AOAO 作 ACy 轴于 C，ACx 轴于 C， ACOACO90 COC90， AOACOACOCCOA， AOCAOC 在ACO 和ACO 中， ， ACOACO（AAS） ， ACAC，COCO A（2，5） ， AC2，CO5， AC2，OC5， A（5，2） 故答案为：A（5，2） 14如图，在扇形 OAB 中，AOB90，点 C 为 OB 的中点，CDOB 交弧 AB 于点 D若 OA2，则 阴影部分的面积为 【分析】连接 DO，则 ODOAOB2先由 CDOA，AOB90，得出OCD180
19、AOB 90，然后在 RtCOD 中求出 cosCOD，得到COD60，再根据扇形面积公式计算、三角 形面积公式即可 【解答】解：连接 DO，则 ODOAOB2 CDOA，AOB90， OCD180AOB90， C 为 OB 的中点， COOBDO， cosCOD， COD60， 则 CD， 阴影部分的面积1， 故答案为： 15矩形 ABCD 中，AB6，BC8点 P 在矩形 ABCD 的内部，点 E 在边 BC 上，满足PBEDBC， 若APD 是等腰三角形，则 PE 的长为 或 3 【分析】根据勾股定理求出 BD，分 PDDA、PDPA 两种情况，根据相似三角形的性质计算 【解答】解：四边
20、形 ABCD 为矩形， BAD90， BD10， 当 PDDA8 时，BPBDPD2， PBEDBC， ，即， 解得，PE， 当 PDPA 时，点 P为 BD 的中点， PECD3， 故答案为：或 3 三解答题（共三解答题（共 8 题，共题，共 75 分）分） 16 （8 分）一定质量的氧气，它的密度 （kg/m3）是它的体积 V（m3）的反比例函数，当 V10m3时， 1.43kg/m3 （1）求 与 V 的函数关系式； （2）求当 V2m3时求氧气的密度 【分析】首先根据题意，一定质量的氧气，它的密度 （kg/m3）是它的体积 V（m3）的反比例函数，将 数据代入用待定系数法可得反比例函数
21、的关系式；进一步求解可得答案 【解答】解： （1）设 ，当 V10m3时，1.43kg/m3， 所以 1.43，即 k14.3， 所以 与 V 的函数关系式是 ； （2）当 V2m3时，把 V2 代入得：7.15（kg/m3） ， 所以当 V2m3时，氧气的密度为 7.15（kg/m3） 17 （9 分）一个盒中有 4 个完全相同的小球，把它们分别标号为 1，2，3，4，随机摸取一个小球然后放回， 再随机摸出一个小球 （）请用列表法（或画树状图法）列出所有可能的结果； （）求两次取出的小球标号相同的概率； （）求两次取出的小球标号的和大于 6 的概率 【分析】 （）根据题意可画出树状图，由树状
22、图即可求得所有可能的结果 （）根据树状图，即可求得两次取出的小球标号相同的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案 （）根据树状图，即可求得两次取出的小球标号的和大于 6 的情况，然后利用概率公式求解即可求得 答案 【解答】解： （）画树状图得： （）共有 16 种等可能的结果，两次取出的小球的标号相同的有 4 种情况， 两次取出的小球标号相同的概率为； （）共有 16 种等可能的结果，两次取出的小球标号的和大于 6 的有 3 种结果， 两次取出的小球标号的和大于 6 的概率为 18 （9 分）已知关于 x 的方程 x2（m+1）x+2（m1）0 （1）求证：无论 m 取何值时，方程总有实数根；
23、 （2）若等腰三角形一边长为 4，另两边恰好是此方程的根，求此三角形的另两边长 【分析】 （1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出（m3）20，由此即可证出：无论 m 取 何值，这个方程总有实数根； （2）分腰长为 4 和底边长度为 4 两种情况分别求解可得 【解答】解： （1）证明：（m+1）242（m1）m26m+9（m3）20， 无论 m 取何值，这个方程总有实数根； （2）若腰长为 4，将 x4 代入原方程，得：164（m+1）+2（m1）0， 解得：m5， 原方程为 x26x+80， 解得：x12，x24 组成三角形的三边长度为 2、4、4； 若底边长为 4，则此方程有两个相等实
24、数根， 0，即 m3， 此时方程为 x24x+40， 解得：x1x22， 由于 2+24，不能构成三角形，舍去； 所以三角形另外两边长度为 4 和 2 19 （9 分）如图，在矩形 ABCD 中，E 是边 AB 的中点，连接 DE 交对角线 AC 于点 F， （）求证：AFECFD； （）若 AB4，AD3，求 CF 的长 【分析】 （）根据矩形对边平行，有 AEDC，可知AFECFD； （）根据相似三角形的性质可得，再利用已知线段的长代入即可求出 CF 的长 【解答】 （）证明：四边形 ABCD 是矩形， AEDC FAEFCD，FEAFDC AFECFD 故AFECFD 得证 （）解：由（
25、1）知AFECFD， 而 E 是边 AB 的中点，且 AB4，AD3 AE2，AC5 而 AC5 AF，CF 故 CF 的长为 20 （9 分）如图，AB 为O 的直径，C、F 为O 上两点，且点 C 为弧 BF 的中点，过点 C 作 AF 的垂线， 交 AF 的延长线于点 E，交 AB 的延长线于点 D （1）求证：DE 是O 的切线； （2）若 AE3，DE4，求O 的半径的长 【分析】 （1）连接 OC，如图，由弧 BC弧 CF 得到BACFAC，加上OCAOAC则OCA FAC，所以 OCAE，从而得到 OCDE，然后根据切线的判定定理得到结论； （2）利用勾股定理计算出 AD5，然后
26、再证得OCDAED，得出，则，解得结果 即可 【解答】 （1）证明：连接 OC， 点 C 为弧 BF 的中点， 弧 BC弧 CFBACFAC， OAOC， OCAOAC OCAFAC， OCAE， AEDE， OCDE DE 是O 的切线 （2）解：由勾股定理得 AD5， OCDAEC90， DD， OCDAED， ， 即， 解得 r， O 的半径长为 21 （10 分） 如图， 一次函数 yx+4 的图象与反比例函数 y （k 为常数且 k0） 的图象交于 A （1， a） ， B 两点，与 x 轴交于点 C （1）求此反比例函数的表达式； （2）若点 P 在 x 轴上，且 SACPSBOC
27、，求点 P 的坐标 【分析】 （1）利用点 A 在 yx+4 上求 a，进而代入反比例函数 y求 k （2）联立方程求出交点，设出点 P 坐标表示三角形面积，求出 P 点坐标 【解答】解： （1）把点 A（1，a）代入 yx+4，得 a3， A（1，3） 把 A（1，3）代入反比例函数 y k3， 反比例函数的表达式为 y （2）联立两个函数的表达式得 解得 或 点 B 的坐标为 B（3，1） 当 yx+40 时，得 x4 点 C（4，0） 设点 P 的坐标为（x，0） SACPSBOC 解得 x16，x22 点 P（6，0）或（2，0） 22 （10 分）数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究
28、活动，将边长为的正方形 ABCD 与边长为的正 方形 AEFG 按图 1 位置放置，AD 与 AE 在同一条直线上，AB 与 AG 在同一条直线上 （1）小明发现 DGBE，请你帮他说明理由 （2）如图 2，小明将正方形 ABCD 绕点 A 逆时针旋转，当点 B 恰好落在线段 DG 上时，请你帮他求出此 时 BE 的长 【分析】 （1）由正方形的性质可证ADGABE（SAS） ，因此可证得AGDAEB，延长 EB 交 DG 于点 H，然后由三角形的内角和和直角三角形的两锐角互余可证得结论；由正方形的性质和等量代换可 证ADGABE（SAS） ，因此可证得 DGBE； （2）过点 A 作 AMD
29、G 交 DG 于点 M，根据正方形的性质可证得 DMAM，然后根据勾股定理 可求得 GM 的长，进而可求得 BEDGDM+GM； 【解答】解： （1）四边形 ABCD 与四边形 AEFG 是正方形， ADAB，DAGBAE90，AGAE 在ADG 和ABE 中， ADGABE（SAS） ， AGDAEB， 如图 1，延长 EB 交 DG 于点 H， ADG 中AGD+ADG90， AEB+ADG90， DEH 中，AEB+ADG+DHE180， DHE90， DGBE； （2）四边形 ABCD 与四边形 AEFG 是正方形， ADAB，DABGAE90，AGAE， DAB+BAGGAE+BAG
30、， DAGBAE， 在ADG 和ABE 中， ADGABE（SAS） ， DGBE， 如图 2，过点 A 作 AMDG 交 DG 于点 M， AMDAMG90， BD 是正方形 ABCD 的对角线， MDAMDAMAB45，BD2， AMBD1， 在 RtAMG 中， AM2+CM2AG2， GM2， DGDM+GM1+23， BEDG3 23（11 分） 如图， 在平面直角坐标系中， 直线 yx+3 与 x 轴， y 轴分别交于点 A， 点 B， 抛物线 yax2+bx+c （a0）经过 A，B 与点 C（1，0） （1）求抛物线的解析式； （2）点 P 是直线 AB 上方的抛物线上一动点（
31、不与点 A、B 重合） ，过点 P 作 x 轴的垂线，垂足为 D，交 线段 AB 于点 E设点 P 的横坐标为 m 求PAB 的面积 y 关于 m 的函数关系式，当 m 为何值时，y 有最大值，最大值是多少？ 若点 E 是垂线段 PD 的三等分点，求点 P 的坐标 【分析】 （1）解方程得到 A（3，0） ，B（0，3） ，解方程组即可得到结论； （2）根据已知条件得到 P（m，m2+2m+3） ，求得 E（m，m+3） ，于是得到 PEm2+2m+3+m 3m2+3m，根据三角形的面积公式即可得到结论；当 PE2ED 时，解方程得到 m2 或 m3（不 会题意舍去） ，当 2PEED 时，此
32、方程无实数根，于是得到结论 【解答】解： （1）直线 yx+3 与 x 轴，y 轴分别交于点 A，点 B， A（3，0） ，B（0，3） ， 把 A（3，0） ，B（0，3） ，C（1，0）代入 yax2+bx+c 得， 解得：， 抛物线的解析式为：yx2+2x+3； （2）点 P 的横坐标为 m， P（m，m2+2m+3） ， PDx 轴， E（m，m+3） ， PEm2+2m+3+m3m2+3m， y（m2+3m） m+（m2+3m） （3m） ， y 关于 m 的函数关系式为：ym2+m， ym2+m（m）2+， 当 m时，y 有最大值，最大值是； 当 PE2ED 时， 即m2+3m2（m+3） ， 解得：m2 或 m3（不和题意舍去） ， 当 2PEED 时， 即2m2+6mm+3， 整理得，2m27m+30， 解得：m，m3， （不合题意舍去） ， P（2，3） ， （，）