1、20192019- -20202020 学年黑龙江省齐齐哈尔市龙沙区九年级下期中数学试卷学年黑龙江省齐齐哈尔市龙沙区九年级下期中数学试卷 一、选择题 1（3 分）（3） 2 的运算结果是（ ） A6 B6 C9 D9 2（3 分）以下图形中对称轴的数量小于 3 的是（ ） A B C D 3（3 分）下列各式计算正确的是（ ） Aa 01 B2 2 Ca 2a3a5 Dx 2+x2x4 4（3 分）小刚参加射击比赛，成绩统计如表，下列说法正确的是（ ） 成绩（环） 6 7 8 9 10 次数 1 3 2 3 1 A极差是 2 环 B中位数是 8 环 C众数是 9 环 D平均数是 9 环 5 （
2、3 分） 如图， 已知ab， 直角三角板的直角顶点在直线b上， 若160， 则下列结论错误的是 （ ） A260 B360 C4120 D540 6（3 分）如图，在矩形ABCD中，AB2，BC3，动点P沿折线BCD从点B开始运动到点D设运动的路 程为x，ADP的面积为y，那么y与x之间的函数关系的图象大致是（ ） A B C D 7（3 分）把 60 个乒乓球分别装在两种不同型号的盒子里，大盒装 6 个，小盒装 4 个，当把乒乓球都装完 的时候恰好把盒子都装满，那么不同的装球方法有（ ） A2 种 B4 种 C6 种 D8 种 8（3 分）用小立方块搭一个几何体，使得它的主视图和俯视图如图所
3、示，则最少需要小立方块的个数为 （ ） A6 B7 C10 D13 9（3 分）如图，A、B、C、D四个点均在O上，AOD70，AODC，则B的度数为（ ） A40 B45 C50 D55 10（3 分）如图，已知二次函数yax 2+bx+c（a0）的图象如图所示，有下列 5 个结论：abc0；b a+c；4a+2b+c0；2c3b；a+bm（am+b）（m1 的实数）其中正确结论的有（ ） A B C D 二、填空题（每题 3 分，共 21 分） 11（3 分）“厉害了，我的国！”2019 年 1 月 18 日，国家统计局对外宣布，全年国内生产总值首次登上 820000 亿元的新台阶，把 8
4、20000 用科学记数法表示为 12（3 分）在函数y+（x4） 0中，自变量 x的取值范围是 13（3 分）直角三角形的两直角边长分别为 4cm，3cm，以其中长直角边所在直线为轴旋转一周，得到的 几何体的侧面积是 cm 2 14（3 分）已知关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是 15（3 分）以A，B，C，D为顶点的菱形中，AB3，ABD30，则菱形的面积为 16（3 分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，D分别在x轴、y轴上，对角线BDx轴， 反比例函数y（k0，x0）的图象经过矩形对角线的交点 E若点A（2，0），D（0，4），则k 的值为 17 （3 分）如图
5、，在平面直角坐标系中，点A1的坐标为（1，0），以OA1为直角边作 RtOA1A2，并使A1OA2 60，再以OA2为直角边作 RtOA2A3，并使A2OA360，再以OA3为直角边作 RtOA3A4，并使A3OA4 60按此规律进行下去，则点A2019的坐标为 三、解答题（共 69 分） 18（5 分）（1）计算：+|3|2sin60（） 2+20160； （2）因式分解：1x 2+2xyy2 19（5 分）解方程：（2x1）（x+1）（3x+1）（x+1） 20（8 分）如图，在ABC中，C90，BAC的平分线交BC于点D，点O在AB上，以点O为圆心， OA为半径的圆恰好经过点D，分别交A
6、C，AB于点E，F （1）试判断直线BC与O的位置关系，并说明理由； （2）若BD2，BF2，求阴影部分的面积（结果保留 ） 21（10 分）国务院办公厅发布了中国足球改革的总体方案，这是中国足球历史上的重大改革为了 进一步普及足球知识，传播足球文化，我市举行了“足球进校园”知识竞赛活动，为了解足球知识的普 及情况，随机抽取了部分获奖情况进行整理，得到下列不完整的统计图表，请根据所给信息，解答下列 问题： （1）a ，b ，且补全频数分布直方图； （2）若用扇形统计图来描述获奖分布情况，问获得优胜奖对应的扇形圆心角的度数是多少？ （3）在这次竞赛中，甲、乙、丙、丁四位同学都获得一等奖，若从这四
7、位同学中随机选取两位同学代表 我市参加上一级竞赛，请用树状图或列表的方法，计算恰好选中甲、乙二人的概率 获奖等次 频数 频率 一等奖 10 0.06 二等奖 20 0.10 三等奖 30 b 优等奖 a 0.30 鼓励奖 80 0.40 22（10 分）2008 年 5 月 12 日 14 时 28 分四川汶川发生里氏 8.0 级强力地震某市接到上级通知，立即 派出甲、乙两个抗震救灾小组乘车沿同一路线赶赴距出发点 480 千米的灾区乙组由于要携带一些救灾 物资，比甲组迟出发 1.25 小时（从甲组出发时开始计时）图中的折线、线段分别表示甲、乙两组的所 走路程y甲（千米）、y乙（千米）与时间x（
8、小时）之间的函数关系对应的图象请根据图象所提供的信 息，解决下列问题： （1）由于汽车发生故障，甲组在途中停留了 小时； （2）甲组的汽车排除故障后，立即提速赶往灾区请问甲组的汽车在排除故障时，距出发点的路程是多 少千米？ （3）为了保证及时联络，甲、乙两组在第一次相遇时约定此后两车之间的路程不超过 25 千米，请通过 计算说明，按图象所表示的走法是否符合约定？ 23（12 分）已知ABC是边长为 4 的等边三角形，点D是射线BC上的动点，将AD绕点A逆时针方向旋 转 60得到AE，连接DE （1）如图 1，猜想ADE是什么三角形？ ；（直接写出结果） （2）如图 2，猜想线段CA、CE、CD
9、之间的数量关系，并证明你的结论； （3）当BD为何值时，DEC30；（直接写出结果） 点D在运动过程中，DEC的周长是否存在最小值？若存在请直接写出DEC周长的最小值；若不存 在，请说明理由 24（14 分）如图，点B、C分别在x，y轴的正半轴上，OB，OC的长分别为x 28x+120 的两个根，且 OCOB，将COB绕点O逆时针旋转 90，点C落在x轴负半轴上的点A处，点B落在y轴正半轴的点 D处，连接AC （1）求过A，B，C三点的抛物线的函数解析式； （2）直接写出 tanCAD的值； （3）点P从点C以每秒 2 个单位长度的速度沿CA运动到点A，点Q从点O以每秒 1 个单位长度的速度
10、沿OC运动到点C，连接PQ求SCPQ的最大值，及此时点P的坐标； （4）M是第二象限内一点，在平面内是否存在点N，使得以A，D，M，N为顶点的四边形是正方形？若存 在，请直接写出点N的坐标，若不存在，请说明理由 参考答案参考答案 一、选择题（每小题 3 分，共 30 分） 1（3 分）（3） 2 的运算结果是（ ） A6 B6 C9 D9 解：（3） 29 故选：D 2（3 分）以下图形中对称轴的数量小于 3 的是（ ） A B C D 解：A、有 4 条对称轴； B、有 6 条对称轴； C、有 4 条对称轴； D、有 2 条对称轴 故选：D 3（3 分）下列各式计算正确的是（ ） Aa 01
11、 B2 2 Ca 2a3a5 Dx 2+x2x4 解：A、a 01（a0），故原题说法错误； B、2 2 ，故原题计算错误； C、a 2a3a5，故原题计算正确； D、x 2+x22x2，故原题计算错误； 故选：C 4（3 分）小刚参加射击比赛，成绩统计如表，下列说法正确的是（ ） 成绩（环） 6 7 8 9 10 次数 1 3 2 3 1 A极差是 2 环 B中位数是 8 环 C众数是 9 环 D平均数是 9 环 解：A、极差为 1064 环，故错误，不符合题意； B、中位数为8 环，正确，符合题意； C、7 环和 9 环均出现 2 次，最多，故众数为 7 环和 9 环，故错误，不符合题意；
12、 D、平均数为（6+73+82+93+10）8 环，故错误，不符合题意， 故选：B 5 （3 分） 如图， 已知ab， 直角三角板的直角顶点在直线b上， 若160， 则下列结论错误的是 （ ） A260 B360 C4120 D540 解：ab，160， 3160，2160， 4180318060120， 三角板为直角三角板， 5903906030 故选：D 6（3 分）如图，在矩形ABCD中，AB2，BC3，动点P沿折线BCD从点B开始运动到点D设运动的路 程为x，ADP的面积为y，那么y与x之间的函数关系的图象大致是（ ） A B C D 解：由题意当 0 x3 时，y3， 当 3x5 时
13、，y3（5x）x+ 故选：D 7（3 分）把 60 个乒乓球分别装在两种不同型号的盒子里，大盒装 6 个，小盒装 4 个，当把乒乓球都装完 的时候恰好把盒子都装满，那么不同的装球方法有（ ） A2 种 B4 种 C6 种 D8 种 解：设大盒x盒，小盒y盒，依题意有 6x+4y60， y， x，y都是正整数， x2 时，y12； x4 时，y9； x6 时，y6； x8 时，y3； 故不同的装球方法有 4 种 故选：B 8（3 分）用小立方块搭一个几何体，使得它的主视图和俯视图如图所示，则最少需要小立方块的个数为 （ ） A6 B7 C10 D13 解：由主视图可知，它自下而上共有 3 列，第
14、一列 3 块，第二列 2 块，第三列 1 块 由俯视图可知，它自左而右共有 3 列，第一列与第二列各 3 块，第三列 1 块，从空中俯视的块数只要最 底层有一块即可 因此，综合两图可知这个几何体的形状不能确定；并且最少时为第一列中有一个三层，其余为一层，第 二列中有一个二层，其余为一层，第三列一层，共 10 块 故选：C 9（3 分）如图，A、B、C、D四个点均在O上，AOD70，AODC，则B的度数为（ ） A40 B45 C50 D55 解：如图， 连接OC， AODC， ODCAOD70， ODOC， ODCOCD70， COD40， AOC110， BAOC55 故选：D 10（3 分
15、）如图，已知二次函数yax 2+bx+c（a0）的图象如图所示，有下列 5 个结论：abc0；b a+c；4a+2b+c0；2c3b；a+bm（am+b）（m1 的实数）其中正确结论的有（ ） A B C D 解：由图象可知：a0，c0， 0， b0， abc0，故此选项正确； 当x1 时，yab+c0，故ab+c0，错误； 由对称知，当x2 时，函数值大于 0，即y4a+2b+c0，故此选项正确； 当x3 时函数值小于 0，y9a+3b+c0，且x1， 即a，代入得 9（）+3b+c0，得 2c3b，故此选项正确； 当x1 时，y的值最大此时，ya+b+c， 而当xm（m1）时，yam 2+
16、bm+c， 所以a+b+cam 2+bm+c， 故a+bam 2+bm，即 a+bm（am+b），故此选项错误 故正确 故选：B 二、填空题（每题 3 分，共 21 分） 11（3 分）“厉害了，我的国！”2019 年 1 月 18 日，国家统计局对外宣布，全年国内生产总值首次登上 820000 亿元的新台阶，把 820000 用科学记数法表示为 8.210 5 解：将 820000 用科学记数法表示为：8.210 5 故答案是：8.210 5 12（3 分）在函数y+（x4） 0中，自变量 x的取值范围是 x3 且x4 解：要使函数y+（x4） 0有意义， 则x30 且x40， 解得x3 且
17、x4， 故答案为：x3 且x4 13（3 分）直角三角形的两直角边长分别为 4cm，3cm，以其中长直角边所在直线为轴旋转一周，得到的 几何体的侧面积是 15 cm 2 解：直角三角形的两直角边长分别为 4cm，3cm， 由勾股定理得斜边为 5， 以 4cm边所在的直线为轴，将直角三角形旋转一周， 则所得到的几何体的底面周长6cm， 侧面面积6515（cm 2） 故答案为：15 14（3 分）已知关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是 m2 且m3 解：去分母得， m3x1， 解得xm2， 由题意得，m20， 解得，m2， x1 是分式方程的增根，所有当x1 时，方程无解，即m3， 所
18、以m的取值范围是m2 且m3 故答案为：m2 且m3 15 （3 分）以A，B，C，D为顶点的菱形中，AB3，ABD30，则菱形的面积为 或或 解：如图 1，过点A作AEBC于E， 在菱形ABCD中，AB3，ABD30， BAE30， AEBC， AE， 菱形ABCD的面积是 3， 如图 2，连接CD交AB于O， 四边形ACBD是菱形， AOBOAB，DOCO，ABCD， ABD30， ODOB， CD， 菱形的面积为3； 如图 3，过A作AHBD于H， 则AHB90， AB3，ABD30， AHAB， 菱形的面积为AHBD3， 综上所述，菱形的面积为或或， 故答案为：或或 16（3 分）如图
19、，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，D分别在x轴、y轴上，对角线BDx轴， 反比例函数y（k0，x0）的图象经过矩形对角线的交点 E若点A（2，0），D（0，4），则k 的值为 20 解：BDx轴，D（0，4）， B、D两点纵坐标相同，都为 4， 可设B（x，4） 矩形ABCD的对角线的交点为E， E为BD中点，DAB90 E（x，4） DAB90， AD 2+AB2BD2， A（2，0），D（0，4），B（x，4）， 2 2+42+（x2）2+42x2， 解得x10， E（5，4） 反比例函数y（k0，x0）的图象经过点E， k5420 故答案为 20 17 （3 分）如图，在平面直
20、角坐标系中，点A1的坐标为（1，0），以OA1为直角边作 RtOA1A2，并使A1OA2 60，再以OA2为直角边作 RtOA2A3，并使A2OA360，再以OA3为直角边作 RtOA3A4，并使A3OA4 60按此规律进行下去，则点A2019的坐标为 （2 2017，22017 ） 解：由题意得， A1的坐标为（1，0）， A2的坐标为（1，）， A3的坐标为（2，2）， A4的坐标为（8，0）， A5的坐标为（8，8）， A6的坐标为（16，16）， A7的坐标为（64，0）， 由上可知，A点的方位是每 6 个循环， 与第一点方位相同的点在x正半轴上，其横坐标为 2 n1，其纵坐标为 0，
21、 与第二点方位相同的点在第一象限内，其横坐标为 2 n2，纵坐标为 2n2 ， 与第三点方位相同的点在第二象限内，其横坐标为2 n2，纵坐标为 2n2 ， 与第四点方位相同的点在x负半轴上，其横坐标为2 n1，纵坐标为 0， 与第五点方位相同的点在第三象限内，其横坐标为2 n2，纵坐标为2n2 ， 与第六点方位相同的点在第四象限内，其横坐标为 2 n2，纵坐标为2n2 ， 201963363， 点A2019的方位与点A3的方位相同，在第二象限内，其横坐标为2 n222017，纵坐标为 22017 ， 故答案为：（2 2017，22017 ） 三、解答题（共 69 分） 18（5 分）（1）计算
22、：+|3|2sin60（） 2+20160； （2）因式分解：1x 2+2xyy2 解：（1）原式2+323+1 2+33+1 1； （2）原式1（xy） 2 （1x+y）（1+xy） 19（5 分）解方程：（2x1）（x+1）（3x+1）（x+1） 解：（2x1）（x+1）（3x+1）（x+1）0， （x+1）（x2）0， x+10 或x20， x11，x22 20（8 分）如图，在ABC中，C90，BAC的平分线交BC于点D，点O在AB上，以点O为圆心， OA为半径的圆恰好经过点D，分别交AC，AB于点E，F （1）试判断直线BC与O的位置关系，并说明理由； （2）若BD2，BF2，求阴影
23、部分的面积（结果保留 ） 解：（1）BC与O相切 证明：连接OD AD是BAC的平分线， BADCAD 又ODOA， OADODA CADODA ODAC ODBC90，即ODBC 又BC过半径OD的外端点D， BC与O相切 （2）设OFODx，则OBOF+BFx+2， 根据勾股定理得：OB 2OD2+BD2，即（x+2）2x2+12， 解得：x2，即ODOF2， OB2+24， RtODB中，ODOB， B30， DOB60， S扇形DOF， 则阴影部分的面积为SODBS扇形DOF222 故阴影部分的面积为 2 21（10 分）国务院办公厅发布了中国足球改革的总体方案，这是中国足球历史上的重
24、大改革为了 进一步普及足球知识，传播足球文化，我市举行了“足球进校园”知识竞赛活动，为了解足球知识的普 及情况，随机抽取了部分获奖情况进行整理，得到下列不完整的统计图表，请根据所给信息，解答下列 问题： （1）a 60 ，b 0.15 ，且补全频数分布直方图； （2）若用扇形统计图来描述获奖分布情况，问获得优胜奖对应的扇形圆心角的度数是多少？ （3）在这次竞赛中，甲、乙、丙、丁四位同学都获得一等奖，若从这四位同学中随机选取两位同学代表 我市参加上一级竞赛，请用树状图或列表的方法，计算恰好选中甲、乙二人的概率 获奖等次 频数 频率 一等奖 10 0.06 二等奖 20 0.10 三等奖 30 b
25、 优等奖 a 0.30 鼓励奖 80 0.40 解：（1）样本总数为 200.10200 人， a2001020308060 人， b302000.15， 优等奖的频数是：2000.360（人），补图如下： 故答案为 60，0.15； （2）获得优胜奖对应的扇形圆心角的度数是：0.30360108； （3）画树状图如下： 共有 12 种等可能的结果，恰好选中甲、乙二人的有 2 种， 则恰好选中甲、乙二人的概率是： 22（10 分）2008 年 5 月 12 日 14 时 28 分四川汶川发生里氏 8.0 级强力地震某市接到上级通知，立即 派出甲、乙两个抗震救灾小组乘车沿同一路线赶赴距出发点 4
26、80 千米的灾区乙组由于要携带一些救灾 物资，比甲组迟出发 1.25 小时（从甲组出发时开始计时）图中的折线、线段分别表示甲、乙两组的所 走路程y甲（千米）、y乙（千米）与时间x（小时）之间的函数关系对应的图象请根据图象所提供的信 息，解决下列问题： （1）由于汽车发生故障，甲组在途中停留了 1.9 小时； （2）甲组的汽车排除故障后，立即提速赶往灾区请问甲组的汽车在排除故障时，距出发点的路程是多 少千米？ （3）为了保证及时联络，甲、乙两组在第一次相遇时约定此后两车之间的路程不超过 25 千米，请通过 计算说明，按图象所表示的走法是否符合约定？ 解：（1）1.9； （2）设直线EF的解析式为
27、y乙kx+b， 点E（1.25，0）、点F（7.25，480）均在直线EF上， ， 解得直线EF的解析式是y乙80 x100； 点C在直线EF上，且点C的横坐标为 6， 点C的纵坐标为 806100380； 点C的坐标是（6，380）； 设直线BD的解析式为y甲mx+n； 点C（6，380）、点D（7，480）在直线BD上， ； 解得；BD的解析式是y甲100 x220； B点在直线BD上且点B的横坐标为 4.9，代入y甲得B（4.9，270）， 甲组在排除故障时，距出发点的路程是 270 千米 （3）符合约定； 由图象可知：甲、乙两组第一次相遇后在B和D相距最远 在点B处有y乙y甲804.9
28、100（1004.9220）22 千米25 千米， 在点D有y甲y乙1007220（807100）20 千米25 千米， 按图象所表示的走法符合约定 23（12 分）已知ABC是边长为 4 的等边三角形，点D是射线BC上的动点，将AD绕点A逆时针方向旋 转 60得到AE，连接DE （1）如图 1，猜想ADE是什么三角形？ 等边三角形 ；（直接写出结果） （2）如图 2，猜想线段CA、CE、CD之间的数量关系，并证明你的结论； （3）当BD为何值时，DEC30；（直接写出结果） 点D在运动过程中，DEC的周长是否存在最小值？若存在请直接写出DEC周长的最小值；若不存 在，请说明理由 解：（1）由
29、旋转变换的性质可知，ADAE，DAE60， ADE是等边三角形， 故答案为：等边三角形； （2）AC+CDCE， 证明：由旋转的性质可知，DAE60，ADAE， ABC是等边三角形 ABACBC，BAC60， BACDAE60， BAC+DACDAE+DAC，即BADCAE， 在ABD和ACE中， ， ABDACE（SAS） BDCE， CEBDCB+CDCA+CD； （3）BD为 2 或 8 时，DEC30， 当点D在线段BC上时，DEC30，AED60， AEC90， ABDACE， ADBAEC90，又B60， BAD30， BDAB2， 当点D在线段BC的延长线上时，DEC30，AED
30、60， AEC30， ABDACE， ADBAEC30，又B60， BAD90， BD2AB8， BD为 2 或 8 时，DEC30； 点D在运动过程中，DEC的周长存在最小值，最小值为 4+2， 理由如下：ABDACE， CEBD， 则DEC的周长DE+CE+DCBD+CD+DE， 当点D在线段BC上时，DEC的周长BC+DE， 当点D在线段BC的延长线上时，DEC的周长BD+CD+DEBC+DE， DEC的周长BC+DE， 当D在线段BC上，且DE最小时，DEC的周长最小， ADE为等边三角形， DEAD， AD的最小值为 2， DEC的周长的最小值为 4+2 24（14 分）如图，点B、
31、C分别在x，y轴的正半轴上，OB，OC的长分别为x 28x+120 的两个根，且 OCOB，将COB绕点O逆时针旋转 90，点C落在x轴负半轴上的点A处，点B落在y轴正半轴的点 D处，连接AC （1）求过A，B，C三点的抛物线的函数解析式； （2）直接写出 tanCAD的值； （3）点P从点C以每秒 2 个单位长度的速度沿CA运动到点A，点Q从点O以每秒 1 个单位长度的速度 沿OC运动到点C，连接PQ求SCPQ的最大值，及此时点P的坐标； （4）M是第二象限内一点，在平面内是否存在点N，使得以A，D，M，N为顶点的四边形是正方形？若存 在，请直接写出点N的坐标，若不存在，请说明理由 解：（1
32、）解x 28x+120 得：x6 或 2， 故点B（2，0）、点C（0，6）， 由图象的旋转知，点A、D的坐标分别为（6，0）、（0，2）； 将点A、B、C的坐标代入抛物线表达式得，解得， 故抛物线的表达式为yx 22x+6； （2）过点D作DHAC于点H， 则SACDCDAOACHD，即46HD，解得HD2， 则 sinCAD， 故 tanCAD； （3）OAOC，则ACO45， 由题意得：PC2t，CQ6t， 则|xC|PCcos45t， 则SCPQCQ|xC|t（6t）（t 26t）， 0，故SCPQ有最大值，当t3 时，其最大值为， 当t3 时，点P的纵坐标为 6t3， 故点P（3，3
33、）； （4）当AD是正方形的对角线时，则正方形为ANDM， 设MN交AD于R，交x轴于点H， 则点R是AD的中点，则点R（3，1）， 在 RtAOD中，tanDAO，则 tanRHA3， 则设直线MN的表达式为y3x+b，将点R的坐标代入上式并解得b8， 故直线MN的表达式为y3x8，设点N（m，3m8）， 过点N作x轴的平行线交过点A与y轴的平行线于点G，交y轴于点K， DNKANG90，ANG+NAG90， NAGDNK， NGADKN90，ANDN， NGADKN（AAS）， GNDK，即m+62+3m+8，解得m2， 故点N的坐标为（2，2）； 当AD是正方形的边时， 当DN是边时， 同理可得：DSNAOD（AAS）， NSOD2，DSAO6， 故点N（2，8）； 当AN是边时，点N对应的是上图中的点M， 同理可得，点M（8，6），即点N（8，6）； 综上，点N的坐标为（8，6）、（2，8）、（2，2）