1、2020-2021 学年江苏省常州二十四中教育集团九年级（上）期中数学试卷学年江苏省常州二十四中教育集团九年级（上）期中数学试卷 一选择题（共一选择题（共 7 小题）小题） 1用配方法解方程 x22x20 时，原方程应变形为（ ） A （x+1）23 B （x+2）26 C （x1）23 D （x2）26 2已知O 与点 P 在同一平面内，如果O 的半径为 5，线段 OP 的长为 4，则点 P（ ） A在O 上 B在O 内 C在O 外 D在O 上或在O 内 3下列命题中，正确的是（ ） A平面上三个点确定一个圆 B等弧所对的圆周角相等 C三角形的外心在三角形的外面 D与某圆一条半径垂直的直线是
2、该圆的切线 4点 B 是线段 AC 的黄金分割点，且 ABBC，若 AC2，则 BC 的长为（ ） A B C+1 D1 5如图，AB 是O 的直径，C，D 是圆上两点，连接 AC，BC，AD，CD若CAB55，则ADC 的 度数为（ ） A55 B45 C35 D25 6如图，在ABCD 中，E 为 CD 上一点，连接 AE、BD，且 AE、BD 交于点 F，SDEF：SABF4：25， 则 DE：EC（ ） A2：5 B2：3 C3：5 D3：2 7如图，若 l1l2l3，则下列各式错误的是（ ） A B C D 二、填空题（共二、填空题（共 11 小题）小题） 8一元二次方程 x（x1）
3、0 的解是 9 在比例尺为 1： 500000 的地图上， 测得 A、 B 两地间的图上距离为 6cm， 则 A、 B 两地间实际距离 km 10一元二次方程 x26x+50 的两根分别是 x1、x2，则 x1x2的值是 11已知O 的半径为 13cm，弦 AB 的长为 10cm，则圆心 O 到 AB 的距离为 cm 12如图，四边形 ABCD 为O 的内接四边形，已知BOD110，则BCD 的度数为 13如图是小孔成像原理的示意图，根据图中标注的尺寸，如果物体 AB 的高度为 36cm，那么它在暗盒中 所成的像 CD 的高度应为 cm 14如图，方格纸上每个小正方形的边长均为 1 个单位长度
4、，点 O，A，B，C 在格点（两条网格线的交点 叫格点）上，以点 O 为原点建立直角坐标系，则过 A，B，C 三点的圆的圆心坐标为 15已知关于 x 的一元二次方程 kx2+2x10 有两个不相等的实数根，则实数 k 的取值范围是 16如图，已知点 C 是O 的直径 AB 上的一点，过点 C 作弦 DE，使 CDCO若的度数为 35，则 的度数是 17已知O 的半径为 2，A 为圆上一定点，P 为圆上一动点，以 AP 为边作等腰 RtAPG，P 点在圆上运 动一周的过程中，OG 的最大值为 18如果关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c0 有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的 2 倍，
5、则称这样 的方程为“倍根方程” ，以下关于倍根方程的说法，正确的有 （填序号） 方程 x2x20 是倍根方程； 若（x2） （mx+n）0 是倍根方程：则 4m2+5mn+n20； 若 p，q 满足 pq2，则关于 x 的方程 px2+3x+q0 是倍根方程； 若方程以 ax2+bx+c0 是倍根方程，则必有 2b29ac 三解答题（共三解答题（共 8 小题）小题） 19解方程 （1）2x2+3x5 （2）2x（x+3）5（x+3） 20如图，在 1212 的正方形网格中，TAB 的顶点坐标分别为 T（1，1） 、A（2，3） 、B（4，2） （1）以点 T（1，1）为位似中心，按比例尺（TA
6、：TA）3：1 在位似中心的同侧将TAB 放大为 TAB，放大后点 A、B 的对应点分别为 A、B画出TAB，并写出点 A、B的坐标； （2）在（1）中，若 C（a，b）为线段 AB 上任一点，写出变化后点 C 的对应点 C的坐标 21如图，在ABC 中，ABAC，以 AB 为直径的O 交 BC 于点 D （1）判断 OD 与 AC 的位置关系，并说明理由； （2）D 是 BC 的中点吗？为什么？ 22已知关于 x 的一元二次方程（m1）x2+5x+m23m+20 的常数项为 0 （1）求 m 的值； （2）求此时一元二次方程的解 23 一家水果店以每斤 2 元的价格购进某种水果若干斤，然后以
7、每斤 4 元的价格出售，每天可售出 100 斤， 通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低 0.1 元，每天可多售出 20 斤 （1）若将这种水果每斤的售价降低 x 元，则每天的销售量是多少斤（用含 x 的代数式表示） ； （2）销售这种水果要想每天盈利 300 元，且保证每天至少售出 260 斤，那么水果店需将每斤的售价降低 多少元？ 24如图，灯杆 AB 与墙 MN 的距离为 18 米，小丽在离灯杆（底部）9 米的 D 处测得其影长 DF 为 3m，设 小丽身高为 1.6m （1）求灯杆 AB 的高度； （2）小丽再向墙走 7 米，她的影子能否完全落在地面上？若能，求此时的影长；若不能，求落
8、在墙上的 影长 25 （1） 【问题发现】如图 1，ABC 和CEF 都是等腰直角三角形，BACEFC90，点 E 与点 A 重合，则线段 BE 与 AF 的数量关系为 ； （2） 【拓展研究】在（1）的条件下，将CEF 绕点 C 旋转，连接 BE，AF，线段 BE 与 AF 的数量关系 有无变化？仅就图 2 的情形给出证明； （3） 【问题发现】当 ABAC2，CEF 旋转到 B，E，F 三点共线时候，直接写出线段 AF 的长 26若三角形的一条角平分线与被平分的角的一边相等，则称这个三角形为“弱等腰三角形” ，这条角平分 线叫做这个三角形的“弱线” ，如图，AD 是ABC 的角平分线，当
9、ADAB 时，则ABC 是“弱等 腰三角形” ，线段 AD 是ABC 的“弱线” （1）如图，在ABC 中B60，C45求证：ABC 是“弱等腰三角形” ； （2）如图，在矩形 ABCD 中，AB3，BC4以 B 为圆心在矩形内部作，交 BC 于点 E，点 F 是 上一点，连结 CF且 CF 与有另一个交点 G连结 BG当 BG 是BCF 的“弱线”时，求 CG 的 长 （3）已知ABC 是“弱等腰三角形” ，AD 是“弱线” ，且 AB3BD，求 AC：BC 的值 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 7 小题）小题） 1用配方法解方程 x22x20 时，原方程应变
10、形为（ ） A （x+1）23 B （x+2）26 C （x1）23 D （x2）26 【分析】配方法的一般步骤： （1）把常数项移到等号的右边； （2）把二次项的系数化为 1； （3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方 【解答】解：x22x20 移项，得：x22x2， 配方：x22x+13， 即（x1）23 故选：C 2已知O 与点 P 在同一平面内，如果O 的半径为 5，线段 OP 的长为 4，则点 P（ ） A在O 上 B在O 内 C在O 外 D在O 上或在O 内 【分析】直接根据点与圆的位置关系进行判断 【解答】解：O 的半径是 5，线段 OP 的长为 4， 即点 P 到圆心的距离小
11、于圆的半径， 点 P 在O 内 故选：B 3下列命题中，正确的是（ ） A平面上三个点确定一个圆 B等弧所对的圆周角相等 C三角形的外心在三角形的外面 D与某圆一条半径垂直的直线是该圆的切线 【分析】根据确定圆的条件对 A 进行判断；根据圆周角定理对 B 进行判断；根据三角形外心的定义对 C 进行判断；根据切线的判定定理对 D 进行判断 【解答】解：A、平面上不共线的三个点确定一个圆，所以 A 选项错误； B、等弧所对的圆周角相等，所以 B 选项正确； C、钝角三角形的外心在三角形的外面，锐角三角形的外心在三角形内部，直角三角形的外心为斜边的 中点，所以 C 选项错误； D、过半径的外端与半径
12、垂直的直线为圆的切线，所以 D 选项错误 故选：B 4点 B 是线段 AC 的黄金分割点，且 ABBC，若 AC2，则 BC 的长为（ ） A B C+1 D1 【分析】根据黄金分割的定义可得出较长的线段 BCAC，将 AC2 代入即可得出 BC 的长度 【解答】解：点 B 是线段 AC 的黄金分割点，且 ABBC， BCAC， AC2， BC1 故选：D 5如图，AB 是O 的直径，C，D 是圆上两点，连接 AC，BC，AD，CD若CAB55，则ADC 的 度数为（ ） A55 B45 C35 D25 【分析】推出 RtABC，求出B 的度数，由圆周角定理即可推出ADC 的度数 【解答】解：
13、AB 是O 的直径， ACB90， CAB55， B35， ADCB35 故选：C 6如图，在ABCD 中，E 为 CD 上一点，连接 AE、BD，且 AE、BD 交于点 F，SDEF：SABF4：25， 则 DE：EC（ ） A2：5 B2：3 C3：5 D3：2 【分析】先根据平行四边形的性质及相似三角形的判定定理得出DEFBAF，再根据 SDEF：SABF 4：25 即可得出其相似比，由相似三角形的性质即可求出 DE：AB 的值，由 ABCD 即可得出结论 【解答】解：四边形 ABCD 是平行四边形， ABCD， EABDEF，AFBDFE， DEFBAF， SDEF：SABF4：25，
14、 DE：AB2：5， ABCD， DE：EC2：3 故选：B 7如图，若 l1l2l3，则下列各式错误的是（ ） A B C D 【分析】利用平行线分线段成比例定理和比例的性质对各选项进行判断 【解答】解：l1l2l3， ， 故选：D 二、填空题（共二、填空题（共 11 小题）小题） 8一元二次方程 x（x1）0 的解是 x10，x21 【分析】根据已知得出两个一元一次方程，求出方程的解即可 【解答】解：x（x1）0， x0，x10， x10，x21， 故答案为：x10，x21 9在比例尺为 1：500000 的地图上，测得 A、B 两地间的图上距离为 6cm，则 A、B 两地间实际距离 30
15、 km 【分析】根据比例尺图上距离：实际距离，列比例式即可求得实际距离 【解答】解：设 A、B 两地间的实际距离为 xcm，由题意，得 1：5000006：x， 解得 x3000000cm30km 故答案为 30 10一元二次方程 x26x+50 的两根分别是 x1、x2，则 x1x2的值是 5 【分析】根据根与系数的关系，可得出 x1x25，此题得解 【解答】解：一元二次方程 x26x+50 的两根分别是 x1、x2， x1x25 故答案为：5 11已知O 的半径为 13cm，弦 AB 的长为 10cm，则圆心 O 到 AB 的距离为 12 cm 【分析】如图，作 OCAB 于 C，连接 O
16、A，根据垂径定理得到 ACBCAB5，然后利用勾股定理 计算 OC 的长即可 【解答】解：如图，作 OCAB 于 C，连接 OA， 则 ACBCAB5， 在 RtOAC 中，OC12， 所以圆心 O 到 AB 的距离为 12cm 故答案为 12 12如图，四边形 ABCD 为O 的内接四边形，已知BOD110，则BCD 的度数为 125 【分析】根据圆周角定理求出A 的度数，根据圆内接四边形的性质计算即可 【解答】解：由圆周角定理得，ABOD55， 四边形 ABCD 为O 的内接四边形， A+BCD180， BCD125， 故答案为：125 13如图是小孔成像原理的示意图，根据图中标注的尺寸，
17、如果物体 AB 的高度为 36cm，那么它在暗盒中 所成的像 CD 的高度应为 16 cm 【分析】正确理解小孔成像的原理，因为 ABCD 所以ABOCDO，则有而 AB 的值已知， 所以可求出 CD 【解答】解：ABOCDO 又AB36 CD16 14如图，方格纸上每个小正方形的边长均为 1 个单位长度，点 O，A，B，C 在格点（两条网格线的交点 叫格点）上，以点 O 为原点建立直角坐标系，则过 A，B，C 三点的圆的圆心坐标为 （1，2） 【分析】连接 CB，作 CB 的垂直平分线，根据勾股定理和半径相等得出点 D 的坐标即可 【解答】解：连接 CB，作 CB 的垂直平分线，如图所示：
18、在 CB 的垂直平分线上找到一点 D， CDDBDA， 所以 D 是过 A，B，C 三点的圆的圆心， 即 D 的坐标为（1，2） ， 故答案为： （1，2） ， 15已知关于 x 的一元二次方程 kx2+2x10 有两个不相等的实数根，则实数 k 的取值范围是 k1 且 k0 【分析】根据一元二次方程的定义以及根的判别式得到 k0，且0，然后解两个不等式即可得到实 数 k 的取值范围 【解答】解：根据题意得，k0，且0，即 224k（1）0，解得 k1， 实数 k 的取值范围为 k1 且 k0 故答案为 k1 且 k0 16如图，已知点 C 是O 的直径 AB 上的一点，过点 C 作弦 DE，
19、使 CDCO若的度数为 35，则 的度数是 105 【分析】连接 OD、OE，根据圆心角、弧、弦的关系定理求出AOD35，根据等腰三角形的性质和 三角形内角和定理计算即可 【解答】解：连接 OD、OE， 的度数为 35， AOD35， CDCO， ODCAOD35， ODOE， ODCE35， DOE110， AOE75， BOE105， 的度数是 105 故答案为 105 17已知O 的半径为 2，A 为圆上一定点，P 为圆上一动点，以 AP 为边作等腰 RtAPG，P 点在圆上运 动一周的过程中，OG 的最大值为 2+2 【分析】连接 OA，作 OHOA 交O 于点 H，连接 AH，HC，
20、OP首先证明OAPHAG，推出 ，由 OP2，可得 HG2，由 OGOH+HG，推出 OG2+2，由此即可解决问题； 【解答】解：连接 OA，作 OHOA 交O 于点 H，连接 AH，HG，OP OAOH，AOH90， AHOA， APPG，APG90， AGAP， ， OAHPAG45， OAPHAG， ，OP2， HG2， OGOH+HG， OG2+2， OG 的最大值为 2+2 故答案为 2+2 18如果关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c0 有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的 2 倍，则称这样 的方程为“倍根方程” ，以下关于倍根方程的说法，正确的有 （填序号） 方程 x2
21、x20 是倍根方程； 若（x2） （mx+n）0 是倍根方程：则 4m2+5mn+n20； 若 p，q 满足 pq2，则关于 x 的方程 px2+3x+q0 是倍根方程； 若方程以 ax2+bx+c0 是倍根方程，则必有 2b29ac 【分析】求出方程的解，再判断是否为倍根方程， 根据倍根方程和其中一个根，可求出另一个根，进而得到 m、n 之间的关系，而 m、n 之间的关系正 好适合， 当 p，q 满足 pq2，则 px2+3x+q（px+1） （x+q）0，求出两个根，再根据 pq2 代入可得两 个根之间的关系，进而判断是否为倍根方程， 用求根公式求出两个根，当 x12x2，或 2x1x2时
22、，进一步化简，得出关系式，进行判断即可 【解答】解：解方程 x2x20 得，x12，x21，得，x12x2， 方程 x2x20 不是倍根方程； 故不正确； 若（x2） （mx+n）0 是倍根方程，x12， 因此 x21 或 x24， 当 x21 时，m+n0， 当 x24 时，4m+n0， 4m2+5mn+n2（m+n） （4m+n）0， 故正确； pq2，则：px2+3x+q（px+1） （x+q）0， x1，x2q， x2q2x1， 因此是倍根方程， 故正确； 方程 ax2+bx+c0 的根为：x1，x2， 若 x12x2，则，2， 即，20， 0， 0， 3b 9（b24ac）b2， 2
23、b29ac 若 2x1x2时，则，2， 即，则，20， 0， b+30， b3， b29（b24ac） ， 2b29ac 故正确， 故答案为： 三解答题（共三解答题（共 8 小题）小题） 19解方程 （1）2x2+3x5 （2）2x（x+3）5（x+3） 【分析】 （1）整理成一般式后，利用十字相乘法分解因式求解可得； （2）移项后提取公因式分解因式求解可得 【解答】解： （1）2x2+3x50， （x1） （2x+5）0， x10 或 2x+50， 解得：x1 或 x； （2）2x（x+3）5（x+3）0， （x+3） （2x5）0， x+30 或 2x50， 解得：x3 或 x2.5 20
24、如图，在 1212 的正方形网格中，TAB 的顶点坐标分别为 T（1，1） 、A（2，3） 、B（4，2） （1）以点 T（1，1）为位似中心，按比例尺（TA：TA）3：1 在位似中心的同侧将TAB 放大为 TAB，放大后点 A、B 的对应点分别为 A、B画出TAB，并写出点 A、B的坐标； （2）在（1）中，若 C（a，b）为线段 AB 上任一点，写出变化后点 C 的对应点 C的坐标 【分析】根据题目的叙述，正确地作出图形，然后确定各点的坐标即可 【解答】解： （1）如图，A（4，7） ，B（10，4） ； （2）C（3a2，3b2） 21如图，在ABC 中，ABAC，以 AB 为直径的O
25、交 BC 于点 D （1）判断 OD 与 AC 的位置关系，并说明理由； （2）D 是 BC 的中点吗？为什么？ 【分析】 （1）根据等腰三角形的性质得到BC，BODB，得到ODBC，根据平行线 的判定定理证明； （2）根据三角形中位线定理证明 【解答】解： （1）ODAC， 理由如下：ABAC， BC， OBOD， BODB， ODBC， ODAC； （2）D 是 BC 的中点， ODAC，OAOB， BDDC，即 D 是 BC 的中点 22已知关于 x 的一元二次方程（m1）x2+5x+m23m+20 的常数项为 0 （1）求 m 的值； （2）求此时一元二次方程的解 【分析】 （1）直接
26、利用常数项为 0，进而得出关于 m 的等式进而得出答案； （2）利用（1）中所求得出方程的解 【解答】解： （1）由题意，得：m23m+20 解之，得 m2 或 m1， 由 m10，得：m1， 由，得：m2； （2）当 m2 时，代入（m1）x2+5x+m23m+20， 得 x2+5x0， x（x+5）0 解得：x10，x25 23 一家水果店以每斤 2 元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤 4 元的价格出售，每天可售出 100 斤， 通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低 0.1 元，每天可多售出 20 斤 （1）若将这种水果每斤的售价降低 x 元，则每天的销售量是多少斤（用含 x 的代数
27、式表示） ； （2）销售这种水果要想每天盈利 300 元，且保证每天至少售出 260 斤，那么水果店需将每斤的售价降低 多少元？ 【分析】 （1）销售量原来销售量+下降销售量，据此列式即可； （2）根据销售量每斤利润总利润列出方程求解即可 【解答】解： （1）将这种水果每斤的售价降低 x 元，则每天的销售量是 100+20100+200 x（斤） ； （2）根据题意得： （42x） （100+200 x）300， 解得：x1，x21， 当 x时，销售量是 100+200200260； 当 x1 时，销售量是 100+200300（斤） 每天至少售出 260 斤， x1 答：水果店需将每斤的售价
28、降低 1 元 24如图，灯杆 AB 与墙 MN 的距离为 18 米，小丽在离灯杆（底部）9 米的 D 处测得其影长 DF 为 3m，设 小丽身高为 1.6m （1）求灯杆 AB 的高度； （2）小丽再向墙走 7 米，她的影子能否完全落在地面上？若能，求此时的影长；若不能，求落在墙上的 影长 【分析】 （1）由AFBCFD、ABFCDF 可得出ABFCDF，根据相似三角形的性质可求 出 AB 的长度，此题得解； （2）将 CD 往墙移动 7 米到 CD，作射线 AC交 MN 于点 P，延长 AP 交地面 BN 于点 Q，由AQB CQD、ABQCDQ90可得出ABQCDQ，根据相似三角形的性质可
29、求出 DQ 的长度，同理可得出PQNAQB，再利用相似三角形的性质可求出 PN 的长度，此题得解 【解答】解： （1）AFBCFD，ABFCDF， ABFCDF， ， ABCD1.66.4 灯杆 AB 的高度为 6.4 米 （2）将 CD 往墙移动 7 米到 CD，作射线 AC交 MN 于点 P，延长 AP 交地面 BN 于点 Q，如图所 示 AQBCQD，ABQCDQ90， ABQCDQ， ，即， DQ 同理，可得出PQNAQB， ，即， PN1 小丽的影子不能完全落在地面上，小丽落在墙上的影长为 1 米 25 （1） 【问题发现】如图 1，ABC 和CEF 都是等腰直角三角形，BACEFC
30、90，点 E 与点 A 重合，则线段 BE 与 AF 的数量关系为 BEAF ； （2） 【拓展研究】在（1）的条件下，将CEF 绕点 C 旋转，连接 BE，AF，线段 BE 与 AF 的数量关系 有无变化？仅就图 2 的情形给出证明； （3） 【问题发现】当 ABAC2，CEF 旋转到 B，E，F 三点共线时候，直接写出线段 AF 的长 【分析】 （1）由AFC 为等腰直角三角形，进而得出 ACAF，即可得出结论； （2）先利用三角函数得出，同理得出，夹角相等即可得出ACFBCE，进而得出 结论； （3）分两种情况计算，当点 E 在线段 BF 上时，如图 2，先利用勾股定理求出 EFCF，B
31、F， 即可得出 BE，借助（2）得出的结论，当点 E 在线段 BF 的延长线上，同前一种情况一样即 可得出结论 【解答】解： （1）BEAF理由如下： 如图 1 中， AFC 是等腰直角三角形， ACAF ABAC BEABAF； （2）BEAF，理由如下： 如图 2 中， 在 RtABC 中，ABAC， ABCACB45， sinABC 在 RtEFC 中，FECFCE45，EFC90， sinFEC， ， 又FECACB45， FECACEACBACE 即FCAECB ACFBCE， ， BEAF； （3）当点 E 在线段 AF 上时，如图 2， 由（1）知，CFEF， 在 RtBCF 中
32、，CF，BC2， 根据勾股定理得，BF， BEBFEF， 由（2）知，BEAF， AF1， 当点 E 在线段 BF 的延长线上时，如图 3， 在 RtABC 中，ABAC2， ABCACB45， sinABC， 在 RtEFC 中，FECFCE45， 在 RtCEF 中，sinFEC， ， FCEACB45， FCB+ACBFCB+FCE， FCAECB， ACFBCE， ， BEAF， 由（1）知，CFEF， 在 RtBCF 中，CF，BC2， 根据勾股定理得，BF， BEBF+EF+， 由（2）知，BEAF， AF+1 即：当CEF 旋转到 B，E，F 三点共线时候，线段 AF 的长为1
33、或+1 26若三角形的一条角平分线与被平分的角的一边相等，则称这个三角形为“弱等腰三角形” ，这条角平分 线叫做这个三角形的“弱线” ，如图，AD 是ABC 的角平分线，当 ADAB 时，则ABC 是“弱等 腰三角形” ，线段 AD 是ABC 的“弱线” （1）如图，在ABC 中B60，C45求证：ABC 是“弱等腰三角形” ； （2）如图，在矩形 ABCD 中，AB3，BC4以 B 为圆心在矩形内部作，交 BC 于点 E，点 F 是 上一点，连结 CF且 CF 与有另一个交点 G连结 BG当 BG 是BCF 的“弱线”时，求 CG 的 长 （3）已知ABC 是“弱等腰三角形” ，AD 是“弱
34、线” ，且 AB3BD，求 AC：BC 的值 【分析】 （1）根据角平分线的定义得到DBCABC30，根据三角形的内角和得到A180 ABCC180604575，于是得到结论； （2）如图，连接 EG，根据角平分线的定义得到FBGGBE，根据全等三角形的性质得到BGF BGE，根据相似三角形的性质即可得到结论； （3）如图，当 ABAD 时，在 AC 上取一点 E，使得 AEAB，连接 DE，根据角平分线的定义得 到FBGGBE， 根据全等三角形的性质得到BGFBGE， 根据相似三角形的性质健康得到结论； 当 ACAD 时，如图，在 AB 上取一点 E，使 AEAC，连接 DE，同理可得结论
35、【解答】 （1）证明：如图作ABC 的角平分线 BD，交 AC 于 D， DBCABC30， ABC60，C45， A180ABCC180604575， ADBDBC+C30+4575， ADBA， BABD， ABC 是“弱等腰三角形” ； （2）如图，连接 EG， BG 是BCF 的“弱线” ， BG 平分FBC， FBGGBE， BFBE，BGBG， BGFBGE（SAS） ， BGFBGE， BGBE， BGEBEG（180GBE） ， FGE180GBE， CGE180FGE， CGECBG， GCEBCG， GCEBCG， ， CE431， CG2CEBC144， CG2； （3）
36、如图，当 ABAD 时，在 AC 上取一点 E，使得 AEAB，连接 DE， AD 是“弱线” ， AD 是ABC 的角平分线， BADCAD， ADAD， ABDAED（SAS） ， DEBD，BAED， ADAB， BADB， AEDADB， CED180AED，ADC180ADB， CEDADC， CC， ADCDEC， ， CECD，CDAC， CEAC， CEAEBD，CD3CEBD， AC9CEBD， BCBD+BDBD， AC：BC27：17； 当 ACAD 时，如图，在 AB 上取一点 E，使 AEAC，连接 DE， 同理可得，即，由上面计算可得，BCCD， AC3CD， AC：BC24：17