1、 第 1 页 / 共 15 页 考点考点 04 指数、对数、幂函数指数、对数、幂函数 1、了解幂函数的概念，掌握常见的幂函数的图像； 2、理解指数函数的概念，以及指数函数的图像与性质。会用指数函数模型解决简单的实际问题； 3、理解对数函数的概念及其性质，了解对数函数的换底公式，理解对数函数的性质，会画对数函数的图像； 指数函数、对数函数作为一类特殊的函数，在江苏高考中往往作为一种载体与其他函数结合 考查，重点考查与指数、对数函数有关的综合函数的单调性、奇偶性以及与不等式等知识点的 综合，难度往往较大。幂函数在江苏高考中的要求较低，近几年江苏高考中还没有涉及，在平 时的复习中可以适当的关注 在高
2、考复习中要注意以下几点： 要善于用指数函数的图像和性质，研究指数函数的单调性，对于这类问题考查的热点是对含 参的讨论。在有关根式的变形或者求值的过程中，要善于用转化的思想和方程观点处理问题； 研究对数问题尽量华为同底， 另外对数问题中要注意定义域的限制， 充分对对数函数的概念、 图像、性质讨论一些与之有关的复合函数的限制； 对于与指数函数、对数函数有关的综合体现要善于运用数形结合的思想以及等价转化的思 想，注意与其他知识点的结合。 1、 （2020 年北京卷）已知函数( )21 x f xx，则不等式 ( )0f x 的解集是（ ） 考纲要求考纲要求 近三年高考情况分析近三年高考情况分析 三年
3、高考真题三年高考真题 考点总结考点总结 第 2 页 / 共 15 页 A. ( 1,1) B. (, 1)(1,) C. (0,1) D. (,0)(1,) 【答案】D 【解析】因为 21 x f xx ，所以 0f x 等价于2 1 x x， 在同一直角坐标系中作出2xy 和 1yx 的图象如图： 两函数图象的交点坐标为(0,1),(1,2)， 不等式21 x x的解为0 x或1x . 所以不等式 0f x 的解集为：,01,. 故选：D. 2、 （2020 年全国 1 卷）若 24 2log42log ab ab，则（ ） A. 2ab B. 2ab C. 2 ab D. 2 ab 【答案
4、】B 【解析】设 2 ( )2log x f xx，则 ( )f x为增函数，因为 2 242 2log42log2log abb abb 所以( )(2 )f afb 2 22 2log(2log 2 ) ab ab 22 22 2log(2log 2 ) bb bb 2 1 log10 2 ， 所以( )(2 )f afb，所以2ab. 2 ( )()f af b 2 2 22 2log(2log) ab ab 2 22 22 2log(2log) bb bb 2 2 2 22log bb b， 当1b时， 2 ( )()20f af b，此时 2 ( )()f af b，有 2 ab 第
5、 3 页 / 共 15 页 当2b时， 2 ( )()10f af b ，此时 2 ( )()f af b，有 2 ab，所以 C、D错误. 故选：B. 3、 （2020 年全国 2 卷）9.设函数 ( )ln|21|ln|21|f xxx ，则 f(x)（ ） A. 是偶函数，且在 1 ( ,) 2 单调递增 B. 是奇函数，且在 1 1 (, ) 2 2 单调递减 C. 是偶函数，且在 1 (,) 2 单调递增 D. 是奇函数，且在 1 (,) 2 单调递减 【答案】D 【解析】由 ln 21ln 21f xxx 得 f x定义域为 1 2 x x ，关于坐标原点对称， 又 ln1 2ln
6、21ln 21ln 21fxxxxxf x ， f x为定义域上的奇函数，可排除 AC； 当 1 1 , 2 2 x 时， ln 21ln 1 2f xxx， ln 21yxQ在 1 1 , 2 2 上单调递增，ln 1 2yx在 1 1 , 2 2 上单调递减， f x在 1 1 , 2 2 上单调递增，排除 B； 当 1 , 2 x 时， 212 ln21ln 1 2lnln 1 2121 x f xxx xx ， 2 1 21x 在 1 , 2 上单调递减， lnf在定义域内单调递增， 根据复合函数单调性可知： f x在 1 , 2 上单调递减，D正确. 故选：D. 4、 （2020 年
7、全国 2 卷）若2233 xyxy ，则（ ） A. ln(1)0yx B. ln(1)0yx C. ln| 0 xy D. ln| 0 xy 【答案】A 【解析】由2233 xyxy 得：2323 xxyy ， 第 4 页 / 共 15 页 令 23 tt f t ， 2xy 为R上的增函数，3 x y 为R上的减函数， f t为R上的增函数， xy ， 0yxQ，11yx ， ln10yx ，则 A 正确，B 错误； xyQ与1的大小不确定，故 CD无法确定. 故选：A. 5、 （2020 年全国 3 卷）4.Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城有学者根据公布数据
8、 建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数 I(t)(t的单位：天)的 Logistic 模型： 0.23(53) ( )=1 e t I K t ，其中 K为最 大确诊病例数当 I( * t )=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则 * t 约为（ ） （ln193） A. 60 B. 63 C. 66 D. 69 【答案】C 【解析】 0.2353 1 t K I t e ，所以 0.2353 0.95 1 t K I tK e ，则 0.2353 19 t e ， 所以，0.2353ln193t ，解得 3 5366 0.23 t. 故选：C. 6、 （2020 年全国 3 卷）已知 558
9、4，13485设 a=log53，b=log85，c=log138，则（ ） A. abc B. bac C. bca D. cab 【答案】A 【解析】 由题意可得a、b、0,1c， 利用作商法以及基本不等式可得出a、b的大小关系， 由 8 log 5b ， 得8 5 b ， 结合 54 58 可得出 4 5 b ，由 13 log 8c ，得13 8 c ，结合 45 138 ，可得出 4 5 c ，综合可得出a、b、 c的大小关系. 【详解】由题意可知 a 、b、0,1c， 22 2 5 2 8 log 3lg3 lg81lg3lg8lg3lg8lg24 1 log 5lg5 lg522
10、lg5lg25 lg5 a b ，ab ； 第 5 页 / 共 15 页 由 8 log 5b ，得8 5 b ，由 54 58 ，得 54 88 b ，54b，可得 4 5 b ； 由 13 log 8c ，得13 8 c ，由 45 138 ，得 45 1313 c ，54c，可得 4 5 c . 综上所述，abc. 故选：A. 7、 （2020 年天津卷）.设 0.8 0.7 0.7 1 3,log0.8 3 abc ，则, ,a b c的大小关系为（ ） A. abc B. bac C. bca D. cab 【答案】D 【解析】因为 0.7 31a ， 0.8 0.80.7 1 33
11、 3 ba ， 0.70.7 log0.8log0.71c ， 所以1cab . 故选：D. 8、 （2020 年山东卷） 基本再生数 R0与世代间隔 T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者 传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型： (e) rt I t 描述累计感染病例数 I(t)随时间 t(单位:天)的变化规律，指数增长率 r与 R0，T近似满足 R0 =1+rT. 有学者基于已有数据估计出 R0=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加 1倍需要 的时间约为(ln20.69) （ ） A.
12、 1.2天 B. 1.8 天 C. 2.5 天 D. 3.5天 【答案】B 【解析】因 0 3.28R ，6T ， 0 1RrT ，所以 3.28 1 0.38 6 r ，所以 0.38rtt I tee， 设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加 1 倍需要的时间为 1 t天， 则 1 0.38()0.38 2 t tt ee ，所以 1 0.38 2 t e，所以 1 0.38ln2t ， 第 6 页 / 共 15 页 所以 1 ln20.69 1.8 0.380.38 t 天. 故选：B. 9、（2019 年高考全国卷理数）已知 0.20.3 2 log 0.220.2abc，则 A
13、abc Bacb Ccab Dbca 【答案】B 【解析】 22 log 0.2log 10,a 0.20 221,b 0.30 00.20.21,c即01,c 则acb 故选 B 【名师点睛】本题考查指数和对数大小的比较，考查了数学运算的素养采取中间量法，根据指数函数 和对数函数的单调性即可比较大小 10、（2019 年高考天津理数）已知 5 log 2a ， 0.5 og2 .l0b ， 0.2 0.5c ，则, ,a b c的大小关系为 Aacb Babc Cbca Dcab 【答案】A 【解析】因为 55 1 log 2log5 2 a ， 0.50.5 log0.2log0.252b
14、 ， 10.20 0.50.50.5c，即 1 1 2 c， 所以acb. 故选 A. 11、（2019 年高考全国卷理数）已知 0.20.3 2 log 0.220.2abc，则 Aabc Bacb Ccab Dbca 【答案】B 【解析】 22 log 0.2log 10,a 0.20 221,b 第 7 页 / 共 15 页 0.30 00.20.21,c即01,c 则acb 故选 B 【名师点睛】本题考查指数和对数大小的比较，考查了数学运算的素养采取中间量法，根据指数函数 和对数函数的单调性即可比较大小 12、（2019 年高考天津理数）已知 5 log 2a ， 0.5 og2 .l
15、0b ， 0.2 0.5c ，则, ,a b c的大小关系为 Aacb Babc Cbca Dcab 【答案】A 【解析】因为 55 1 log 2log5 2 a ， 0.50.5 log0.2log0.252b ， 10.20 0.50.50.5c，即 1 1 2 c， 所以acb. 故选 A. 13、（2019 年高考全国卷理数）已知 0.20.3 2 log 0.220.2abc，则 Aabc Bacb Ccab Dbca 【答案】B 【解析】 22 log 0.2log 10,a 0.20 221,b 0.30 00.20.21,c即01,c 则acb 故选 B 14、（2019 年
16、高考天津理数）已知 5 log 2a ， 0.5 og2 .l0b ， 0.2 0.5c ，则, ,a b c的大小关系为 Aacb Babc Cbca Dcab 【答案】A 第 8 页 / 共 15 页 【解析】因为 55 1 log 2log5 2 a ， 0.50.5 log0.2log0.252b ， 10.20 0.50.50.5c，即 1 1 2 c， 所以acb. 故选 A. 15、 （2020 年江苏卷）7.已知 y=f(x)是奇函数，当 x0时， 2 3 f xx ，则 f(-8)的值是_. 【答案】4 【解析】 2 3 (8)84f ，因为 ( )f x为奇函数，所以( 8
17、)(8)4ff 故答案为：4 题型一、指对数比较大小 例 1、 （2020 届山东省烟台市高三上期末）设 0.5 log3a ， 3 0.5b ， 0.5 1 3 c ，则, ,a b c的大小关系为 （ ） Aabc Bacb Cbac Dbca 【答案】A 【解析】 由题,因为 0.5 logyx单调递减,则 0.50.5 log3log10a ； 因为0.5xy 单调递减,则 30 00.50.51b； 因为3xy 单调递增,则 0.5 0.50 1 331 3 c , 所以01abc , 二年模拟试题二年模拟试题 第 9 页 / 共 15 页 故选：A 2、（2020 届山东省潍坊市高
18、三上期中） 已知 3 log 2a ， 1 4 3b ， 2 ln 3 c ， 则a，b，c的大小关系为 （ ） Aab c Bbac Ccba Dcab 【答案】B 【解析】 因为 3 log 2(0,1)a ， 1 4 31b ， 2 0 3 cln， 则a，b，c的大小关系：bac 故选：B. 3、 （2020 届山东省日照市高三上期末联考）三个数 0.8 7， 7 0.8， 0.8 log7的大小顺序是（ ） A 70.8 0.8 log70.87 B 0.87 0.8 log770.8 C 70.8 0.8 0.87log7 D 0.87 0.8 70.8log7 【答案】A 【解析
19、】 0.8 71， 7 00.81， 0.8 log70，故 70.8 0.8 log70.87. 故选 A. 4、 （2020 届山东省济宁市高三上期末）若 0.1 2 1 2 ,ln2,log 5 abc,则( ) Abca Bbac Ccab Dabc 【答案】D 【解析】 0.10 221a ；0ln1ln2ln1be； 22 1 loglog 10 5 c ，即abc 故选：D 5、 （2019 年北京高三月考）已知 0.2 1.5a ， 0.2 log1.5b ， 1.5 0.2c ，则（ ） Aab c Bbca Ccab Dacb 【答案】D 【解析】 由指数函数的性质可知：
20、0.2 1.51a ， 1.5 0.20,1c ， 第 10 页 / 共 15 页 由对数函数的性质可知 0.2 log1.50b ， 据此可得：acb. 本题选择 D 选项. 6、 （2020 届河北省衡水中学高三年级上学期五调） 已知定义在R上的函数( )2 x f xx， 3 (log5)af， 3 1 (log) 2 bf ，(ln3)cf，则a，b，c的大小关系为（ ） Acba Bbca Cabc Dcab 【答案】D 【解析】当0 x时， ( )22( )2ln2 20 xxxx f xxxfxx，函数 ( )f x在 0 x时，是增函 数.因为()22( ) xx fxxxf
21、x ，所以函数 ( )f x是奇函数，所以有 333 11 (log)( log)(log 2) 22 bfff ，因为 33 log5loln3 1g 20 ，函数 ( )f x在 0 x时， 是增函数，所以cab，故本题选 D. 7、 （2020 届河北省衡水中学高三年级小二调）设 2 log 3a ， 3 log 4b ， 5 log 8c ，则（ ） Aab c Bacb Ccab Dcba 【答案】B 【解析】因为 327 lg64 log 4log64 lg27 b ， 525 lg64 log 8log64 lg25 c ， 又因为lg640，0lg25log27， 所以bc.
22、又因为 22 3 2 33 log 3log 2 2 ， 因 3 2 32 ，故3 2 3 1 2 ， 所以 2 3 log 30 2 即. 3 2 a 又 55 3 2 33 log 8log 2 5 ， 因 3 2 85 ，故3 2 8 01 5 ， 第 11 页 / 共 15 页 所以 5 3 log 80 2 .即 3 2 c 所以ac 故acb. 故选：B. 方法总结：本题考查的是有关指数幂和对数值的比较大小问题，在解题的过程中，注意应用指数函数和对 数函数的单调性，确定其对应值的范围. 比较指对幂形式的数的大小关系，常用方法： （1）利用指数函数的单调性： x ya，当1a 时，函
23、数递增；当01a时，函数递减； （2）利用对数函数的单调性：logayx，当1a 时，函数递增；当01a时，函数递减； （3）借助于中间值，例如：0或 1 等. 题型二：指数、对数函数的运用 例 1、 （2020 届河北省衡水中学高三上学期七调）设 ( )f x为奇函数，当 0 x时， 2 ( )logf xx，则 1 16 ff （ ） A2 B 1 2 C4 D 1 4 【答案】A 【解析】由题意 22 11 log44log 42 1616 fffff . 故选：A. 2、（2020 届浙江省之江教育评价联盟高三第二次联考） 设函数 2 2 21,1 log1,1 xx f x xx ，
24、 则 4ff （ ） A2 B3 C5 D6 【答案】C 【解析】 函数 2 2 21,1 ( ) (1),1 xx f x logx x ， 2 42 4131f（ ）， 2 4311 315ffflog . 第 12 页 / 共 15 页 故选：C. 3、 （2020 届浙江省嘉兴市 3 月模拟） 已知函数 f x的图象如图所示， 则 f x的解析式最有可能是 （ ） A 31 31 x x f x B 31 31 x x f x C 1 3 1 3 x x f x D 1 3 1 3 x x f x 【答案】A 【解析】 选项 B、D 的函数定义域为0 x x ，和图象不匹配，错误； 选
25、项 C 函数 1 32 1 1 31 3 x xx f x 为减函数，和图象不匹配，错误； 选项 A 函数 312 1 3131 x xx f x 的定义域为 R，且为增函数，正确. 故选：A 4、 （北京海淀区一零一中学 2019-2020 学年度上学期高三开学考）已知函数 0 1 0 x ex f x lnx x ， ， ，则直线 y=x+1 与曲线 yf x 的交点个数为_；若关于 x 的方程 1 0fxxa e 有三个不等实根，则实数 a 的取值范围是_. 【答案】一个 1,0 【解析】 （1）函数图象如图所示： （注意：x=0 取不到） 第 13 页 / 共 15 页 又因为 x y
26、e在0 x处的切线为 00 ye xe，即为 1yx ， 所以交点个数为1个； （2）关于 x 的方程 1 0fxxa e 有三个不等实根 f x的图象与 1 yxa e 的图象有三个交点. 如图所示： 当 1 yxa e 与 1 lny x 相切时，设切点为 00 , lnxx， 所以 0 11 xe ，所以 0 xe，所以 1 lneae e ，所以0a，此时共两个交点， 将 1 y e 图象下移时只有有一个交点； 将 1 y e 图象上移时，有三个交点； 直到当1a时， 1 y e 的图象与 f x的图象刚好两个交点， 当 1 y e 图象上移时只有 2 个交点， 故当10a 时， f
27、x的图象与 1 yxa e 的图象有三个交点. 故答案为：一个；1,0. 5（2020 届河北省衡水中学高三下学期一调）已知1a ，设函数( )2 x f xax的零点为 m， 第 14 页 / 共 15 页 ( )log2 a g xxx的零点为 n，则 11 mn 的取值范围是（ ） A(2, ) B 7 , 2 C(4,) D 9 , 2 【答案】A 【解析】函数( )2 x f xax的零点为函数 x ya与 2yx 图像的交点 A 的横坐标，函数 ( )log2 a g xxx的零点为函数logayx与2yx图像的交点 B 的横坐标 10,0amn 由于指数函数与对数函数互为反函数，
28、 其图像关于y x 对称， 直线2yx与y x 垂直 故两直线的交点(1,1)即是 A，B 的中点， 2,0,0mnmn 111111 ()()(2)(22)2 222 mnnmnm mnmnmnmn 当且仅当：1mn时等号成立 而mn，故 11 2 mn 故选：A 6、 （2020 届河北省衡水中学高三年级小二调）已知幂函数 1 ( )(21) a g xax 的图象过函数 1 ( )(0,1) 2 x b f xmmm 且的图象所经过的定点，则b的值等于（ ） A 1 2 B 2 2 C2 D2 【答案】B 【解析】由于 1 ( )(21) a g xax 为幂函数，则21 1a ，解得：1a ， 函数 1 ( ) 2 x b f xm ，(0,m 且1)m ，当xb时， 11 ( ) 22 b b f bm ，故( )f x 的图像所经过的 定点为 1 ( , ) 2 b， 第 15 页 / 共 15 页 所以 1 ( ) 2 g b ，即 2 1 2 b ，解得： 2 2 b , 故答案选 B 方法总结：高考对对数函数的考查多以对数与对数函数为载体，考查对数的运算和对数函数的图像和性质 的应用，且常与二次函数、方程、不等式等内容交汇命题解决此类问题的关键是根据已知条件，将问题 转化为(或构造)对数函数或对数型函数，再利用图像或性质求解